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一、数学运算
　　数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.在本章主要体现为指数式与对数式的运算.
培优一 指数式的运算
【例1】　计算下列各式的值：
（1）（－1）0＋＋（＋（；
（2）0.12－－＋.
尝试解答
培优二 对数式的运算
【例2】　求下列各式的值：
（1）log3－＋lg 25＋log10016；
（2）eln 4＋lo25＋lg 25＋lg 2·lg 50＋（lg 2）2.
尝试解答
【例3】　设3x＝4y＝36，求＋的值.
尝试解答
二、直观想象
　　直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系.构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.本章主要体现在指数函数、对数函数、幂函数图象的识别，利用图象比较大小，利用图象求参数的取值范围等问题中.
培优三 指数函数、对数函数图象的识别
【例4】　（1）函数f（x）＝lg（｜x｜－1）的大致图象是（　　）
（2）已知lg a＋lg b＝0，则函数f（x）＝ax与函数g（x）＝－logbx的图象可能是　　　　（填序号）.
尝试解答
培优四 利用图象比较大小
【例5】　（1）函数y＝ax（a＞0，a≠1）与y＝xb的图象如图，则下列不等式一定成立的是（　　）
A.ba＞0　　　　　　B.a＋b＞0
C.loga2＞b D.ab＞1
（2）已知实数a，b，c满足lg a＝10b＝，则下列关系式中不可能成立的是（　　）
A.a＞b＞c B.a＞c＞b
C.c＞a＞b D.c＞b＞a
尝试解答
培优五 利用图象求参数
【例6】　（1）若直线y＝2a与函数y＝｜2x－1｜的图象有两个公共点，则a的取值可以是（　　）
A. B.
C.2 D.4
（2）已知定义域为（0，＋∞）的函数f（x）＝若a，b，c是三个互不相同的正数，且f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的范围是（　　）
A.（4，9） B.（16，36）
C.（2，9） D.（4，36）
尝试解答
三、逻辑推理
　　逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎.在本章中主要体现在指数函数、对数函数、幂函数的性质及应用等问题中.
培优六 利用函数性质比较大小、求参数
【例7】　（1）已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是（　　）
A.c＜b＜a B.b＜a＜c
C.a＜c＜b D.a＜b＜c
（2）（多选）（2023·新高考Ⅰ卷10题）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0（p0＞0）是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则（　　）
A.p1≥p2 B.p2＞10p3
C.p3＝100p0 D.p1≤100p2
（3）（2023·新高考Ⅱ卷4题）若f（x）＝（x＋a）ln为偶函数，则a＝（　　）
A.－1 B.0
C. D.1
尝试解答
培优七 利用函数性质解不等式
【例8】　（1）已知函数f（x）＝lg是奇函数，则使得0＜f（x）＜1的x的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.∪
（2）已知函数f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝2x－2，则不等式xf（x）＜0的解集为（　　）
A.（－1，0）∪（1，＋∞）
B.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
C.（－1，0）∪（0，1）
D.（－∞，－1）∪（0，1）
尝试解答
培优八 复合函数的单调性问题
【例9】　（1）已知函数f（x）＝loga（－x2－2x＋3）（a＞0且a≠1），若f（0）＜0，则此函数的单调递增区间是（　　）
A.（－∞，－1] B.[－1，＋∞）
C.[－1，1） D.（－3，－1]
（2）（2023·新高考Ⅰ卷4题）设函数f（x）＝2x（x－a）在区间（0，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）
A.（－∞，－2] B.[－2，0）
C.（0，2] D.[2，＋∞）
尝试解答
四、数学建模
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题.在本章主要体现在指数函数、对数函数的实际应用问题中.
培优九 构建数学模型解决实际问题
【例10】　某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线.当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14，40]时，曲线是函数y＝loga（t－5）＋83（a＞0且a≠1）图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳.
（1）试求p＝f（t）的函数关系式；
（2）一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由.
尝试解答
章末复习与总结
【例1】　解：（1）（－1）0＋＋（＋（＝1＋＋＋＝1＋＋2－2＋2＝1＋＋＋2＝2＋2＝4.
（2）0.12－－＋＝（0.53－1－（－）2＋（2－6＝0.5－1－1－3＋22＝2－1－3＋4＝2.
【例2】　解：（1）log3－＋lg 25＋log10016＝log33－3＋2lg 5＋2lg 2＝1－3＋2lg 10＝1－3＋2＝0.
（2）eln 4＋lo25＋lg 25＋lg 2·lg 50＋（lg 2）2＝4＋2log525＋lg 25＋lg 2（1＋lg 5）＋（lg 2）2＝4＋4＋lg 25＋lg 2＋lg 2·lg 5＋（lg 2）2＝8＋lg 50＋lg 2（lg 5＋lg 2）＝8＋lg 50＋lg 2＝8＋2＝10.
【例3】　解：因为3x＝36，4y＝36，所以x＝log336，y＝log436，
由换底公式得x＝＝，
y＝＝，所以＝log363，＝log364，
所以＋＝2log363＋log364＝log36（32×4）＝log3636＝1.
【例4】　（1）B　（2）②　解析：（1）由f（－x）＝lg（｜－x｜－1）＝lg（｜x｜－1）＝f（x），得f（x）是偶函数，由此知C、D错误.又当x＞1时，f（x）＝lg（x－1）是（1，＋∞）上的增函数.故选B.
（2）因为lg a＋lg b＝lg（ab）＝0，所以ab＝1，即b＝，则f（x）＝ax，g（x）＝logax.当a＞1时，在各自的定义域内，f（x）是增函数，g（x）是增函数，此时②正确；当0＜a＜1时，在各自的定义域内，f（x）是减函数，g（x）是减函数，此时①②③④都不正确.综上可知，图象可能是②.
【例5】　（1）C　（2）D　解析：（1）由图可知，y＝ax单调递增，则a＞1；y＝xb单调递减，则b＜0，A：ba＞0不一定成立，如a＝3，b＝－1；B：a＋b＞0不一定成立，如a＝2，b＝－3；C：loga2＞0＞b，成立；D：ab＞1不成立，a＞1，b＜0，0＜ab＜1.故选C.
（2）设lg a＝10b＝＝t，t＞0，则a＝10t，b＝lg t，c＝，在同一坐标系中分别画出函数y＝10x，y＝lg x，y＝的图象，如图，当t＝x3时，a＞b＞c；当t＝x2时，a＞c＞b；当t＝x1时，c＞a＞b.故选D.
【例6】　（1）A　（2）B　解析：（1）画出两个函数在同一坐标系下的图象，若有两个交点，则0＜2a＜1，∴0＜a＜，故选A.
（2）作出函数y＝f（x）的图象，不妨设a＜b＜c，则1＜a＜2＜b＜4＜c＜9，∴｜log2a－1｜＝｜log2b－1｜，∴－（log2a－1）＝log2b－1，即log2a＋log2b＝log2（ab）＝2，∴ab＝4，∴abc＝4c∈（16，36）.故选B.
【例7】　（1）C　（2）ACD　（3）B　解析：（1）因为a＝log52＜log42＝，b＝log83＞log93＝，故b＞c＞a.故选C.
（2）由Lp＝20×lg，得p＝p0×1.由题表中的数据可知p0×103≤p1≤p0×1，p0×1≤p2≤p0×103，p3＝p0×102＝100p0，故A、C正确；因为10p3＝10×100p0＝p0×103≥p2，故B错误；因为p0×1≤100p2≤p0×105，所以p1≤100p2，故D正确.故选A、C、D.
（3）法一　要使函数f（x）有意义，必须满足＞0，解得x＜－或x＞.因为函数f（x）是偶函数，所以对任意x∈（－∞，－）∪（，＋∞），都有f（－x）＝f（x），即（－x＋a）·ln＝（x＋a）ln，则（x－a）ln＝（x＋a）ln对任意x∈（－∞，－）∪（，＋∞）恒成立，所以a＝0.故选B.
法二　因为f（x）＝（x＋a）ln为偶函数，f（－1）＝（a－1）ln 3，f（1）＝（a＋1）ln ＝－（a＋1）ln 3，所以（a－1）ln 3＝－（a＋1）ln 3，解得a＝0，故选B.
【例8】　（1）C　（2）D　解析：（1）令f（0）＝lg（2＋a）＝0，得a＝－1，所以f（x）＝lg＝lg ，定义域为（－1，1），f（－x）＝lg ＝－lg ＝－f（x），满足f（x）为奇函数，因为y＝＝－1在（－1，1）上单调递减，所以f（x）在（－1，1）上单调递减，又f（0）＝0，f＝1，所以使得0＜f（x）＜1的x的取值范围是.故选C.
（2）函数f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝2x－2，可得f（1）＝0，f（－1）＝f（1）＝0，f（x）在[0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减.所以不等式xf（x）＜0等价为或解得0＜x＜1或x＜－1，即不等式xf（x）＜0的解集为（－∞，－1）∪（0，1）.故选D.
【例9】　（1）C　（2）D　解析：（1）由题意得－x2－2x＋3＞0，解得－3＜x＜1，则函数的定义域为（－3，1）.由f（0）＝loga3＜0，可得0＜a＜1，所以函数f（x）的单调递增区间是二次函数y＝－x2－2x＋3在定义域（－3，1）上的单调递减区间，结合二次函数的图象可得y＝－x2－2x＋3在区间[－1，1）上单调递减，故函数f（x）的单调递增区间是[－1，1）.
（2）设t＝x（x－a），易知函数y＝2t是增函数.因为f（x）＝2x（x－a）在（0，1）上单调递减，所以由复合函数的单调性可知函数t＝x（x－a）在（0，1）上单调递减.因为函数t＝x（x－a）在（－∞，）上单调递减，所以≥1，即a≥2.故选D.
【例10】　解：（1）当t∈（0，14]时，设p＝f（t）＝c（t－12）2＋82（c＜0），将点（14，81）代入得c＝－，
所以当t∈（0，14]时，p＝f（t）＝－（t－12）2＋82；
当t∈（14，40]时，将点（14，81）代入y＝loga（t－5）＋83，得a＝.
所以p＝f（t）＝
（2）当t∈（0，14]时，－（t－12）2＋82≥80，
解得12－2≤t≤12＋2，
所以t∈[12－2，14]；
当t∈（14，40]时，lo（t－5）＋83≥80，
解得5＜t≤32，所以t∈（14，32]，
综上t∈[12－2，32]时学生听课效果最佳.
此时Δt＝32－＝20＋2＞22，
所以，教师能够合理安排时间讲完题目.
3 / 4(共38张PPT)
章末复习与总结
一、数学运算
　　数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学
问题的素养.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思
路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.在本章主要体
现为指数式与对数式的运算.
（1）（ －1）0＋ ＋（ ＋（ ；
解： （ －1）0＋ ＋（ ＋（ ＝1
＋ ＋ ＋ ＝1＋ ＋2－2＋2＝1
＋ ＋ ＋2＝2＋2＝4.
培优一 指数式的运算
【例1】　计算下列各式的值：
解： 0.12 － － ＋ ＝（0.53
－1－（－ ）2＋（2－6 ＝0.5－1－1－3＋22＝2－1－3
＋4＝2.
（2）0.12 － － ＋ .
培优二 对数式的运算
【例2】　求下列各式的值：
（1）log3 － ＋lg 25＋log10016；
解： log3 － ＋lg 25＋log10016＝log33－3＋2lg 5
＋2lg 2＝1－3＋2lg 10＝1－3＋2＝0.
（2）eln 4＋lo 25＋lg 25＋lg 2·lg 50＋（lg 2）2.
解： eln 4＋lo 25＋lg 25＋lg 2·lg 50＋（lg 2）2＝4＋
2log525＋lg 25＋lg 2（1＋lg 5）＋（lg 2）2＝4＋4＋lg 25＋lg 2
＋lg 2·lg 5＋（lg 2）2＝8＋lg 50＋lg 2（lg 5＋lg 2）＝8＋lg 50
＋lg 2＝8＋2＝10.
【例3】　设3 x ＝4 y ＝36，求 ＋ 的值.
解：因为3 x ＝36，4 y ＝36，所以 x ＝log336， y ＝log436，
由换底公式得 x ＝ ＝ ，
y ＝ ＝ ，所以 ＝log363， ＝log364，
所以 ＋ ＝2log363＋log364＝log36（32×4）＝log3636＝1.
二、直观想象
　　直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，
利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.主要包括：
借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形
描述、分析数学问题；建立形与数的联系.构建数学问题的直观模
型，探索解决问题的思路.本章主要体现在指数函数、对数函数、幂
函数图象的识别，利用图象比较大小，利用图象求参数的取值范围等
问题中.
培优三 指数函数、对数函数图象的识别
【例4】　（1）函数 f （ x ）＝lg（｜ x ｜－1）的大致图象是（　B　）
B
解析： 由 f （－ x ）＝lg（｜－ x ｜－1）＝lg（｜ x ｜－1）
＝ f （ x ），得 f （ x ）是偶函数，由此知C、D错误.又当 x ＞1
时， f （ x ）＝lg（ x －1）是（1，＋∞）上的增函数.故选B.
（2）已知lg a ＋lg b ＝0，则函数 f （ x ）＝ ax 与函数 g （ x ）＝－log bx
的图象可能是 （填序号）.
②　
解析： 因为lg a ＋lg b ＝lg（ ab ）＝0，所以 ab ＝1，即 b ＝
，则 f （ x ）＝ ax ， g （ x ）＝log ax .当 a ＞1时，在各自的定义
域内， f （ x ）是增函数， g （ x ）是增函数，此时②正确；当0
＜ a ＜1时，在各自的定义域内， f （ x ）是减函数， g （ x ）是
减函数，此时①②③④都不正确.综上可知，图象可能是②.
培优四 利用图象比较大小
【例5】　（1）函数 y ＝ ax （ a ＞0， a ≠1）与 y ＝ xb 的图象如图，则
下列不等式一定成立的是（　C　）
A. ba ＞0 B. a ＋ b ＞0
C. log a 2＞ b D. ab ＞1
C
解析： 由图可知， y ＝ ax 单调递增，则 a ＞1； y ＝ xb 单调
递减，则 b ＜0，A： ba ＞0不一定成立，如 a ＝3， b ＝－1；B：
a ＋ b ＞0不一定成立，如 a ＝2， b ＝－3；C：log a 2＞0＞ b ，成
立；D： ab ＞1不成立， a ＞1， b ＜0，0＜ ab ＜1.故选C.
（2）已知实数 a ， b ， c 满足lg a ＝10 b ＝ ，则下列关系式中不可能
成立的是（　D　）
A. a ＞ b ＞ c B. a ＞ c ＞ b
C. c ＞ a ＞ b D. c ＞ b ＞ a
D
解析：设lg a ＝10 b ＝ ＝ t ， t ＞0，则 a ＝10
t ， b ＝lg t ， c ＝ ，在同一坐标系中分别画
出函数 y ＝10 x ， y ＝lg x ， y ＝ 的图象，如
图，当 t ＝ x3时， a ＞ b ＞ c ；当 t ＝ x2时， a
＞ c ＞ b ；当 t ＝ x1时， c ＞ a ＞ b .故选D.
培优五 利用图象求参数
【例6】　（1）若直线 y ＝2 a 与函数 y ＝｜2 x －1｜的图象有两个公共
点，则 a 的取值可以是（　A　）
A. B.
C. 2 D. 4
A
解析： 画出两个函数在同一坐
标系下的图象，若有两个交点，则0
＜2 a ＜1，∴0＜ a ＜ ，故选A.
（2）已知定义域为（0，＋∞）的函数 f （ x ）＝
若 a ， b ， c 是三个互不相同的正数，
且 f （ a ）＝ f （ b ）＝ f （ c ），则 abc 的范围是（　B　）
A. （4，9） B. （16，36）
C. （2，9） D. （4，36）
B
解析：作出函数 y ＝ f （ x ）的图象，不妨设 a ＜ b ＜ c ，则1＜ a
＜2＜ b ＜4＜ c ＜9，∴｜log2 a －1｜＝｜log2 b －1｜，∴－
（log2 a －1）＝log2 b －1，即log2 a ＋log2 b ＝log2（ ab ）＝2，
∴ ab ＝4，∴ abc ＝4 c ∈（16，36）.故选B.
三、逻辑推理
　　逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命
题的素养.主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式
主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要
有演绎.在本章中主要体现在指数函数、对数函数、幂函数的性质
及应用等问题中.
培优六 利用函数性质比较大小、求参数
【例7】　（1）已知 a ＝log52， b ＝log83， c ＝ ，则下列判断正确的
是（　C　）
A. c ＜ b ＜ a B. b ＜ a ＜ c
C. a ＜ c ＜ b D. a ＜ b ＜ c
C
解析： 因为 a ＝log52＜log42＝ ， b ＝log83＞log93＝ ，故
b ＞ c ＞ a .故选C.
（2）（多选）（2023·新高考Ⅰ卷10题）噪声污染问题越来越受到重
视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级 Lp ＝20×lg ，其
中常数 p0（ p0＞0）是听觉下限阈值， p 是实际声压.下表为不同
声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实
际声压分别为 p1， p2， p3，则（　ACD　）
A. p1≥ p2 B. p2＞10 p3
ACD
C. p3＝100 p0 D. p1≤100 p2
解析：由 Lp ＝20×lg ，得 p ＝ p0×1 .由题表中的数据可知
p0×103≤ p1≤ p0×1 ， p0×1 ≤ p2≤ p0×103， p3＝ p0×102
＝100 p0，故A、C正确；因为10 p3＝10×100 p0＝ p0×103≥ p2，
故B错误；因为 p0×1 ≤100 p2≤ p0×105，所以 p1≤100 p2，故
D正确.故选A、C、D.
（3）（2023·新高考Ⅱ卷4题）若 f （ x ）＝（ x ＋ a ）ln 为偶函
数，则 a ＝（　B　）
A. －1 B. 0
C. D. 1
B
解析：法一　要使函数 f （ x ）有意义，必须满足 ＞0，解得
x ＜－ 或 x ＞ .因为函数 f （ x ）是偶函数，所以对任意 x ∈
（－∞，－ ）∪（ ，＋∞），都有 f （－ x ）＝ f （ x ），即
（－ x ＋ a ）·ln ＝（ x ＋ a ）ln ，则（ x － a ）ln ＝
（ x ＋ a ）ln 对任意 x ∈（－∞，－ ）∪（ ，＋∞）恒成
立，所以 a ＝0.故选B.
法二　因为 f （ x ）＝（ x ＋ a ）ln 为偶函数， f （－1）＝（ a －
1）ln 3， f （1）＝（ a ＋1）ln ＝－（ a ＋1）ln 3，所以（ a －1）ln
3＝－（ a ＋1）ln 3，解得 a ＝0，故选B.
培优七 利用函数性质解不等式
【例8】　（1）已知函数 f （ x ）＝lg 是奇函数，则使得0＜ f
（ x ）＜1的 x 的取值范围是（　C　）
A. B.
C. D. ∪
C
解析： 令 f （0）＝lg（2＋ a ）＝0，得 a ＝－1，所以 f
（ x ）＝lg ＝lg ，定义域为（－1，1）， f （－ x ）
＝lg ＝－lg ＝－ f （ x ），满足 f （ x ）为奇函数，因为 y
＝ ＝ －1在（－1，1）上单调递减，所以 f （ x ）在（－
1，1）上单调递减，又 f （0）＝0， f ＝1，所以使得0＜ f
（ x ）＜1的 x 的取值范围是 .故选C.
（2）已知函数 f （ x ）为R上的偶函数，当 x ≥0时， f （ x ）＝2 x －
2，则不等式 xf （ x ）＜0的解集为（　D　）
A. （－1，0）∪（1，＋∞）
B. （－∞，－1）∪（1，＋∞）
C. （－1，0）∪（0，1）
D. （－∞，－1）∪（0，1）
D
解析：函数 f （ x ）为R上的偶函数，当 x ≥0时， f （ x ）＝2 x －
2，可得 f （1）＝0， f （－1）＝ f （1）＝0， f （ x ）在[0，＋
∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减.所以不等式 xf
（ x ）＜0等价为或
解得0＜ x ＜1或 x ＜－1，即不等式 xf （ x ）＜0的解集为（－
∞，－1）∪（0，1）.故选D.
培优八 复合函数的单调性问题
【例9】　（1）已知函数 f （ x ）＝log a （－ x2－2 x ＋3）（ a ＞0且 a
≠1），若 f （0）＜0，则此函数的单调递增区间是（　C　）
A. （－∞，－1] B. [－1，＋∞）
C. [－1，1） D. （－3，－1]
C
解析： 由题意得－ x2－2 x ＋3＞0，解得－3＜ x ＜1，则函
数的定义域为（－3，1）.由 f （0）＝log a 3＜0，可得0＜ a ＜
1，所以函数 f （ x ）的单调递增区间是二次函数 y ＝－ x2－2 x ＋
3在定义域（－3，1）上的单调递减区间，结合二次函数的图象
可得 y ＝－ x2－2 x ＋3在区间[－1，1）上单调递减，故函数 f
（ x ）的单调递增区间是[－1，1）.
（2）（2023·新高考Ⅰ卷4题）设函数 f （ x ）＝2 x（ x－ a）在区间（0，
1）上单调递减，则实数 a 的取值范围是（　D　）
A. （－∞，－2] B. [－2，0）
C. （0，2] D. [2，＋∞）
D
解析：设 t ＝ x （ x － a ），易知函数 y ＝2 t 是增函数.因为 f （ x ）
＝2 x（ x－ a）在（0，1）上单调递减，所以由复合函数的单调性可
知函数 t ＝ x （ x － a ）在（0，1）上单调递减.因为函数 t ＝ x
（ x － a ）在（－∞， ）上单调递减，所以 ≥1，即 a ≥2.故
选D.
四、数学建模
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用
数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模过程主要包括：在实际
情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确
定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题.在本
章主要体现在指数函数、对数函数的实际应用问题中.
培优九 构建数学模型解决实际问题
【例10】　某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研
究中，发现其注意力指数 p 与听课时间 t 之间的关系满足如图所示的曲
线.当 t ∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当 t ∈[14，
40]时，曲线是函数 y ＝log a （ t －5）＋83（ a ＞0且 a ≠1）图象的一
部分.根据专家研究，当注意力指数 p 大于等于80时听课效果最佳.
（1）试求 p ＝ f （ t ）的函数关系式；
解： 当 t ∈（0，14]时，设 p ＝ f
（ t ）＝ c （ t －12）2＋82（ c ＜0），将点
（14，81）代入得 c ＝－ ，
所以当 t ∈（0，14]时， p ＝ f （ t ）＝－ （ t －12）2＋82；
当 t ∈（14，40]时，将点（14，81）代入 y ＝log a （ t －5）＋83，得 a ＝ .
所以 p ＝ f （ t ）＝
（2）一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在
学生听课效果最佳时讲完？请说明理由.
解： 当 t ∈（0，14]时，－ （ t －12）2＋82≥80，
解得12－2 ≤ t ≤12＋2 ，
所以 t ∈[12－2 ，14]；
当 t ∈（14，40]时，lo （ t －5）＋83≥80，
解得5＜ t ≤32，所以 t ∈（14，32]，
综上 t ∈[12－2 ，32]时学生听课效果最佳.
此时Δ t ＝32－ ＝20＋2 ＞22，
所以，教师能够合理安排时间讲完题目.
谢 谢 观 看！

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