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章末检测（四）　指数函数、对数函数与幂函数
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设函数f（x）＝则f（f（3））＝（　　）
A.0　 　　 B.2　　 　
C.1　　 　 D.
2.函数y＝ax－1＋1（a＞0且a≠1）的图象必过定点（　　）
A.（0，1） B.（1，1）
C.（2，1） D.（1，2）
3.幂函数y＝（m2－4m＋4）在（0，＋∞）上为增函数，则实数m的值为（　　）
A.1或3 B.3
C.2 D.1
4.已知lom＜lon＜0，则（　　）
A.n＜m＜1 B.m＜n＜1
C.1＜m＜n D.1＜n＜m
5.高为H、满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f（h）的大致图象是（　　）
6.函数f（x）＝（x≠0）的图象大致为（　　）
7.当0＜x≤时，4x＜logax，则实数a的取值范围是（　　）
A. B.
C.（1，） D.（，2）
8.已知函数f（x＋2）是R上的偶函数，且f（x）在[2，＋∞）上恒有＜0（x1≠x2），则不等式f（ln x）＞f（1）的解集为（　　）
A.（－∞，e）∪（e3，＋∞）
B.（1，e2）
C.（e，e3）
D.（e，＋∞）
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知幂函数f（x）＝xn－1＋n，则f（x）是（　　）
A.偶函数 B.奇函数
C.有最大值 D.无最大值
10.已知函数f（x）＝｜log2x｜的值域是[0，2]，则其定义域可能是（　　）
A. B. C. D.
11.已知函数f（x）＝，g（x）＝，则f（x），g（x）满足（　　）
A.f（－x）＋g（－x）＝g（x）－f（x）
B.f（－2）＜f（3）
C.f（x）－g（x）＝π－x
D.f（2x）＝2f（x）g（x）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.0.25×24＋lg 8＋3lg 5＝　　　　.
13.已知函数f（x）满足：（1）对于任意的x1，x2∈R，有f（x1＋x2）＝f（x1）·f（x2）；（2）满足“对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有＜0”，请写出一个满足这些条件的函数　　　　.（写出一个即可）
14.已知函数f（x）＝（a＞0，a≠1）的值域为R，则实数a的取值范围是　　　　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知函数f（x）＝lg（10x－1）.
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）设函数g（x）＝f（x）－lg（10x＋1），若关于x的不等式g（x）＜t恒成立，求实数t的取值范围.
16.（本小题满分15分）已知函数g（x）＝（a＋1）x－2＋1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数f（x）＝lo（x＋a）的图象上.
（1）求实数a的值；
（2）解不等式f（x）＜loa；
（3）｜g（x＋2）－2｜＝2b有两个不等实根时，求b的取值范围.
　　
17.（本小题满分15分）已知奇函数f（x）的定义域为[－1，1]，当x∈[－1，0）时，f（x）＝－.
（1）求函数f（x）在（0，1]上的值域；
（2）当x∈（0，1]时，函数y＝f2（x）－f（x）＋1的最小值为－2，求实数λ的值.
18.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝－ln x.
（1）求f（2），f，f（e），f的值；你能发现f（x）与f有什么关系？写出你的发现并证明；
（2）试判断f（x）在区间（0，＋∞）上的单调性，并用单调性的定义证明.
19.（本小题满分17分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格P（x）（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足P（x）＝10＋，日销售量Q（x）（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如下表所示：
x 10 15 20 25 30
Q（x） 50 55 60 55 50
（1）给出以下四个函数模型：①Q（x）＝ax＋b；②Q（x）＝a｜x－m｜＋b；③Q（x）＝a·bx；④Q（x）＝a·logbx.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
（2）设该工艺品的日销售收入为f（x）（单位：元），求f（x）的最小值.
章末检测（四）　指数函数、对数函数与幂函数
1.B　根据题意，函数f（x）＝则f（3）＝log22＝1，则f（f（3））＝f（1）＝21＝2，故选B.
2.D　∵当x＝1时，无论a取何值，y＝a0＋1＝2，∴函数y＝ax－1＋1（a＞0且a≠1）的图象必经过定点（1，2）.故选D.
3.D　∵y＝（m2－4m＋4）为幂函数，∴m2－4m＋4＝1，即（m－1）（m－3）＝0，∴m＝1或m＝3.当m＝1时，m2－6m＋8＝3，则y＝x3在（0，＋∞）上为增函数，满足题意；当m＝3时，m2－6m＋8＝－1，则y＝x－1在（0，＋∞）上为减函数，不满足题意，∴m＝3应舍去.综上可知，m＝1.
4.D　因为0＜＜1，lom＜lon＜0，所以m＞n＞1，故选D.
5.B　根据题意知函数的自变量为水深h，函数值为鱼缸中水的体积，所以当h＝0时，体积v＝0，所以函数图象过原点，故排除A、C.根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，故选B.
6.A　f（x）＝＝（ex＋e－x）（x≠0），定义域关于原点对称，则f（－x）＝－（ex＋e－x）＝－f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除选项C、D，又当x＞0时，f（x）＞0，排除选项B.故选A.
7.B　易知0＜a＜1，作出函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图，若满足题意，则只需loga＞，解得a＞，所以＜a＜1.
8.C　因为函数f（x＋2）是R上的偶函数，所以f（x）关于直线x＝2对称，在[2，＋∞）上恒有＜0（x1≠x2），当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2），所以f（x）在[2，＋∞）单调递减，f（x）在（－∞，2）单调递增，不等式f（ln x）＞f（1）需满足｜ln x－2｜＜｜2－1｜ 1＜ln x＜3，解得e＜x＜e3.故选C.
9.BD　由题可知，f（x）＝xn－1＋n是幂函数，则n＝0，所以f（x）＝x－1＝（x≠0），所以f（x）是奇函数，且无最大值.故选B、D.
10.BC　令｜log2x｜＝2，可得log2x＝2或log2x＝－2，解得x＝4或x＝，所以要满足f（x）的值域为[0，2]，定义域为的子集，且必须包含x＝1以及至少一个边界点，A选项中 ，故错误；D选项中不包含边界点x＝及x＝4，故错误.B、C满足题意.故选B、C.
11.ABD　A正确，因为f（－x）＝＝－f（x），g（－x）＝＝g（x），所以f（－x）＋g（－x）＝g（x）－f（x）；B正确，因为函数f（x）为增函数，所以f（－2）＜f（3）；C不正确，f（x）－g（x）＝－＝＝－π－x；D正确，f（2x）＝＝2··＝2f（x）g（x）.
12.7　解析：0.25×24＋lg 8＋3lg 5＝0.25×16＋3（lg 2＋lg 5）＝4＋3＝7.
13.f（x）＝（答案不唯一）　解析：根据指数的运算性质，am＋n＝aman，
可得所有指数函数f（x）满足f（x1＋x2）＝f（x1）·f（x2），又∵满足“对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有＜0”，即函数是一个在R上的减函数，综上所述，任一底数大于0小于1的指数函数均可.故其中一个函数为：f（x）＝.
14.　解析：
由题意，y＝6a－x，x＞0的值域为（－∞，6a），要使得f（x）＝（a＞0，a≠1）的值域为R，y＝ax必为减函数，因此0＜a＜1，可作出函数图象如图，由图象可知解之得≤a＜1.
15.解：（1）∵10x－1＞0，∴10x＞100，
∴f（x）的定义域为x∈（0，＋∞）.
又∵10x－1＞0，∴f（x）的值域为R.
（2）g（x）＝f（x）－lg（10x＋1）＝lg（10x－1）－lg（10x＋1）＝lg＝lg.
∵10x＞1，∴10x＋1＞2，∴0＜＜1，
∴－1＜－＜0，
∴0＜1－＜1，∴lg＜0，
∴g（x）的值域为（－∞，0）.
∵关于x的不等式g（x）＜t恒成立，∴t≥0.
16.解：（1）函数g（x）的图象恒过定点A，A点的坐标为（2，2），
又因为A点在f（x）上，则f（2）＝lo（2＋a）＝2 2＋a＝3 a＝1.
（2）由题意知lo（x＋1）＜lo1而lox在定义域上单调递增，知0＜x＋1＜1，即－1＜x＜0，所以不等式的解集为{x｜－1＜x＜0}.
（3）由｜g（x＋2）－2｜＝2b知｜2x－1｜＝2b，方程有两个不等实根，则g（x）＝｜2x－1｜，
h（x）＝2b的函数图象有两个交点，如图所示，
由图象可知，0＜2b＜1，故b的取值范围为.
17.解：（1）设x∈（0，1]，则－x∈[－1，0），
所以f（－x）＝－＝－2x.
又因为f（x）为奇函数，所以有f（－x）＝－f（x），
所以当x∈（0，1]时，f（x）＝－f（－x）＝2x.
所以f（x）在（0，1]上的值域为（1，2].
（2）由（1）知当x∈（0，1]时，f（x）∈（1，2]，
所以f（x）∈.令t＝f（x），则＜t≤1，g（t）＝f2（x）－f（x）＋1＝t2－λt＋1＝＋1－.
①当≤，即λ≤1时，g（t）＞g，无最小值；
②当＜≤1，即1＜λ≤2时，g（t）min＝g＝1－＝－2，
解得λ＝±2（舍去）；
③当＞1，即λ＞2时，g（t）min＝g（1）＝2－λ＝－2，解得λ＝4.综上所述，λ＝4.
18.解：（1）f（2）＝－ln 2＝－ln 2，f＝－ln＝＋ln 2，
f（e）＝－ln e，f＝－ln＝＋ln e.
∴f（x）＋f＝1.
证明如下：∵f（x）＝－ln x，∴f＝－ln＝＋ln x.
∴f（x）＋f＝－ln x＋＋ln x＝1.
（2）f（x）在区间（0，＋∞）上递减.
证明如下： x1，x2∈（0，＋∞）且x1＞x2，
f（x1）－f（x2）＝－ln x1－
＝－（ln x1－ln x2）
＝＋ln.
∵x1＞x2＞0，∴1＋＞0，1＋＞0，x1＋x2＞0，x2－x1＜0，0＜＜1.
∴＜0，ln＜0，∴f（x1）－f（x2）＝＋ln＜0.
∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，＋∞）上单调递减.
19.解：（1）由表格数据知，当时间x变换时，Q（x）先增后减，而①③④都是单调函数，
所以选择模型②：Q（x）＝a｜x－m｜＋b，
由Q（15）＝Q（25），可得｜15－m｜＝｜25－m｜，解得m＝20，
由解得a＝－1，b＝60，
所以日销售量Q（x）与时间x的变化的关系式为Q（x）＝－｜x－20｜＋60（1≤x≤30，x∈N*）.
（2）由（1）知：Q（x）＝－｜x－20｜＋60＝
所以f（x）＝P（x）·Q（x）＝
即f（x）＝
当1≤x≤20，x∈N*时，
由基本不等式，可得f（x）＝10x＋＋401≥2＋401＝441，当且仅当10x＝时，即x＝2时等号成立，
当20＜x≤30，x∈N*时，f（x）＝－10x＋＋799为减函数，
所以函数的最小值为f（x）min＝f（30）＝499＋＞441，
综上，当x＝2时，函数f（x）取得最小值441.
3 / 3(共41张PPT)
章末检测（四）　
指数函数、对数函数与幂函数
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设函数 f （ x ）＝则 f （ f （3））＝（　　）
A. 0 B. 2
C. 1 D.
解析： 　根据题意，函数 f （ x ）＝则 f
（3）＝log22＝1，则 f （ f （3））＝ f （1）＝21＝2，故选B.
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2. 函数 y ＝ ax－1＋1（ a ＞0且 a ≠1）的图象必过定点（　　）
A. （0，1） B. （1，1）
C. （2，1） D. （1，2）
解析： 　∵当 x ＝1时，无论 a 取何值， y ＝ a0＋1＝2，∴函数 y ＝
ax－1＋1（ a ＞0且 a ≠1）的图象必经过定点（1，2）.故选D.
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3. 幂函数 y ＝（ m2－4 m ＋4） 在（0，＋∞）上为增函数，
则实数 m 的值为（　　）
A. 1或3 B. 3
C. 2 D. 1
解析： 　∵ y ＝（ m2－4 m ＋4） 为幂函数，∴ m2－4 m
＋4＝1，即（ m －1）（ m －3）＝0，∴ m ＝1或 m ＝3.当 m ＝1
时， m2－6 m ＋8＝3，则 y ＝ x3在（0，＋∞）上为增函数，满足题
意；当 m ＝3时， m2－6 m ＋8＝－1，则 y ＝ x－1在（0，＋∞）上为
减函数，不满足题意，∴ m ＝3应舍去.综上可知， m ＝1.
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4. 已知lo m ＜lo n ＜0，则（　　）
A. n ＜ m ＜1 B. m ＜ n ＜1
C. 1＜ m ＜ n D. 1＜ n ＜ m
解析： 　因为0＜ ＜1，lo m ＜lo n ＜0，所以 m ＞ n ＞1，故
选D.
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5. 高为 H 、满缸水量为 V 的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小
洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为 h 时水的体积为 v ，则函数 v
＝ f （ h ）的大致图象是（　　）
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解析： 　根据题意知函数的自变量为水深 h ，函数值为鱼缸中水
的体积，所以当 h ＝0时，体积 v ＝0，所以函数图象过原点，故排
除A、C. 根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所
以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，故选B.
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6. 函数 f （ x ）＝ （ x ≠0）的图象大致为（　　）
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解析： 　 f （ x ）＝ ＝ （e x ＋e－ x ）（ x ≠0），定义域关于
原点对称，则 f （－ x ）＝－ （e x ＋e－ x ）＝－ f （ x ），则函数 f
（ x ）是奇函数，图象关于原点对称，排除选项C、D，又当 x ＞0
时， f （ x ）＞0，排除选项B. 故选A.
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7. 当0＜ x ≤ 时，4 x ＜log ax ，则实数 a 的取值范围是（　　）
A. B.
C. （1， ） D. （ ，2）
解析： 　易知0＜ a ＜1，作出函数 y ＝4 x 与 y
＝log ax 的大致图象如图，若满足题意，则只需
log a ＞ ，解得 a ＞ ，所以 ＜ a ＜1.
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8. 已知函数 f （ x ＋2）是R上的偶函数，且 f （ x ）在[2，＋∞）上恒
有 ＜0（ x1≠ x2），则不等式 f （ln x ）＞ f （1）的解
集为（　　）
A. （－∞，e）∪（e3，＋∞） B. （1，e2）
C. （e，e3） D. （e，＋∞）
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解析： 　因为函数 f （ x ＋2）是R上的偶函数，所以 f （ x ）关于
直线 x ＝2对称，在[2，＋∞）上恒有 ＜0（ x1≠
x2），当 x1＜ x2时， f （ x1）＞ f （ x2），所以 f （ x ）在[2，＋∞）
单调递减， f （ x ）在（－∞，2）单调递增，不等式 f （ln x ）＞ f
（1）需满足｜ln x －2｜＜｜2－1｜ 1＜ln x ＜3，解得e＜ x ＜e3.
故选C.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知幂函数 f （ x ）＝ xn－1＋ n ，则 f （ x ）是（　　）
A. 偶函数 B. 奇函数
C. 有最大值 D. 无最大值
解析： 　由题可知， f （ x ）＝ xn－1＋ n 是幂函数，则 n ＝0，所
以 f （ x ）＝ x－1＝ （ x ≠0），所以 f （ x ）是奇函数，且无最大
值.故选B、D.
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10. 已知函数 f （ x ）＝｜log2 x ｜的值域是[0，2]，则其定义域可能是
（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　令｜log2 x ｜＝2，可得log2 x ＝2或log2 x ＝－2，解得 x
＝4或 x ＝ ，所以要满足 f （ x ）的值域为[0，2]，定义域为
的子集，且必须包含 x ＝1以及至少一个边界点，A选项中
，故错误；D选项中 不包含边界点 x ＝ 及 x ＝4，
故错误.B、C满足题意.故选B、C.
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11. 已知函数 f （ x ）＝ ， g （ x ）＝ ，则 f （ x ）， g
（ x ）满足（　　）
A. f （－ x ）＋ g （－ x ）＝ g （ x ）－ f （ x ）
B. f （－2）＜ f （3）
C. f （ x ）－ g （ x ）＝π－ x
D. f （2 x ）＝2 f （ x ） g （ x ）
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解析： A正确，因为 f （－ x ）＝ ＝－ f （ x ）， g
（－ x ）＝ ＝ g （ x ），所以 f （－ x ）＋ g （－ x ）＝ g
（ x ）－ f （ x ）；
B正确，因为函数 f （ x ）为增函数，所以 f （－2）＜ f （3）；
C不正确， f （ x ）－ g （ x ）＝ － ＝ ＝－π－
x ；D正确， f （2 x ）＝ ＝2· · ＝2 f （ x ） g
（ x ）.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 0.25×24＋lg 8＋3lg 5＝ .
解析：0.25×24＋lg 8＋3lg 5＝0.25×16＋3（lg 2＋lg 5）＝4＋3
＝7.
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13. 已知函数 f （ x ）满足：（1）对于任意的 x1， x2∈R，有 f （ x1＋
x2）＝ f （ x1）· f （ x2）；（2）满足“对任意 x1， x2∈R，且 x1≠
x2，都有 ＜0”，请写出一个满足这些条件的函
数 .（写出一个即可）
f （ x ）＝ （答案不唯一）　
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解析：根据指数的运算性质， am＋ n ＝ aman ，可得所有指数函数 f （ x ）满足 f （ x1＋ x2）＝ f （ x1）· f （ x2），又∵满足“对任意 x1， x2∈R，且 x1≠ x2，都有 ＜0”，即函数是一个在R上的减函数，综上所述，任一底数大于0小于1的指数函数均可.故其中一个函数为： f （ x ）＝ .
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14. 已知函数 f （ x ）＝（ a ＞0， a ≠1）的值域为R，
则实数 a 的取值范围是 .
　
解析：由题意， y ＝6 a － x ， x ＞0的值域为
（－∞，6 a ），要使得 f （ x ）＝
（ a ＞0， a ≠1）的值域为R， y ＝ ax 必为减函数，
因此0＜ a ＜1，可作出函数图象如图，由图象可知
解之得 ≤ a ＜1.
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知函数 f （ x ）＝lg（10 x －1）.
（1）求函数 f （ x ）的定义域和值域；
解： ∵10 x －1＞0，∴10 x ＞100，
∴ f （ x ）的定义域为 x ∈（0，＋∞）.
又∵10 x －1＞0，∴ f （ x ）的值域为R.
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（2）设函数 g （ x ）＝ f （ x ）－lg（10 x ＋1），若关于 x 的不等
式 g （ x ）＜ t 恒成立，求实数 t 的取值范围.
解： g （ x ）＝ f （ x ）－lg（10 x ＋1）＝lg（10 x －1）
－lg（10 x ＋1）＝lg ＝lg .
∵10 x ＞1，∴10 x ＋1＞2，∴0＜ ＜1，
∴－1＜－ ＜0，
∴0＜1－ ＜1，∴lg ＜0，
∴ g （ x ）的值域为（－∞，0）.
∵关于 x 的不等式 g （ x ）＜ t 恒成立，∴ t ≥0.
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16. （本小题满分15分）已知函数 g （ x ）＝（ a ＋1） x－2＋1（ a ＞
0）的图象恒过定点 A ，且点 A 又在函数 f （ x ）＝lo （ x ＋ a ）
的图象上.
（1）求实数 a 的值；
解： 函数 g （ x ）的图象恒过定点 A ， A 点的坐标为
（2，2），
又因为 A 点在 f （ x ）上，则 f （2）＝lo （2＋ a ）＝2 2
＋ a ＝3 a ＝1.
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（2）解不等式 f （ x ）＜lo a ；
解： 由题意知lo （ x ＋1）＜lo 1而lo x 在定
义域上单调递增，知0＜ x ＋1＜1，即－1＜ x ＜0，所以不等
式的解集为{ x ｜－1＜ x ＜0}.
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（3）｜ g （ x ＋2）－2｜＝2 b 有两个不等实根时，求 b 的取
值范围.
解： 由｜ g （ x ＋2）－2｜＝2 b
知｜2 x －1｜＝2 b ，方程有两个不等
实根，则 g （ x ）＝｜2 x －1｜，
h （ x ）＝2 b 的函数图象有两个交
点，如图所示，
由图象可知，0＜2 b ＜1，故 b 的取值范围为 .
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17. （本小题满分15分）已知奇函数 f （ x ）的定义域为[－1，1]，当
x ∈[－1，0）时， f （ x ）＝－ .
（1）求函数 f （ x ）在（0，1]上的值域；
解： 设 x ∈（0，1]，则－ x ∈[－1，0），
所以 f （－ x ）＝－ ＝－2 x .
又因为 f （ x ）为奇函数，所以有 f （－ x ）＝－ f （ x ），
所以当 x ∈（0，1]时， f （ x ）＝－ f （－ x ）＝2 x .
所以 f （ x ）在（0，1]上的值域为（1，2].
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（2）当 x ∈（0，1]时，函数 y ＝ f2（ x ）－ f （ x ）＋1的最小
值为－2，求实数λ的值.
解： 由（1）知当 x ∈（0，1]时， f （ x ）∈（1，2]，
所以 f （ x ）∈ .令 t ＝ f （ x ），则 ＜ t ≤1， g
（ t ）＝ f2（ x ）－ f （ x ）＋1＝ t2－λ t ＋1＝ ＋1
－ .
①当 ≤ ，即λ≤1时， g （ t ）＞ g ，无最小值；
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②当 ＜ ≤1，即1＜λ≤2时， g （ t ）min＝ g ＝1－ ＝
－2，解得λ＝±2 （舍去）；
③当 ＞1，即λ＞2时， g （ t ）min＝ g （1）＝2－λ＝－
2，解得λ＝4.综上所述，λ＝4.
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18. （本小题满分17分）已知函数 f （ x ）＝ －ln x .
（1）求 f （2）， f ， f （e）， f 的值；你能发现 f （ x ）与 f
有什么关系？写出你的发现并证明；
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解： f （2）＝ －ln 2＝ －ln 2， f ＝ －ln
＝ ＋ln 2，
f （e）＝ －ln e， f ＝ －ln ＝ ＋ln e.
∴ f （ x ）＋ f ＝1.
证明如下：∵ f （ x ）＝ －ln x ，∴ f ＝ －ln ＝
＋ln x .
∴ f （ x ）＋ f ＝ －ln x ＋ ＋ln x ＝1.
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（2）试判断 f （ x ）在区间（0，＋∞）上的单调性，并用单调性
的定义证明.
解： f （ x ）在区间（0，＋∞）上递减.
证明如下： x1， x2∈（0，＋∞）且 x1＞ x2，
f （ x1）－ f （ x2）＝ －ln x1－
＝ －（ln x1－ln x2）
＝ ＋ln .
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∵ x1＞ x2＞0，∴1＋ ＞0，1＋ ＞0， x1＋ x2＞0，
x2－ x1＜0，0＜ ＜1.
∴ ＜0，ln ＜0，∴ f （ x1）－ f
（ x2）＝ ＋ln ＜0.
∴ f （ x1）＜ f （ x2），∴ f （ x ）在（0，＋∞）上单调
递减.
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19. （本小题满分17分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经
济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进
而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每
天销售情况的
调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销
售价格 P （ x ）（单位：元）与时间 x （单位：天）的函数关系近
似满足 P （ x ）＝10＋ ，日销售量 Q （ x ）（单位：件）与时间 x
（单位：天）的部分数据如下表所示：
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x 10 15 20 25 30
Q （ x ） 50 55 60 55 50
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（1）给出以下四个函数模型：① Q （ x ）＝ ax ＋ b ；② Q （ x ）
＝ a ｜ x － m ｜＋ b ；③ Q （ x ）＝ a · bx ；④ Q （ x ）＝ a ·log
bx .请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种
函数模型来描述日销售量 Q （ x ）与时间 x 的变化关系，并
求出该函数的解析式；
解： 由表格数据知，当时间 x 变换时， Q （ x ）先增后
减，而①③④都是单调函数，
由 Q （15）＝ Q
所以选择模型②： Q （ x ）＝ a ｜ x － m ｜＋ b ，
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由Q（15）＝Q（25）， 可得｜15－ m ｜＝｜25－ m ｜，解得 m ＝20，
由解得 a ＝－1， b ＝60，
所以日销售量 Q （ x ）与时间 x 的变化的关系式为 Q
（ x ）＝－｜ x －20｜＋60（1≤ x ≤30， x ∈N*）.
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（2）设该工艺品的日销售收入为 f （ x ）（单位：元），求 f
（ x ）的最小值.
解： 由（1）知： Q （ x ）＝－｜ x －20｜＋60＝
所以 f （ x ）＝ P （ x ）· Q （ x ）＝
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即 f （ x ）＝
当1≤ x ≤20， x ∈N*时，
由基本不等式，可得 f （ x ）＝10 x ＋ ＋401≥2
＋401＝441，当且仅当10 x ＝ 时，即 x ＝2时
等号成立，
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当20＜ x ≤30， x ∈N*时， f （ x ）＝－10 x ＋ ＋799
为减函数，
所以函数的最小值为 f （ x ）min＝ f （30）＝499＋ ＞
441，
综上，当 x ＝2时，函数 f （ x ）取得最小值441.
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谢 谢 观 看！

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