资源简介

(共62张PPT)
第2课时　分层抽样
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，了解分层抽样的特点和适用范
围，了解分层抽样的必要性 数学抽象、数据分析
2.掌握各层样本量比例分配的方法，利用分
层抽样的方法解决实际问题 数据分析、数学建模
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　为了考察某校的教学水平，将对这个学校高三年级部分学生的本
学年考试成绩进行考察，为了全面地反映实际情况，采取以下三种方
式进行抽查（已知该校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学
生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同）.
（1）从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20
人，考察他们的学习成绩；
（2）每个班都抽取1人，共计20人，考察这20个学生的成绩；
（3）把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级
别，从其中共抽取100名学生进行考察（已知若按成绩分，该校
高三学生中优秀学生有150名，良好学生有600名，普通学生有
250名）.
【问题】　（1）上面三种抽取方式中各采用的是何种抽取样本的
方法？
（2）方式三中按照各种事先划定的分数段分层确定优秀生、良好
生、普通生的人数，再按各层抽取有什么好处？
　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　
知识点　分层抽样
一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有
的、 的几部分时，每一部分可称为层，在各层中
按 进行随机抽样的方法称为分层抽样（简称
为分层抽样）.
明显差
别　
互不重叠　
层在总体中所占比例　
提醒　（1）分层抽样如何分层要视具体情况而定，总的原则是每层
内样本的差异要尽可能小，而层与层之间的差异要尽可能大，且互不
重叠，否则将失去分层的意义；（2）所有层都按同一抽样比等可能
抽取，以保证每个个体被等可能抽取；（3）根据实际情况，可对每
层所抽取的数目进行适当的细微调整.
【想一想】
1. 适合分层抽样的总体具备什么特征？
提示：总体由差异明显的几部分组成.
2. 如何理解“层在总体中所占比例”？
提示：从 N 个个体中抽取 n 个个体，若将总体分为 A ， B ， C 三
层，含有的个体数目分别是 x ， y ， z ，在 A ， B ， C 三层应抽取的
个体数目分别是 a ， b ， c ，那么 ＝ ＝ ＝ .
1. 分层抽样适合的总体是（　　）
A. 总体容量较多 B. 样本量较多
C. 总体中个体有差异 D. 任何总体
解析： 　当总体中个体有差异，采用分层抽样.故选C.
2. 某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学
生.为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业
共抽取40名学生进行调查，则应在丙专业抽取的学生人数
为 .
解析：设应在丙专业抽取的学生人数为 x ，则 ＝
，即 ＝ ，解得 x ＝16 .
16　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 分层抽样的概念
【例1】　（1）下列各项中属于分层抽样的特点的是（　B　）
A. 从总体中逐个抽取
B. 将总体分成几层，分层进行抽取
C. 将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取
D. 将总体随意分成几部分，然后进行随机抽取
B
解析： A属于简单随机抽样的特点，B属于分层抽样的特
点，C，D不属于分层抽样方法，所以应选B.
（2）下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是（　B　）
A. 从10名同学中抽取3人参加座谈会
B. 一次数学竞赛中，某班有10人在110分以上，40人在90～100分，
12人低于90分，现从中抽取12人了解有关情况
C. 从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间
D. 从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
解析： A中总体个体无明显差异，适合用简单随机抽样；C和D中
总体个体无明显差异，不适合用分层抽样；B中总体个体差异明
显，适合用分层抽样.
B
通性通法
1. 使用分层抽样的前提
分层抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区
别，而层内个体间差异较小.
2. 使用分层抽样应遵循的原则
（1）将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个
体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；
（2）分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进
行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于
抽样比.
【跟踪训练】
1. 某地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而
男、女生视力情况差异不大，为了解该地区中小学生的视力情况，
最合理的抽样方法是（　　）
A. 简单随机抽样 B. 按性别分层抽样
C. 按学段分层抽样 D. 其他抽样方法
解析： 　因为小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有
较大差异，男、女生视力情况差异不大，则应按学段分层抽
样，故选C.
2. 某学院有四个饲养房，分别养有18，54，24，48只白鼠供试验用.
某项试验需抽取24只，为使实验尽可能真实，你认为最合适的抽样
方法为 .
①在每个饲养房各抽取6只；
②把所有白鼠都加上编有不同号码的颈圈，用随机抽样法确定
24只；
③在四个饲养房分别随手提出3，9，4，8只；
④先确定在这四个饲养房应分别抽取3，9，4，8只，再由各饲养房
自己加号码颈圈，用简单随机抽样法确定各自抽取的对象.
④　
解析：①中对四个饲养房抽取的白鼠平均分，但由于各饲养房所养
数量不一，反而造成了每个个体入选的可能性不相等，是错误的方
法；②中保证了每个个体入选的可能性相等，但由于没有注意到处
在四个不同环境会产生不同差异，不如采用分层抽样可靠性高，且
统一编号、统一选择加大了工作量；③中总体采用了分层抽样，但
在每个层次中抽取时有一定的主观性，貌似随机，实则每个个体被
抽到的可能性无法保证相等.
题型二 分层抽样的计算
角度1　求各层中样本抽取的量
【例2】　（1）某市有大型超市200家，中型超市400家，小型超市1
400家.为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样的方法抽取一个容
量为100的样本，则应抽取中型超市 家；
解析： 根据题意，可得抽样比为 ＝ ，故应
抽取中型超市400× ＝20（家）.
20　
（2）某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中
年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工的身体状况，现
采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32
人，则该样本中的老年职工人数为 .
解析： 设该单位老年职工人数为 x ，由题意得3 x ＝430－
160，解得 x ＝90.则样本中的老年职工人数为90× ＝18.
18　
角度2　求总体容量
【例3】　交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新
法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查，假设
四个社区驾驶员的总人数为 N ，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、
乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这
四个社区驾驶员的总人数 N 为（　　）
A. 101 B. 808
C. 1 212 D. 2 012
解析： 　因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的
人数为12，所以四个社区抽取驾驶员的比例为 ＝ ，所以驾驶员的
总人数为（12＋21＋25＋43）÷ ＝808.
通性通法
分层抽样中每层抽取的个体数的确定方法
（1）已知总体容量、样本容量及各层的个体数时，首先确定抽样比
，其中 N 为总体容量， n 为样本容量；然后确定每层抽取的个
体的个数 ni ＝ Ni × ，其中 Ni 为第 i （ i ＝1，2，…， k ）层的个
体数， ni 为第 i 层应抽取的个体数；
（2）已知各层个体数之比为 m1∶ m2∶…∶ mk ，样本容量为 n 时，每
层抽取的个体数为 ni ＝ n × （ i ＝1，2，…，
k ）.
【跟踪训练】
1. 某校高一、高二、高三的学生人数分别为800，750，650，为了解
学生的视力情况，现用分层抽样的方法从中抽取部分学生进行调
查，若样本中高二学生的人数为30，则这次调查的样本容量为
（　　）
A. 88 B. 90
C. 92 D. 94
解析： 　设样本容量为 x ，则 ＝ ，解得 x ＝88.故
选A.
2. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为
100，200，150，50件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从
以上所有产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽
取 件.
解析：由题意，甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为
100，200，150，50件，用分层抽样的方法从以上所有产品中抽取
60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取个数为
×60＝18件.
18　
题型三 分层抽样的方案设计
【例4】　一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至
49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工
与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工
年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？
解：因为职工年龄与这项指标有关，故采用分层抽样.
步骤如下：（1）分层：按年龄将职工分成三层：不到35岁的职工；
35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工.
（2）确定每层抽取个体的个数：抽样比为 ＝ ，则在不到35岁的
职工中抽125× ＝25（人）；
在35岁至49岁的职工中抽280× ＝56（人）；
在50岁及50岁以上的职工中抽95× ＝19（人）.
（3）在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本.
（4）综合每层抽样，组成样本.
【母题探究】
（变设问）本例条件不变，若要从中抽取200名职工作为样本，则各
年龄段依次抽取多少人？
解：按 ＝ 的比例抽样，所以依次抽取125× ＝50（人），280×
＝112（人），95× ＝38（人）.
通性通法
分层抽样的步骤
【跟踪训练】
有以下二个案例.
案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋分别检测三聚氰
按的含量.
案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中
级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其他人员120人，从中
抽取容量为40的样本，了解他们的收入情况.
（1）你认为这些案例采用怎样的抽样方式较为合适？
解： 案例一用简单随机抽样，案例二用分层随机抽样.
（2）在你使用分层随机抽样的案例中写出抽样过程.
解： ①将总体分为具有高级职称、中级职称、初级职称的
人员及其他人员四层；
②确定抽样比 q ＝ ＝ ；
③按抽样比确定各层应分别抽取的人数为8，16，10，6；
④按简单随机抽样的方法在各层确定相应的样本；
⑤将各层汇总，构成一个容量为40的样本.
1. 某大学工程学院共有本科生1 200人、硕士生400人、博士生200
人，要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为180的样本，则应抽
取博士生的人数为（　　）
A. 20 B. 25
C. 40 D. 50
解析： 　因为学院共有本科生1 200人、硕士生400人、博士生200
人，所以应抽取博士生的人数为 ×180＝20.故选A.
2. （多选）某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个
班，每班45人.甲就读于高一，乙就读于高二，学校计划从这两个
年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的有（　　）
A. 应该采用分层抽样法抽取
B. 高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C. 乙被抽到的可能性比甲大
D. 该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力
解析： 　易知应采用分层抽样法抽取，A正确；由题意可得高
一年级的人数为20×50＝1 000，高二年级的人数为30×45＝1
350，则高一年级应抽取的人数为235× ＝100，高二年
级应抽取的人数为235－100＝135，所以高一、高二年级应分别抽
取100人和135人，故B正确；乙被抽到的可能性与甲一样大，故C
错误；该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力，故D
正确.故选A、B、D.
3. 某车间生产 A ， B ， C 三种不同型号的产品，产量之比分别为5∶
k ∶3，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法抽取一个容量为
120的样本进行检验，已知 B 种型号的产品共抽取了24件，则 C 种
型号的产品抽取的件数为 .
解析：由题意，得 ＝ ，所以 k ＝2，所以 C 种型号的产品
抽取的件数为120× ＝36.
36　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 立德中学高一年级共有学生640人，其中男生300人，现采用分层抽
样的方法调查学生的身高情况，在抽取的样本中，男生有30人，那
么该样本中女生的人数为（　　）
A. 30 B. 34
C. 60 D. 64
解析： 　 ＝ 得 x ＝34，故选B.
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2. 四书五经详细记载了我国古代思想文化发展史上政治、军事、外
交、文化等各个方面的史实资料，在中国的传统文化的诸多文学作
品中，占据相当重要的位置.某学校古典研读社的学生为了了解现
在高一年级1 040名学生（其中女生480名）对四书五经的研读情
况，进行了一次问卷调查.用分层随机抽样的方法从高一年级学生
中抽取了一个容量为 n 的样本，已知抽到男生70人，则样本容量 n
为（　　）
A. 60 B. 90
C. 130 D. 150
解析： 　由题意得 ＝ ，解得 n ＝130.
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3. 第24届冬奥会于2022年02月04日～2022年02月20日在我国北京市和
张家口市联合举行.为了解某校中小学生对冬奥会参赛项目的熟知
程度，从该校3 000名学生中，利用分层抽样的方法抽取100人进行
调查，若小学、初中、高中的学生人数如下表：
小学生 初中生 高中生
1 200 1 050 a
则从高中生中应抽取的人数为（　　）
A. 25 B. 30
C. 35 D. 40
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解析： 　∵高中生人数为3 000－1 200－1 050＝750，∴从高中生
中应抽取的人数为750× ＝25.故选A.
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4. 某学校高二年级选择“史政地”，“史政生”和“史地生”组合的
同学人数分别为210，90和60.现采用分层抽样的方法选出12位同学
进行一项调查研究，则“史政生”组合中选出的同学人数为（　）
A. 7 B. 6
C. 3 D. 2
解析： 　由条件可知，“史政生”组合中选出的同学人数为12×
＝3.故选C.
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5. （多选）某运动队由足球运动员18人，篮球运动员12人，乒乓球运
动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容
量为 n 的样本，若采用分层抽样的方法，且不用删除个体，则样本
量 n 的取值不可能是（　　）
A. 5 B. 6
C. 20 D. 24
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解析： 　因为运动队有足球运动员18人，篮球运动员12人，乒
乓球运动员6人，所以当样本容量为 n 时，分层抽样的抽样比为
，则足球运动员为 ×18＝ 人，篮球运动员为 ×12＝ 人，
乒乓球运动员为 ×6＝ 人，所以 n 是6的整数倍，故选A、C.
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6. 某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8～10岁，11～12
岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，
180份，240份， x 份.因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层
抽取容量为300的样本，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则
在15～16岁学生中抽取的问卷份数为 .
解析：由题意可得 ＝ ，解得 x ＝360，故在15～16
岁学生中抽取的问卷份数为360× ＝120.
120　
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7. 为了解某校1 200名高一学生的身高状况，按性别比例采用分层抽
样的方法从中抽取50人进行调查，若样本中男生比女生多10人，则
该校高一学生中女生的人数为 .
解析：由抽取样本50人中，男生比女生多10人，可得样本中男生30
人，女生20人，男女生比例为3∶2，所以该校高一学生中女生的人
数为1 200× ＝480.
480　
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8. 某企业三月中旬生产 A ， B ， C 三种产品共3 000件，根据分层抽样
的结果，该企业统计员制作了如下的统计表：
由于不小心，表格中 A ， C 产品的有关数据已被污染，导致看不清
楚，统计员记得 A 产品的样本容量比 C 产品的样本容量多10，则 C
产品的数量是 件.
800　
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解析：设 C 产品的数量为 x 件，则 A 产品的数量为3 000－1 300－ x
＝（1 700－ x ）件.设 C 产品的样本容量为 a ，则 A 产品的样本容量
为10＋ a ，由分层抽样的定义可知 ＝ ＝ ，解得 x ＝
800.
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9. 某网站针对“2024年法定节假日调休安排”提出的 A ， B ， C 三种
放假方案进行了问卷调查，调查结果如下：
支持 A 方案 支持 B 方案 支持 C
方案
35岁以下的人数 200 400 800
35岁以上（含 35岁）的人数 100 100 400
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（1）从所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取 n 人，已知
从支持 A 方案的人中抽取了6人，求 n 的值；
解： 由题意得
＝ ，
解得 n ＝40.
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（2）从支持 B 方案的人中，用分层抽样的方法抽取5人，这5人
中在35岁以上（含35岁）的人数是多少？35岁以下的人数
是多少？
解： 35岁以下的人数为 ×400＝4，
35岁以上（含35岁）的人数为5－4＝1.
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10. 甲、乙、丙、丁四所学校分别有150，120，180，150名高二学生
参加某次数学调研测试.为了解学生能力水平，需从这600名学生
中抽取一个容量为100的样本作卷面分析，记这项调查为①；在丙
校有30名数学培优生，需要从中抽取5名学生进行失分分析，记这
项调查为②.完成这两项调查宜采用的抽样方法依次是（　　）
A. 分层抽样法、分层抽样法
B. 分层抽样法、抽签法
C. 抽签法、分层抽样法
D. 随机数表法、分层抽样法
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解析： 　对于①，四所学校，学生有差异，故①使用分层抽
样；对于②，在同一所学校，且人数较少，使用的是抽签法.
故选B.
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11. 某学校在校学生有2 000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑
步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高
二、高三年级参加跑步的人数分别为 a ， b ， c ，且 a ∶ b ∶ c ＝
2∶5∶3，全校参加登山的人数占总人数的 .为了了解学生对本
次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的
样本进行调查，则应从高三年级参加跑步的学生中抽取人数
为 .
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解析：由题意，参加跑步的总人数为2 000× ＝1 500人，
样本中抽取跑步的人数为 ×1 500＝150人，又高一、高二、
高三年级参加跑步的人数分别为 a ， b ， c ，且 a ∶ b ∶ c ＝
2∶5∶3，所以样本中抽取的高三的人数为150× ＝45.
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12. 某市化工厂三个车间共有工人1 000名，各车间男、女工人数
如下表：
第一车间 第二车间 第三车间
女工 173 100 y
男工 177 x z
已知在全厂工人中随机抽取20名，这20名工人中恰好有3名是第二
车间的男工.
（1）求 x 的值；
解： 由 ＝ ，得 x ＝150.
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（2）现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，则应在第三车间
抽取多少名工人？
解： 因为第一车间的工人数是173＋177＝350，第二车
间的工人数是100＋150＝250，所以第三车间的工人数是1
000－350－250＝400.
设应从第三车间抽取 m 名工人，则由 ＝ ，得 m ＝
20.
所以应在第三车间抽取20名工人.
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13. 某学校老师中，O型血有36人，A型血有24人，B型血有12人，现
需要从这些老师中抽取一个容量为 n 的样本.如果采用分层抽样方
法抽取，不用剔除个体；如果样本容量减少一个，则在总体中随
机剔除2个个体才能被该样本容量整除，则样本容量 n 为（　　）
A. 12 B. 8
C. 6 D. 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析： 　因为采用分层抽样方法抽取，不用剔除个体；所以样
本容量 n 为36，24，12的公约数，因为36∶24∶12＝3∶2∶1，所
以样本容量 n 为3＋2＋1＝6的倍数，因此舍去B、D；因为如果样
本容量 n 减少一个，则在总体中随机剔除2个个体则72－2＝70，
其约数加1才为样本容量 n ，因此选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
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14. 为了对某课题进行研究，分别从 A ， B ， C 三所高校中用分层抽
样法抽取若干名教授组成研究小组，其中高校 A 有 m 名教授，高
校 B 有72名教授，高校 C 有 n 名教授（其中0＜ m ≤72≤ n ）.
（1）若 A ， B 两所高校中共抽取3名教授， B ， C 两所高校中共抽
取5名教授，求 m ， n ；
解： 因为0＜ m ≤72≤ n ， A ， B 两所高校中共抽取3名
教授， B ， C 两所高校中共抽取5名教授，所以 B 高校中抽
取2人， A 高校中抽取1人， C 高校中抽取3人，所以 ＝
＝ ，解得 m ＝36， n ＝108.
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（2）若高校 B 中抽取的教授数是高校 A 和 C 中抽取的教授总数的
，求三所高校的教授的总人数.
解： 因为高校 B 中抽取的教授数是高校 A 和 C 中抽取
的教授总数的 ，
所以 （ m ＋ n ）＝72，解得 m ＋ n ＝108，
所以三所高校的教授的总人数为 m ＋ n ＋72＝180.
1
2
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谢 谢 观 看！第2课时　分层抽样
1.立德中学高一年级共有学生640人，其中男生300人，现采用分层抽样的方法调查学生的身高情况，在抽取的样本中，男生有30人，那么该样本中女生的人数为（　　）
A.30　 　B.34　 　C.60　 　D.64
2.四书五经详细记载了我国古代思想文化发展史上政治、军事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国的传统文化的诸多文学作品中，占据相当重要的位置.某学校古典研读社的学生为了了解现在高一年级1 040名学生（其中女生480名）对四书五经的研读情况，进行了一次问卷调查.用分层随机抽样的方法从高一年级学生中抽取了一个容量为n的样本，已知抽到男生70人，则样本容量n为（　　）
A.60 B.90 C.130 D.150
3.第24届冬奥会于2022年02月04日～2022年02月20日在我国北京市和张家口市联合举行.为了解某校中小学生对冬奥会参赛项目的熟知程度，从该校3 000名学生中，利用分层抽样的方法抽取100人进行调查，若小学、初中、高中的学生人数如下表：
小学生 初中生 高中生
1 200 1 050 a
则从高中生中应抽取的人数为（　　）
A.25 B.30
C.35 D.40
4.某学校高二年级选择“史政地”，“史政生”和“史地生”组合的同学人数分别为210，90和60.现采用分层抽样的方法选出12位同学进行一项调查研究，则“史政生”组合中选出的同学人数为（　　）
A.7 B.6
C.3 D.2
5.（多选）某运动队由足球运动员18人，篮球运动员12人，乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若采用分层抽样的方法，且不用删除个体，则样本量n的取值不可能是（　　）
A.5 B.6
C.20 D.24
6.某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x份.因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则在15～16岁学生中抽取的问卷份数为　　　　.
7.为了解某校1 200名高一学生的身高状况，按性别比例采用分层抽样的方法从中抽取50人进行调查，若样本中男生比女生多10人，则该校高一学生中女生的人数为　　　　.
8.某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表：
由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染，导致看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，则C产品的数量是　　　　件.
9.某网站针对“2024年法定节假日调休安排”提出的A，B，C三种放假方案进行了问卷调查，调查结果如下：
支持 A方案 支持 B方案 支持 C方案
35岁以下的人数 200 400 800
35岁以上（含 35岁）的人数 100 100 400
（1）从所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，求n的值；
（2）从支持B方案的人中，用分层抽样的方法抽取5人，这5人中在35岁以上（含35岁）的人数是多少？35岁以下的人数是多少？
10.甲、乙、丙、丁四所学校分别有150，120，180，150名高二学生参加某次数学调研测试.为了解学生能力水平，需从这600名学生中抽取一个容量为100的样本作卷面分析，记这项调查为①；在丙校有30名数学培优生，需要从中抽取5名学生进行失分分析，记这项调查为②.完成这两项调查宜采用的抽样方法依次是（　　）
A.分层抽样法、分层抽样法
B.分层抽样法、抽签法
C.抽签法、分层抽样法
D.随机数表法、分层抽样法
11.某学校在校学生有2 000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a，b，c，且a∶b∶c＝2∶5∶3，全校参加登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则应从高三年级参加跑步的学生中抽取人数为　　　　.
12.某市化工厂三个车间共有工人1 000名，各车间男、女工人数如下表：
第一车间 第二车间 第三车间
女工 173 100 y
男工 177 x z
已知在全厂工人中随机抽取20名，这20名工人中恰好有3名是第二车间的男工.
（1）求x的值；
（2）现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，则应在第三车间抽取多少名工人？
13.某学校老师中，O型血有36人，A型血有24人，B型血有12人，现需要从这些老师中抽取一个容量为n的样本.如果采用分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量减少一个，则在总体中随机剔除2个个体才能被该样本容量整除，则样本容量n为（　　）
A.12 B.8 C.6 D.4
14.为了对某课题进行研究，分别从A，B，C三所高校中用分层抽样法抽取若干名教授组成研究小组，其中高校A有m名教授，高校B有72名教授，高校C有n名教授（其中0＜m≤72≤n）.
（1）若A，B两所高校中共抽取3名教授，B，C两所高校中共抽取5名教授，求m，n；
（2）若高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总数的，求三所高校的教授的总人数.
第2课时　分层抽样
1.B　＝得x＝34，故选B.
2.C　由题意得＝，解得n＝130.
3.A　∵高中生人数为3 000－1 200－1 050＝750，∴从高中生中应抽取的人数为750×＝25.故选A.
4.C　由条件可知，“史政生”组合中选出的同学人数为12×＝3.故选C.
5.AC　因为运动队有足球运动员18人，篮球运动员12人，乒乓球运动员6人，所以当样本容量为n时，分层抽样的抽样比为，则足球运动员为×18＝人，篮球运动员为×12＝人，乒乓球运动员为×6＝人，所以n是6的整数倍，故选A、C.
6.120　解析：由题意可得＝，解得x＝360，故在15～16岁学生中抽取的问卷份数为360×＝120.
7.480　解析：由抽取样本50人中，男生比女生多10人，可得样本中男生30人，女生20人，男女生比例为3∶2，所以该校高一学生中女生的人数为1 200×＝480.
8.800　解析：设C产品的数量为x件，则A产品的数量为3 000－1 300－x＝（1 700－x）件.设C产品的样本容量为a，则A产品的样本容量为10＋a，由分层抽样的定义可知＝＝，解得x＝800.
9.解：（1）由题意得＝，
解得n＝40.
（2）35岁以下的人数为×400＝4，
35岁以上（含35岁）的人数为5－4＝1.
10.B　对于①，四所学校，学生有差异，故①使用分层抽样；对于②，在同一所学校，且人数较少，使用的是抽签法.故选B.
11.45　解析：由题意，参加跑步的总人数为2 000×＝1 500人，样本中抽取跑步的人数为×1 500＝150人，又高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a，b，c，且a∶b∶c＝2∶5∶3，所以样本中抽取的高三的人数为150×＝45.
12.解：（1）由＝，得x＝150.
（2）因为第一车间的工人数是173＋177＝350，第二车间的工人数是100＋150＝250，所以第三车间的工人数是1 000－350－250＝400.
设应从第三车间抽取m名工人，则由＝，得m＝20.
所以应在第三车间抽取20名工人.
13.C　因为采用分层抽样方法抽取，不用剔除个体；所以样本容量n为36，24，12的公约数，因为36∶24∶12＝3∶2∶1，所以样本容量n为3＋2＋1＝6的倍数，因此舍去B、D；因为如果样本容量n减少一个，则在总体中随机剔除2个个体则72－2＝70，其约数加1才为样本容量n，因此选C.
14.解：（1）因为0＜m≤72≤n，A，B两所高校中共抽取3名教授，B，C两所高校中共抽取5名教授，所以B高校中抽取2人，A高校中抽取1人，C高校中抽取3人，所以＝＝，解得m＝36，n＝108.
（2）因为高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总数的，
所以（m＋n）＝72，解得m＋n＝108，
所以三所高校的教授的总人数为m＋n＋72＝180.
3 / 3第2课时　分层抽样
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，了解分层抽样的特点和适用范围，了解分层抽样的必要性 数学抽象、数据分析
2.掌握各层样本量比例分配的方法，利用分层抽样的方法解决实际问题 数据分析、数学建模
　　为了考察某校的教学水平，将对这个学校高三年级部分学生的本学年考试成绩进行考察，为了全面地反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查（已知该校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同）.
（1）从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20人，考察他们的学习成绩；
（2）每个班都抽取1人，共计20人，考察这20个学生的成绩；
（3）把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从其中共抽取100名学生进行考察（已知若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有150名，良好学生有600名，普通学生有250名）.
【问题】　（1）上面三种抽取方式中各采用的是何种抽取样本的方法？
（2）方式三中按照各种事先划定的分数段分层确定优秀生、良好生、普通生的人数，再按各层抽取有什么好处？
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　分层抽样
一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有　　　　　　的、　　　　　　的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按　　　　　　　　　　进行随机抽样的方法称为分层抽样（简称为分层抽样）.
提醒　（1）分层抽样如何分层要视具体情况而定，总的原则是每层内样本的差异要尽可能小，而层与层之间的差异要尽可能大，且互不重叠，否则将失去分层的意义；（2）所有层都按同一抽样比等可能抽取，以保证每个个体被等可能抽取；（3）根据实际情况，可对每层所抽取的数目进行适当的细微调整.
【想一想】
1.适合分层抽样的总体具备什么特征？
2.如何理解“层在总体中所占比例”？
1.分层抽样适合的总体是（　　）
A.总体容量较多
B.样本量较多
C.总体中个体有差异
D.任何总体
2.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生.为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，则应在丙专业抽取的学生人数为　　　　.
题型一 分层抽样的概念
【例1】　（1）下列各项中属于分层抽样的特点的是（　　）
A.从总体中逐个抽取
B.将总体分成几层，分层进行抽取
C.将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取
D.将总体随意分成几部分，然后进行随机抽取
（2）下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是（　　）
A.从10名同学中抽取3人参加座谈会
B.一次数学竞赛中，某班有10人在110分以上，40人在90～100分，12人低于90分，现从中抽取12人了解有关情况
C.从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间
D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
尝试解答
通性通法
1.使用分层抽样的前提
分层抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小.
2.使用分层抽样应遵循的原则
（1）将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；
（2）分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比.
【跟踪训练】
1.某地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大，为了解该地区中小学生的视力情况，最合理的抽样方法是（　　）
A.简单随机抽样　　　B.按性别分层抽样
C.按学段分层抽样 D.其他抽样方法
2.某学院有四个饲养房，分别养有18，54，24，48只白鼠供试验用.某项试验需抽取24只，为使实验尽可能真实，你认为最合适的抽样方法为　　　　.
①在每个饲养房各抽取6只；
②把所有白鼠都加上编有不同号码的颈圈，用随机抽样法确定24只；
③在四个饲养房分别随手提出3，9，4，8只；
④先确定在这四个饲养房应分别抽取3，9，4，8只，再由各饲养房自己加号码颈圈，用简单随机抽样法确定各自抽取的对象.
题型二 分层抽样的计算
角度1　求各层中样本抽取的量
【例2】　（1）某市有大型超市200家，中型超市400家，小型超市1 400家.为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，则应抽取中型超市　　　　家；
（2）某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为　　　　.
尝试解答
角度2　求总体容量
【例3】　交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（　　）
A.101　　　　　　　B.808
C.1 212 D.2 012
尝试解答
通性通法
分层抽样中每层抽取的个体数的确定方法
（1）已知总体容量、样本容量及各层的个体数时，首先确定抽样比，其中N为总体容量，n为样本容量；然后确定每层抽取的个体的个数ni＝Ni×，其中Ni为第i（i＝1，2，…，k）层的个体数，ni为第i层应抽取的个体数；
（2）已知各层个体数之比为m1∶m2∶…∶mk，样本容量为n时，每层抽取的个体数为ni＝n×（i＝1，2，…，k）.
【跟踪训练】
1.某校高一、高二、高三的学生人数分别为800，750，650，为了解学生的视力情况，现用分层抽样的方法从中抽取部分学生进行调查，若样本中高二学生的人数为30，则这次调查的样本容量为（　　）
A.88 B.90
C.92 D.94
2.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为100，200，150，50件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取　　　　件.
题型三 分层抽样的方案设计
【例4】　一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？
尝试解答
【母题探究】
（变设问）本例条件不变，若要从中抽取200名职工作为样本，则各年龄段依次抽取多少人？
通性通法
分层抽样的步骤
【跟踪训练】
有以下二个案例.
案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋分别检测三聚氰按的含量.
案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其他人员120人，从中抽取容量为40的样本，了解他们的收入情况.
（1）你认为这些案例采用怎样的抽样方式较为合适？
（2）在你使用分层随机抽样的案例中写出抽样过程.
1.某大学工程学院共有本科生1 200人、硕士生400人、博士生200人，要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为180的样本，则应抽取博士生的人数为（　　）
A.20　　　B.25　　　C.40　　　D.50
2.（多选）某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人.甲就读于高一，乙就读于高二，学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的有（　　）
A.应该采用分层抽样法抽取
B.高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C.乙被抽到的可能性比甲大
D.该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力
3.某车间生产A，B，C三种不同型号的产品，产量之比分别为5∶k∶3，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本进行检验，已知B种型号的产品共抽取了24件，则C种型号的产品抽取的件数为　　　　.
第2课时　分层抽样
【基础知识·重落实】
知识点
明显差别　互不重叠　层在总体中所占比例
想一想
1.提示：总体由差异明显的几部分组成.
2.提示：从N个个体中抽取n个个体，若将总体分为A，B，C三层，含有的个体数目分别是x，y，z，在A，B，C三层应抽取的个体数目分别是a，b，c，那么＝＝＝.
自我诊断
1.C　当总体中个体有差异，采用分层抽样.故选C.
2.16　解析：设应在丙专业抽取的学生人数为x，则＝，即＝，解得x＝16 .
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）B　（2）B　解析：（1）A属于简单随机抽样的特点，B属于分层抽样的特点，C，D不属于分层抽样方法，所以应选B.
（2）A中总体个体无明显差异，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异，不适合用分层抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样.
跟踪训练
1.C　因为小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，男、女生视力情况差异不大，则应按学段分层抽样，故选C.
2.④　解析：①中对四个饲养房抽取的白鼠平均分，但由于各饲养房所养数量不一，反而造成了每个个体入选的可能性不相等，是错误的方法；②中保证了每个个体入选的可能性相等，但由于没有注意到处在四个不同环境会产生不同差异，不如采用分层抽样可靠性高，且统一编号、统一选择加大了工作量；③中总体采用了分层抽样，但在每个层次中抽取时有一定的主观性，貌似随机，实则每个个体被抽到的可能性无法保证相等.
【例2】　（1）20　（2）18　解析：（1）根据题意，可得抽样比为＝，故应抽取中型超市400×＝20（家）.
（2）设该单位老年职工人数为x，由题意得3x＝430－160，解得x＝90.则样本中的老年职工人数为90×＝18.
【例3】　B　因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12，所以四个社区抽取驾驶员的比例为＝，所以驾驶员的总人数为（12＋21＋25＋43）÷＝808.
跟踪训练
1.A　设样本容量为x，则＝，解得x＝88.故选A.
2.18　解析：由题意，甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为100，200，150，50件，用分层抽样的方法从以上所有产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取个数为×60＝18件.
【例4】　解：因为职工年龄与这项指标有关，故采用分层抽样.
步骤如下：（1）分层：按年龄将职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工.
（2）确定每层抽取个体的个数：抽样比为＝，则在不到35岁的职工中抽125×＝25（人）；
在35岁至49岁的职工中抽280×＝56（人）；
在50岁及50岁以上的职工中抽95×＝19（人）.
（3）在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本.
（4）综合每层抽样，组成样本.
母题探究
　解：按＝的比例抽样，所以依次抽取125×＝50（人），280×＝112（人），95×＝38（人）.
跟踪训练
　解：（1）案例一用简单随机抽样，案例二用分层随机抽样.
（2）①将总体分为具有高级职称、中级职称、初级职称的人员及其他人员四层；
②确定抽样比q＝＝；
③按抽样比确定各层应分别抽取的人数为8，16，10，6；
④按简单随机抽样的方法在各层确定相应的样本；
⑤将各层汇总，构成一个容量为40的样本.
随堂检测
1.A　因为学院共有本科生1 200人、硕士生400人、博士生200人，所以应抽取博士生的人数为×180＝20.故选A.
2.ABD　易知应采用分层抽样法抽取，A正确；由题意可得高一年级的人数为20×50＝1 000，高二年级的人数为30×45＝1 350，则高一年级应抽取的人数为235×＝100，高二年级应抽取的人数为235－100＝135，所以高一、高二年级应分别抽取100人和135人，故B正确；乙被抽到的可能性与甲一样大，故C错误；该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力，故D正确.故选A、B、D.
3.36　解析：由题意，得＝，所以k＝2，所以C种型号的产品抽取的件数为120×＝36.
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