资源简介

5.1.3　数据的直观表示
1.根据2021年《第七次全国人口普查公报》，就我国2020年每十万人中拥有的各类受教育程度的人口情况，绘制了如图所示的扇形统计图，则（　　）
A.每十万人中拥有高中（含中专）文化程度的人数最少
B.每十万人中拥有大专及以上文化程度的人数少于2万
C.每十万人中拥有小学文化程度的人数最多
D.每十万人中拥有初中和高中（含中专）文化程度的人数占比不到50%
2.某校开展“爱我母校，爱我家乡”摄影比赛，七位评委为甲、乙两名选手的作品打出的分数的茎叶图如图所示（其中m为数字0～9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有（　　）
A.a1＞a2
B.a2＞a1
C.a1＝a2
D.a1，a2的大小与m的值有关
3.某网店对今年11月11日9时到15时的销售情况进行统计，销售额频率分布直方图如图所示，已知11时到13时的销售额为5万元.则9时到11时的销售额为（　　）
A.1.5万元　　　　　 B.2万元
C.2.5万元 D.3万元
4.某校为了了解学生的睡眠情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自的睡眠时间的数据，结果用如图所示的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为　　　　h.
5.冰球是一种冰上运动项目，也是冬奥会的比赛项目之一.冰球球员身高不仅影响球杆长度，而且由于比赛过程中球员经常发生肢体上的碰撞与冲突，故选拔运动员时对球员身高有一定的要求.在一次选拔冰球运动员过程中，测得7名选手身高（单位：cm）的茎叶图如图，
已知7名选手的平均身高为178 cm，有一名选手的身高记录不清楚，其末位数字记为x，那么x的值为　　　　.
6.如图是根据某市3月1日至3月10日的最低气温（单位：℃）的情况绘制的折线统计图，试根据折线统计图反应的信息，绘制该市3月1日到10日最低气温（单位：℃）的条形统计图和扇形统计图.
7.（多选）给出如图所示的三幅图：
则下列说法中，正确的有（　　）
A.从折线图能看出世界人口的变化情况
B.2050年非洲人口将达到大约15亿
C.2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多
D.从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢
8.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图（如图①）、90后从事互联网行业岗位分布条形图（如图②），则下列结论中不一定正确的是（　　）
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980～1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.
A.互联网行业从业人员中90后占一半以上
B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
9.某车站在春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了100名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间t（以下简称为购票用时，单位为min），下面是这次调查统计分析得到的频率分布表和频率分布直方图：
分组 频数 频率
一组 0≤t＜5 0 0
二组 5≤t＜10 10 0.10
三组 10≤t＜15 10 ②
四组 15≤t＜20 ① 0.50
五组 20≤t≤25 30 0.30
合计 0≤t≤25 100 1.00
解答下列问题：
（1）这次抽样的样本容量是多少；
（2）在表中填写出缺失的数据并补全频率分布直方图；
（3）旅客购票用时的平均数可能落在哪一组？
5.1.3　数据的直观表示
1.B　对于A，每十万人中其他文化程度的人数最少，占比为10%，错误；对于B，每十万人中拥有大专及以上文化程度的人数为10×15%＝1.5万，正确；对于C，每十万人中拥有初中文化程度的人数最多，占比为35%，错误；对于D，每十万人中拥有初中和高中（含中专）文化程度的人数占比为50%，错误.故选B.
2.B　由题意知去掉一个最高分和一个最低分以后，两组数据都有五个数据，代入数据可以求得甲和乙的平均分：a1＝＋80＝84，a2＝＋80＝85，故有a2＞a1.故选B.
3.B　11时到13时的销售额为5万元，频率为（0.2＋0.3）×1＝0.5，10时到11时的频率为1－0.05×1－0.2×1－0.3×1－0.25×1－0.05×1＝0.15，9时到11时的频率为（0.05＋0.15）×1＝0.2，所以9时到11时的销售额为×5＝2万元.故选B.
4.6.4　解析：法一　要确定这50名学生的平均睡眠时间，就必须计算其总睡眠时间.总睡眠时间为5.5×0.1×50＋6×0.3×50＋6.5×0.4×50＋7×0.1×50＋7.5×0.1×50＝27.5＋90＋130＋35＋37.5＝320（h）.故平均睡眠时间为320÷50＝6.4（h）.
法二　根据图形得平均每人的睡眠时间为5.5×0.1＋6×0.3＋6.5×0.4＋7×0.1＋7.5×0.1＝6.4（h）.
5.3　解析：设记录不清楚的选手的身高为a，则由平均数公式＝178，得a＝173，所以x＝3.
6.解：该城市3月1日至10日的最低气温（单位：℃）情况如下表：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
最低气温 －3 －2 0 －1 1 2 0 －1 2 2
条形统计图如图所示.
扇形统计图如图所示.
7.AC　从折线图能看出世界人口的变化情况，故A正确；从柱形图中可得到：2050年非洲人口大约将达到17亿，故B错误；从扇形图中能够明显地得到结论：2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故C正确；由题中三幅图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故D错误.故选A、C.
8.D　由题图可知，互联网行业从业人员中90后占总人数的56%，超过一半，A正确；互联网行业从业人员中90后从事技术岗位的人数占总人数的56%×39.6%＝22.176%，超过20%，所以互联网行业从业人员（包括90后、80后、80前）从事技术岗位的人数超过总人数的20%，B正确；互联网行业从业人员中90后从事运营岗位的人数占总人数的56%×17%＝9.52%，超过80前的人数占总人数的比例，C正确；互联网行业从业人员中90后从事技术岗位的人数占总人数的56%×39.6%＝22.176%，小于80后的人数占总人数的比例，但80后从事技术岗位的比例未知，D不一定正确.
9.解：（1）样本容量是100.
（2）①50　②0.10，所补频率分布直方图如图中阴影部分所示：
（3）设旅客平均购票用时为t min，则有
≤t＜
，
即15≤t＜20.所以旅客购票用时的平均数可能落在第四组.
3 / 35.1.3　数据的直观表示
新课程标准解读 核心素养
能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性 直观想象、数据分析
　　美国历届总统中，就任时年纪最小的是罗斯福，他于1901年就任，当时年仅42岁；就任时年纪最大的是拜登，拜登于2021年1月20日就任总统，年龄是79岁.下面按时间顺序（从1789年的华盛顿到2021年的拜登，共46任）给出了历届美国总统就任时的年龄：
57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48，71，79.
【问题】　（1）上述46个数据中最大值与最小值的差是多少？
（2）在初中我们用什么图形将各组中的数据形象地在直角坐标系中表示出来？
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　数据的直观表示
1.柱形图（也称为条形图）
作用 形象地比较各种数据之间的数量关系
特征 （1）一条轴上显示的是所关注的数据　　　　，另一条轴上对应的是　　 　、　　　　或者　　　　； （2）每一矩形都是　　　
2.折线图
作用 形象地表示数据的变化趋势
特征 一条轴上显示的通常是　　　　，另一条轴上是对应的　　　　
3.扇形图（也称为饼图、饼形图）
作用 形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的　　　
特征 每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成　　　
4.茎叶图
作用 （1）如果每一行的数都是按从大到小（或从小到大）顺序排列，则从中可以方便地看出这组数的　　　　、　　　　等数字特征； （2）可以看出一组数的分布情况，可能得到一些额外的信息； （3）比较两组数据的集中或分散程度
特征 所有的茎都竖直排列，而叶沿水平方向排列
5.画频数分布直方图与频率分布直方图的步骤
（1）找出最值，计算极差；
（2）合理分组，确定区间；
（3）整理数据；
（4）作出有关图示：
频数分布直方图 纵坐标是　　　　，每一组数对应的矩形的高度与频数成正比
频率分布直方图 纵坐标是　　　　，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，所有矩形的面积之和为　　
6.频数分布折线图和频率分布折线图
把频数分布直方图和频率分布直方图中每个矩形上面一边的　　　　用线段连接起来，且画成与横轴相交.
【想一想】
1.重复的数据在茎叶图中是如何表示的？
2.你认为茎叶图有哪些优点？
3.频数分布直方图与频率分布直方图有什么不同？
1.观察如图所示的统计图，下列结论正确的是（　　）
A.甲校女生比乙校女生多
B.乙校男生比甲校男生少
C.乙校女生比甲校男生少
D.甲、乙两校女生人数无法比较
2.下列关于茎叶图的叙述正确的是（　　）
A.将数组的数按位数进行比较，将数大小基本不变或变化不大的位作为一个主杆（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶），列在主杆的后面
B.茎叶图只可以分析单组数据，不能对两组数据进行比较
C.茎叶图更不能表示三位数以上的数据
D.画图时茎要按照从小到大的顺序从下向上列出，共茎的叶可随意同行列出
3.甲、乙两个城市2022年4月中旬，每天的最高气温统计图如图所示，这9天里，气温比较稳定的城市是　　　　.
题型一 柱形图、折线图、扇形图的应用
【例1】　每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民，并根据调查结果绘制了尚不完整的统计图（如图）.
治理杨絮——您选哪一项？（单选）
a.减少杨树新增面积，控制杨树每年的栽种量
b.调整树种结构，逐渐更换现有杨树
c.选育无絮杨品种，并推广种植
d.对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮
e.其他
由两个统计图可以求得，选择d选项的人数和扇形统计图中e的圆心角度数分别为（　　）
A.500，28.8°　　　　B.250，28.6°
C.500，28.6° D.250，28.8°
尝试解答
通性通法
1.扇形图的特点
（1）用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比；
（2）易于显示每组数据相对于总数的大小.
2.条形图的特点
（1）条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目；
（2）易于比较数据之间的差别.
3.折线图的特点
（1）能清楚地反映事物的变化情况；
（2）显示数据变化趋势.
【跟踪训练】
　人口问题始终是我国面临的全局性、长期性、战略性问题，通过人口普查查清我国人口数量、结构、素质、分布等方面情况，为推动高质量发展提供准确、有力的统计信息支持.自新中国成立以来，我国已进行了7次人口普查，如图是7次人口普查男性、女性人数及具有大学文化的人数占比的统计图.据统计图中的信息，下列四个推断中不正确的是（　　）
A.1964年至1982年间人口平均增长率最大
B.1964年后，全国总人口增长速度逐步放缓
C.具有大学文化的人数占比的增幅逐步增大
D.男性人数与女性人数的差值逐步减小
题型二 茎叶图及其应用
【例2】　在每年的春节后，某市政府都会发动公务员参加植树活动，林业部门在植树前，为了保证树苗的质量，将在植树前对树苗进行检测，现从同一种树的甲，乙两批树苗中各抽测了10株树苗，量出它们的高度如下（单位：cm）：
甲：37，21，31，20，29，19，32，23，25，33；
乙：10，30，47，27，46，14，26，10，44，46.
（1）你能用适当的统计图表示上面的数据吗？
（2）根据你所画的统计图，对甲，乙两种树苗的高度作比较，写出两个统计结论.
尝试解答
通性通法
1.绘制茎叶图的关键是分清茎和叶，一般来说“叶”的位置只有一位数字，因此数据是两位数时，十位数字为“茎”，个位数字为“叶”；数据是小数时，通常把整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”.解题时要根据数据的特点合理地选择茎和叶.
2.用茎叶图对两组数据进行比较分析时，应从数据分布的对称性及数据主要集中在哪个茎上两个方面来进行，分析的结果需视实际情况而定.一般地，若数据大致对称，数据的集中趋势较强，则数据的稳定情况较好.
【跟踪训练】
　从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：cm），所得数据用茎叶图表示如图，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（　　）
A.甲、乙两班同学身高的极差不相等
B.甲班同学身高的平均值较大
C.甲班同学身高的中位数较大
D.甲班同学身高在175 cm以上的人数较多
题型三 频率分布直方图的绘制及应用
【例3】　某校从高一新生开学摸底测试成绩中随机抽取100人的成绩，按成绩分组并得各组频数如下（单位：分）：[40，50），4；[50，60），6；[60，70），20；[70，80），30；[80，90），24；[90，100]，16.
成绩分组 频数 频率 频率/组距
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
合计
（1）填写频率分布表；
（2）画出频率分布直方图；
（3）估计本次考试成绩的中位数（精确到0.1）.
尝试解答
通性通法
绘制频率分布直方图应注意的2个问题
（1）在绘制出频率分布表后，画频率分布直方图的关键就是确定小矩形的高.一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的，合理的定高方法是“以一个恰当的单位长度”（没有统一规定），然后以各组的“”所占的比例来定高.如此类推；
（2）数据要合理分组，组距要选取恰当，一般尽量取整，数据为30～100个左右时，应分成5～12组，在频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和为1.
【跟踪训练】
1.某市为了解全市环境治理情况，对本市的200家中小型企业的污染情况进行了摸排，并把污染情况各类指标的得分综合折算成标准分100分，统计并制成如图所示的直方图，则标准分不低于70分的企业数为（　　）
A.30　　　　　　 B.60
C.70 D.130
2.对某项活动中800名志愿者的年龄抽样统计后，得到如图所示的频率分布直方图，但是年龄在[25，30）内的数据不慎丢失，依据此图可得年龄在[25，30）内对应小长方形的高度为　　　　.
1.某校公布了该校反映各年级学生体育达标情况的两张统计图（如图），该校七、八、九三个年级共有学生800人，甲、乙、丙三个同学看了这两张统计图后，甲说：“七年级的体育达标率最高”.乙说：“八年级共有学生264人.” 丙说：“九年级的体育达标率最高.”甲、乙、丙三个同学中，说法正确的是（　　）
A.甲和乙 B.乙和丙 C.甲和丙 D.甲、乙和丙
2.对某商店一个月内每天的顾客数量进行统计，得到样本的茎叶图如图所示，则该样本的中位数、众数、极差分别是（　　）
1 2 5
2 0 2 3 3
3 1 2 4 4 8 9
4 5 5 5 7 7 8 8 9
5 0 0 1 1 4 7 9
6 1 7 8
A.46，45，56 B.46，45，53
C.47，45，56 D.45，47，53
3.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是（　　）
A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1
B.结余最高的月份是7月
C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D.前6个月的平均收入为40万元
4.从高三年级抽取50名男生测量体重，测得体重全部集中在50 kg～80 kg之间，现将测得体重按照从低到高分成六组：[50，55），[55，60），…，[75，80]，如图是频率分布直方图的一部分（缺少第四、五组的图），已知第一组和第六组的人数相同，第四组有10人，则第五组的人数为　　　　.
5.1.3　数据的直观表示
【基础知识·重落实】
知识点
1.（1）类型　数量　个数　比例　（2）等宽的　2.时间　数据
3.比例　正比　4.（1）最值　中位数　5.（4）频数　　1
6.中点
想一想
1.提示：应用茎叶图进行统计时，注意重复出现的数据要重复记录，不能遗漏.
2.提示：茎叶图能保留原始数据，并方便随时添加记录数据.
3.提示：频数分布直方图能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数，而频率分布直方图则是从各小组数据在所有数据中所占的比例大小的角度来表示数据分布的规律.
自我诊断
1.D　题图中数据只是百分比，甲、乙两个学校的学生人数不知道，因此男生、女生的具体人数也无法得知.
2.A　由茎叶图的概念易知选A.
3.甲　解析：从折线统计图中可以很清楚的看到乙城市的气温变化较大，而甲城市气温相对来说较稳定，变化基本不大.
【典型例题·精研析】
【例1】　A　设接受调查市民的总人数为x，由调查结果条形统计图可知选择a的人数为300，通过调查结果扇形统计图可知选择a的人数比例为15%，所以15%＝，解得x＝2 000，则选择d的人数为2 000×25%＝500.扇形统计图中e的圆心角度数为（1－15%－12%－40%－25%）×360°＝28.8°.
跟踪训练
　D　据统计图知，相比1964年，1982年人口普查时男、女性的总人数增加数是相邻两次普查人数增幅最大的，即1964年至1982年间人口平均增长率最大，A正确；自1964年后，从统计图呈现的人口增长趋势知，每相邻两次普查人数增加数在减小，即人口的增长率降低，全国总人口增长速度放缓，B正确；从具有大学文化的人数占比的折线图呈现的增长趋势知，具有大学文化的人数占比的增幅逐步增大，C正确；从历次人口普查时男女性人数条形图高的差可知，男女性人数的差值并未呈现逐步减小的趋势，D不正确.故选D.
【例2】　解：（1）在如图所示的茎叶图中，中间的数字表示每株树苗高度的十位数，两边的数字分别表示个位数.
（2）统计结论（写出以下任意两个即可）：
①甲批树苗比乙批树苗高度整齐；
②甲批树苗的高度大多集中在均值附近，乙批树苗的高度分布较为分散；
③甲批树苗的平均高度小于乙批树苗的平均高度；
④甲批树苗高度的中位数为27 cm，乙批树苗高度的中位数是28.5 cm.
跟踪训练
　A　甲班同学身高极差为：182－157＝25，乙班同学身高极差为：182－159＝23，即甲、乙两班同学身高的极差不相等，故A正确；甲班同学身高平均值为×（180×2＋170×3＋160×3＋150×2＋2＋1＋8＋2＋6＋5＋3＋8＋7）＝169.2，乙班同学身高平均值为×（180＋170×5＋160×3＋150＋2＋1＋2＋6＋8＋9＋2＋4＋7＋9）＝171，故乙班同学身高平均值较大，即B错误；甲班同学身高的中位数为＝168，乙班同学身高的中位数为＝171.5，故乙班同学身高的中位数较大，即C错误；甲、乙两班同学身高在175 cm以上的人数的数量分别为3和4，故D错误.故选A.
【例3】　解：（1）由题意列出频率分布表如下：
成绩分组 频数 频率 频率/组距
[40，50） 4 0.04 0.004
[50，60） 6 0.06 0.006
[60，70） 20 0.2 0.02
[70，80） 30 0.3 0.03
[80，90） 24 0.24 0.024
[90，100] 16 0.16 0.016
合计 100 1 0.1
（2）画出频率分布直方图，如图：
（3）由频率分布直方图得：[40，70）的频率为0.04＋0.06＋0.2＝0.3，[70，80）的频率为0.3，∴估计本次考试成绩的中位数为70＋×10≈76.7.
跟踪训练
1.C　根据频率分布直方图，标准分不低于70分的企业数频率为（0.01＋0.02＋0.04）×5＝0.35，故标准分不低于70分的企业数为0.35×200＝70.故选C.
2.0.04　解析：设年龄在[25，30）内对应小长方形的高度为x，则有5×（0.01＋x＋0.07＋0.06＋0.02）＝1，解得x＝0.04，所以年龄在[25，30）内对应小长方形高度为0.04.
随堂检测
1.B　由扇形统计图可以看出：八年级共有学生800×33%＝264人；七年级的达标率为×100%≈87.8%；九年级的达标率为×100%≈97.9%；八年级的达标率为×100%≈94.7%.则九年级的达标率最高，则乙、丙的说法是正确的.故选B.
2.A　由题意可知茎叶图共有30个数据，所以中位数为第15个数和第16个数的平均值，即＝46.众数是45，极差为68－12＝56.故选A.
3.D　由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由图可知，结余最高为7月份，为80－20＝60，故B正确；由图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由图可知，前6个月的平均收入为×（40＋60＋30＋30＋50＋60）＝45万元，故D错误.故选D.
4.5　解析：第一组[50，55）人数为50×0.02×5＝5（人），第二组[55，60）人数为50×0.04×5＝10（人），第三组[60，65）人数为50×0.06×5＝15（人），第四组有10人，第六组的人数和第一组相同，有5人，故第五组的人数为50－（5＋10＋15＋10＋5）＝5（人）.
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5.1.3　数据的直观表示
新课程标准解读 核心素养
能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据
进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性 直观想象、
数据分析
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　美国历届总统中，就任时年纪最小的是罗斯福，他于1901年就
任，当时年仅42岁；就任时年纪最大的是拜登，拜登于2021年1月20
日就任总统，年龄是79岁.下面按时间顺序（从1789年的华盛顿到
2021年的拜登，共46任）给出了历届美国总统就任时的年龄：
57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，
65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，
51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48，
71，79.
【问题】　（1）上述46个数据中最大值与最小值的差是多少？
（2）在初中我们用什么图形将各组中的数据形象地在直角坐标系中
表示出来？
　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　
知识点　数据的直观表示
1. 柱形图（也称为条形图）
作用 形象地比较各种数据之间的数量关系
特征 （1）一条轴上显示的是所关注的数据 ，另一条轴
上对应的是 、 或者 ；
（2）每一矩形都是
类型　
数量　
个数　
比例　
等宽的　
2. 折线图
作用 形象地表示数据的变化趋势
特征 一条轴上显示的通常是 ，另一条轴上是对应
的
3. 扇形图（也称为饼图、饼形图）
作用 形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的
特征 每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据
大小成
时间　
数据　
比例　
正比　
4. 茎叶图
作用 （1）如果每一行的数都是按从大到小（或从小到大）
顺序排列，则从中可以方便地看出这组数的
、 等数字特征；
（2）可以看出一组数的分布情况，可能得到一些额外
的信息；
（3）比较两组数据的集中或分散程度
特征 所有的茎都竖直排列，而叶沿水平方向排列
最
值　
中位数　
5. 画频数分布直方图与频率分布直方图的步骤
（1）找出最值，计算极差；
（2）合理分组，确定区间；
（3）整理数据；
（4）作出有关图示：
频数分布 直方图 纵坐标是 ，每一组数对应的矩形的高度与频
数成正比
频率分布直方
图 纵坐标是 ，每一组数对应的矩形高度与频率
成正比，每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，
所有矩形的面积之和为
频数　
　
1　
6. 频数分布折线图和频率分布折线图
把频数分布直方图和频率分布直方图中每个矩形上面一边的
用线段连接起来，且画成与横轴相交.
中
点　
【想一想】
1. 重复的数据在茎叶图中是如何表示的？
提示：应用茎叶图进行统计时，注意重复出现的数据要重复记录，
不能遗漏.
2. 你认为茎叶图有哪些优点？
提示：茎叶图能保留原始数据，并方便随时添加记录数据.
3. 频数分布直方图与频率分布直方图有什么不同？
提示：频数分布直方图能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的
个数，而频率分布直方图则是从各小组数据在所有数据中所占的比
例大小的角度来表示数据分布的规律.
1. 观察如图所示的统计图，下列结论正确的是（　　）
A. 甲校女生比乙校女生多
B. 乙校男生比甲校男生少
C. 乙校女生比甲校男生少
D. 甲、乙两校女生人数无法比较
解析： 　题图中数据只是百分比，甲、乙两个学校的学生人数不
知道，因此男生、女生的具体人数也无法得知.
2. 下列关于茎叶图的叙述正确的是（　　）
A. 将数组的数按位数进行比较，将数大小基本不变或变化不大的位
作为一个主杆（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶），列在
主杆的后面
B. 茎叶图只可以分析单组数据，不能对两组数据进行比较
C. 茎叶图更不能表示三位数以上的数据
D. 画图时茎要按照从小到大的顺序从下向上列出，共茎的叶可随意
同行列出
解析： 　由茎叶图的概念易知选A.
3. 甲、乙两个城市2022年4月中旬，每天的最高气温统计图如图所
示，这9天里，气温比较稳定的城市是 .
解析：从折线统计图中可以很清楚的看到乙城市的气温变化较大，
而甲城市气温相对来说较稳定，变化基本不大.
甲　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 柱形图、折线图、扇形图的应用
【例1】　每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播
下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成
困扰，为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查
了部分市民，并根据调查结果绘制了尚不完整的统计图（如图）.
治理杨絮——您选哪一项？（单选）
a.减少杨树新增面积，控制杨树每年的栽种量
b.调整树种结构，逐渐更换现有杨树
c.选育无絮杨品种，并推广种植
d.对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮
e.其他
由两个统计图可以求得，选择d选项的人数和扇形统计图中e的圆心角
度数分别为（　　）
A. 500，28.8° B. 250，28.6°
C. 500，28.6° D. 250，28.8°
解析： 　设接受调查市民的总人数为 x ，由调查结果条形统计图可
知选择a的人数为300，通过调查结果扇形统计图可知选择a的人数比
例为15%，所以15%＝ ，解得 x ＝2 000，则选择d的人数为2
000×25%＝500.扇形统计图中e的圆心角度数为（1－15%－12%－
40%－25%）×360°＝28.8°.
通性通法
1. 扇形图的特点
（1）用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比；
（2）易于显示每组数据相对于总数的大小.
2. 条形图的特点
（1）条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目；
（2）易于比较数据之间的差别.
3. 折线图的特点
（1）能清楚地反映事物的变化情况；
（2）显示数据变化趋势.
【跟踪训练】
　人口问题始终是我国面临的全局性、长期性、战略性问题，通过人
口普查查清我国人口数量、结构、素质、分布等方面情况，为推动高
质量发展提供准确、有力的统计信息支持.自新中国成立以来，我国
已进行了7次人口普查，如图是7次人口普查男性、女性人数及具有大
学文化的人数占比的统计图.据统计图中的信息，下列四个推断中不
正确的是（　　）
A. 1964年至1982年间人口平均增长率最大
B. 1964年后，全国总人口增长速度逐步放缓
C. 具有大学文化的人数占比的增幅逐步增大
D. 男性人数与女性人数的差值逐步减小
解析： 　据统计图知，相比1964年，1982年人口普查时男、女性的
总人数增加数是相邻两次普查人数增幅最大的，即1964年至1982年间
人口平均增长率最大，A正确；自1964年后，从统计图呈现的人口增
长趋势知，每相邻两次普查人数增加数在减小，即人口的增长率降
低，全国总人口增长速度放缓，B正确；从具有大学文化的人数占比
的折线图呈现的增长趋势知，具有大学文化的人数占比的增幅逐步增
大，C正确；从历次人口普查时男女性人数条形图高的差可知，男女
性人数的差值并未呈现逐步减小的趋势，D不正确.故选D.
题型二 茎叶图及其应用
【例2】　在每年的春节后，某市政府都会发动公务员参加植树活
动，林业部门在植树前，为了保证树苗的质量，将在植树前对树苗进
行检测，现从同一种树的甲，乙两批树苗中各抽测了10株树苗，量出
它们的高度如下（单位：cm）：
甲：37，21，31，20，29，19，32，23，25，33；
乙：10，30，47，27，46，14，26，10，44，46.
（1）你能用适当的统计图表示上面的数据吗？
解： 在如图所示的茎叶图中，中
间的数字表示每株树苗高度的十位数，
两边的数字分别表示个位数.
（2）根据你所画的统计图，对甲，乙两种树苗的高度作比较，写出
两个统计结论.
解： 统计结论（写出以下任意两个即可）：
①甲批树苗比乙批树苗高度整齐；
②甲批树苗的高度大多集中在均值附近，乙批树苗的高度分布
较为分散；
③甲批树苗的平均高度小于乙批树苗的平均高度；
④甲批树苗高度的中位数为27 cm，乙批树苗高度的中位数是
28.5 cm.
通性通法
1. 绘制茎叶图的关键是分清茎和叶，一般来说“叶”的位置只有一位
数字，因此数据是两位数时，十位数字为“茎”，个位数字为
“叶”；数据是小数时，通常把整数部分作为“茎”，小数部分作
为“叶”.解题时要根据数据的特点合理地选择茎和叶.
2. 用茎叶图对两组数据进行比较分析时，应从数据分布的对称性及数
据主要集中在哪个茎上两个方面来进行，分析的结果需视实际情况
而定.一般地，若数据大致对称，数据的集中趋势较强，则数据的
稳定情况较好.
【跟踪训练】
　从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单
位：cm），所得数据用茎叶图表示如图，由此可估计甲、乙两班同学
的身高情况，则下列结论正确的是（　　）
A. 甲、乙两班同学身高的极差不相等
B. 甲班同学身高的平均值较大
C. 甲班同学身高的中位数较大
D. 甲班同学身高在175 cm以上的人数较多
解析： 甲班同学身高极差为：182－157＝25，乙班同学身高极差
为：182－159＝23，即甲、乙两班同学身高的极差不相等，故A正
确；甲班同学身高平均值为 ×（180×2＋170×3＋160×3＋150×2
＋2＋1＋8＋2＋6＋5＋3＋8＋7）＝169.2，乙班同学身高平均值为
×（180＋170×5＋160×3＋150＋2＋1＋2＋6＋8＋9＋2＋4＋7＋9）
＝171，故乙班同学身高平均值较大，即B错误；甲班同学身高的中位
数为 ＝168，乙班同学身高的中位数为 ＝171.5，故乙
班同学身高的中位数较大，即C错误；甲、乙两班同学身高在175 cm
以上的人数的数量分别为3和4，故D错误.故选A.
题型三 频率分布直方图的绘制及应用
【例3】　某校从高一新生开学摸底测试成绩中随机抽取100人的成
绩，按成绩分组并得各组频数如下（单位：分）：[40，50），4；
[50，60），6；[60，70），20；[70，80），30；[80，90），24；
[90，100]，16.
成绩分组 频数 频率 频率/组距
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
合计
（1）填写频率分布表；
解： 由题意列出频率分布表如下：
成绩分组 频数 频率 频率/组距
[40，50） 4 0.04 0.004
[50，60） 6 0.06 0.006
[60，70） 20 0.2 0.02
[70，80） 30 0.3 0.03
[80，90） 24 0.24 0.024
[90，100] 16 0.16 0.016
合计 100 1 0.1
（2）画出频率分布直方图；
解： 画出频率分布直方图，如图：
（3）估计本次考试成绩的中位数（精确到0.1）.
解： 由频率分布直方图得：[40，70）的频率为0.04＋
0.06＋0.2＝0.3，[70，80）的频率为0.3，∴估计本次考试成
绩的中位数为70＋ ×10≈76.7.
通性通法
绘制频率分布直方图应注意的2个问题
（1）在绘制出频率分布表后，画频率分布直方图的关键就是确定小
矩形的高.一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是
不一致的，合理的定高方法是“以一个恰当的单位长度”（没
有统一规定），然后以各组的“ ”所占的比例来定高.如此
类推；
（2）数据要合理分组，组距要选取恰当，一般尽量取整，数据为
30～100个左右时，应分成5～12组，在频率分布直方图中，各
个小长方形的面积等于各组的频率，小长方形的高与频数成正
比，各组频数之和等于样本容量，频率之和为1.
【跟踪训练】
1. 某市为了解全市环境治理情况，对本市的200家中小型企业的污染情况进行了摸排，并把污染情况各类指标的得分综合折算成标准分100分，统计并制成如图所示的直方图，则标准分不低于70分的企
业数为（　　）
A. 30 B. 60
C. 70 D. 130
解析： 　根据频率分布直方图，标准分不低于70分的企业数频率
为（0.01＋0.02＋0.04）×5＝0.35，故标准分不低于70分的企业
数为0.35×200＝70.故选C.
2. 对某项活动中800名志愿者的年龄抽样统计后，得到如图所示的频
率分布直方图，但是年龄在[25，30）内的数据不慎丢失，依据此
图可得年龄在[25，30）内对应小长方形的高度为 .
0.04　
解析：设年龄在[25，30）内对应小长方形的高度为 x ，则有5×
（0.01＋ x ＋0.07＋0.06＋0.02）＝1，解得 x ＝0.04，所以年龄在
[25，30）内对应小长方形高度为0.04.
1. 某校公布了该校反映各年级学生体育达标情况的两张统计图（如
图），该校七、八、九三个年级共有学生800人，甲、乙、丙三个
同学看了这两张统计图后，甲说：“七年级的体育达标率最高”.
乙说：“八年级共有学生264人.” 丙说：“九年级的体育达标率
最高.”甲、乙、丙三个同学中，说法正确的是（　　）
A. 甲和乙
B. 乙和丙
C. 甲和丙
D. 甲、乙和丙
解析： 　由扇形统计图可以看出：八年级共有学生800×33%＝
264人；七年级的达标率为 ×100%≈87.8%；九年级的达标
率为 ×100%≈97.9%；八年级的达标率为
×100%≈94.7%.则九年级的达标率最高，则乙、丙的说法是正确
的.故选B.
2. 对某商店一个月内每天的顾客数量进行统计，得到样本的茎叶图如
图所示，则该样本的中位数、众数、极差分别是（　　）
1 2 5
2 0 2 3 3
3 1 2 4 4 8 9
4 5 5 5 7 7 8 8 9
5 0 0 1 1 4 7 9
6 1 7 8
A. 46，45，56 B. 46，45，53
C. 47，45，56 D. 45，47，53
解析： 　由题意可知茎叶图共有30个数据，所以中位数为第15个
数和第16个数的平均值，即 ＝46.众数是45，极差为68－12＝
56.故选A.
3. 某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列
说法中错误的是（　　）
A. 收入最高值与收入最低值的比是3∶1
B. 结余最高的月份是7月
C. 1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D. 前6个月的平均收入为40万元
解析： 由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30
万元，其比是3∶1，故A正确；由图可知，结余最高为7月份，
为80－20＝60，故B正确；由图可知，1至2月份的收入的变化
率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由图可知，前6
个月的平均收入为 ×（40＋60＋30＋30＋50＋60）＝45万
元，故D错误.故选D.
4. 从高三年级抽取50名男生测量体重，测得体重全部集中在50 kg～
80 kg之间，现将测得体重按照从低到高分成六组：[50，55），
[55，60），…，[75，80]，如图是频率分布直方图的一部分（缺
少第四、五组的图），已知第一组和第六组的人数相同，第四组有
10人，则第五组的人数为 .
5　
解析：第一组[50，55）人数为50×0.02×5＝5（人），第二组
[55，60）人数为50×0.04×5＝10（人），第三组[60，65）人数
为50×0.06×5＝15（人），第四组有10人，第六组的人数和第一
组相同，有5人，故第五组的人数为50－（5＋10＋15＋10＋5）＝5
（人）.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 根据2021年《第七次全国人口普查公报》，就我国2020年每十万人中拥有的各类受教育程度的人口情况，绘制了如图所示的扇形统计图，则（　　）
A. 每十万人中拥有高中（含中专）文化程度的人数最少
B. 每十万人中拥有大专及以上文化程度的人数少于2万
C. 每十万人中拥有小学文化程度的人数最多
D. 每十万人中拥有初中和高中（含中专）文化程度的人数占比不到
50%
1
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7
8
9
解析： 　对于A，每十万人中其他文化程度的人数最少，占比为
10%，错误；对于B，每十万人中拥有大专及以上文化程度的人数
为10×15%＝1.5万，正确；对于C，每十万人中拥有初中文化程度
的人数最多，占比为35%，错误；对于D，每十万人中拥有初中和
高中（含中专）文化程度的人数占比为50%，错误.故选B.
1
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9
2. 某校开展“爱我母校，爱我家乡”摄影比赛，七位评委为甲、乙两
名选手的作品打出的分数的茎叶图如图所示（其中 m 为数字0～9中
的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分
的平均数分别为 a1， a2，则一定有（　　）
A. a1＞ a2
B. a2＞ a1
C. a1＝ a2
D. a1， a2的大小与 m 的值有关
1
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9
解析： 　由题意知去掉一个最高分和一个最低分以后，两组数据
都有五个数据，代入数据可以求得甲和乙的平均分： a1＝
＋80＝84， a2＝ ＋80＝85，故有 a2＞ a1.故选B.
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9
3. 某网店对今年11月11日9时到15时的销售情况进行统计，销售额频
率分布直方图如图所示，已知11时到13时的销售额为5万元.则9时
到11时的销售额为（　　）
A. 1.5万元 B. 2万元
C. 2.5万元 D. 3万元
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解析： 　11时到13时的销售额为5万元，频率为（0.2＋0.3）×1
＝0.5，10时到11时的频率为1－0.05×1－0.2×1－0.3×1－
0.25×1－0.05×1＝0.15，9时到11时的频率为（0.05＋0.15）×1
＝0.2，所以9时到11时的销售额为 ×5＝2万元.故选B.
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9
4. 某校为了了解学生的睡眠情况，随机调查了50名学生，得到他们在
某一天各自的睡眠时间的数据，结果用如图所示的条形图表示.根
据条形图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为 h.
6.4　
1
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解析：法一　要确定这50名学生的平均睡眠时间，就必须计算其总
睡眠时间.总睡眠时间为5.5×0.1×50＋6×0.3×50＋
6.5×0.4×50＋7×0.1×50＋7.5×0.1×50＝27.5＋90＋130＋35
＋37.5＝320（h）.故平均睡眠时间为320÷50＝6.4（h）.
法二　根据图形得平均每人的睡眠时间为5.5×0.1＋6×0.3＋
6.5×0.4＋7×0.1＋7.5×0.1＝6.4（h）.
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5. 冰球是一种冰上运动项目，也是冬奥会的比赛项目之一.冰球球员
身高不仅影响球杆长度，而且由于比赛过程中球员经常发生肢体上
的碰撞与冲突，故选拔运动员时对球员身高有一定的要求.在一次
选拔冰球运动员过程中，测得7名选手身高（单位：cm）的茎叶图
如图，
已知7名选手的平均身高为178 cm，有一名选手的身高记录不清楚，其末位数字记为 x ，那么 x 的值为 .
3　
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解析：设记录不清楚的选手的身高为 a ，则由平均数公式
＝178，得 a ＝173，所以 x ＝3.
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9
6. 如图是根据某市3月1日至3月10日的最低气温（单位：℃）的情况
绘制的折线统计图，试根据折线统计图反应的信息，绘制该市3月1
日到10日最低气温（单位：℃）的条形统计图和扇形统计图.
1
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解：该城市3月1日至10日的最低气温（单位：℃）情况如下表：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
最低 气温 －3 －2 0 －1 1 2 0 －1 2 2
条形统计图如图所示.
扇形统计图如图所示.
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7. （多选）给出如图所示的三幅图：
则下列说法中，正确的有（　　）
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9
A. 从折线图能看出世界人口的变化情况
B. 2050年非洲人口将达到大约15亿
C. 2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多
D. 从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢
解析： 　从折线图能看出世界人口的变化情况，故A正确；从
柱形图中可得到：2050年非洲人口大约将达到17亿，故B错误；从
扇形图中能够明显地得到结论：2050年亚洲人口比其他各洲人口的
总和还要多，故C正确；由题中三幅图并不能得出从1957年到2050
年中哪个洲人口增长速度最慢，故D错误.故选A、C.
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9
8. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业
从业者年龄分布饼状图（如图①）、90后从事互联网行业岗位分布
条形图（如图②），则下列结论中不一定正确的是（　　）
1
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9
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980～1989年之间出生，80
前指1979年及以前出生.
A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上
B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
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解析： 　由题图可知，互联网行业从业人员中90后占总人数的
56%，超过一半，A正确；互联网行业从业人员中90后从事技术岗
位的人数占总人数的56%×39.6%＝22.176%，超过20%，所以互
联网行业从业人员（包括90后、80后、80前）从事技术岗位的人数
超过总人数的20%，B正确；互联网行业从业人员中90后从事运营
岗位的人数占总人数的56%×17%＝9.52%，超过80前的人数占总
人数的比例，C正确；互联网行业从业人员中90后从事技术岗位的
人数占总人数的56%×39.6%＝22.176%，小于80后的人数占总人
数的比例，但80后从事技术岗位的比例未知，D不一定正确.
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9. 某车站在春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了100名
旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间 t （以下简称为
购票用时，单位为min），下面是这次调查统计分析得到的频率分
布表和频率分布直方图：
分组 频数 频率
一组 0≤ t ＜5 0 0
二组 5≤ t ＜10 10 0.10
三组 10≤ t ＜15 10 ②
四组 15≤ t ＜20 ① 0.50
五组 20≤ t ≤25 30 0.30
合计 0≤ t ≤25 100 1.00
解答下列问题：
1
2
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9
（1）这次抽样的样本容量是多少；
解： 样本容量是100.
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9
（2）在表中填写出缺失的数据并补全频率分布直方图；
解： ①50　②0.10，所补频率分布直方图如图中阴影部分所示：
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9
（3）旅客购票用时的平均数可能落在哪一组？
解： 设旅客平均购票用时为 t min，则有
≤ t ＜ ，即15≤ t ＜20.所以旅客购
票用时的平均数可能落在第四组.
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