资源简介

5.3.4　频率与概率
1.某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的（　　）
A.概率为　　　　　B.频率为
C.频率为8 D.概率接近于8
2.某同学做立定投篮训练，共两场，第一场投篮20次的命中率为80%，第二场投篮30次的命中率为70%，则该同学这两场投篮的命中率为（　　）
A.72%　　B.74%　　C.75%　　D.76%
3.某机构对某银行窗口服务进行了一次调查，得到如下数据：
等待时间（分钟） [0，5） [5，10） [10， 15） [15 ，20） [20， 25]
人数 4 8 7 4 2
则估计顾客的等待时间少于15分钟的频率是（　　）
A.0.19 B.0.24 C.0.38 D.0.76
4.四组同学从装有若干小球的布袋子中抽球，每次抽取一个，抽完放回.甲、乙、丙、丁四组分别抽取了100次、500次、1 000次、5 000次.下列计数最可能出现错误的是（　　）
A.甲组抽到了25次红球
B.乙组抽到了121次红球
C.丙组抽到了403次红球
D.丁组抽到了1 255次红球
5.（多选）对下面的描述：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A发生的概率；③频率是不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.其中正确的说法有（　　）
A.① B.②
C.③ D.④
6.在一个不透明的布袋中，红色，黑色，白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现摸到红色球，黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是　　　　个.
7.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000部汽车的相关信息，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是　　　　.
8.水产试验厂对某种鱼进行人工孵化，经统计研究，每10 000个鱼卵大约能孵出8 000尾鱼苗.根据概率的统计定义，要孵化5 000尾鱼苗，大概要准备鱼卵　　　　个.
9.从高铁站到机场共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从高铁站到机场的人进行调查，调查结果如下：
所用时间（分钟） [10， 20） [20， 30） [30， 40） [40， 50） [50， 60]
选择L1的人数 2 6 16 10 6
选择L2的人数 6 12 27 12 3
（1）试估计30分钟内能从高铁站赶到机场的概率；
（2）某人需在40分钟内到达机场，为了尽最大可能在允许时间内赶到机场.请你从用时的角度，通过计算说明他们该如何选择路径.
10.某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是（　　）
A.抛一枚硬币，出现正面朝上
B.掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上
C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D.从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
11.《中国诗词大会》是央视推出的一档以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼.“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成，成员上至古稀老人，下至垂髫小儿，人数按照年龄分组统计如下表：
年龄/岁 [7，20） [20，40） [40，80]
频数 18 54 36
（1）用分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，求从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数；
（2）从（1）中抽出的6人中任选2人参加一对一的对抗比赛，求这2人来自同一年龄组的概率.
12.长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约有40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率约为　　　　.
13.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？
5.3.4　频率与概率
1.B　做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为，如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率.故＝为事件A的频率.事件A发生的频数为8，所以C、D都不对.故选B.
2.B　该同学这两场投篮的命中率为＝74%.故选B.
3.D　由题意可得顾客的等待时间少于15分钟的频率是＝＝0.76.故选D.
4.C　由题意得：甲组抽到红球的频率为f1＝，乙组抽到红球的频率为f2＝，丙组抽到红球的频率为f3＝，丁组抽到红球的频率为f4＝.经过比较发现，甲、乙、丁均接近0.25，而丙接近0.4，丙组的试验次数介于乙组和丁组之间，但抽到红球的频率与这两组相距较远.故有理由认为丙组的结果是错误的.故选C.
5.ACD　由频率和概率的意义知，频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小，故①正确；由频率和概率的关系知，频率是概率的近似值，是通过大量试验得到的，而概率是频率的稳定值，是确定的理论值，故②错误，③④正确.故选A、C、D.
6.16　解析：根据概率是频率的稳定值的意义，红色球的个数为40×0.15＝6个；黑色球的个数为40×0.45＝18个；故白色球的个数为40－6－18＝16个.
7.0.03　解析：P＝＝0.03.
8.6 250　解析：5 000÷＝6 250个.
9.解：（1）由题意得：P＝＝.
（2）选择L1：P1＝＝，选择L2：P2＝＝.由于P1＜P2，故选择路径L2.
10.D　由折线图可知，频率在0.3到0.4之间，选项A，抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为0.5，不符合，故A错；选项B，掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上概率为，不符合，故B错；选项C，一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃概率为，不符合，故C错；选项D，从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球概率为，在0.3到0.4之间，符合题意.故选D.
11.解：（1）因为样本容量与总体个数的比是＝，
所以从年龄在[7，20）抽取的人数为×18＝1，
从年龄在[20，40）抽取的人数为×54＝3，
从年龄在[40，80]抽取的人数为×36＝2，
所以从年龄在[7，20），[20，40），[40，80]中抽取的挑战者的人数分别为1，3，2.
（2）设从[7，20）中抽取的1人为a，从[20，40）中抽取的3人分别为b，c，d，从[40，80]中抽取的2人为e，f.
从这6人中任取2人构成的所有样本点为（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15个，
每人被抽到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的，
记事件A为“2人来自同一年龄组”，包含（b，c），（b，d），（c，d），（e，f），共4个样本点，则P（A）＝，
故2人来自同一年龄组的概率可估计为.
12.0.375　解析：设该学校人数为x，依题意得，近视的人数为0.4x，玩手机超过1小时的人有0.2x，近视人数为0.1x，于是玩手机不超过1小时但又近视的人数为（0.4－0.1）x＝0.3x，玩手机小于1小时的总人数为（1－0.2）x＝0.8x，这类人的近视率约为＝0.375.
13.解：（1）由试加工产品等级的频数分布表知，
甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为＝0.4；
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为＝0.28.
（2）由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润 65 25 －5 －75
频数 40 20 20 20
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为
＝15.
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润 70 30 0 －70
频数 28 17 34 21
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为
＝10.
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.
3 / 35.3.4　频率与概率
新课程标准解读 核心素养
结合实例，会用频率估计概率 数学抽象、逻辑推理
　　随机抛一个瓶盖，观察它落地后的状态（如图）.
【问题】　（1）样本空间有几个样本点？这样的随机试验是古典概型吗？
（2）你能求出盖口朝下的概率吗？怎样估计盖口朝下的概率？
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　频率与概率
1.概率和频率之间的联系
在多次重复试验中，同一事件发生的频率在某一个数值附近摆动，事件的频率是概率的一个　　　　，随着试验次数的增加，频率会越来越　　　　概率.
2.用频率估计概率
如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，可以认为事件A发生的概率P（A）的估计值为　　　　，且0　　P（A）　　1.这种确定概率估计值的方法称为用频率估计概率.
提醒　（1）概率是从数量上反映随机事件在一次试验中发生可能性的大小的一个量，是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关；同一个随机事件在相同条件下，每一次试验中发生的概率都是一样的，而频率本就是随机的，在试验前是不能确定的；（2）在实践中，在大量的重复试验后，人们经常用频率估计概率.
1.已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是（　　）
A.如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，那么有90人会被治愈
B.如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会被治愈
C.使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%
D.以上说法都不对
2.某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵能孵出8 513尾鱼苗，根据概率的统计定义，这种鱼卵的孵化概率（　　）
A.约为0.851 3
B.必为0.851 3
C.再孵一次仍为0.851 3
D.不确定
3.经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调查，某市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有　　　　个.
题型一 概率的意义
【例1】　解释下列概率的含义：
（1）某厂生产产品的合格率为0.9；
（2）一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2.
尝试解答
通性通法
从三个方面理解概率
（1）概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值；
（2）由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映；
（3）正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系，对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件.
【跟踪训练】
1.某网站举行购物抽奖活动，规定购物消费每满100元就送一次抽奖机会，中奖的概率为10%.那么以下理解正确的是（　　）
A.某人抽奖100次，一定能中奖10次
B.某人消费1 000元，至少能中奖1次
C.某人抽奖1次，一定不能中奖
D.某人抽奖10次，可能1次也没中奖
2.小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了30次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是（　　）
A.朝上点数是2的概率为1
B.朝上点数是2的频率为1
C.抛掷第31次，朝上点数一定不会是2
D.抛掷第31次，朝上点数一定是2
题型二 利用频率估计概率
【例2】　为保障食品安全，某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查，现从其生产的某种产品中随机抽取100件作为样本，并以产品的一项关键质量指标值为检测依据，整理得到样本频率分布直方图如图.若质量指标值在[25，35）内的产品为一等品，则该企业生产的产品为一等品的概率约为（　　）
A.0.38　　　　　　B.0.61
C.0.122 D.0.75
尝试解答
通性通法
随机事件概率的理解及求法
（1）理解：概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.当试验的次数越来越多时，频率越来越趋近于概率.当次数足够多时，所得频率就近似地看作随机事件的概率；
（2）求法：通过公式计算出频率，再由频率估算概率.
【跟踪训练】
　某种心脏手术成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，故我们用0表示手术不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907，由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（　　）
A.0.9　　B.0.8　　C.0.7　　D.0.6
题型三 概率的实际应用
【例3】　为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出2 000尾鱼，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库.经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出500尾，查看其中有记号的鱼，有40尾，试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数.
尝试解答
通性通法
1.解题关键是理解概率是描述随机事件发生的可能性大小的量，因此计算概率是本题的核心问题.
2.解决此类问题要注意观察分析数据总数和某事件包含的数据个数，有时需要对试验可能出现的结果进行预测.
【跟踪训练】
1.中国农历的二十四节气是中华民族的智慧与传统文化的结晶，二十四节气歌是以春、夏、秋、冬开始的四句诗.在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”.2016年11月30日，二十四节气被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.某小学三年级共有学生600名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有（　　）
A.17人 B.83人
C.102人 D.115人
2.我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为　　　　.
探究统计与概率的综合问题
　　天安门广场国旗的升降时间是根据北京的日出日落时间确定的，具体时间是由北京天文台的天文学家专门计算的.早晨，当太阳的上部边缘与天安门广场所见地平线相平时，为升旗时间.国旗的降旗时间分为逐渐推迟和逐渐提前两个时段.遇到阴天、雨天或雪天，升旗和降旗的时间与前一天相同.每个月第一天，天安门广场升旗时由军乐队奏国歌，整个升旗持续时间为2分07秒钟.表1是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表.
表1：
日期 升旗时刻 日期 升旗时刻
1月1日 7：36 5月15日 5：00
1月23日 7：30 6月9日 4：45
2月5日 7：15 6月16日 4：45
2月21日 7：00 6月21日 4：45
3月3日 6：45 8月20日 5：30
3月13日 6：30 9月5日 6：45
3月22日 6：15 10月6日 6：15
4月10日 5：45 10月21日 6：30
4月20日 5：30 11月3日 6：45
5月1日 5：15 12月18日 7：30
　　将表中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（ 如7：36可化为7＝7）.
【问题探究】
1.请完成下面的频率分布表及频率分布直方图.
分组 频数 频率
4：00～4：59 3
5：00～5：59 0.25
6：00～6：59
7：00～7：59 5
合计 20
提示：频率分布表及频率分布直方图如下：
分组 频数 频率
4：00～4：59 3 0.15
5：00～5：59 5 0.25
6：00～6：59 7 0.35
7：00～7：59 5 0.25
合计 20 1
2.若甲学校从上表日期中随机选择一天观看升旗.试估计甲学校观看升旗的时刻早于6：00的概率.
提示：由1中的表知，甲学校从20次日期中随机选择一天观看升旗，观看升旗的时刻早于6：00的日期为8次，利用频率估计概率，可知甲学校观看升旗的时刻早于6：00的概率为＝.
【迁移应用】
若甲、乙两个学校各自从表1中五月、六月的日期中随机选择一天观看升旗，求两校观看升旗的时刻均不早于5：00的概率.
1.已知某人在投篮时投中的概率为50%，则下列说法正确的是（　　）
A.若他投100次，一定有50次投中
B.若他投一次，一定投中
C.他投一次投中的可能性大小为50%
D.以上说法均错
2.在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了48次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（　　）
A.0.48，0.48　　　　B.0.5，0.5
C.0.48，0.5 D.0.5，0.48
3.某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：
本科 研究生 合计
35岁以下 40 30 70
35～50岁 27 13 40
50岁以上 8 2 10
现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是（　　）
A.该教职工具有本科学历的概率低于60%
B.该教职工具有研究生学历的概率超过50%
C.该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10%
D.该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10%
4.“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9 600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有　　　　人.
5.3.4　频率与概率
【基础知识·重落实】
知识点
1.近似值　接近　2.　≤　≤
自我诊断
1.C　治愈某种疾病的概率为90%，说明使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%，但不能说明使用一剂这种药物一定可以治愈这种疾病，只能说治愈的可能性较大.
2.A　利用频率估计概率，这种鱼卵的孵化频率为＝0.851 3，它近似的为孵化的概率.故选A.
3.16　解析：由题意知市场上食用油合格率为80%，则不合格率为1－80%＝20%，所以80个品牌中，则不合格的食用油品牌大约有80×20%＝16个.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）“某厂生产产品的合格率为0.9”.说明该厂产品合格的可能性为90%，也就是说100件该厂的产品中大约有90件是合格的.
（2）“中奖的概率为0.2”，说明参加抽奖的人中有20%的人可能中奖，也就是说，若有100人参加抽奖，约有20人中奖.
跟踪训练
1.D　中奖的概率为10%，与抽奖的次数无关，不能保证一定中奖，也不能保证一定不中奖，只是有10%中奖的可能性，故D选项正确.故选D.
2.B　小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了30次，每次朝上的点数都是2，则朝上的点数是2的频率为＝1，故选项B正确；抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是2的概率为，故选项A错误；抛掷第31次，朝上点数可能是2，也可能不是2，故选项C、D错误.故选B.
【例2】　B　根据频率分布直方图可知，质量指标值在[25，35）内的频率P＝（0.080＋0.042）×5＝0.122×5＝0.61.由频率与概率的关系知选B.
跟踪训练
　B　由题意，10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907，表示“3例心脏手术全部成功”的有：812，832，569，683，271，989，537，925，共8个，故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为＝0.8.故选B.
【例3】　解：设水库中鱼的尾数是n，现在要估计n的值，假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从水库中任捕一尾鱼，设事件A＝{带记号的鱼}，则P（A）＝.
第二次从水库中捕出500尾鱼，其中带记号的有40尾，即事件A发生的频数为40，由概率的统计定义知P（A）≈，即≈，解得n≈25 000.
所以估计水库中的鱼有25 000尾.
跟踪训练
1.C　一句也说不出的学生频率为＝0.17，所以估计600名学生中，一句也说不出的有600×0.17＝102人.故选C.
2.169石　解析：这批米内所夹的谷＝×1 534≈169（石）.
拓视野　探究统计与概率的综合问题
迁移应用
　解：由表1知，五月、六月的日期中不早于5：00的时间为2次.
设按表1中五月、六月的日期先后顺序，甲选择一天观看升旗分别为a1，a2，a3，a4，a5，乙选择一天观看升旗分别为b1，b2，b3，b4，b5，则甲、乙两个学校观看升旗的时刻的样本空间Ω＝{（a1，b1），（a2，b1），（a3，b1），（a4，b1），（a5，b1），（a1，b2），（a2，b2），（a3，b2），（a4，b2），（a5，b2），（a1，b3），（a2，b3），（a3，b3），（a4，b3），（a5，b3），（a1，b4），（a2，b4），（a3，b4），（a4，b4），（a5，b4），（a1，b5），（a2，b5），（a3，b5），（a4，b5），（a5，b5）}，共有25个样本点.
设两校观看升旗的时刻均不早于5：00为事件A，则A包含4个样本点，即（a1，b1），（a2，b1），（a1，b2），（a2，b2），
所以P（A）＝，即两校观看升旗的时刻均不早于5：00的概率为.
随堂检测
1.C　概率是指一件事情发生的可能性大小.
2.C　频率跟实验次数有关，出现正面朝上的频率为实验中出现正面朝上的次数除以总试验次数，故为＝0.48.概率是抛硬币试验的固有属性，与实验次数无关，抛硬币正面朝上的概率为0.5.故选C.
3.D　该教职工具有本科学历的概率p＝＝＝62.5%＞60%，故A错误；该教职工具有研究生学历的概率p＝＝＝37.5%＜50%，故B错误；该教职工的年龄在50岁以上的概率p＝＝≈8.3%＜10%，故C错误；该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率p＝＝＝12.5%＞10%，故D正确.
4.6 912　解析：在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1－＝，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有9 600×＝6 912（人）.
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5.3.4　频率与概率
新课程标准解读 核心素养
结合实例，会用频率估计概率 数学抽象、逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　随机抛一个瓶盖，观察它落地后的状态（如图）.
【问题】　（1）样本空间有几个样本点？这样的随机试验是古典概
型吗？
（2）你能求出盖口朝下的概率吗？怎样估计盖口朝下的概率？
　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　
知识点　频率与概率
1. 概率和频率之间的联系
在多次重复试验中，同一事件发生的频率在某一个数值附近摆动，
事件的频率是概率的一个 ，随着试验次数的增加，频率
会越来越 概率.
近似值　
接近　
2. 用频率估计概率
如果在 n 次重复进行的试验中，事件 A 发生的频率为 ，当 n 很大
时，可以认为事件 A 发生的概率 P （ A ）的估计值为 ，且
0 P （ A ） 1.这种确定概率估计值的方法称为用频率
估计概率.
　
≤　
≤　
提醒　（1）概率是从数量上反映随机事件在一次试验中发生可能性
的大小的一个量，是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无
关；同一个随机事件在相同条件下，每一次试验中发生的概率都是一
样的，而频率本就是随机的，在试验前是不能确定的；（2）在实践
中，在大量的重复试验后，人们经常用频率估计概率.
1. 已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正
确的是（　　）
A. 如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，那么有90人会被治
愈
B. 如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会被治
愈
C. 使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%
D. 以上说法都不对
解析： 　治愈某种疾病的概率为90%，说明使用一剂这种药物治
愈这种疾病的可能性是90%，但不能说明使用一剂这种药物一定可
以治愈这种疾病，只能说治愈的可能性较大.
2. 某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵能孵出8 513尾
鱼苗，根据概率的统计定义，这种鱼卵的孵化概率（　　）
A. 约为0.851 3 B. 必为0.851 3
C. 再孵一次仍为0.851 3 D. 不确定
解析： 　利用频率估计概率，这种鱼卵的孵化频率为 ＝
0.851 3，它近似的为孵化的概率.故选A.
3. 经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调
查，某市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌
大约有 个.
解析：由题意知市场上食用油合格率为80%，则不合格率为1－
80%＝20%，所以80个品牌中，则不合格的食用油品牌大约有
80×20%＝16个.
16　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 概率的意义
【例1】　解释下列概率的含义：
（1）某厂生产产品的合格率为0.9；
解： “某厂生产产品的合格率为0.9”.说明该厂产品合格
的可能性为90%，也就是说100件该厂的产品中大约有90件是合
格的.
（2）一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2.
解： “中奖的概率为0.2”，说明参加抽奖的人中有
20%的人可能中奖，也就是说，若有100人参加抽奖，约有
20人中奖.
通性通法
从三个方面理解概率
（1）概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件 A 的本质
属性，随机事件 A 发生的概率是大量重复试验中事件 A 发生的频
率的近似值；
（2）由概率的定义我们可以知道随机事件 A 在一次试验中发生与否
是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量
上的反映；
（3）正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系，对具体的
问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某
一个具体的事件.
【跟踪训练】
1. 某网站举行购物抽奖活动，规定购物消费每满100元就送一次抽奖
机会，中奖的概率为10%.那么以下理解正确的是（　　）
A. 某人抽奖100次，一定能中奖10次
B. 某人消费1 000元，至少能中奖1次
C. 某人抽奖1次，一定不能中奖
D. 某人抽奖10次，可能1次也没中奖
解析： 　中奖的概率为10%，与抽奖的次数无关，不能保证一定
中奖，也不能保证一定不中奖，只是有10%中奖的可能性，故D选
项正确.故选D.
2. 小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了30次，每次朝上的点
数都是2，则下列说法正确的是（　　）
A. 朝上点数是2的概率为1
B. 朝上点数是2的频率为1
C. 抛掷第31次，朝上点数一定不会是2
D. 抛掷第31次，朝上点数一定是2
解析： 　小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了30次，每
次朝上的点数都是2，则朝上的点数是2的频率为 ＝1，故选项B
正确；抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是2的概率为
，故选项A错误；抛掷第31次，朝上点数可能是2，也可能不是
2，故选项C、D错误.故选B.
题型二 利用频率估计概率
【例2】　为保障食品安全，某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查，现从其生产的某种产品中随机抽取100件作为样本，并以产品的一项关键质量指标值为检测依据，整理得到样本频率分布直方图如图.若质量指标值在[25，35）内的产品为一等品，则该企业生产的产品为一等品的概率约为（　　）
A. 0.38 B. 0.61
C. 0.122 D. 0.75
解析： 　根据频率分布直方图可知，质量指标值在[25，35）内的频
率 P ＝（0.080＋0.042）×5＝0.122×5＝0.61.由频率与概率的关系
知选B.
通性通法
随机事件概率的理解及求法
（1）理解：概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随
机事件发生的可能性的大小.当试验的次数越来越多时，频率越
来越趋近于概率.当次数足够多时，所得频率就近似地看作随机
事件的概率；
（2）求法：通过公式 计算出频率，再由频率估算概率.
【跟踪训练】
　某种心脏手术成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手
术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值
的随机数，由于成功率是0.9，故我们用0表示手术不成功，1，2，
3，4，5，6，7，8，9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为
3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，
683，271，989，730，537，925，907，由此估计“3例心脏手术全部
成功”的概率为（　　）
A. 0.9 B. 0.8 C. 0.7 D. 0.6
解析： 　由题意，10组随机数：812，832，569，683，271，989，
730，537，925，907，表示“3例心脏手术全部成功”的有：812，
832，569，683，271，989，537，925，共8个，故估计“3例心脏手
术全部成功”的概率为 ＝0.8.故选B.
题型三 概率的实际应用
【例3】　为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水
库中捕出2 000尾鱼，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水
库.经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中
捕出500尾，查看其中有记号的鱼，有40尾，试根据上述数据，估计
水库中鱼的尾数.
解：设水库中鱼的尾数是 n ，现在要估计 n 的值，假定每尾鱼被捕的
可能性是相等的，从水库中任捕一尾鱼，设事件 A ＝{带记号的鱼}，
则 P （ A ）＝ .
第二次从水库中捕出500尾鱼，其中带记号的有40尾，即事件 A 发生
的频数为40，由概率的统计定义知 P （ A ）≈ ，即 ≈ ，解得
n ≈25 000.
所以估计水库中的鱼有25 000尾.
通性通法
1. 解题关键是理解概率是描述随机事件发生的可能性大小的量，因此
计算概率是本题的核心问题.
2. 解决此类问题要注意观察分析数据总数和某事件包含的数据个数，
有时需要对试验可能出现的结果进行预测.
【跟踪训练】
1. 中国农历的二十四节气是中华民族的智慧与传统文化的结晶，二十
四节气歌是以春、夏、秋、冬开始的四句诗.在国际气象界，二十
四节气被誉为“中国的第五大发明”.2016年11月30日，二十四节
气被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.
某小学三年级共有学生600名，随机抽查100名学生并提问二十四节
气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此
估计该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的
有（　　）
A. 17人 B. 83人
C. 102人 D. 115人
解析： 　一句也说不出的学生频率为 ＝0.17，所以估计
600名学生中，一句也说不出的有600×0.17＝102人.故选C.
2. 我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收
粮，有人送来1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒
内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 .
解析：这批米内所夹的谷＝ ×1 534≈169（石）.
169石　
　探究统计与概率的综合问题
　　天安门广场国旗的升降时间是根据北京的日出日落时间确定的，
具体时间是由北京天文台的天文学家专门计算的.早晨，当太阳的上
部边缘与天安门广场所见地平线相平时，为升旗时间.国旗的降旗时
间分为逐渐推迟和逐渐提前两个时段.遇到阴天、雨天或雪天，升旗
和降旗的时间与前一天相同.每个月第一天，天安门广场升旗时由军
乐队奏国歌，整个升旗持续时间为2分07秒钟.表1是某年部分日期的
天安门广场升旗时刻表.
表1：
日期 升旗时刻 日期 升旗时刻
1月1日 7：36 5月15日 5：00
1月23日 7：30 6月9日 4：45
2月5日 7：15 6月16日 4：45
日期 升旗时刻 日期 升旗时刻
2月21日 7：00 6月21日 4：45
日期 升旗时刻 日期 升旗时刻
3月3日 6：45 8月20日 5：30
3月13日 6：30 9月5日 6：45
3月22日 6：15 10月6日 6：15
4月10日 5：45 10月21日 6：30
4月20日 5：30 11月3日 6：45
5月1日 5：15 12月18日 7：30
将表中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（ 如7：36可化为7 ＝7 ）.
【问题探究】
1. 请完成下面的频率分布表及频率分布直方图.
分组 频数 频率
4：00～4：59 3
5：00～5：59 0.25
6：00～6：59
7：00～7：59 5
合计 20
提示：频率分布表及频率分布直方图如下：
分组 频数 频率
4：00～4：59 3 0.15
5：00～5：59 5 0.25
6：00～6：59 7 0.35
7：00～7：59 5 0.25
合计 20 1
2. 若甲学校从上表日期中随机选择一天观看升旗.试估计甲学校观看
升旗的时刻早于6：00的概率.
提示：由1中的表知，甲学校从20次日期中随机选择一天观看升
旗，观看升旗的时刻早于6：00的日期为8次，利用频率估计概率，
可知甲学校观看升旗的时刻早于6：00的概率为 ＝ .
【迁移应用】
若甲、乙两个学校各自从表1中五月、六月的日期中随机选择一天观
看升旗，求两校观看升旗的时刻均不早于5：00的概率.
解：由表1知，五月、六月的日期中不早于5：00的时间为2次.
设按表1中五月、六月的日期先后顺序，甲选择一天观看升旗分别
为 a1， a2， a3， a4， a5，乙选择一天观看升旗分别为 b1， b2，
b3， b4， b5，则甲、乙两个学校观看升旗的时刻的样本空间Ω＝
{（ a1， b1），（ a2， b1），（ a3， b1），（ a4， b1），（ a5，
b1），（ a1， b2），（ a2， b2），（ a3， b2），（ a4， b2），
（ a5， b2），（ a1， b3），（ a2， b3），（ a3， b3），（ a4，
b3），（ a5， b3），（ a1， b4），（ a2， b4），（ a3， b4），
（ a4， b4），（ a5， b4），（ a1， b5），（ a2， b5），（ a3，
b5），（ a4， b5），（ a5， b5）}，共有25个样本点.
设两校观看升旗的时刻均不早于5：00为事件 A ，则 A 包含4个样本
点，即（ a1， b1），（ a2， b1），（ a1， b2），（ a2， b2），
所以 P （ A ）＝ ，即两校观看升旗的时刻均不早于5：00的概率为
.
1. 已知某人在投篮时投中的概率为50%，则下列说法正确的是
（　　）
A. 若他投100次，一定有50次投中
B. 若他投一次，一定投中
C. 他投一次投中的可能性大小为50%
D. 以上说法均错
解析： 　概率是指一件事情发生的可能性大小.
2. 在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次
试验，发现正面朝上出现了48次，那么出现正面朝上的频率和概率
分别为（　　）
A. 0.48，0.48 B. 0.5，0.5
C. 0.48，0.5 D. 0.5，0.48
解析： 　频率跟实验次数有关，出现正面朝上的频率为实验中出
现正面朝上的次数除以总试验次数，故为 ＝0.48.概率是抛硬币
试验的固有属性，与实验次数无关，抛硬币正面朝上的概率为0.5.
故选C.
3. 某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调
查，其结果如下表：
本科 研究生 合计
35岁以下 40 30 70
35～50岁 27 13 40
50岁以上 8 2 10
现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是（　　）
A. 该教职工具有本科学历的概率低于60%
B. 该教职工具有研究生学历的概率超过50%
C. 该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10%
D. 该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10%
解析： 　该教职工具有本科学历的概率 p ＝ ＝ ＝62.5%＞
60%，故A错误；该教职工具有研究生学历的概率 p ＝ ＝ ＝
37.5%＜50%，故B错误；该教职工的年龄在50岁以上的概率 p ＝
＝ ≈8.3%＜10%，故C错误；该教职工的年龄在35岁及以上且
具有研究生学历的概率 p ＝ ＝ ＝12.5%＞10%，故D正确.
4. “键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自
利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区
群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有
14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9 600人，则可估
计该地区对“键盘侠”持反对态度的有 人.
解析：在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1－ ＝ ，则
可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有9 600× ＝6 912
（人）.
6 912　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用 A 表
示“正面朝上”这一事件，则 A 的（　　）
A. 概率为 B. 频率为
C. 频率为8 D. 概率接近于8
解析： 　做 n 次随机试验，事件 A 发生了 m 次，则事件 A 发生的
频率为 ，如果多次进行试验，事件 A 发生的频率总在某个常数附
近摆动，那么这个常数才是事件 A 的概率.故 ＝ 为事件 A 的频
率.事件 A 发生的频数为8，所以C、D都不对.故选B.
2. 某同学做立定投篮训练，共两场，第一场投篮20次的命中率为
80%，第二场投篮30次的命中率为70%，则该同学这两场投篮的命
中率为（　　）
A. 72% B. 74% C. 75% D. 76%
解析： 　该同学这两场投篮的命中率为 ＝74%.故
选B.
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3. 某机构对某银行窗口服务进行了一次调查，得到如下数据：
等待时间 （分钟） [0，
5） [5，10） [10，15） [15，20） [20，25]
人数 4 8 7 4 2
则估计顾客的等待时间少于15分钟的频率是（　　）
A. 0.19 B. 0.24 C. 0.38 D. 0.76
解析： 　由题意可得顾客的等待时间少于15分钟的频率是
＝ ＝0.76.故选D.
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4. 四组同学从装有若干小球的布袋子中抽球，每次抽取一个，抽完放
回.甲、乙、丙、丁四组分别抽取了100次、500次、1 000次、5 000
次.下列计数最可能出现错误的是（　　）
A. 甲组抽到了25次红球
B. 乙组抽到了121次红球
C. 丙组抽到了403次红球
D. 丁组抽到了1 255次红球
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解析： 　由题意得：甲组抽到红球的频率为 f1＝ ，乙组抽
到红球的频率为 f2＝ ，丙组抽到红球的频率为 f3＝ ，丁
组抽到红球的频率为 f4＝ .经过比较发现，甲、乙、丁均
接近0.25，而丙接近0.4，丙组的试验次数介于乙组和丁组之
间，但抽到红球的频率与这两组相距较远.故有理由认为丙组的
结果是错误的.故选C.
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5. （多选）对下面的描述：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率
是反映事件发生的可能性的大小；②做 n 次随机试验，事件 A 发生
m 次，则事件 A 发生的频率就是事件 A 发生的概率；③频率是不能
脱离具体的 n 次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试
验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.
其中正确的说法有（　　）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
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解析： 　由频率和概率的意义知，频率是反映事件发生的频
繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小，故①正确；由频率
和概率的关系知，频率是概率的近似值，是通过大量试验得到的，
而概率是频率的稳定值，是确定的理论值，故②错误，③④正确.
故选A、C、D.
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6. 在一个不透明的布袋中，红色，黑色，白色的玻璃球共有40个，除
颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现摸到红色球，
黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能
是 个.
解析：根据概率是频率的稳定值的意义，红色球的个数为40×0.15
＝6个；黑色球的个数为40×0.45＝18个；故白色球的个数为40－6
－18＝16个.
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7. 一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20
000部汽车的相关信息，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1
日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年内挡
风玻璃破碎的概率近似是 .
解析： P ＝ ＝0.03.
0.03　
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8. 水产试验厂对某种鱼进行人工孵化，经统计研究，每10 000个鱼卵
大约能孵出8 000尾鱼苗.根据概率的统计定义，要孵化5 000尾鱼
苗，大概要准备鱼卵 个.
解析：5 000÷ ＝6 250个.
6 250　
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9. 从高铁站到机场共有两条路径 L1和 L2，现随机抽取100位从高铁站
到机场的人进行调查，调查结果如下：
所用时间 （分钟） [10，
20） [20，
30） [30，
40） [40，
50） [50，60]
选择 L1 的人数 2 6 16 10 6
选择 L2 的人数 6 12 27 12 3
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（1）试估计30分钟内能从高铁站赶到机场的概率；
解： 由题意得： P ＝ ＝ .
（2）某人需在40分钟内到达机场，为了尽最大可能在允许时间内
赶到机场.请你从用时的角度，通过计算说明他们该如何选择
路径.
解： 选择 L1： P1＝ ＝ ，选择 L2： P2＝ ＝ .由于
P1＜ P2，故选择路径 L2.
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10. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果的频率
折线图，则符合这一结果的试验可能是（　　）
A. 抛一枚硬币，出现正面朝上
B. 掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上
C. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D. 从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
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解析： 　由折线图可知，频率在0.3到0.4之间，选项A，抛一枚
硬币，出现正面朝上的概率为0.5，不符合，故A错；选项B，掷
一个正六面体的骰子，出现3点朝上概率为 ，不符合，故B错；
选项C，一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花
色是红桃概率为 ，不符合，故C错；选项D，从一个装有2个红
球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球概率为 ，在0.3到
0.4之间，符合题意.故选D.
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11. 《中国诗词大会》是央视推出的一档以“赏中华诗词，寻文化基
因，品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目，邀请全国各个
年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼.“百人
团”由一百多位来自全国各地的选手组成，成员上至古稀老人，
下至垂髫小儿，人数按照年龄分组统计如下表：
年龄/岁 [7，20） [20，40） [40，80]
频数 18 54 36
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（1）用分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，求从
这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数；
解： 因为样本容量与总体个数的比是 ＝ ，
所以从年龄在[7，20）抽取的人数为 ×18＝1，
从年龄在[20，40）抽取的人数为 ×54＝3，
从年龄在[40，80]抽取的人数为 ×36＝2，
所以从年龄在[7，20），[20，40），[40，80]中抽取的挑
战者的人数分别为1，3，2.
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（2）从（1）中抽出的6人中任选2人参加一对一的对抗比赛，求
这2人来自同一年龄组的概率.
解： 设从[7，20）中抽取的1人为 a ，从[20，40）
中抽取的3人分别为 b ， c ， d ，从[40，80]中抽取的2人
为 e ， f .
从这6人中任取2人构成的所有样本点为（ a ， b ），
（ a ， c ），（ a ， d ），（ a ， e ），（ a ， f ），
（ b ， c ），（ b ， d ），（ b ， e ），（ b ， f ），
（ c ， d ），（ c ， e ），（ c ， f ），（ d ， e ），
（ d ， f ），（ e ， f ），共15个，
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每人被抽到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可
能的，
记事件 A 为“2人来自同一年龄组”，包含（ b ， c ），
（ b ， d ），（ c ， d ），（ e ， f ），共4个样本点，则
P （ A ）＝ ，
故2人来自同一年龄组的概率可估计为 .
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12. 长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约有40%的人近
视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近
视率约为50%.现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一
名学生，则他近视的概率约为 .
解析：设该学校人数为 x ，依题意得，近视的人数为0.4 x ，玩手
机超过1小时的人有0.2 x ，近视人数为0.1 x ，于是玩手机不超过1
小时但又近视的人数为（0.4－0.1） x ＝0.3 x ，玩手机小于1小时
的总人数为（1－0.2） x ＝0.8 x ，这类人的近视率约为 ＝
0.375.
0.375　
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13. 某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准
分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级
品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D
级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可
承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费
为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各
试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
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等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
甲分厂产品等级的频数分布表
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（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的
概率；
解： 由试加工产品等级的频数分布表知，
甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为
＝0.4；
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为
＝0.28.
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（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以
平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？
解： 由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润 65 25 －5 －75
频数 40 20 20 20
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为
＝15.
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
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利润 70 30 0 －70
频数 28 17 34 21
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为
＝10.
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接
加工业务.
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