资源简介

5.4　统计与概率的应用
1.一个容量为100的样本，其数据分组与各组的频数如下：
分组 [40， 50） [50， 60） [60， 70） [70， 80） [80， 90） [90， 100]
频数 5 18 20 32 16 9
则这组样本数据的中位数所在的区间为（　　）
A.[50，60）　　　 　　B.[60，70）
C.[70，80） D.[80，90）
2.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2 000名学生的成绩，并根据这2 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示.则成绩在[300，350）内的学生人数为（　　）
A.300　 　B.400　 　C.600　 　D.1 200
3.甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3∶1的比分获胜的概率为（　　）
A. B.
C. D.
4.如图，元件Ai（i＝1，2，3，4）通过电流的概率均为0.9，且各元件是否通过电流互不影响，则电流能在M，N之间通过的概率是（　　）
A.0.729 B.0.882 9
C.0.864 D.0.989 1
5.（多选）某疾病老年患者治愈率为70%，中年患者治愈率为86%，青年患者治愈率为95%.某医院共有300名老年患者，400名中年患者，500名青年患者，则（　　）
A.若从该医院所有患者中抽取容量为20的样本，老年患者应抽取5人
B.该医院中年患者所占的频率为
C.估计该医院的平均治愈率大约是86%
D.估计该医院的平均治愈率大约是84%
6.随机抽取某社区15名居民，调查他们某一天吃早餐所花的费用（单位：元），所获数据的茎叶图如图所示，则这15个数据的众数是　　　　.
茎 叶
0 1 2 3 5 7 8 9 6 7 1 4 5 2 1 3 1
7.如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B.转盘A被平均分成3等份，分别标上1，2，3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3，4，5，6四个数字.有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜.你认为这样的游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？
8.某地区想实行阶梯电价，经调查发现，该地区居民用电量信息如下：
分位数 50% 分位数 70% 分位数 80% 分位数 90% 分位数
用电量/ （kW·h） 160 176 215 230
如果要求约70%的居民用电在第一阶梯内，约20%的居民用电在第二阶梯内，可确定第二阶梯电价的用电量/（kW·h）范围为（　　）
A.（160，176] B.（176，215]
C.（176，230] D.（230，＋∞）
9.将某射击运动员的十次射击成绩（环数）按从小到大的顺序（相等数据相邻排列）排列为：8.1，8.4，8.4，8.7，x，y，9.3，9.4，9.8，9.9，已知总体的中位数为9，则＋的最小值为　　　　.
10.为比较甲、乙两名学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下列叙述正确的是（　　）
A.乙的数据分析素养优于甲
B.乙的数学建模素养优于数学抽象素养
C.甲的六大素养指标值波动性比乙小
D.甲的六大素养中直观想象最差
11.某市对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高），现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组（第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，45]），得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人.
（1）求x；
（2）求抽取的x人的年龄的50%分位数（结果保留整数）；
（3）以下是参赛的10人的成绩：90，96，97，95，92，92，98，88，96，99，求这10人成绩的20%分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对一带一路的认知程度，并谈谈你的感想.
5.4　统计与概率的应用
1.C　因为前3组的频率之和为0.05＋0.18＋0.20＝0.43＜0.5，前4组的频率之和为0.43＋0.32＝0.75＞0.5，所以这组样本数据的中位数所在的区间为[70，80），故选C.
2.C　由题意，50×（0.002×2＋0.004＋2a）＝1，解得a＝0.006，∴成绩在[300，350）内的学生人数为2 000×0.006×50＝600，故选C.
3.A　由题知前三局有两局甲获胜，最后一局甲胜，共有3种情况：①第一局甲胜、第二局甲胜、第三局乙胜、第四局甲胜，P（A1）＝×××＝；②第一局甲胜、第二局乙胜、第三局甲胜、第四局甲胜，P（A2）＝×××＝；③第一局乙胜，然后甲连胜三局，P（A3）＝×××＝.故甲以3∶1获胜的概率P＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）＝，故选A.
4.B　电流能通过A1，A2的概率为0.9×0.9＝0.81，电流能通过A3的概率为0.9，故电流既不能通过A1，A2，也不能通过A3的概率为（1－0.81）×（1－0.9）＝0.019，所以电流能通过A1，A2，A3的概率为1－0.019＝0.981，而电流能通过A4的概率为0.9，所以电流能在M，N之间通过的概率为0.981×0.9＝0.882 9，故选B.
5.ABC　对于A选项，若从该医院所有患者中抽取容量为20的样本，老年患者应抽取的人数为20×＝5，A对；对于B选项，该医院中年患者所占的频率为＝，B对；对于C、D选项，估计该医院的平均治愈率大约是＝0.857 5≈86%，C对，D错.故选A、B、C.
6.11　解析：这15个数据分别为2，3，5，6，7，7，8，9，11，11，11，12，13，14，15，该组数据的众数为11.
7.解：列表：
　　B A　　 3 4 5 6
1 4 5 6 7
2 5 6 7 8
3 6 7 8 9
由表可知，所有等可能的结果有12种，和为6的结果只有3种.
因为P（和为6）＝＝，所以甲、乙获胜的概率不相等，
所以这样的游戏规则不公平.如果将规则改为“和是6或7，那么甲获胜，否则乙获胜”，那么此时游戏规则是公平的.
8.C　∵约70%的居民用电在第一阶梯内，约20%的居民用电在第二阶梯内，∴由表中数据可得，第二阶梯电价的用电量/（kW·h）范围为（176，230].故选C.
9.　解析：因为总体的中位数为9.所以x＋y＝18，则＋＝（x＋y）＝≥（2＋2）＝，当且仅当x＝y＝9时，等号成立.
10.C　A选项，甲的数据分析素养为5分，乙的数据分析素养为4分，乙的数据分析素养低于甲，选项错误；B选项，乙的数学建模素养为3分，乙的数学抽象为素养3分，选项错误；C选项，甲的六大素养指标值分别为5，4，5，4，5，4；乙的六大素养指标值分别为4，3，4，3，3，5，甲的六大素养指标值波动性比乙小，选项正确；D选项，由C可知，甲的六大素养中，数学抽象，数学建模和数学运算最差，直观想象，数据分析和逻辑推理最好，选项错误.故选C.
11.解：（1）第一组频率为0.01×5＝0.05，所以x＝＝100.
（2）由题图可知年龄低于30岁的所占比例为40%，
年龄低于35岁的所占比例为70%，
所以抽取的x人的年龄的50%分位数在[30，35）内，
由30＋＝≈32，所以抽取的x人的年龄的50%分位数为32.
（3）把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列：88，90，92，92，95，96，96，97，98，99，
计算10×20%＝2，所以这10人成绩的20%分位数为＝91，
这10人成绩的平均数为（88＋90＋92＋92＋95＋96＋96＋97＋98＋99）＝94.3，
评价：从百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高.
感想：结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可.
3 / 35.4　统计与概率的应用
新课程标准解读 核心素养
1.能够掌握古典概型的基本特征，根据实际问题构建概率模型，解决简单的实际问题 数学建模、数学运算
2.能够结合具体问题，理解统计推断结果的偶然性，正确运用统计结果解释实际问题 数学建模、数学运算
　　在一次对敌作战前夕，为了鼓舞士气，大将狄青拿出一百枚“宋元天宝”铜币，向众将士殷殷许愿：“如果钱币扔在地上，有字的一面全部向上，那么这次出兵就可以打败敌人！”在众将士的注目之下，狄青将铜币用力向空中抛去，奇迹发生了：一百枚铜币，枚枚有字的面都向上.顿时，全军欢呼雀跃.将士们个个认定是神灵保佑，战争必胜无疑.
【问题】　（1）若是掷100枚我们生活的普通硬币，正面朝上和反面朝上的硬币数大约各是多少？
（2）如果狄青所抛的一百枚铜币的正、反面不一样，铜币的有字面全部向上的可能性有多大？
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　统计与概率的应用
1.生活中的概率
概率和日常生活有着密切的联系，对生活中的随机事件，我们可以利用概率知识做出合理的　　　　　　.
2.概率的应用
概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活中，成为一个常用的词汇，任何事件的概率是　　　　之间的一个数，它度量该事件发生的可能性大小.小概率事件（　　　　　　）很少发生，而大概率事件（　　　　　　）则经常发生.
1.根据某市疾控中心的健康监测，该市在校中学生的近视率约为78.7%.某眼镜厂商要到中学给近视学生配送滴眼液，每人一瓶，已知该校学生总数为600人，则眼镜商应带滴眼液的瓶数为（　　）
A.600　　　　　　　 B.787
C.不少于473 D.不多于473
2.从某批零件中随机抽出40个检查，发现合格产品有36个，则该批产品的合格率为（　　）
A.36% B.72%
C.90% D.25%
3.袋中装有数量差别很大的白球和黑球（只是颜色不同），从中任取一球，若取得白球，那么我们可以认为数量多的是　　　　.
题型一 统计在实际问题中的应用
【例1】　某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用 水量 [0， 0.1） [0.1， 0.2） [0.2， 0.3） [0.3， 0.4） [0.4， 0.5） [0.5， 0.6） [0.6， 0.7]
频数 1 3 2 4 9 26 5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用 水量 [0， 0.1） [0.1， 0.2） [0.2， 0.3） [0.3， 0.4） [0.4， 0.5） [0.5， 0.6]
频数 1 5 13 10 16 5
（1）在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
尝试解答
通性通法
　　频率分布直方图是考查数据收集和整理的常用依据，掌握频率分布直方图中常见数据的提取方法是解决此类问题的关键.
【跟踪训练】
　某种婴儿用品主要材质是橡胶，在加工过程中，可能会残留一些未挥发完全的溶剂，以及橡胶本身含有的化合物等，长期潜伏积累，对免疫力尚未健全的婴幼儿危害甚大，为了测量此类新产品的挥发性物质含量，从生产的产品中随机抽取100个，得到如图频率分布直方图，若以频率作为概率，规定该婴儿用品的挥发性物质含量＜18‰为合格产品.
（1）若这100个产品的挥发性物质含量的平均值大于16，则需进行技术改进，试问该新产品是否需要技术改进？
（2）为了解产品不合格的原因，用分层抽样的方法从[18，20）与[20，22）中抽取6个进行分析，然后从这6个中抽取2个进一步实验，求2个均在[18，20）内的概率.
题型二 概率在整体估计中的应用
【例2】　为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天逮到这种动物1 200只作好标记后放回，经过一星期后，又逮到这种动物1 000只，其中作过标记的有100只，利用概率的方法估算，保护区内有多少只该种动物.
尝试解答
通性通法
利用频率与概率的关系求未知量的步骤
（1）抽出m个样本进行标记，设总体为未知量n，则标记概率为；
（2）随机抽取n1个个体，出现其中m1个被标记，则标记频率为；
（3）用频率近似等于概率，建立等式≈；
（4）求得n≈.
【跟踪训练】
　某养鸡场用鸡蛋孵化小鸡，用200个鸡蛋孵化出170只小鸡，由此估计，要孵化出2 500只小鸡，大约需要鸡蛋的个数为（　　）
A.3 022　　　　　B.2 941
C.2 800 D.3 125
题型三 统计与概率的综合应用
【例3】　某地区公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查.调查中使用了两个问题.
问题1：你的父亲阳历生日日期是不是奇数？（一年以365天计算）
问题2：你是否经常吸烟？
调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子.每个被调查者随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.
请问：如果在200人中，共有58人回答“是”，你能估计出此地区中学生吸烟人数的百分比吗？
尝试解答
通性通法
社会调查问题中概率的应用
（1）由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率；
（2）实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等.
【跟踪训练】
　已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等），现要从甲乙两名同学中选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.
（1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来；
（2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由.
1.为了了解某校高一学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高一学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为（　　）
A.64　　　　　　　　B.54
C.48 D.27
2.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和0.03，则抽检一件是甲级品的概率为（　　）
A.0.95 B.0.97
C.0.92 D.0.08
3.从一群正在做游戏的小孩中抽出k人，一人分一个苹果后，让他们返回继续游戏，一会儿，再从中任取m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计一共有小孩（　　）
A.人 B.人
C.（k＋m－n）人 D.（k－m＋n）人
4.（多选）甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（　　）
A.抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B.同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D.甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
5.设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球.随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，我们可以认为这球是从　　　　箱中取出的.
5.4　统计与概率的应用
【基础知识·重落实】
知识点
1.判断与决策　2.0～1　概率接近0　概率接近1
自我诊断
1.C　依题意，该市在校中学生的近视率约为78.7%.故600人中大约有600×78.7%＝472.2，故眼镜商应带滴眼液的瓶数应不少于473瓶.故选C.
2.C　用样本的合格率近似代替总体的合格率为×100%＝90%.
3.白球　解析：由题意，可以认为取得白球的概率比取得黑球大，故我们可以认为数量多的是白球.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）频率分布直方图如图所示.
（2）根据频率分布直方图知，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.
（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
＝×（0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5）＝0.48（m3）.
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
＝×（0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5）＝0.35（m3）.
估计使用节水龙头后，一年可节省水（0.48－0.35）×365＝47.45（m3）.
跟踪训练
　解：（1）＝11×0.01＋13×0.14＋15×0.28＋17×0.32＋19×0.20＋21×0.04＋23×0.01＝16.44＞16，故该产品需要进行技术改进.
（2）[18，20）组的产品的个数为100×2×0.10＝20，[20，22）组的产品的个数100×2×0.02＝4，所以从[18，20）组中抽取6×＝5个，从[20，22）组中抽取6×＝1个，记[18，20）组中抽取的5个分别为a，b，c，d，e，[20，22）组中抽取的一个为f，
则从6个中抽取2个的所有情况如下：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种情况，其中在[18，20）中恰有2个的有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）共10种情况，所以所求的概率P＝＝.
【例2】　解：设保护区内这种野生动物有x只，假定每只动物被逮到的可能性是相同的，那么从这种野生动物中任逮一只，设事件A＝{带有记号的动物}，则由古典概型可知，P（A）＝.第二次被逮到的1 000只中，有100只带有记号，即事件A发生的频数m＝100，由概率的统计定义可知P（A）＝＝，故≈，解得x≈12 000.
所以保护区内约有12 000只该种动物.
跟踪训练
　B　设大约需要x个鸡蛋，则＝，解得x≈2 941，故选B.
【例3】　解：由题意可知，每个学生从口袋中摸出1个白球或红球的概率都是0.5，即我们期望大约有100人回答了第一个问题，另100人回答了第二个问题.在摸出白球的情况下，回答父亲阳历生日日期是奇数的概率是≈0.51.因而在回答第一个问题的100人中，大约有51人回答了“是”.所以我们能推出，在回答第二个问题的100人中，大约有7人回答了“是”.即估计此地区大约有7%的中学生吸烟.
跟踪训练
　解：（1）由题意知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数共有20个.分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456.
（2）不公平.由（1）知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个，记“甲参加数学竞赛”为事件A，记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13个.
由古典概型计算公式，得
P（A）＝＝，
又A与B对立，所以P（B）＝1－P（A）＝1－＝，
所以P（A）＞P（B）.故选取规则对甲、乙两名学生不公平.
随堂检测
1.B　[4.7，4.8）的频率为0.32，[4.6，4.7）的频率为1－（0.62＋0.05＋0.11）＝1－0.78＝0.22，所以a＝（0.22＋0.32）×100＝54.
2.C　记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P（A）＝1－P（B）－P（C）＝0.92.
3.B　设共有x个小孩，由题意可得＝，解得x＝，因此，估计一共有小孩人，故选B.
4.ACD　对于选项A，甲胜和乙胜的概率都是＝，所以游戏是公平的；对于选项B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，所以游戏不公平；对于选项C，甲胜和乙胜的概率都是＝，所以游戏是公平的；对于选项D，甲胜的概率是，乙胜的概率是，所以游戏是公平的.故选A、C、D.
5.甲　解析：∵甲箱有99个白球1个黑球，∴随机地取出一球，得白球的可能性是，乙箱中有1个白球和99个黑球，从中任取一球，得白球的可能性是，由此看到，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多.既然在一次抽样中抽得白球，当然可以认为是由概率大的箱子中抽出的.∴我们作出推断是从甲箱中抽出的.
5 / 5(共65张PPT)
5.4　
统计与概率的应用
新课程标准解读 核心素养
1.能够掌握古典概型的基本特征，根据实际问题构建
概率模型，解决简单的实际问题 数学建模、
数学运算
2.能够结合具体问题，理解统计推断结果的偶然性，
正确运用统计结果解释实际问题 数学建模、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　在一次对敌作战前夕，为了鼓舞士气，大将狄青拿出一百枚“宋
元天宝”铜币，向众将士殷殷许愿：“如果钱币扔在地上，有字的一
面全部向上，那么这次出兵就可以打败敌人！”在众将士的注目之
下，狄青将铜币用力向空中抛去，奇迹发生了：一百枚铜币，枚枚有
字的面都向上.顿时，全军欢呼雀跃.将士们个个认定是神灵保佑，战
争必胜无疑.
【问题】　（1）若是掷100枚我们生活的普通硬币，正面朝上和反面
朝上的硬币数大约各是多少？
（2）如果狄青所抛的一百枚铜币的正、反面不一样，铜币的有字面
全部向上的可能性有多大？
　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　
知识点　统计与概率的应用
1. 生活中的概率
概率和日常生活有着密切的联系，对生活中的随机事件，我们可以
利用概率知识做出合理的 .
判断与决策　
2. 概率的应用
概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到人们的
日常生活中，成为一个常用的词汇，任何事件的概率是 之
间的一个数，它度量该事件发生的可能性大小.小概率事件（　
　）很少发生，而大概率事件（　 　）则经常
发生.
0～1　
概
率接近0　
概率接近1　
1. 根据某市疾控中心的健康监测，该市在校中学生的近视率约为
78.7%.某眼镜厂商要到中学给近视学生配送滴眼液，每人一瓶，
已知该校学生总数为600人，则眼镜商应带滴眼液的瓶数为（　）
A. 600 B. 787
C. 不少于473 D. 不多于473
解析： 　依题意，该市在校中学生的近视率约为78.7%.故600人
中大约有600×78.7%＝472.2，故眼镜商应带滴眼液的瓶数应不少
于473瓶.故选C.
2. 从某批零件中随机抽出40个检查，发现合格产品有36个，则该批产
品的合格率为（　　）
A. 36% B. 72%
C. 90% D. 25%
解析： 　用样本的合格率近似代替总体的合格率为 ×100%＝
90%.
3. 袋中装有数量差别很大的白球和黑球（只是颜色不同），从中任取
一球，若取得白球，那么我们可以认为数量多的是 .
解析：由题意，可以认为取得白球的概率比取得黑球大，故我们可
以认为数量多的是白球.
白球　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 统计在实际问题中的应用
【例1】　某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单
位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布
表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用 水量 [0， 0.1） [0.1， 0.2） [0.2， 0.3） [0.3， 0.4） [0.4， 0.5） [0.5， 0.6） [0.6，
0.7]
频数 1 3 2 4 9 26 5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用 水量 [0， 0.1） [0.1， 0.2） [0.2， 0.3） [0.3， 0.4） [0.4， 0.5） [0.5，
0.6]
频数 1 5 13 10 16 5
（1）在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布
直方图；
解： 频率分布直方图如图所示.
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；
解： 根据频率分布直方图知，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按
365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值
作代表）
解：该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为 ＝ ×（0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5）＝0.48（m3）.
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为 ＝ ×
（0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋
0.55×5）＝0.35（m3）.
估计使用节水龙头后，一年可节省水（0.48－0.35）×365＝
47.45（m3）.
通性通法
　　频率分布直方图是考查数据收集和整理的常用依据，掌握频率分
布直方图中常见数据的提取方法是解决此类问题的关键.
【跟踪训练】
　某种婴儿用品主要材质是橡胶，在加工过程中，可能会残留一些未
挥发完全的溶剂，以及橡胶本身含有的化合物等，长期潜伏积累，对
免疫力尚未健全的婴幼儿危害甚大，为了测量此类新产品的挥发性物
质含量，从生产的产品中随机抽取100个，得到如图频率分布直方
图，若以频率作为概率，规定该婴儿用品的挥发性物质含量＜18‰为
合格产品.
（1）若这100个产品的挥发性物质含量的平均值大于16，则需进行技
术改进，试问该新产品是否需要技术改进？
解： ＝11×0.01＋13×0.14＋15×0.28＋17×0.32＋9×0.20＋21×0.04＋23×0.01＝16.44＞16，故该产品需要进行技术
改进.
（2）为了解产品不合格的原因，用分层抽样的方法从[18，20）与
[20，22）中抽取6个进行分析，然后从这6个中抽取2个进一步
实验，求2个均在[18，20）内的概率.
解： [18，20）组的产品的个数为100×2×0.10＝20，[20，22）组的产品的个数100×2×0.02＝4，所以从[18，20）组中抽取6× ＝5个，从[20，22）组中抽取6× ＝1个，记[18，20）组中抽取的5个分别为 a ， b ， c ， d ， e ，[20，22）组中抽取的一个为 f ，
则从6个中抽取2个的所有情况如下：
（ a ， b ），（ a ， c ），（ a ， d ），（ a ， e ），（ a ， f ），
（ b ， c ），（ b ， d ），（ b ， e ），（ b ， f ），（ c ， d ），
（ c ， e ），（ c ， f ），（ d ， e ），（ d ， f ），（ e ， f ）共15
种情况，其中在[18，20）中恰有2个的有（ a ， b ），（ a ，
c ），（ a ， d ），（ a ， e ），（ b ， c ），（ b ， d ），（ b ，
e ），（ c ， d ），（ c ， e ），（ d ， e ）共10种情况，所以所
求的概率 P ＝ ＝ .
题型二 概率在整体估计中的应用
【例2】　为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查
人员某天逮到这种动物1 200只作好标记后放回，经过一星期后，又逮
到这种动物1 000只，其中作过标记的有100只，利用概率的方法估
算，保护区内有多少只该种动物.
解：设保护区内这种野生动物有 x 只，假定每只动物被逮到的可能性
是相同的，那么从这种野生动物中任逮一只，设事件 A ＝{带有记号
的动物}，则由古典概型可知， P （ A ）＝ .第二次被逮到的1 000
只中，有100只带有记号，即事件 A 发生的频数 m ＝100，由概率的统
计定义可知 P （ A ）＝ ＝ ，故 ≈ ，解得 x ≈12 000.
所以保护区内约有12 000只该种动物.
通性通法
利用频率与概率的关系求未知量的步骤
（1）抽出 m 个样本进行标记，设总体为未知量 n ，则标记概率为 ；
（2）随机抽取 n1个个体，出现其中 m1个被标记，则标记频率为 ；
（3）用频率近似等于概率，建立等式 ≈ ；
（4）求得 n ≈ .
【跟踪训练】
　某养鸡场用鸡蛋孵化小鸡，用200个鸡蛋孵化出170只小鸡，由此估
计，要孵化出2 500只小鸡，大约需要鸡蛋的个数为（　　）
A. 3 022 B. 2 941 C. 2 800 D. 3 125
解析： 　设大约需要 x 个鸡蛋，则 ＝ ，解得 x ≈2 941，
故选B.
题型三 统计与概率的综合应用
【例3】　某地区公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，
对随机抽出的200名学生进行了调查.调查中使用了两个问题.
问题1：你的父亲阳历生日日期是不是奇数？（一年以365天计算）
问题2：你是否经常吸烟？
调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全
一样的50个白球和50个红球的袋子.每个被调查者随机从袋中摸取1个
球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，
摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中
放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.由于问题的答案只有
“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被
调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.
请问：如果在200人中，共有58人回答“是”，你能估计出此地区中
学生吸烟人数的百分比吗？
解：由题意可知，每个学生从口袋中摸出1个白球或红球的概率都是
0.5，即我们期望大约有100人回答了第一个问题，另100人回答了第
二个问题.在摸出白球的情况下，回答父亲阳历生日日期是奇数的概
率是 ≈0.51.因而在回答第一个问题的100人中，大约有51人回答了
“是”.所以我们能推出，在回答第二个问题的100人中，大约有7人
回答了“是”.即估计此地区大约有7%的中学生吸烟.
通性通法
社会调查问题中概率的应用
（1）由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的
稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果
出现的概率；
（2）实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物
种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数
量等.
【跟踪训练】
　已知 n 是一个三位正整数，若 n 的个位数字大于十位数字，十位数
字大于百位数字，则称 n 为“三位递增数”（如135，256，345等），
现要从甲乙两名同学中选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规
则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽
取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加
数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.
（1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举
出来；
解： 由题意知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递
增数共有20个.分别是123，124，125，126，134，135，136，
145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，
356，456.
（2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由.
解： 不公平.由（1）知，所有由1，2，3，4，5，6组成的
“三位递增数”有20个，记“甲参加数学竞赛”为事件 A ，记
“乙参加数学竞赛”为事件 B . 则事件 A 含有基本事件有：
124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，
356，456共13个.
由古典概型计算公式，得
P （ A ）＝ ＝ ，
又 A 与 B 对立，所以 P （ B ）＝1－ P （ A ）＝1－ ＝ ，
所以 P （ A ）＞ P （ B ）.故选取规则对甲、乙两名学生不公平.
1. 为了了解某校高一学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高一学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，视力在4.6到4.8之间的学生数为 a ，最大频率为0.32，则 a 的值为（　　）
A. 64 B. 54
C. 48 D. 27
解析： 　[4.7，4.8）的频率为0.32，[4.6，4.7）的频率为1－
（0.62＋0.05＋0.11）＝1－0.78＝0.22，所以 a ＝（0.22＋
0.32）×100＝54.
2. 某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产
情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和0.03，则抽检一
件是甲级品的概率为（　　）
A. 0.95 B. 0.97
C. 0.92 D. 0.08
解析： 　记抽检的产品是甲级品为事件 A ，是乙级品为事件 B ，
是丙级品为事件 C ，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为 P
（ A ）＝1－ P （ B ）－ P （ C ）＝0.92.
3. 从一群正在做游戏的小孩中抽出 k 人，一人分一个苹果后，让他们
返回继续游戏，一会儿，再从中任取 m 人，发现其中有 n 个小孩曾
分过苹果，估计一共有小孩（　　）
A. 人 B. 人
C. （ k ＋ m － n ）人 D. （ k － m ＋ n ）人
解析： 　设共有 x 个小孩，由题意可得 ＝ ，解得 x ＝ ，因
此，估计一共有小孩 人，故选B.
4. （多选）甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（　　）
A. 抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙
胜
B. 同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C. 从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，
是黑色则乙胜
D. 甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
解析： 　对于选项A，甲胜和乙胜的概率都是 ＝ ，所以游
戏是公平的；对于选项B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率
相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，所以游戏不公
平；对于选项C，甲胜和乙胜的概率都是 ＝ ，所以游戏
是公平的；对于选项D，甲胜的概率是 ，乙胜的概率是 ，所以
游戏是公平的.故选A、C、D.
5. 设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑
球，乙箱中有1个白球，99个黑球.随机地抽取一箱，再从取出
的一箱中抽取一球，结果取得白球，我们可以认为这球是
从 箱中取出的.
甲　
解析：∵甲箱有99个白球1个黑球，∴随机地取出一球，得白球
的可能性是 ，乙箱中有1个白球和99个黑球，从中任取一
球，得白球的可能性是 ，由此看到，这一白球从甲箱中抽出
的概率比从乙箱中抽出的概率大得多.既然在一次抽样中抽得白
球，当然可以认为是由概率大的箱子中抽出的.∴我们作出推断
是从甲箱中抽出的.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 一个容量为100的样本，其数据分组与各组的频数如下：
分组 [40，
50） [50，
60） [60，
70） [70，
80） [80，
90） [90，
100]
频数 5 18 20 32 16 9
则这组样本数据的中位数所在的区间为（　　）
A. [50，60） B. [60，70）
C. [70，80） D. [80，90）
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解析： 　因为前3组的频率之和为0.05＋0.18＋0.20＝0.43＜
0.5，前4组的频率之和为0.43＋0.32＝0.75＞0.5，所以这组样本
数据的中位数所在的区间为[70，80），故选C.
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2. 某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽
取了200分到450分之间的2 000名学生的成绩，并根据这2 000名学
生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示.则成绩在[300，
350）内的学生人数为（　　）
A. 300 B. 400
C. 600 D. 1 200
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解析： 　由题意，50×（0.002×2＋0.004＋2 a ）＝1，解得 a ＝
0.006，∴成绩在[300，350）内的学生人数为2 000×0.006×50＝
600，故选C.
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3. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先
胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为 ，则甲以
3∶1的比分获胜的概率为（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　由题知前三局有两局甲获胜，最后一局甲胜，共有3种
情况：①第一局甲胜、第二局甲胜、第三局乙胜、第四局甲胜， P
（ A1）＝ × × × ＝ ；②第一局甲胜、第二局乙胜、第三局
甲胜、第四局甲胜， P （ A2）＝ × × × ＝ ；③第一局乙
胜，然后甲连胜三局， P （ A3）＝ × × × ＝ .故甲以3∶1
获胜的概率 P ＝ P （ A1）＋ P （ A2）＋ P （ A3）＝ ，故选A.
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4. 如图，元件 Ai （ i ＝1，2，3，4）通过电流的概率均为0.9，且各
元件是否通过电流互不影响，则电流能在 M ， N 之间通过的概率是
（　　）
A. 0.729 B. 0.882 9
C. 0.864 D. 0.989 1
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解析： 　电流能通过 A1， A2的概率为0.9×0.9＝0.81，电流能通
过 A3的概率为0.9，故电流既不能通过 A1， A2，也不能通过 A3的概
率为（1－0.81）×（1－0.9）＝0.019，所以电流能通过 A1，
A2， A3的概率为1－0.019＝0.981，而电流能通过 A4的概率为
0.9，所以电流能在 M ， N 之间通过的概率为0.981×0.9＝0.882
9，故选B.
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5. （多选）某疾病老年患者治愈率为70%，中年患者治愈率为86%，
青年患者治愈率为95%.某医院共有300名老年患者，400名中年患
者，500名青年患者，则（　　）
A. 若从该医院所有患者中抽取容量为20的样本，老年患者应抽取5人
B. 该医院中年患者所占的频率为
C. 估计该医院的平均治愈率大约是86%
D. 估计该医院的平均治愈率大约是84%
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解析： 　对于A选项，若从该医院所有患者中抽取容量为20的
样本，老年患者应抽取的人数为20× ＝5，A对；对于B选项，
该医院中年患者所占的频率为 ＝ ，B对；对于C、D选项，估
计该医院的平均治愈率大约是 ＝0.857
5≈86%，C对，D错.故选A、B、C.
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6. 随机抽取某社区15名居民，调查他们某一天吃早餐所花的费用（单
位：元），所获数据的茎叶图如图所示，则这15个数据的众数
是 .
茎 叶
0 1 2 3 5 7 8 9 6 7
1 4 5 2 1 3 1
解析：这15个数据分别为2，3，5，6，7，7，8，9，11，11，11，
12，13，14，15，该组数据的众数为11.
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7. 如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘 A ， B . 转盘 A 被平均
分成3等份，分别标上1，2，3三个数字；转盘 B 被平均分成4等
份，分别标上3，4，5，6四个数字.有人为甲、乙两人设计了一个
游戏规则：自由转动转盘 A 与 B ，转盘停止后，指针各指向一个数
字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则
乙获胜.你认为这样的游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；
如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？
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解：列表：
　　 B A 　　 3 4 5 6
1 4 5 6 7
2 5 6 7 8
3 6 7 8 9
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由表可知，所有等可能的结果有12种，和为6的结果只有3种.
因为 P （和为6）＝ ＝ ，所以甲、乙获胜的概率不相等，
所以这样的游戏规则不公平.如果将规则改为“和是6或7，那么甲
获胜，否则乙获胜”，那么此时游戏规则是公平的.
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8. 某地区想实行阶梯电价，经调查发现，该地区居民用电量信息
如下：
分位数 50% 分位数 70% 分位数 80% 分位数 90%
分位数
用电量/ （kW·h） 160 176 215 230
如果要求约70%的居民用电在第一阶梯内，约20%的居民用电在第
二阶梯内，可确定第二阶梯电价的用电量/（kW·h）范围为（　　）
A. （160，176] B. （176，215]
C. （176，230] D. （230，＋∞）
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解析： 　∵约70%的居民用电在第一阶梯内，约20%的居民用电
在第二阶梯内，∴由表中数据可得，第二阶梯电价的用电量/
（kW·h）范围为（176，230].故选C.
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9. 将某射击运动员的十次射击成绩（环数）按从小到大的顺序（相等
数据相邻排列）排列为：8.1，8.4，8.4，8.7， x ， y ，9.3，
9.4，9.8，9.9，已知总体的中位数为9，则 ＋ 的最小值
为 .
解析：因为总体的中位数为9.所以 x ＋ y ＝18，则 ＋ ＝
（ x ＋ y ）＝ ≥ （2＋2 ）＝ ，当且仅当
x ＝ y ＝9时，等号成立.
　
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10. 为比较甲、乙两名学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六
大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据
测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下列叙述正
确的是（　　）
A. 乙的数据分析素养优于甲
B. 乙的数学建模素养优于数学抽象素养
C. 甲的六大素养指标值波动性比乙小
D. 甲的六大素养中直观想象最差
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解析： 　A选项，甲的数据分析素养为5分，乙的数据分析素养
为4分，乙的数据分析素养低于甲，选项错误；B选项，乙的数学
建模素养为3分，乙的数学抽象为素养3分，选项错误；C选项，
甲的六大素养指标值分别为5，4，5，4，5，4；乙的六大素养指
标值分别为4，3，4，3，3，5，甲的六大素养指标值波动性比乙
小，选项正确；D选项，由C可知，甲的六大素养中，数学抽象，
数学建模和数学运算最差，直观想象，数据分析和逻辑推理最
好，选项错误.故选C.
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11. 某市对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞
赛，满分100分（90分及以上为认知程度高），现从参赛者中抽取
了 x 人，按年龄分成5组（第一组：[20，25），第二组：[25，
30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，
45]），得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人.
（1）求 x ；
解： 第一组频率为
0.01×5＝0.05，所以 x
＝ ＝100.
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（2）求抽取的 x 人的年龄的50%分位数（结果保留整数）；
解： 由题图可知年龄低于30岁的所占比例为40%，年龄低于35岁的所占比例为70%，
所以抽取的 x 人的年龄的50%分位数在[30，35）内，
由30＋ ＝ ≈32，所以抽取的 x 人的年龄的50%分位数为32.
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（3）以下是参赛的10人的成绩：90，96，97，95，92，92，98，
88，96，99，求这10人成绩的20%分位数和平均数，以这两
个数据为依据，评价参赛人员对一带一路的认知程度，并谈
谈你的感想.
解： 把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列：88，90，92，92，95，96，96，97，98，99，
计算10×20%＝2，所以这10人成绩的20%分位数为 ＝91，
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这10人成绩的平均数为 （88＋90＋92＋92＋95＋96＋96
＋97＋98＋99）＝94.3，
评价：从百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很
高.
感想：结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可.
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