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章末检测（五）　统计与概率
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.某校高三级部分为甲、乙两个级部，现用分层抽样的方法从高三级部中抽取30名老师去参加教研会，已知乙级部中每个老师被抽到的可能性都为，则高三级部的全体老师的个数为（　　）
A.10　　 　B.30　　 　C.60　　 　D.90
2.某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：
66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90
57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10
若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（　　）
A.10 B.05
C.09 D.20
3.数据1，2，3，4，5，6的60%分位数为（　　）
A.3 B.3.5
C.3.6 D.4
4.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：任意一个大于2的偶数都可以写成两个素数（质数）之和，也就是我们所谓的“1＋1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都取得了相当好的成绩.若将14拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为素数的概率为（　　）
A. B.
C. D.
5.如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（　　）
A. B.
C. D.
6.已知样本数据由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且样本的中位数为10.5，若使该样本的方差最小，则a，b的值分别为（　　）
A.10，11 B.10.5，9.5
C.10.4，10.6 D.10.5，10.5
7.甲乙两队进行羽毛球决赛，甲队只要再胜一局就获得冠军，乙队需要再胜两局才能获得冠军，若每局甲队获胜的概率为，则甲队获得冠军的概率为（　　）
A. B.
C. D.
8.已知样本x1，x2，…，xn的平均数为x，样本y1，y2，…，ym的平均数为y（x≠y），若样本x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym的平均数z＝ax＋（1－a）y，其中0＜a＜，则n，m（n，m∈N*）的大小关系为（　　）
A.n＝m B.n≥m
C.n＜m D.n＞m
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.抛掷一颗质地均匀的骰子一次，记事件M为“向上的点数为1或4”，事件N为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（　　）
A.M与N互斥但不对立
B.M与N对立
C.P（MN）＝
D.P（M＋N）＝
10.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，若甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，且两个人射击的结果互不影响，则下列结论正确的是（　　）
A.两人都中靶的概率为0.72
B.至少一人中靶的概率为0.88
C.至多一人中靶的概率为0.26
D.恰好有一人脱靶的概率为0.26
　　
11.某篮球爱好者在一次篮球训练中，需进行五轮投篮，每轮投篮5次.统计各轮投进球的个数，获知其前四轮投中的个数分别为2，3，4，4，则第五轮结束后下列数字特征有可能发生的是（　　）
A.平均数为3，极差是3
B.中位数是3，极差是3
C.平均数为3，方差是0.8
D.中位数是3，方差是0.56
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组）（单位：人）：
篮球组 书画组 乐器组
高一 45 30 a
高二 15 10 20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为　　　　.
13.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为　　　　.
8 7 7
9 4 0 1 0 x 9 1
14.在一场对抗赛中，A，B两人争夺冠军，若比赛采用“五局三胜制”，A每局获胜的概率均为，且各局比赛相互独立，则A在第一局失利的情况下，经过五局比赛最终获得冠军的概率是　　　　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差.
　　
16.（本小题满分15分）某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达，延迟5分钟内送达，延迟5至10分钟送达，其他延迟情况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次奖励3元，奖励0元，罚款3元，罚款6元.假定评定等级为A，B，C的概率分别是，，.
（1）若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率；
（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为3元的概率.
17.（本小题满分15分）某保险公司利用简单随机抽样方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额（元） 0 1 000 2 000 3 000 4 000
车辆数（辆） 500 130 100 150 120
（1）若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率.
　　
18.（本小题满分17分）当今，手机已经成为人们不可或缺的交流工具，人们常常把喜欢玩手机的人冠上了名号“低头族”，手机已经严重影响了人们的生活.一媒体为调查市民对低头族的认识，从某社区的500名市民中随机抽取n名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图如图：
组数 分组（单位：岁） 频数 频率
1 [20，25） 5 0.05
2 [25，30） 20 0.2
3 [30，35） a 0.35
4 [35，40） 30 b
5 [40，45] 10 0.1
合计 n 1
（1）求出表中a，b，n的值，并补全频率分布直方图；
（2）媒体记者为了做好调查工作，决定在第2，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名市民进行问卷调查，再从这6名市民中随机抽取2名接受电视采访，求第2组至少有一名接受电视采访的概率.
19.（本小题满分17分）某部门组织甲、乙两人破译一个密码，每人能否破译该密码相互独立.已知甲、乙各自独立破译出该密码的概率分别为，.
（1）求他们恰有一人破译出该密码的概率；
（2）求他们破译出该密码的概率；
（3）现把乙调离，甲留下，并要求破译出该密码的概率不低于80%，那么至少需要再增添几个与甲水平相当的人？
章末检测（五）　统计与概率
1.D　因为乙级部中每个老师被抽到的可能性都为，所以高三年级中每个老师被抽到的可能性都为，由30÷＝90（人），可得全体老师人数.
2.C　依题意，读取的第一个数为14，向右每两位读取数据，依次为：64，05，71，11，05，65，09，其中64，71，65不在编号范围内，舍去，而后一个05与前一个05重复，应舍去后一个05，读取符合要求的两位数据依次为：14，05，11，09，则09刚好是第四个符合要求的编号，所以得到的第4个样本编号是09.故选C.
3.D　由6×60%＝3.6，所以数据1，2，3，4，5，6的60%分位数是第四个数，故选D.
4.A　∵14＝1＋13＝2＋12＝…＝13＋1，共有13个和式，其中加数全部为素数为7＋7，3＋11，11＋3，共3个基本事件，∴P＝，故选A.
5.C　记其中被污损的数字为x，依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是（80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0）＝90，乙的五次综合测评的平均成绩是（80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9）＝（442＋x），令90＞（442＋x），解得x＜8，所以x的可能取值是0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为＝.
6.D　由于样本共有10个值，且中间两个数为a，b，依题意，得＝10.5，即b＝21－a.因为平均数为（2＋3＋3＋7＋a＋b＋12＋13.7＋18.3＋20）÷10＝10，所以要使该样本的方差最小，只需（a－10）2＋（b－10）2最小.又（a－10）2＋（b－10）2＝（a－10）2＋（21－a－10）2＝2a2－42a＋221，所以当a＝－＝10.5时，（a－10）2＋（b－10）2最小，此时b＝10.5.
7.D　由已知得甲队获胜分以下两种可能情况：①第一局甲队获胜，此时的概率为；②第一局乙队获胜，第二局甲队获胜，此时的概率为×＝，综上所述，甲队获胜的概率为＋＝，故选D.
8.C　由题意得z＝（nx＋my）＝x＋y，∴a＝，∵0＜a＜，∴0＜＜，又n，m∈N*，∴2n＜n＋m，∴n＜m.故选C.
9.CD　选项A：P（MN）≠0，故事件M与事件N不互斥，A错误；选项B：P（MN）≠0，故事件M与事件N不对立，B错误；选项C：P（MN）表示事件M与事件N同时发生的概率，此时向上的点数为1，此时P（MN）＝；C正确；选项D：P（M＋N）表示事件向上的点数为1，3，4，5的概率，P（M＋N）＝＝，故D正确.故选C、D.
10.AD　设事件A为：“甲中靶”，设事件B为：“乙中靶”，这两个事件相互独立.A选项：都中靶的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝0.8×0.9＝0.72，故A项对；B选项：至少一人中靶，其对立事件为：两人都不中靶，故至少一人中靶的概率为1－P（）＝1－P（）P（）＝1－0.2×0.1＝0.98，故B项不对；C选项：至多一人中靶的对立事件为：两人都中靶，故至多一人中靶的概率为1－P（AB）＝0.28，故C项不对；D选项：恰好有一人脱靶的概率为P（A）P（）＋P（）P（B）＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26，故D项对.故选A、D.
11.BCD　2＋3＋4＋4＝13，①若平均数为3，则第五轮投中的个数为2，所以极差为4－2＝2，方差为[（2－3）2×2＋（3－3）2＋（4－3）2×2]＝0.8，即选项A错误，C正确；②若中位数为3，则第五轮投中的个数为0或1或2或3，当投中的个数为0时，极差为4，方差为[（0－2.6）2＋（2－2.6）2＋（3－2.6）2＋（4－2.6）2×2]＝2.24，当投中的个数为1时，极差为3，方差为[（1－2.8）2＋（2－2.8）2＋（3－2.8）2＋（4－2.8）2×2]＝1.36；当投中的个数为2时，极差为2，方差为0.8；当投中的个数为3时，极差为2，方差为[（2－3.2）2＋（3－3.2）2×2＋（4－3.2）2×2]＝0.56，即选项B、D均正确.故选B、C、D.
12.30　解析：由题意知，＝，解得a＝30.
13.　解析：由题图可知去掉的两个数是87，99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x＝4.故s2＝×[（87－91）2＋（90－91）2×2＋（91－91）2×2＋（94－91）2×2]＝.
14.　解析：第1局A失利为事实，经过5局A获胜，第2，3，4局A胜2局，B胜1局，5局比赛最终获得冠军的概率是3×××＝.
15.解：由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为
＝＝45（岁），
年龄的方差为＝×[3×（58－45）2＋5×（40－45）2＋2×（38－45）2]＝73，
所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为
＝×38＋×45≈39.2（岁），
该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是
s2＝×[2＋（38－39.2）2]＋×[73＋（45－39.2）2]＝20.64.
16.解：（1）设事件A，B分别表示“被评为等级A，B”，
由题意，事件A，B两两互斥，又A∪B＝“不被罚款”，
所以P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝＋＝.
因此“不被罚款”的概率为；
（2）设事件Ai，Bi，Ci，Di表示“第i单被评为等级A，B，C，D”，i＝1，2，
则“两单共获得的奖励为3元”即事件（A1B2）∪（A2B1），且事件A1B2，A2B1彼此互斥，
又P（A1B2）＝P（A2B1）＝×＝，
所以P＝P[（A1B2）∪（A2B1）]＝P（A1B2）＋P（A2B1）＝×2＝.
17.解：（1）设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得
P（A）＝＝0.15，P（B）＝＝0.12.
由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P（A）＋P（B）＝0.15＋0.12＝0.27.
（2）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，可得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100（辆），而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24（辆），所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P（C）＝0.24.
18.解：（1）由题意及频率分布表可知：n＝5÷0.05＝100，
所以a＝100×0.35＝35，b＝＝0.3.
补全频率分布直方图，如图所示：
（2）第2，4，5组总人数为20＋30＋10＝60，
故第2组应抽人数为6×＝2，记为1，2，
第4组应抽人数为6×＝3，记为a，b，c，
第5组应抽人数为6×＝1，记为m.
从这6名市民中随机抽取两名的所有的基本事件有：
（m，a），（m，b），（m，c），（m，1），（m，2），（a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（b，c），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（1，2），共15个，
符合条件第2组至少有一名接受电视采访的基本事件有9个，
故第2组至少有一名接受电视采访的概率为P＝＝0.6.
19.解：记“甲破译出密码”为事件A，“乙破译出密码”为事件B，
则P（A）＝，P（B）＝.
（1）“甲、乙两人中恰有一人破译出该密码”，包括“甲破译出而乙没有破译出”和“乙破译出而甲没有破译出”两种情况，
则P（A＋B）＝P（A）P（）＋P（）P（B）＝×＋×＝.
（2）“他们破译出该密码”的对立事件为“他们没有破译出密码”，即“甲没有破译出密码”与“乙没有破译出密码”同时发生，
所以他们破译出该密码的概率为1－P（）P（）＝1－×＝.
（3）设共需要n个与甲水平相当的人，则有1－≥80%，即≥5，所以n≥4.
故至少需要再增添3个与甲水平相当的人.
1 / 4(共43张PPT)
章末检测（五）　
统计与概率
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 某校高三级部分为甲、乙两个级部，现用分层抽样的方法从高三级
部中抽取30名老师去参加教研会，已知乙级部中每个老师被抽到的
可能性都为 ，则高三级部的全体老师的个数为（　　）
A. 10 B. 30
C. 60 D. 90
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解析： 　因为乙级部中每个老师被抽到的可能性都为 ，所以高
三年级中每个老师被抽到的可能性都为 ，由30÷ ＝90（人），
可得全体老师人数.
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2. 某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零
件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下
面提供随机数表的第1行到第2行：
66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90
57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10
若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本
编号是（　　）
A. 10 B. 05
C. 09 D. 20
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解析： 　依题意，读取的第一个数为14，向右每两位读取数据，
依次为：64，05，71，11，05，65，09，其中64，71，65不在编号
范围内，舍去，而后一个05与前一个05重复，应舍去后一个05，读
取符合要求的两位数据依次为：14，05，11，09，则09刚好是第四
个符合要求的编号，所以得到的第4个样本编号是09.故选C.
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3. 数据1，2，3，4，5，6的60%分位数为（　　）
A. 3 B. 3.5
C. 3.6 D. 4
解析： 　由6×60%＝3.6，所以数据1，2，3，4，5，6的60%分
位数是第四个数，故选D.
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4. “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：任意一个
大于2的偶数都可以写成两个素数（质数）之和，也就是我们所谓
的“1＋1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学
家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都取得了相当
好的成绩.若将14拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全
部为素数的概率为（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　∵14＝1＋13＝2＋12＝…＝13＋1，共有13个和式，其
中加数全部为素数为7＋7，3＋11，11＋3，共3个基本事件，∴ P
＝ ，故选A.
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5. 如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其
中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为
（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 记其中被污损的数字为 x ，依题意得甲的五次综合测评
的平均成绩是 （80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0）＝90，乙的五
次综合测评的平均成绩是 （80×3＋90×2＋3＋3＋7＋ x ＋9）＝
（442＋ x ），令90＞ （442＋ x ），解得 x ＜8，所以 x 的可能取值
是0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 ＝ .
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6. 已知样本数据由小到大依次为2，3，3，7， a ， b ，12，13.7，
18.3，20，且样本的中位数为10.5，若使该样本的方差最小，则
a ， b 的值分别为（　　）
A. 10，11 B. 10.5，9.5
C. 10.4，10.6 D. 10.5，10.5
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解析： 　由于样本共有10个值，且中间两个数为 a ， b ，依题
意，得 ＝10.5，即 b ＝21－ a .因为平均数为（2＋3＋3＋7＋ a
＋ b ＋12＋13.7＋18.3＋20）÷10＝10，所以要使该样本的方差最
小，只需（ a －10）2＋（ b －10）2最小.又（ a －10）2＋（ b －
10）2＝（ a －10）2＋（21－ a －10）2＝2 a2－42 a ＋221，所以当 a
＝－ ＝10.5时，（ a －10）2＋（ b －10）2最小，此时 b ＝10.5.
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7. 甲乙两队进行羽毛球决赛，甲队只要再胜一局就获得冠军，乙队需
要再胜两局才能获得冠军，若每局甲队获胜的概率为 ，则甲队获
得冠军的概率为（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　由已知得甲队获胜分以下两种可能情况：①第一局甲队
获胜，此时的概率为 ；②第一局乙队获胜，第二局甲队获胜，此
时的概率为 × ＝ ，综上所述，甲队获胜的概率为 ＋
＝ ，故选D.
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8. 已知样本 x1， x2，…， xn 的平均数为 x ，样本 y1， y2，…， ym 的平
均数为 y （ x ≠ y ），若样本 x1， x2，…， xn ， y1， y2，…， ym 的平
均数 z ＝ ax ＋（1－ a ） y ，其中0＜ a ＜ ，则 n ， m （ n ， m
∈N*）的大小关系为（　　）
A. n ＝ m B. n ≥ m
C. n ＜ m D. n ＞ m
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解析： 由题意得 z ＝ （ nx ＋ my ）＝ · x ＋
y ，∴ a ＝ ，∵0＜ a ＜ ，∴0＜ ＜ ，又 n ， m ∈N*，
∴2 n ＜ n ＋ m ，∴ n ＜ m .故选C.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 抛掷一颗质地均匀的骰子一次，记事件 M 为“向上的点数为1或
4”，事件 N 为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是
（　　）
A. M 与 N 互斥但不对立 B. M 与 N 对立
C. P （ MN ）＝ D. P （ M ＋ N ）＝
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解析： 　选项A： P （ MN ）≠0，故事件 M 与事件 N 不互斥，A
错误；选项B： P （ MN ）≠0，故事件 M 与事件 N 不对立，B错
误；选项C： P （ MN ）表示事件 M 与事件 N 同时发生的概率，此
时向上的点数为1，此时 P （ MN ）＝ ；C正确；选项D： P （ M
＋ N ）表示事件向上的点数为1，3，4，5的概率， P （ M ＋ N ）＝
＝ ，故D正确.故选C、D.
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10. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，若甲的中靶概率为0.8，乙
的中靶概率为0.9，且两个人射击的结果互不影响，则下列结论正
确的是（　　）
A. 两人都中靶的概率为0.72
B. 至少一人中靶的概率为0.88
C. 至多一人中靶的概率为0.26
D. 恰好有一人脱靶的概率为0.26
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解析： 　设事件 A 为：“甲中靶”，设事件 B 为：“乙中
靶”，这两个事件相互独立.A选项：都中靶的概率为 P （ AB ）
＝ P （ A ） P （ B ）＝0.8×0.9＝0.72，故A项对；B选项：至少
一人中靶，其对立事件为：两人都不中靶，故至少一人中靶的概
率为1－ P （ ）＝1－ P （ ） P （ ）＝1－0.2×0.1＝0.98，
故B项不对；C选项：至多一人中靶的对立事件为：两人都中靶，
故至多一人中靶的概率为1－ P （ AB ）＝0.28，故C项不对；D选
项：恰好有一人脱靶的概率为 P （ A ） P （ ）＋ P （ ） P
（ B ）＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26，故D项对.故选A、D.
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11. 某篮球爱好者在一次篮球训练中，需进行五轮投篮，每轮投篮5
次.统计各轮投进球的个数，获知其前四轮投中的个数分别为2，
3，4，4，则第五轮结束后下列数字特征有可能发生的是（　　）
A. 平均数为3，极差是3
B. 中位数是3，极差是3
C. 平均数为3，方差是0.8
D. 中位数是3，方差是0.56
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解析： 　2＋3＋4＋4＝13，①若平均数为3，则第五轮投中的
个数为2，所以极差为4－2＝2，方差为 [（2－3）2×2＋（3－
3）2＋（4－3）2×2]＝0.8，即选项A错误，C正确；②若中位数
为3，则第五轮投中的个数为0或1或2或3，当投中的个数为0时，
极差为4，方差为 [（0－2.6）2＋（2－2.6）2＋（3－2.6）2＋
（4－2.6）2×2]＝2.24，当投中的个数为1时，极差为3，方差为
[（1－2.8）2＋（2－2.8）2＋（3－2.8）2＋（4－2.8）2×2]＝
1.36；当投中的个数为2时，极差为2，方差为0.8；
当投中的个数为3时，极差为2，方差为 [（2－3.2）2＋（3－3.2）
2×2＋（4－3.2）2×2]＝0.56，即选项B、D均正确.故选B、C、D.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一
个小组）（单位：人）：
篮球组 书画组 乐器组
高一 45 30 a
高二 15 10 20
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学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽
样，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽
出12人，则 a 的值为 .
解析：由题意知， ＝ ，解得 a ＝30.
30　
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13. 将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分
数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，
无法辨认，在图中以 x 表示，则7个剩余分数的方差为 .
8 7 7
9 4 0 1 0 x 9 1
　
解析：由题图可知去掉的两个数是87，99，所以87＋90×2＋
91×2＋94＋90＋ x ＝91×7，解得 x ＝4.故 s2＝ ×[（87－91）2
＋（90－91）2×2＋（91－91）2×2＋（94－91）2×2]＝ .
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14. 在一场对抗赛中， A ， B 两人争夺冠军，若比赛采用“五局三胜
制”， A 每局获胜的概率均为 ，且各局比赛相互独立，则 A 在第
一局失利的情况下，经过五局比赛最终获得冠军的概率
是 .
解析：第1局 A 失利为事实，经过5局 A 获胜，第2，3，4局 A 胜2
局， B 胜1局，5局比赛最终获得冠军的概率是3× × × ＝
.
　
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师
的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师中有
3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年
龄的平均数和方差.
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解：由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为
＝ ＝45（岁），
年龄的方差为 ＝ ×[3×（58－45）2＋5×（40－45）2＋2×
（38－45）2]＝73，
所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为
＝ ×38＋ ×45≈39.2（岁），
该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是
s2＝ ×[2＋（38－39.2）2]＋ ×[73＋（45－39.2）2]＝
20.64.
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16. （本小题满分15分）某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制
定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达，延迟5
分钟内送达，延迟5至10分钟送达，其他延迟情况，分别评定为
A ， B ， C ， D 四个等级，各等级依次奖励3元，奖励0元，罚款3
元，罚款6元.假定评定等级为 A ， B ， C 的概率分别是 ， ，
.
（1）若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率；
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解： 设事件 A ， B 分别表示“被评为等级 A ， B ”，
由题意，事件 A ， B 两两互斥，又 A ∪ B ＝“不被罚款”，
所以 P （ A ∪ B ）＝ P （ A ）＋ P （ B ）＝ ＋ ＝ .
因此“不被罚款”的概率为 ；
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（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单
获得的奖励之和为3元的概率.
解： 设事件 Ai ， Bi ， Ci ， Di 表示“第 i 单被评为等级
A ， B ， C ， D ”， i ＝1，2，
则“两单共获得的奖励为3元”即事件（ A1 B2）∪（ A2
B1），且事件 A1 B2， A2 B1彼此互斥，
又 P （ A1 B2）＝ P （ A2 B1）＝ × ＝ ，
所以 P ＝ P [（ A1 B2）∪（ A2 B1）]＝ P （ A1 B2）＋ P （ A2
B1）＝ ×2＝ .
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17. （本小题满分15分）某保险公司利用简单随机抽样方法对投保车
辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额（元） 0 1 000 2 000 3 000 4 000
车辆数（辆） 500 130 100 150 120
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（1）若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保
金额的概率；
解： 设 A 表示事件“赔付金额为3 000元”， B 表示事
件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得
P （ A ）＝ ＝0.15， P （ B ）＝ ＝0.12.
由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情
形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为 P （ A ）
＋ P （ B ）＝0.15＋0.12＝0.27.
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（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4
000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投
保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率.
解： 设 C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000
元”，由已知，可得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1
000＝100（辆），而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为
新司机的有0.2×120＝24（辆），所以样本车辆中新司机车
主获赔金额为4 000元的频率为 ＝0.24，由频率估计概率
得 P （ C ）＝0.24.
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18. （本小题满分17分）当今，手机已经成为人们不可或缺的交流工
具，人们常常把喜欢玩手机的人冠上了名号“低头族”，手机已
经严重影响了人们的生活.一媒体为调查市民对低头族的认识，从
某社区的500名市民中随机抽取 n 名市民，按年龄情况进行统计的
频率分布表和频率分布直方图如图：
组数 分组（单位：岁） 频数 频率
1 [20，25） 5 0.05
2 [25，30） 20 0.2
3 [30，35） a 0.35
4 [35，40） 30 b
5 [40，45] 10 0.1
合计 n 1
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（1）求出表中 a ， b ， n 的值，并补全频率分布直方图；
解： 由题意及频率
分布表可知： n ＝5÷0.05
＝100，
所以 a ＝100×0.35＝35，
b ＝ ＝0.3.
补全频率分布直方图，如
图所示：
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（2）媒体记者为了做好调查工作，决定在第2，4，5组中用分层
抽样的方法抽取6名市民进行问卷调查，再从这6名市民中随
机抽取2名接受电视采访，求第2组至少有一名接受电视采访
的概率.
解： 第2，4，5组总人数为20＋30＋10＝60，故第2组应抽人数为6× ＝2，记为1，2，第4组应抽人数为6× ＝3，记为 a ， b ， c ，
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第5组应抽人数为6× ＝1，记为 m .
从这6名市民中随机抽取两名的所有的基本事件有：
（ m ， a ），（ m ， b ），（ m ， c ），（ m ，1），
（ m ，2），（ a ， b ），（ a ， c ），（ a ，1），
（ a ，2），（ b ， c ），（ b ，1），（ b ，2），（ c ，
1），（ c ，2），（1，2），共15个，
符合条件第2组至少有一名接受电视采访的基本事件有9个，
故第2组至少有一名接受电视采访的概率为 P ＝ ＝0.6.
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19. （本小题满分17分）某部门组织甲、乙两人破译一个密码，每人
能否破译该密码相互独立.已知甲、乙各自独立破译出该密码的概
率分别为 ， .
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（1）“甲、乙两人中恰有一人破译出该密码”，包括“甲破译出而乙没有破译出”和“乙破译出而甲没有破译出”两种情况，
则 P （ A ＋ B ）＝ P （ A ） P （ ）＋ P （ ） P （ B ）
＝ × ＋ × ＝ .
（1）求他们恰有一人破译出该密码的概率；
解：记“甲破译出密码”为事件 A ，“乙破译出密码”为事件 B ，
则 P （ A ）＝ ， P （ B ）＝ .
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（2）求他们破译出该密码的概率；
解：“他们破译出该密码”的对立事件为“他们没有破译
出密码”，即“甲没有破译出密码”与“乙没有破译出密
码”同时发生，
所以他们破译出该密码的概率为1－ P （ ） P （ ）＝1－
× ＝ .
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（3）现把乙调离，甲留下，并要求破译出该密码的概率不低于
80%，那么至少需要再增添几个与甲水平相当的人？
解：设共需要 n 个与甲水平相当的人，则有1－
≥80%，即 ≥5，所以 n ≥4.
故至少需要再增添3个与甲水平相当的人.
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谢 谢 观 看！

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