资源简介 6.1.1 向量的概念1.下列说法正确的是（ ）A.向量a与b共线，b与c共线，则a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行2.数轴上点A，B分别对应－1，2，则向量的长度是（ ）A.－1 B.2C.1 D.33.已知向量a，b是两个非零向量，，分别是与a，b同方向的模为1的向量，则下列各式正确的是（ ）A.＝ B.＝C.＝1 D.｜｜＝｜｜4.在四边形ABCD中，∥，｜｜≠｜｜，则四边形ABCD是（ ）A.梯形 B.平行四边形C.矩形 D.正方形5.（多选）下列命题不正确的是（ ）A.若｜a｜＝｜b｜，则a＝bB.若｜a｜＞｜b｜，则a＞bC.若a＝b，则a∥bD.若｜a｜＝0，则a＝06.已知｜｜＝1，｜｜＝2，若∠ABC＝90°，则｜｜＝ .7.把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点所构成的图形的面积等于 .8.给出下列四个条件：①a＝b；②｜a｜＝｜b｜；③a与b方向相反；④｜a｜＝0或｜b｜＝0.其中能使a∥b成立的条件是 （填序号）.9.某次军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从A处出发向西迂回了100 km到达B地，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km到达C地，最后又改变方向，向东突进100 km到达D处，完成了对蓝军的包围.（1）作出向量，，；（2）求｜｜.10.设a，b为非零向量，则“a∥b”是“a与b方向相同”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件11.已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝ .12.如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{｜M，N∈S，且M，N不重合}，试求集合T中元素的个数.13.如图，已知＝，则＝ .14.如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且｜｜＝.（1）画出所有的向量；（2）求｜｜的最大值与最小值.6.1.1 向量的概念1.C 对于A：b可能是零向量，故选项A错误；对于B：两个向量可能在同一条直线上，故选项B错误；对于C：因为0与任何向量都是共线向量，所以选项C正确；对于D：有相同起点的两个非零向量可能平行或重合，故选项D错误.故选C.2.D 数轴上点A，B分别对应－1，2，则向量的长度即｜｜＝3，故选D.3.D 由于a与b的方向不知，故与无法判断是否相等，故A、B选项均错.又与均为模为1的向量.∴｜｜＝｜｜，故C错，D对.4.A ∵∥，∴AB∥CD，又｜｜≠｜｜，∴四边形ABCD是梯形，故选A.5.ABD 对于A，由｜a｜＝｜b｜可得a与b的大小相等，但方向不一定相同，所以a与b不一定相等，所以A错误；对于B，由｜a｜＞｜b｜可得a的长度大于b的长度，而向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，所以B错误；对于C，由a＝b可得a与b的大小相等，方向相同，所以有a∥b，所以C正确；对于D，由｜a｜＝0，可得a＝0，而不是0，所以D错误.故选A、B、D.6. 解析：由勾股定理可知，BC＝＝＝，所以｜｜＝.7.3π 解析：这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π.8.①③④ 解析：若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若｜a｜＝｜b｜，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量平行，所以若｜a｜＝0或｜b｜＝0，则a∥b.9.解：（1）向量，，，如图所示.（2）由题意，易知与方向相反，故与共线.又｜｜＝｜｜，∴在四边形ABCD中，AB CD，∴四边形ABCD为平行四边形.∴＝，｜｜＝｜｜＝200 km.10.B 因为a，b为非零向量，所以a∥b时，a与b方向相同或相反，因此“a∥b”是“a与b方向相同”的必要而不充分条件.故选B.11.0 解析：与不共线，零向量的方向是任意的，它与任意向量平行，所以唯有零向量才能同时与两个不共线向量平行.12.解：由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，即，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等：即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，因为集合中元素具有互异性，所以集合T中的元素共有12个.13.1 解析：∵＝，∴∥且｜｜＝｜｜，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，根据三角形全等判断可知△ABO≌△DCO，∴AO＝DO，即＝1.14.解：（1）画出所有的向量，如图所示.（2）由（1）所画的图知，①当点C位于点C1或C2时，｜｜取得最小值＝；②当点C位于点C5或C6时，｜｜取得最大值＝，∴｜｜的最大值为，最小值为.2 / 26.1.1 向量的概念新课程标准解读 核心素养1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义 数学抽象2.理解平面向量的几何表示和基本要素 数学抽象我们在物理学中已经知道，力是矢量（既有大小，又有方向），如图，放在水平桌面上的物体A.【问题】 （1）物体A受到哪些力的作用？（2）物体A受到的力应怎样表示？ 知识点 向量的有关概念1.向量的概念及表示（1）概念： 的量称为向量（也称为矢量）， 也称为向量的模（或长度）；（2）表示：①几何表示：始点为A终点为B的有向线段表示的向量，可用符号简记为 ，此时向量的模用 表示；②代数表示：印刷时，用加粗的斜体小写字母来表示向量；书写时，用带箭头的小写字母来表示向量.2.几种特殊向量名称 定义 记法零向量 的向量单位向量 的向量 ｜e｜＝1相等向量 相等、方向 的向量 a＝b平行向量 （共线向量） 方向 或 的非零向量（规定零向量与任意向量平行） a∥b【想一想】1.0与0相同吗？0是不是没有方向？2.若a＝b，则两向量在大小和方向上有什么关系？3.有向线段与向量有什么区别和联系？1.下列说法：①零向量是没有方向的向量；②零向量的方向是任意的；③零向量与任意一个向量共线.其中正确说法的个数是（ ）A.0 B.1 C.2 D.32.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则下列向量中与相等的向量为（ ）A. B. C. D.3.设点O是△ABC所在平面上一点，若｜｜＝｜｜＝｜｜，则O是△ABC的 心.题型一 向量的有关概念【例1】 （多选）下列命题正确的是（ ）A.两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等B.若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上C.在菱形ABCD中，一定有＝D.若a＝b，b＝c，则a＝c尝试解答通性通法1.判断一个量是否为向量应从两个方面入手（1）是否有大小；（2）是否有方向.2.理解零向量和单位向量（1）零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；（2）单位向量不一定相等，易忽略向量的方向.【跟踪训练】 下列说法正确的是（ ）A.向量与向量的长度相等B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.零向量没有方向，没有大小D.向量的模是一个正实数题型二 向量的直观表示【例2】 在如图所示的坐标纸上（每个小方格边长为1），用直尺和圆规画出下列向量：（1），使｜｜＝4，点A在点O北偏东45°；（2），使｜｜＝4，点B在点A正东；（3），使｜｜＝6，点C在点B北偏东30°.尝试解答通性通法用有向线段表示向量的方法 用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点.必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向（即夹角）或长度（即模），选择合适的比例关系作出向量.【跟踪训练】（多选）如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中（ ）A.向量，的模相等B.｜｜＝C.向量，共线D.｜｜＋｜｜＝10题型三 共线向量或相等向量【例3】 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.（1）与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？（2）与a共线的向量有哪些？（3）请一一列出与a，b，c相等的向量.尝试解答【母题探究】1.（变设问）本例条件不变，试写出与向量相等的向量.2.（变条件、变设问）在本例中，若｜a｜＝1，求正六边形的边长.通性通法寻找共线向量或相等向量的方法（1）寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量；（2）寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线.【跟踪训练】1.如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是（ ）A.和 B.和C.和 D.和2.如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和AOBE均为平行四边形，则与向量相等的向量为 ；与向量共线的向量为 ；与向量的模相等的向量为 .（填图中所画出的向量）1.如图，在圆O中，向量，，是（ ）A.有相同起点的向量B.单位向量C.模相等的向量D.相等的向量2.在同一平面内，把平行于某一直线的所有向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）A.一条线段 B.一条直线C.圆上一群孤立的点 D.一个半径为1的圆3.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与平行的向量有（填图中画出的向量）（ ）A.1个 B.2个C.3个 D.4个4.（多选）下列说法错误的有（ ）A.相等的两个单位向量共线B.相等向量的起点相同C.若∥，则一定有直线AB∥CDD.若向量，共线，则点A，B，C，D必在同一直线上5.如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的有 .（填序号）①＝；②∥；③与共线；④＝.6.1.1 向量的概念【基础知识·重落实】知识点1.（1）既有大小又有方向 向量的大小 （2） ｜｜2.始点和终点相同 0 模等于1 大小 相同 相同 相反想一想1.提示：0与0不同，0是一个实数，0是一个向量，且｜0｜＝0.0有方向，其方向是任意的.2.提示：｜a｜＝｜b｜且方向相同.3.提示：区别 从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素.因此，这是两个不同的量.在平面中，有向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的联系 有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数多条有向线段自我诊断1.C 由零向量定义及性质知：其方向任意，且与任意向量共线，故①错误，②③正确；故选C.2.D A、B选项均与方向不同，C选项与模长不等，D选项与方向相同，长度相等.故选D.3.外 解析：由｜｜＝｜｜＝｜｜，可得点O到△ABC三个顶点的距离相等，所以点O是△ABC的外心.【典型例题·精研析】【例1】 BCD 两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置无关，故A不正确；单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点O时，终点都在以O为圆心，1为半径的圆上，故B正确；C、D显然正确.故所有正确命题为B、C、D.跟踪训练 A 与的长度相等，方向相反，故A正确；两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故B错误；零向量的方向任意，零向量有大小，其模为0，故C错误；向量的模是一个非负实数，故D错误.故选A.【例2】 解：（1）由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等.又｜｜＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示.（2）由于点B在点A正东方向处，且｜｜＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示.（3）由于点C在点B北偏东30°处，且｜｜＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示.跟踪训练 BC 对于A，因为｜｜＝＝，｜｜＝＝2，所以｜｜≠｜｜，所以A错误；对于B，因为｜｜＝＝，所以B正确；对于C，因为∠CDG＝∠CFH＝45°，所以DG∥HF，所以向量，共线，所以C正确；对于D，因为｜｜＋｜｜＝＋＝5≠10，所以D错误，故选B、C.【例3】 解：（1）与a的长度相等、方向相反的向量有，，，.（2）与a共线的向量有，，，，，，，，.（3）与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，.母题探究1.解：与向量相等的向量有，，.2.解：由正六边形性质知，△FOA为等边三角形，所以边长AF＝｜a｜＝1.跟踪训练1.B 对于A中，向量和的方向相反，但长度相等，所以和不是相等向量；对于B中，向量和的方向相同且长度相等，所以和是相等向量；对于C中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量；对于D中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量；所以只有向量和可以用同一条有向线段表示.故选B.2. ， ，，，，解析：∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC，易知四边形AOCD和四边形AOBE均为菱形，∴与相等的向量为；与共线的向量为，；与的模相等的向量为，，，，.随堂检测1.C 由题图可知三个向量方向不同，但长度相等.2.B 因为它们是平行向量，当始点相同时，终点位置在这条直线上，故这些向量的终点构成的图形是一条直线.3.C 根据向量的基本概念可知与平行的向量有，，，共3个.4.BCD 对于A，相等的两个单位向量的方向相同，故A正确；对于B，相等向量的起点和终点都可能不相同，故B错误；对于C，直线AB与CD可能重合，故C错误；对于D，AB与CD可能平行，则A，B，C，D四点不共线.故选B、C、D.5.①②③ 解析：对于①，与方向相同，长度相等，则＝，则①正确；对于②，因为A，O，C三点共线，则∥，则②正确；对于③，∵AB∥CD，则与共线，则③正确；对于④，，方向不相同，故≠，则④错误.5 / 5(共58张PPT)6.1.1 向量的概念新课程标准解读 核心素养1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义 数学抽象2.理解平面向量的几何表示和基本要素 数学抽象目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理我们在物理学中已经知道，力是矢量（既有大小，又有方向），如图，放在水平桌面上的物体 A .【问题】 （1）物体 A 受到哪些力的作用？（2）物体 A 受到的力应怎样表示？ 知识点 向量的有关概念1. 向量的概念及表示（1）概念： 的量称为向量（也称为矢量）， 也称为向量的模（或长度）；（2）表示：①几何表示：始点为 A 终点为 B 的有向线段表示的向量，可用符号简记为 ，此时向量的模用 表示；②代数表示：印刷时，用加粗的斜体小写字母来表示向量；书写时，用带箭头的小写字母来表示向量.既有大小又有方向 向量的大小 ｜ ｜ 2. 几种特殊向量名称 定义 记法零向量 的向量 单位向量 的向量 ｜ e ｜＝1相等向量 相等、方向 的向量 a ＝ b平行向量 （共线向量） 方向 或 的非零向量（规定零向量与任意向量平行） a ∥ b始点和终点相同 0 模等于1 大小 相同 相同 相反 【想一想】1.0与0相同吗？0是不是没有方向？提示：0与0不同，0是一个实数，0是一个向量，且｜0｜＝0.0有方向，其方向是任意的.2. 若 a ＝ b ，则两向量在大小和方向上有什么关系？提示：｜ a ｜＝｜ b ｜且方向相同.3. 有向线段与向量有什么区别和联系？提示：区别 从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素.因此，这是两个不同的量.在平面中，有向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的联系 有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数多条有向线段1. 下列说法：①零向量是没有方向的向量；②零向量的方向是任意的；③零向量与任意一个向量共线.其中正确说法的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3解析： 由零向量定义及性质知：其方向任意，且与任意向量共线，故①错误，②③正确；故选C.2. 如图所示， O 是正六边形 ABCDEF 的中心，则下列向量中与 相等的向量为（ ）A. B.C. D.解析： A、B选项均与 方向不同，C选项与 模长不等，D选项与 方向相同，长度相等.故选D.3. 设点 O 是△ ABC 所在平面上一点，若｜ ｜＝｜ ｜＝｜｜，则 O 是△ ABC 的 心.解析：由｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜，可得点 O 到△ ABC 三个顶点的距离相等，所以点 O 是△ ABC 的外心.外 典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 向量的有关概念【例1】 （多选）下列命题正确的是（ ）A. 两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等B. 若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上C. 在菱形 ABCD 中，一定有 ＝D. 若 a ＝ b ， b ＝ c ，则 a ＝ c解析： 两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置无关，故A不正确；单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点 O 时，终点都在以 O 为圆心，1为半径的圆上，故B正确；C、D显然正确.故所有正确命题为B、C、D.通性通法1. 判断一个量是否为向量应从两个方面入手（1）是否有大小；（2）是否有方向.2. 理解零向量和单位向量（1）零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；（2）单位向量不一定相等，易忽略向量的方向.【跟踪训练】 下列说法正确的是（ ）A. 向量 与向量 的长度相等B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C. 零向量没有方向，没有大小D. 向量的模是一个正实数解析： 与 的长度相等，方向相反，故A正确；两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故B错误；零向量的方向任意，零向量有大小，其模为0，故C错误；向量的模是一个非负实数，故D错误.故选A.题型二 向量的直观表示【例2】 在如图所示的坐标纸上（每个小方格边长为1），用直尺和圆规画出下列向量：（1） ，使｜ ｜＝4 ，点 A 在点 O 北偏东45°；解： 由于点 A 在点 O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点 A 距点 O 的横向小方格数与纵向小方格数相等.又｜ ｜＝4，小方格边长为1，所以点 A 距点 O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点 A 位置可以确定，画出向量 如图所示.（2） ，使｜ ｜＝4，点 B 在点 A 正东；解： 由于点 B 在点 A 正东方向处，且｜ ｜＝4，所以在坐标纸上点 B 距点 A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点 B 位置可以确定，画出向量 如图所示.（3） ，使｜ ｜＝6，点 C 在点 B 北偏东30°.解： 由于点 C 在点 B 北偏东30°处，且｜ ｜＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点 C 距点 B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为3 ≈5.2，于是点 C 位置可以确定，画出向量 如图所示.通性通法用有向线段表示向量的方法 用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点.必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向（即夹角）或长度（即模），选择合适的比例关系作出向量.【跟踪训练】 （多选）如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中（ ）A. 向量 ， 的模相等B. ｜ ｜＝C. 向量 ， 共线D. ｜ ｜＋｜ ｜＝10解析： 对于A，因为｜ ｜＝ ＝ ，｜ ｜＝＝2 ，所以｜ ｜≠｜ ｜，所以A错误；对于B，因为｜ ｜＝ ＝ ，所以B正确；对于C，因为∠ CDG ＝∠CFH ＝45°，所以 DG ∥ HF ，所以向量 ， 共线，所以C正确；对于D，因为｜ ｜＋｜ ｜＝ ＋ ＝5≠10，所以D错误，故选B、C.题型三 共线向量或相等向量【例3】 如图所示， O 是正六边形 ABCDEF 的中心，且 ＝ a ，＝ b ， ＝ c .（1）与 a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？解： 与 a 的长度相等、方向相反的向量有， ， ， .（2）与 a 共线的向量有哪些？解： 与 a 共线的向量有 ， ， ，， ， ， ， ， .（3）请一一列出与 a ， b ， c 相等的向量.解： 与 a 相等的向量有 ， ， ；与 b 相等的向量有， ， ；与 c 相等的向量有 ， ， .【母题探究】1. （变设问）本例条件不变，试写出与向量 相等的向量.解：与向量 相等的向量有 ， ， .2. （变条件、变设问）在本例中，若｜ a ｜＝1，求正六边形的边长.解：由正六边形性质知，△ FOA 为等边三角形，所以边长 AF ＝｜a ｜＝1.通性通法寻找共线向量或相等向量的方法（1）寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量；（2）寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线.【跟踪训练】1. 如图，在矩形 ABCD 中，可以用同一条有向线段表示的向量是（ ）A. 和 B. 和C. 和 D. 和解析： 对于A中，向量 和 的方向相反，但长度相等，所以 和 不是相等向量；对于B中，向量 和 的方向相同且长度相等，所以 和 是相等向量；对于C中，向量 和 的方向不同，且长度不相等，所以 和 不是相等向量；对于D中，向量 和 的方向不同，且长度不相等，所以 和 不是相等向量；所以只有向量 和 可以用同一条有向线段表示.故选B.2. 如图， O 是正三角形 ABC 的中心，四边形 AOCD 和 AOBE 均为平行四边形，则与向量 相等的向量为 ；与向量 共线的向量为 ；与向量 的模相等的向量为 .（填图中所画出的向量） ， ， ，， ， 解析：∵ O 是正三角形 ABC 的中心，∴ OA ＝ OB ＝ OC ，易知四边形 AOCD 和四边形 AOBE 均为菱形，∴与 相等的向量为 ；与共线的向量为 ， ；与 的模相等的向量为 ， ，， ， .1. 如图，在圆 O 中，向量 ， ， 是（ ）A. 有相同起点的向量 B. 单位向量C. 模相等的向量 D. 相等的向量解析： 由题图可知三个向量方向不同，但长度相等.2. 在同一平面内，把平行于某一直线的所有向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）A. 一条线段B. 一条直线C. 圆上一群孤立的点D. 一个半径为1的圆解析： 因为它们是平行向量，当始点相同时，终点位置在这条直线上，故这些向量的终点构成的图形是一条直线.3. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E ， F 分别是 AB ， CD 的中点，图中与 平行的向量有（填图中画出的向量）（ ）A. 1个 B. 2个C. 3个 D. 4个解析： 根据向量的基本概念可知与 平行的向量有 ，， ，共3个.4. （多选）下列说法错误的有（ ）A. 相等的两个单位向量共线B. 相等向量的起点相同C. 若 ∥ ，则一定有直线 AB ∥ CDD. 若向量 ， 共线，则点 A ， B ， C ， D 必在同一直线上解析：BCD 对于A，相等的两个单位向量的方向相同，故A正确；对于B，相等向量的起点和终点都可能不相同，故B错误；对于C，直线 AB 与 CD 可能重合，故C错误；对于D， AB 与 CD 可能平行，则 A ， B ， C ， D 四点不共线.故选B、C、D.5. 如图所示，设 O 是正方形 ABCD 的中心，则下列结论正确的有 .（填序号）① ＝ ；② ∥ ；③ 与 共线；④ ＝ .①②③ 解析：对于①， 与 方向相同，长度相等，则＝ ，则①正确；对于②，因为 A ， O ， C 三点共线，则 ∥ ，则②正确；对于③，∵ AB ∥CD ，则 与 共线，则③正确；对于④， ， 方向不相同，故 ≠ ，则④错误.知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地1. 下列说法正确的是（ ）A. 向量 a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C. 向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量D. 有相同起点的两个非零向量不平行1234567891011121314解析： 对于A： b 可能是零向量，故选项A错误；对于B：两个向量可能在同一条直线上，故选项B错误；对于C：因为0与任何向量都是共线向量，所以选项C正确；对于D：有相同起点的两个非零向量可能平行或重合，故选项D错误.故选C.12345678910111213142. 数轴上点 A ， B 分别对应－1，2，则向量 的长度是（ ）A. －1 B. 2C. 1 D. 3解析： 数轴上点 A ， B 分别对应－1，2，则向量 的长度即｜｜＝3，故选D.12345678910111213143. 已知向量 a ， b 是两个非零向量， ， 分别是与 a ， b 同方向的模为1的向量，则下列各式正确的是（ ）A. ＝ B. ＝C. ＝1 D. ｜ ｜＝｜ ｜解析： 由于 a 与 b 的方向不知，故 与 无法判断是否相等，故A、B选项均错.又 与 均为模为1的向量.∴｜ ｜＝｜ ｜，故C错，D对.12345678910111213144. 在四边形 ABCD 中， ∥ ，｜ ｜≠｜ ｜，则四边形ABCD 是（ ）A. 梯形 B. 平行四边形C. 矩形 D. 正方形解析： ∵ ∥ ，∴ AB ∥ CD ，又｜ ｜≠｜ ｜，∴四边形 ABCD 是梯形，故选A.12345678910111213145. （多选）下列命题不正确的是（ ）A. 若｜ a ｜＝｜ b ｜，则 a ＝ bB. 若｜ a ｜＞｜ b ｜，则 a ＞ bC. 若 a ＝ b ，则 a ∥ bD. 若｜ a ｜＝0，则 a ＝01234567891011121314解析： 对于A，由｜ a ｜＝｜ b ｜可得 a 与 b 的大小相等，但方向不一定相同，所以 a 与 b 不一定相等，所以A错误；对于B，由｜ a ｜＞｜ b ｜可得 a 的长度大于 b 的长度，而向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，所以B错误；对于C，由 a ＝ b 可得 a与 b 的大小相等，方向相同，所以有 a ∥ b ，所以C正确；对于D，由｜ a ｜＝0，可得 a ＝0，而不是0，所以D错误.故选A、B、D.12345678910111213146. 已知｜ ｜＝1，｜ ｜＝2，若∠ ABC ＝90°，则｜ ｜＝ .解析：由勾股定理可知， BC ＝ ＝ ＝ ，所以｜ ｜＝ . 12345678910111213147. 把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O ，则这些向量的终点所构成的图形的面积等于 .解析：这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π.3π 12345678910111213148. 给出下列四个条件：① a ＝ b ；②｜ a ｜＝｜ b ｜；③ a 与 b 方向相反；④｜ a ｜＝0或｜ b ｜＝0.其中能使 a ∥ b 成立的条件是 （填序号）.解析：若 a ＝ b ，则 a 与 b 大小相等且方向相同，所以 a ∥ b ；若｜a ｜＝｜ b ｜，则 a 与 b 的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a ∥ b ；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若 a 与 b 方向相反，则有 a ∥ b ；零向量与任意向量平行，所以若｜ a ｜＝0或｜b ｜＝0，则 a ∥ b .①③④ 12345678910111213149. 某次军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从 A 处出发向西迂回了100 km到达 B 地，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km到达 C 地，最后又改变方向，向东突进100 km到达D 处，完成了对蓝军的包围.（1）作出向量 ， ， ；解： 向量 ， ， ，如图所示.1234567891011121314（2）求｜ ｜.解： 由题意，易知 与 方向相反，故 与 共线.又｜ ｜＝｜ ｜，∴在四边形 ABCD 中， AB CD ，∴四边形 ABCD 为平行四边形.∴ ＝ ，｜ ｜＝｜ ｜＝200 km.123456789101112131410. 设 a ， b 为非零向量，则“ a ∥ b ”是“ a 与 b 方向相同”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解析： 因为 a ， b 为非零向量，所以 a ∥ b 时， a 与 b 方向相同或相反，因此“ a ∥ b ”是“ a 与 b 方向相同”的必要而不充分条件.故选B.123456789101112131411. 已知 A ， B ， C 是不共线的三点，向量 m 与向量 是平行向量，与 是共线向量，则 m ＝ .解析： 与 不共线，零向量的方向是任意的，它与任意向量平行，所以唯有零向量才能同时与两个不共线向量平行.0 123456789101112131412. 如图所示，平行四边形 ABCD 中， O 是两对角线 AC ， BD 的交点，设点集 S ＝{ A ， B ， C ， D ， O }，向量集合 T ＝{ ｜M ， N ∈ S ，且 M ， N 不重合}，试求集合 T 中元素的个数.1234567891011121314解：由题可知，集合 T 中的元素实质上是 S 中任意两点连成的有向线段，共有20个，即 ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， .由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等：即 ＝ ，＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝， ＝ ，因为集合中元素具有互异性，所以集合 T 中的元素共有12个.123456789101112131413. 如图，已知 ＝ ，则 ＝ .解析：∵ ＝ ，∴ ∥ 且｜ ｜＝｜ ｜，∴∠ A ＝∠ D ，∠ B ＝∠ C ，根据三角形全等判断可知△ ABO ≌△ DCO ，∴ AO ＝DO ，即 ＝1.1 123456789101112131414. 如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点 A ， B ，点 C 为小正方形的顶点，且｜ ｜＝.（1）画出所有的向量 ；解： 画出所有的向量 ，如图所示.1234567891011121314（2）求｜ ｜的最大值与最小值.解： 由（1）所画的图知，①当点 C 位于点 C1或 C2时，｜ ｜取得最小值 ＝ ；②当点 C 位于点 C5或 C6时，｜ ｜取得最大值 ＝ ，∴｜ ｜的最大值为 ，最小值为 .1234567891011121314谢 谢 观 看！ 展开更多...... 收起↑ 资源列表 6.1.1 向量的概念.docx 6.1.1 向量的概念.pptx 6.1.1 向量的概念（练习，含解析）.docx
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