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6.1.2　向量的加法
1.如图，已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中不正确的是（　　）
A.＋＝　　B.＋＋＝0
C.＋＝ D.＋＝
2.在平行四边形ABCD中，＋＋＝（　　）
A. B.
C. D.
3.若在△ABC中，＝a，＝b，且｜a｜＝｜b｜＝1，｜a＋b｜＝，则△ABC的形状是（　　）
A.正三角形 B.锐角三角形
C.斜三角形 D.等腰直角三角形
4.a，b为非零向量，且｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，则（　　）
A.a∥b，且a与b方向相同
B.a，b是共线向量且方向相反
C.a＝－b
D.a，b无论什么关系均可
5.（多选）设a＝（＋）＋（＋），b是一个非零向量，则下列结论正确的有（　　）
A.a∥b B.a＋b＝a
C.a＋b＝b D.｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜
6.若C是线段AB的中点，则＋＝　　　　.
7.菱形ABCD中，∠BAD＝60°，｜｜＝1，则｜＋｜＝　　　　.
8.在中心为O的正八边形A1A2…A8中，a0＝，ai＝（i＝1，2，…，7），bj＝（j＝1，2，…，8），试化简a2＋a5＋b2＋b5＋b7.
9.如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：＋＝＋.
10.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝（　　）
A. B.
C. D.
11.在矩形ABCD中，｜｜＝2，设＝a，＝b，＝c，则｜a＋b＋c｜＝（　　）
A.2 B.3
C.4 D.5
12.如图，网格小正方形的边长均为1，求｜a＋b＋c＋d｜.
13.如图是一个机器人手臂的示意图.该手臂分为三段，分别可用向量a，b，c代表.若用向量d代表整条手臂，则（　　）
A.｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＝｜d｜
B.｜a｜＋｜b｜＝｜c｜＋｜d｜
C.a＋c＋b＝d
D.a＋b＝c＋d
14.如图，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力｜F1｜＝24 N，绳BO与墙壁垂直，所受拉力｜F2｜＝12 N.求F1和F2的合力.
6.1.2　向量的加法
1.D　由向量加法的平行四边形法则可知，＋＝≠.
2.A　画出图形，如图所示：＋＋＝（＋）＋＝＋＝＋＝＝.故选A.
3.D　由于｜｜＝｜a｜＝1，｜｜＝｜b｜＝1，｜｜＝｜a＋b｜＝，所以△ABC为等腰直角三角形，故选D.
4.A　当两个非零向量a，b不共线时，a＋b的方向与a，b的方向都不相同，且｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜；当两个非零向量a，b同向时，a＋b的方向与a，b的方向都相同，且｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜；当两个非零向量a，b反向时且｜a｜＜｜b｜，a＋b的方向与b的方向相同，且｜a＋b｜＝｜b｜－｜a｜，所以对于非零向量a，b，且｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，则a∥b，且a与b方向相同.故选A.
5.AC　由题意，向量a＝（＋）＋（＋）＝＋＝0，且b是一个非零向量，所以a∥b成立，所以A正确；由a＋b＝b，所以B不正确，C正确；由｜a＋b｜＝｜b｜，｜a｜＋｜b｜＝｜b｜，所以｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，所以D不正确.故选A、C.
6.0　解析：∵C是线段AB的中点，∴AC＝CB.∴与方向相反，模相等.∴＋＝0.
7.1　解析：因为在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，所以△ABD为等边三角形，所以｜＋｜＝｜｜＝｜｜＝1.
8.解：如图所示，∵＋＝0，∴a2＋a5＋b2＋b5＋b7＝＋＋＋＋＝（＋）＋（＋）＋＝＋＋＝＝b6.
9.证明：∵＝＋，＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
又∵BP＝QC且与方向相反，
∴＋＝0，∴＋＝＋，
即＋＝＋.
10.C　在方格纸上作出＋，如图，易知＋＝.
11.C　a＋b＋c＝＋＋＝＋，延长BC至E，使CE＝BC，连接DE，由于＝＝，∴CE∥AD，CE＝AD，∴四边形ACED是平行四边形，∴＝，∴＋＝＋＝，∴｜a＋b＋c｜＝｜｜＝2｜｜＝2｜｜＝4.故选C.
12.解：如图，作a'＝a，b'＝b，c'＝c，则根据向量加法的三角形法则可得｜a'＋b'＋c'＋d｜＝｜｜＝1，即｜a＋b＋c＋d｜＝1.
13.C　根据题意得a＋b＋c＝d，所以由于各向量的模未知，方向未定，故｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＝｜d｜，｜a｜＋｜b｜＝｜c｜＋｜d｜均不一定成立，故C选项正确.
14.解：如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F＝F1＋F2＝，
在△OCA中，｜｜＝24，
｜｜＝12，∠OAC＝60°，
∴∠OCA＝90°，∴｜｜＝12，∴F1与F2的合力大小为12 N，方向为与F2成90°角竖直向上.
1 / 26.1.2　向量的加法
新课程标准解读 核心素养
借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算的定义、运算法则，理解其几何意义及向量加法运算的运算律 数学抽象
如图所示，李敏同学上午从家（点A）到达了公园（点B），下午从公园（点B）到达了舅舅家（点C）.
【问题】　（1）分别用向量表示出李敏上午的位移、下午的位移以及这一天的位移；
（2）这一天的位移与上、下午的位移有什么关系？
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　向量的加法
1.向量加法的定义及其运算法则
（1）定义：求两个向量和的运算；
（2）向量求和的法则
三角形 法则 已知向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，作出向量，则向量称为a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝　　　
平行 四边形 法则 已知两个不共线向量a，b， 作＝a，＝b，以，为邻边作 ABCD，则对角线上的向量＝　　　　　　
（3）多边形法则
已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为　　　　，第n个向量的终点为　　　　的向量叫做这n个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则；
（4）向量a，b的模与a＋b的模之间的关系　　　　　　≤｜a＋b｜≤　　　　　　.
2.向量加法的运算律
运 算 律 交换律 a＋b＝　　　
结合律 （a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
【想一想】
1.利用向量加法的三角形法则时，若向量a，b中有零向量怎么办？若两向量共线时，能否利用三角形法则求和？
2.向量加法的平行四边形法则中“不共线”是否多余，去掉可以吗？
3.平行四边形法则中，求和的两个向量与和向量的起点有什么特点？和向量是怎样产生的？
1.某人先向东走3 km，位移记为a，接着再向北走3 km，位移记为b，则a＋b表示（　　）
A.向东南走3 km
B.向东北走3 km
C.向东南走3 km
D.向东北走3 km
2.点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋＝（　　）
A.　　　　　　 B.
C. D.0
3.已知四边形ABCD是边长为1的正方形，则｜＋｜＝　　　　.
题型一 向量加法运算法则的应用
【例1】　（1）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，点F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么（在横线上只填上一个向量）：
①＋＝　　　　；
②＋＝　　　　.
（2）下列说法正确的是　　　　.
①若｜a｜＝3，｜b｜＝2，则｜a＋b｜≥1；
②若向量a，b共线，则｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜；
③若｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，则向量a，b共线.
（3）如图，已知三个向量a，b，c，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量a＋b＋c.
尝试解答
通性通法
1.向量求和的注意点
（1）三角形法则对于两个向量共线时也适用；
（2）两个向量的和向量仍是一个向量；
（3）平行四边形法则对于两个向量共线时不适用.
2.利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量.
【跟踪训练】
求作下列向量的和：
题型二 向量加法运算律的应用
【例2】　化简或计算：
（1）＋＋；
（2）＋＋＋＋.
尝试解答
通性通法
解决向量加法运算时应关注两点
（1）可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算；
（2）要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.
【跟踪训练】
　化简下列各式：①＋＋；②（＋）＋＋；③＋＋＋；④＋＋＋.其中结果为0的个数是（　　）
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
题型三 向量a，b的模与a＋b的模之间的关系
【例3】　已知非零向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝3，且不共线，求｜a＋b｜的范围.
尝试解答
通性通法
　　解答此类问题可利用向量加法的三角形法则作出图形辅助解答.
【跟踪训练】
1.若｜a｜＝6，｜b｜＝3，｜a＋b｜＝3，则向量a与b的方向必为　　　　.
2.已知正方形ABCD的边长为1，则｜＋＋＋｜＝　　　　.
题型四 向量加法的实际应用
【例4】　为了调运急需物资，如图所示，一艘船从江南岸A点出发，以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5 km/h.
（1）试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小与方向.（方向用与江水的速度方向间的夹角表示）
尝试解答
通性通法
利用向量加法解决实际应用题的3步骤
【跟踪训练】
　一架飞机沿仰角30°的方向以80 m/s的速度起飞，飞机起飞时沿水平方向和竖直方向的速度分别是多少？
1.下列等式错误的是（　　）
A.a＋0＝0＋a＝a
B.＋＋＝0
C.＋＝0
D.＋＝＋＋
2.向量（＋）＋（＋）＋化简后等于（　　）
A.　　B.　　C.　　D.
3.如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝（　　）
A.0 B. C. D.
4.（多选）下列结论中错误的是（　　）
A.两个向量的和仍是一个向量
B.向量a与b的和是以a的始点为始点，以b的终点为终点的向量
C.（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
D.向量a与b都是单位向量，则｜a＋b｜＝2
5.已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝c，＝b，则｜a＋b＋c｜＝　　　　.
6.1.2　向量的加法
【基础知识·重落实】
知识点
1.（2）　＋＝a＋b　（3）起点　终点　（4）｜｜a｜－｜b｜｜　｜a｜＋｜b｜　2.b＋a
想一想
1.提示：对于零向量与任一向量a，规定0＋a＝a＋0＝a.当两向量共线时，仍可以使用三角形法则求和.
2.提示：不可以，因为如果两个向量共线，就无法以它们为邻边作出平行四边形，也不会产生和向量.
3.提示：求和的两个向量与和向量共起点，和向量是以求和的两个向量为邻边的平行四边形的对角线向量.
自我诊断
1.B　由题意和向量的加法，得a＋b表示先向东走3 km，再向北走3 km，即向东北走3 km.故选B.
2.A　＋＋＝.故选A.
3.　解析：｜＋｜＝｜｜＝＝.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）①　②　（2）①③　解析：（1）如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：
①＋＝＋＝.
②＋＝＋＝.
（2）①正确，当两向量反向时，和向量的模最小为1；②中描述的只是向量同向时的情况，故不正确，反之正确，即③正确.
（3）解：利用三角形法则作a＋b＋c，如图①所示，作＝a，以A为起点，作＝b，再以B为起点，作＝c，则＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.
利用平行四边形法则作a＋b＋c，如图②所示，作＝a，＝b，＝c，以，为邻边作 OADB，则＝a＋b，再以，为邻边作 ODEC，则＝＋＝a＋b＋c.
跟踪训练
　解：（1）如图①所示，＝a＋b.
（2）如图②所示，首先作＝a，然后作＝b，则＝a＋b.
（3）如图③所示，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝＋＝（a＋b）＋c，即＝a＋b＋c.
【例2】　解：（1）＋＋＝（＋）＋＝＋＝.
（2）＋＋＋＋
＝（＋）＋（＋）＋
＝＋＋＝＋＝0.
跟踪训练
　B　对于①：＋＋＝＋＝0；对于②：（＋）＋＋＝＋＋＋＝＋＝；对于③：＋＋＋＝（＋）＋（＋）＝＋0＝；对于④：＋＋＋＝（＋）＋（＋）＝＋＝0，所以结果为0的个数是2，故选B.
【例3】　解：∵a与b不共线，且｜a｜＝2，｜b｜＝3，
∴｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜，
∴1＜｜a＋b｜＜5，
故｜a＋b｜的范围为（1，5）.
跟踪训练
1.反向　解析：由已知可得｜a＋b｜＝3＝6－3＝｜a｜－｜b｜，由向量加法的几何意义可知，向量a与b的方向相反.
2.2　解析：因为＋＝，＋＝，所以｜＋＋＋｜＝｜＋｜＝｜｜＋｜｜＝2｜｜，又正方形的边长为1，所以对角线｜AC｜＝＝，即｜｜＝，所以｜＋＋＋｜＝2.
【例4】　解：（1）如图所示，表示船速，表示水速.
易知AD⊥AB，以AD，AB为邻边作矩形ABCD，则表示船实际航行的速度.
（2）在Rt△ABC中，｜｜＝5，｜｜＝5，所以｜｜＝＝＝＝10.
因为tan∠CAB＝＝，所以∠CAB＝60°.
因此，船实际航行的速度为10 km/h，方向与江水的速度方向间的夹角为60°.
跟踪训练
　解：如图，在Rt△OAC中，∵∠AOC＝30°，∴｜｜＝｜｜＝40，｜｜＝｜｜·cos∠AOC＝40.
∴竖直方向的速度大小为40 m/s，水平方向速度的大小为40 m/s.
随堂检测
1.B　由向量加法可知＋＋＝＋＝2.
2.C　（＋）＋（＋）＋＝（＋）＋（＋）＋＝＋＋＝.故选C.
3.D　因为ABCDEF是正六边形，故＋＋＝＋＋＝＋＝.
4.BD　两个向量的和的运算结果仍是一个向量，所以A正确；两个向量的加法遵循三角形法则，只有当a，b首尾相连时才成立，故B错误；向量加法运算满足结合律，故C正确；两个单位向量的方向没有确定，当它们方向相同时才成立，故D错误；故选B、D.
5.2　解析：｜a＋b＋c｜＝｜＋＋｜＝｜＋｜＝2｜｜＝2.
5 / 5(共60张PPT)
6.1.2　向量的加法
新课程标准解读 核心素养
借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运
算的定义、运算法则，理解其几何意义及向量加法运算
的运算律 数学抽象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图所示，李敏同学上午从家（点 A ）到达了公园（点 B ），下午从
公园（点 B ）到达了舅舅家（点 C ）.
【问题】　（1）分别用向量表示出李敏上午的位移、下午的位移以
及这一天的位移；
（2）这一天的位移与上、下午的位移有什么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　
知识点　向量的加法
1. 向量加法的定义及其运算法则
（1）定义：求两个向量和的运算；
（2）向量求和的法则
三角形 法则 已知向量 a ， b ，在平面内任取一点 A ，作 ＝ a ，
＝ b ，作出向量 ，则向量 称为 a 与 b 的和，记
作 a ＋ b ，即 a ＋ b ＝ ＋ ＝
　
平行 四边形 法则 已知两个不共线向量 a ， b ， 作 ＝ a ， ＝ b ，以
， 为邻边作 ABCD ，则对角线上的向量
＝
＋ ＝ a ＋ b 　
（3）多边形法则
已知 n 个向量，依次把这 n 个向量首尾相连，以第一个向量的
始点为 ，第 n 个向量的终点为 的向量叫做
这 n 个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则；
（4）向量 a ， b 的模与 a ＋ b 的模之间的关系
≤｜ a ＋ b ｜≤ .
起点　
终点　
｜｜ a ｜－｜
b ｜｜　
｜ a ｜＋｜ b ｜　
2. 向量加法的运算律
运 算
律 交换律 a ＋ b ＝
结合律 （ a ＋ b ）＋ c ＝ a ＋（ b ＋ c ）
b ＋ a 　
【想一想】
1. 利用向量加法的三角形法则时，若向量 a ， b 中有零向量怎么办？
若两向量共线时，能否利用三角形法则求和？
提示：对于零向量与任一向量 a ，规定0＋ a ＝ a ＋0＝ a .当两向量
共线时，仍可以使用三角形法则求和.
2. 向量加法的平行四边形法则中“不共线”是否多余，去掉可以吗？
提示：不可以，因为如果两个向量共线，就无法以它们为邻边作出
平行四边形，也不会产生和向量.
3. 平行四边形法则中，求和的两个向量与和向量的起点有什么特点？
和向量是怎样产生的？
提示：求和的两个向量与和向量共起点，和向量是以求和的两个向
量为邻边的平行四边形的对角线向量.
1. 某人先向东走3 km，位移记为 a ，接着再向北走3 km，位移记为
b ，则 a ＋ b 表示（　　）
A. 向东南走3 km B. 向东北走3 km
C. 向东南走3 km D. 向东北走3 km
解析： 　由题意和向量的加法，得 a ＋ b 表示先向东走3 km，再
向北走3 km，即向东北走3 km.故选B.
2. 点 O 是平行四边形 ABCD 的两条对角线的交点，则 ＋ ＋
＝（　　）
A. B.
C. D. 0
解析： 　 ＋ ＋ ＝ .故选A.
3. 已知四边形 ABCD 是边长为1的正方形，则｜ ＋ ｜
＝ .
解析：｜ ＋ ｜＝｜ ｜＝ ＝ .
　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 向量加法运算法则的应用
【例1】　（1）如图，在△ ABC 中， D ， E 分别是 AB ， AC 上的点，
点 F 为线段 DE 延长线上一点， DE ∥ BC ， AB ∥ CF ，连接 CD ，那么
（在横线上只填上一个向量）：
① ＋ ＝ ；
② ＋ ＝ .
　
　
解析： 如题图，由已知得四边形 DFCB 为平行四边形，由
向量加法的运算法则可知：
① ＋ ＝ ＋ ＝ .
② ＋ ＝ ＋ ＝ .
①若｜ a ｜＝3，｜ b ｜＝2，则｜ a ＋ b ｜≥1；
②若向量 a ， b 共线，则｜ a ＋ b ｜＝｜ a ｜＋｜ b ｜；
③若｜ a ＋ b ｜＝｜ a ｜＋｜ b ｜，则向量 a ， b 共线.
（2）下列说法正确的是 .
①③　
解析： ①正确，当两向量反向时，和向量的模最小为1；
②中描述的只是向量同向时的情况，故不正确，反之正确，即
③正确.
（3）如图，已知三个向量 a ， b ， c ，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量 a ＋ b ＋ c .
解：利用三角形法则作 a ＋ b ＋ c ，如图①所示，作
＝ a ，以 A 为起点，作 ＝ b ，再以 B 为起点，作 ＝ c ，则 ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ a ＋ b ＋ c .利用平行四边形法则作 a ＋ b ＋ c ，如图②所示，作 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，以 ， 为邻边作 OADB ，则 ＝ a ＋ b ，再以 ， 为邻边作 ODEC ，则 ＝ ＋ ＝ a ＋ b ＋ c .
通性通法
1. 向量求和的注意点
（1）三角形法则对于两个向量共线时也适用；
（2）两个向量的和向量仍是一个向量；
（3）平行四边形法则对于两个向量共线时不适用.
2. 利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为
“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共
起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量.
【跟踪训练】
求作下列向量的和：
解：（1）如图①所示， ＝ a ＋b .
（2）如图②所示，首先作 ＝ a ，
然后作 ＝ b ，则 ＝ a ＋ b .
（3）如图③所示，作 ＝ a ， ＝ b ，则 ＝
a ＋ b ，再作 ＝ c ，则 ＝ ＋ ＝（ a ＋ b ）
＋ c ，即 ＝ a ＋ b ＋ c .
题型二 向量加法运算律的应用
【例2】　化简或计算：
（1） ＋ ＋ ；
解： ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋ ＝ ＋ ＝ .
（2） ＋ ＋ ＋ ＋ .
解： ＋ ＋ ＋ ＋
＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＋
＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0.
通性通法
解决向量加法运算时应关注两点
（1）可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算；
（2）要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量
起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.
【跟踪训练】
　化简下列各式：① ＋ ＋ ；②（ ＋ ）＋ ＋
；③ ＋ ＋ ＋ ；④ ＋ ＋ ＋ .其中结果为0
的个数是（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 　对于①： ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0；对于②：（
＋ ）＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ；对
于③： ＋ ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝ ＋
0＝ ；对于④： ＋ ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋（ ＋
）＝ ＋ ＝0，所以结果为0的个数是2，故选B.
题型三 向量 a ， b 的模与 a ＋ b 的模之间的关系
【例3】　已知非零向量 a ， b 满足｜ a ｜＝2，｜ b ｜＝3，且不共
线，求｜ a ＋ b ｜的范围.
解：∵ a 与 b 不共线，且｜ a ｜＝2，｜ b ｜＝3，
∴｜｜ a ｜－｜ b ｜｜＜｜ a ＋ b ｜＜｜ a ｜＋｜ b ｜，
∴1＜｜ a ＋ b ｜＜5，
故｜ a ＋ b ｜的范围为（1，5）.
通性通法
　　解答此类问题可利用向量加法的三角形法则作出图形辅助解答.
【跟踪训练】
1. 若｜ a ｜＝6，｜ b ｜＝3，｜ a ＋ b ｜＝3，则向量 a 与 b 的方向必
为 .
解析：由已知可得｜ a ＋ b ｜＝3＝6－3＝｜ a ｜－｜ b ｜，由向量
加法的几何意义可知，向量 a 与 b 的方向相反.
反向　
2. 已知正方形 ABCD 的边长为1，则｜ ＋ ＋ ＋ ｜＝
.
解析：因为 ＋ ＝ ， ＋ ＝ ，所以｜ ＋ ＋
＋ ｜＝｜ ＋ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜＝2｜ ｜，又
正方形的边长为1，所以对角线｜ AC ｜＝ ＝ ，即｜
｜＝ ，所以｜ ＋ ＋ ＋ ｜＝2 .
2
　
题型四 向量加法的实际应用
【例4】　为了调运急需物资，如图所示，一艘船从江南岸 A 点出
发，以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为
向东5 km/h.
（1）试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；
解： 如图所示， 表示船速， 表示水速.
易知 AD ⊥ AB ，以 AD ， AB 为邻边作矩形
ABCD ，则 表示船实际航行的速度.
（2）求船实际航行的速度的大小与方向.（方向用与江水的速度方向
间的夹角表示）
解： 在Rt△ ABC 中，｜ ｜＝5，｜ ｜＝5 ，所以｜ ｜＝ ＝ ＝ ＝10.
因为tan∠ CAB ＝ ＝ ，所以∠ CAB ＝60°.
因此，船实际航行的速度为10 km/h，方向与江水的速度方向间的夹角为60°.
通性通法
利用向量加法解决实际应用题的3步骤
【跟踪训练】
　一架飞机沿仰角30°的方向以80 m/s的速度起飞，飞机起飞时沿水
平方向和竖直方向的速度分别是多少？
解：如图，在Rt△ OAC 中，∵∠ AOC ＝30°，
∴｜ ｜＝ ｜ ｜＝40，｜ ｜＝
｜ ｜· cos ∠ AOC ＝40 .
∴竖直方向的速度大小为40 m/s，水平方向速度的
大小为40 m/s.
1. 下列等式错误的是（　　）
A. a ＋0＝0＋ a ＝ a
B. ＋ ＋ ＝0
C. ＋ ＝0
D. ＋ ＝ ＋ ＋
解析： 　由向量加法可知 ＋ ＋ ＝ ＋ ＝2 .
2. 向量（ ＋ ）＋（ ＋ ）＋ 化简后等于（　　）
A. B. C. D.
解析： 　（ ＋ ）＋（ ＋ ）＋ ＝（ ＋ ）＋
（ ＋ ）＋ ＝ ＋ ＋ ＝ .故选C.
3. 如图，在正六边形 ABCDEF 中， ＋ ＋ ＝（　　）
A. 0 B.
C. D.
解析： 　因为 ABCDEF 是正六边形，故 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ .
4. （多选）下列结论中错误的是（　　）
A. 两个向量的和仍是一个向量
B. 向量 a 与 b 的和是以 a 的始点为始点，以 b 的终点为终点的向量
C. （ a ＋ b ）＋ c ＝ a ＋（ b ＋ c ）
D. 向量 a 与 b 都是单位向量，则｜ a ＋ b ｜＝2
解析： 　两个向量的和的运算结果仍是一个向量，所以A正
确；两个向量的加法遵循三角形法则，只有当 a ， b 首尾相连时才
成立，故B错误；向量加法运算满足结合律，故C正确；两个单位
向量的方向没有确定，当它们方向相同时才成立，故D错误；故选
B、D.
5. 已知正方形 ABCD 的边长为1， ＝ a ， ＝ c ， ＝ b ，则｜ a
＋ b ＋ c ｜＝ .
解析：｜ a ＋ b ＋ c ｜＝｜ ＋ ＋ ｜＝｜ ＋ ｜＝2｜
｜＝2 .
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知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 如图，已知 D ， E ， F 分别是△ ABC 的边 AB ， BC ， CA 的中点，
则下列等式中不正确的是（　　）
A. ＋ ＝
B. ＋ ＋ ＝0
C. ＋ ＝
D. ＋ ＝
解析： 　由向量加法的平行四边形法则可知， ＋ ＝ ≠
.
2. 在平行四边形 ABCD 中， ＋ ＋ ＝（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　画出图形，如图所示： ＋ ＋
＝（ ＋ ）＋ ＝ ＋ ＝ ＋
＝ ＝ .故选A.
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3. 若在△ ABC 中， ＝ a ， ＝ b ，且｜ a ｜＝｜ b ｜＝1，｜ a ＋
b ｜＝ ，则△ ABC 的形状是（　　）
A. 正三角形 B. 锐角三角形
C. 斜三角形 D. 等腰直角三角形
解析： 　由于｜ ｜＝｜ a ｜＝1，｜ ｜＝｜ b ｜＝1，｜
｜＝｜ a ＋ b ｜＝ ，所以△ ABC 为等腰直角三角形，故选D.
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4. a ， b 为非零向量，且｜ a ＋ b ｜＝｜ a ｜＋｜ b ｜，则（　　）
A. a ∥ b ，且 a 与 b 方向相同
B. a ， b 是共线向量且方向相反
C. a ＝－ b
D. a ， b 无论什么关系均可
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解析： 　当两个非零向量 a ， b 不共线时， a ＋ b 的方向与 a ， b
的方向都不相同，且｜ a ＋ b ｜＜｜ a ｜＋｜ b ｜；当两个非零向量
a ， b 同向时， a ＋ b 的方向与 a ， b 的方向都相同，且｜ a ＋ b ｜
＝｜ a ｜＋｜ b ｜；当两个非零向量 a ， b 反向时且｜ a ｜＜｜
b ｜， a ＋ b 的方向与 b 的方向相同，且｜ a ＋ b ｜＝｜ b ｜－｜
a ｜，所以对于非零向量 a ， b ，且｜ a ＋ b ｜＝｜ a ｜＋｜ b ｜，
则 a ∥ b ，且 a 与 b 方向相同.故选A.
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5. （多选）设 a ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）， b 是一个非零向
量，则下列结论正确的有（　　）
A. a ∥ b B. a ＋ b ＝ a
C. a ＋ b ＝ b D. ｜ a ＋ b ｜＜｜ a ｜＋｜ b ｜
解析： 　由题意，向量 a ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝
＋ ＝0，且 b 是一个非零向量，所以 a ∥ b 成立，所以A正确；由
a ＋ b ＝ b ，所以B不正确，C正确；由｜ a ＋ b ｜＝｜ b ｜，｜ a ｜
＋｜ b ｜＝｜ b ｜，所以｜ a ＋ b ｜＝｜ a ｜＋｜ b ｜，所以D不正
确.故选A、C.
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6. 若 C 是线段 AB 的中点，则 ＋ ＝ 　 　.
解析：∵ C 是线段 AB 的中点，∴ AC ＝ CB . ∴ 与 方向相
反，模相等.∴ ＋ ＝0.
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7. 菱形 ABCD 中，∠ BAD ＝60°，｜ ｜＝1，则｜ ＋ ｜
＝ .
解析：因为在菱形 ABCD 中，∠ BAD ＝60°，所以△ ABD 为等边
三角形，所以｜ ＋ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝1.
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8. 在中心为 O 的正八边形 A1 A2… A8中， a0＝ ， ai ＝ （ i ＝
1，2，…，7）， bj ＝ （ j ＝1，2，…，8），试化简 a2＋ a5＋
b2＋ b5＋ b7.
解：如图所示，∵ ＋ ＝0，∴ a2＋ a5＋ b2
＋ b5＋ b7＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝
（ ＋ ）＋（ ＋ ）＋ ＝
＋ ＋ ＝ ＝ b6.
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9. 如图所示， P ， Q 是△ ABC 的边 BC 上两点，且 BP ＝ QC . 求证：
＋ ＝ ＋ .
证明：∵ ＝ ＋ ， ＝ ＋ ，∴ ＋ ＝ ＋
＋ ＋ .
又∵ BP ＝ QC 且 与 方向相反，
∴ ＋ ＝0，∴ ＋ ＝ ＋ ，
即 ＋ ＝ ＋ .
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10. 如图所示的方格纸中有定点 O ， P ， Q ， E ， F ， G ， H ，则
＋ ＝（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　在方格纸上作出 ＋ ，如图，易知 ＋ ＝ .
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11. 在矩形 ABCD 中，｜ ｜＝2，设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，
则｜ a ＋ b ＋ c ｜＝（　　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
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解析： a ＋ b ＋ c ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ，延长 BC 至
E ，使 CE ＝ BC ，连接 DE ，由于 ＝ ＝ ，∴ CE ∥ AD ，
CE ＝ AD ，∴四边形 ACED 是平行四边形，∴ ＝ ，∴ ＋
＝ ＋ ＝ ，∴｜ a ＋ b ＋ c ｜＝｜ ｜＝2｜ ｜＝
2｜ ｜＝4.故选C.
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12. 如图，网格小正方形的边长均为1，求｜ a ＋ b ＋ c ＋ d ｜.
解：如图，作 a '＝ a ， b '＝ b ， c '＝ c ，则根据
向量加法的三角形法则可得｜ a '＋ b '＋ c '＋
d ｜＝｜ ｜＝1，即｜ a ＋ b ＋ c ＋ d ｜＝1.
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13. 如图是一个机器人手臂的示意图.该手臂分为三段，分别可用向量
a ， b ， c 代表.若用向量 d 代表整条手臂，则（　　）
A. ｜ a ｜＋｜ b ｜＋｜ c ｜＝｜ d ｜
B. ｜ a ｜＋｜ b ｜＝｜ c ｜＋｜ d ｜
C. a ＋ c ＋ b ＝ d
D. a ＋ b ＝ c ＋ d
解析： 　根据题意得 a ＋ b ＋ c ＝ d ，所以由于各向量的模未
知，方向未定，故｜ a ｜＋｜ b ｜＋｜ c ｜＝｜ d ｜，｜ a ｜＋｜
b ｜＝｜ c ｜＋｜ d ｜均不一定成立，故C选项正确.
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14. 如图，已知电线 AO 与天花板的夹角为60°，电线 AO 所受拉力｜
F1｜＝24 N，绳 BO 与墙壁垂直，所受拉力｜ F2｜＝12 N. 求 F1和
F2的合力.
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解：如图，根据向量加法的平行四边形法则，得
到合力 F ＝ F1＋ F2＝ ，
在△ OCA 中，｜ ｜＝24，
｜ ｜＝12，∠ OAC ＝60°，
∴∠ OCA ＝90°，∴｜ ｜＝12 ，∴ F1与
F2的合力大小为12 N，方向为与 F2成90°角
竖直向上.
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