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6.1.3　向量的减法
1.下列等式中，正确的个数为（　　）
①0－a＝－a；②－（－a）＝a；③a＋（－a）＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋（－b）；⑥a－（－a）＝0.
A.3　　　　　　　　　B.4
C.5 D.6
2.已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则｜a＋b－c｜＝（　　）
A.0 B.1
C. D.2
3.已知O是平面上一点，＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则（　　）
A.a＋b＋c＋d＝0 B.a－b－c＋d＝0
C.a＋b－c－d＝0 D.a－b＋c－d＝0
4.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则（　　）
A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
5.（多选）在五边形ABCDE中（如图），下列运算结果为的是（　　）
A.＋－
B.＋
C.－
D.－
6.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则－－＋＋＝　　　　.
7.若四边形ABCD为正方形，且边长为2，则｜－＋｜＝　　　　.
8.已知｜｜＝a，｜｜＝b，且a＞b，｜｜的取值范围是[5，15]，则a，b的值分别为　　　　.
9.如图，在正六边形ABCDEF中，O为中心，若＝a，＝b，用向量a，b表示向量，和.
10.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，｜｜2＝16，｜＋｜＝｜－｜，则｜｜＝（　　）
A.8 B.4
C.2 D.1
11.已知｜a｜＝｜b｜＝1，｜a＋b｜＝1，则｜a－b｜＝（　　）
A.1 B.
C. D.2
12.已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，＝a，＝b.求证：
（1）｜a－b｜＝｜a｜；
（2）｜a＋（a－b）｜＝｜b｜.
13.在四边形ABCD中，若＋＋＝0，且｜｜＝｜｜＝｜｜＝4，则△BCD的面积为　　　　.
14.已知在△OAB中，＝a，＝b，满足｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜＝2，求｜a＋b｜与△OAB的面积.
6.1.3　向量的减法
1.C　由向量加减法的运算性质知：①0－a＝－a；②－（－a）＝a；③a＋（－a）＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋（－b）；⑥a－（－a）＝a＋a＝2a.故选C.
2.A　因为＝a，＝b，＝c，所以｜a＋b－c｜＝｜＋－｜＝｜－｜＝0.故选A.
3.D　易知－＝，－＝，而在平行四边形ABCD中，＝，所以－＝－，即b－a＝c－d，所以a－b＋c－d＝0，故选D.
4.A　对于A，因为＝，所以＋＋＝＋＝0，故选项A正确；对于B，－＋＝＋－＝－＝≠0，故选项B不正确；对于C，＋－＝＋＝2≠0，故选项C不正确；对于D，－－＝＋＝2≠0，故选项D不正确；故选A.
5.AB　对于A，＋－＝＋＝，A正确；对于B，＋＝，B正确；对于C，－＝＋＝，C不正确；对于D，－＝＋≠，D不正确.故选A、B.
6.　解析：－－＋＋＝（－）－（－）＋＝－＋＝.
7.2　解析：｜－＋｜＝｜＋（－）｜＝｜＋｜＝｜｜＝2.
8.10，5　解析：由＝－，得｜｜＝｜－｜.∵a＞b，即｜｜＞｜｜，∴｜｜－｜｜≤｜－｜≤｜｜＋｜｜，即a－b≤｜｜≤b＋a.∵｜｜∈[5，15]，∴解得
9.解：法一　在平行四边形OAFE中，OF为对角线，且OA，OF，OE始点相同，应用平行四边形法则，得＝＋＝a＋b.
∵＝－，∴＝－a－b.
而＝－＝－b，＝－＝－a，
∴＝－b，＝－a－b，＝－a.
法二　由正六边形的几何性质，得
＝－a，＝－b，＝－＝－a.
在△OBC中，＝＋＝－a－b.
法三　由正六边形的几何性质，得＝－b，＝－a.
在平行四边形OBCD中，＝＋＝－a－b.
10.C　以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB（图略），则｜｜＝｜＋｜，｜｜＝｜－｜.因为｜＋｜＝｜－｜，所以｜｜＝｜｜，所以四边形ACDB为矩形，故AC⊥AB，所以AM为Rt△BAC斜边BC上的中线，因此｜｜＝｜｜＝2.
11.B　如图，根据向量加法的平行四边形法则可知，当｜a｜＝｜b｜＝1时，平行四边形ABDC为菱形.又｜｜＝｜a＋b｜＝1，∴△ABD为正三角形，∴∠ABD＝60°.∴｜a－b｜＝｜｜＝2｜｜＝2＝2×＝.
12.证明：如图，由于△ABC为等腰直角三角形，可知｜｜＝｜｜.由M是斜边AB的中点，得｜｜＝｜｜.
（1）在△ACM中，＝－＝a－b，于是，由｜｜＝｜｜，得｜a－b｜＝｜a｜.
（2）在△MCB中，＝＝a－b，∴＝－＝a－b＋a＝a＋（a－b），从而由｜｜＝｜｜，得｜a＋（a－b）｜＝｜b｜.
13.4　解析：在四边形ABCD中，＋＋＝0，即为＋＝0，即＝，可得四边形ABCD为平行四边形，又｜｜＝｜｜＝｜｜＝4，可得四边形ABCD为边长为4的菱形，则△BCD的面积为正△ABC的面积，即为×4×2＝4.
14.解：由已知得｜｜＝｜｜，以，为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，如图所示，
且＝a＋b，＝a－b，
由于｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，则OA＝OB＝BA，
∴△OAB为正三角形，∴｜a＋b｜＝｜｜＝2×＝2，
∴S△OAB＝×2×＝.
2 / 26.1.3　向量的减法
新课程标准解读 核心素养
借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算的定义及运算法则，理解其几何意义 数学抽象、直观想象
如图，由向量加法的三角形法则可知＋x＝，若，为已知向量.
【问题】　（1）怎样用，表示向量x；
（2）向量x的模与｜｜，｜｜有什么关系？
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　向量的减法
1.向量的减法
（1）定义：平面上任意给定两个向量a，b，如果向量x能够满足b＋x＝a，则称x为向量a与b的差，记作x＝　　　　；
（2）作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，作出向量，向量　　　　就是向量a与b的差（也称为向量a与b的差向量），即－＝　　　　；
（3）向量减法的三角形法则：当向量a，b不共线时，向量a，b，a－b正好能构成一个三角形，因此求两向量差的作图方法也常称为向量减法的三角形法则.
2.相反向量
（1）定义：给定一个向量，我们把与这个向量方向　　　　、大小　　　　的向量称为它的相反向量；
（2）记法：向量a的相反向量记作　　　　.因此，的相反向量是　　　　，而且－＝　　　　；
（3）性质：①－0＝　　；
②a＋（－a）＝0，＋（－）＝　　；
③a－b＝　　　　　　.
3.向量a，b的模与a－b的模之间的关系
｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜.
提醒　（1）相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量；（2）在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可；（3）向量的减法的实质是向量的加法的逆运算，利用相反向量的定义－＝就可以将减法转化为加法.
1.已知非零向量a与b同向，则a－b（　　）
A.必定与a同向
B.必定与b同向
C.必定与a是平行向量
D.与b不可能是平行向量
2.化简－＋＋的结果等于（　　）
A.　　　　　　 B.
C. D.
3.在边长为1的等边△ABC中，｜－｜＝　　　　.
题型一 向量的减法及其几何意义
【例1】　（1）四边形ABCD中，若＝a，＝b，＝c，则＝（　　）
A.a－b＋c　　　　 B.b－（a＋c）
C.a＋b＋c D.b－a＋c
（2）如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
尝试解答
通性通法
求作两个向量的差向量的两种思路
（1）可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋（－b）即可；
（2）可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.
【跟踪训练】
1.如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则可以表示为（　　）
A.a＋b B.a－b
C.b－a D.－a－b
2.如图，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作：
（1）b＋c－a；
（2）a－b－c.
题型二 向量的减法运算
【例2】　化简：
（1）（－）－（－）；
（2）（＋＋）－（－－）.
尝试解答
通性通法
1.向量减法运算的常用方法
2.向量加减法化简的两种形式
（1）首尾相连则为和；
（2）起点相同则为差.
做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用.
【跟踪训练】
　（多选）化简以下各式，结果为0的有（　　）
A.－＋
B.－＋－
C.－＋
D.＋＋－
题型三 向量和差的模与向量模的和差
【例3】　若向量a与向量b不共线，则下列关系式成立的是（　　）
A.｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜＜｜a－b｜
B.｜a｜－｜b｜≤｜a－b｜≤｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a｜＋｜b｜
C.｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a±b｜＜｜a｜＋｜b｜
D.｜a±b｜＞｜｜a｜－｜b｜｜≥｜a｜＋｜b｜
尝试解答
通性通法
1.｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜，当a与b同向时，左边等号成立，当a与b反向时，右边等号成立.
2.由向量加减运算的几何意义作出辅助图形，借助几何图形的几何性质，分类讨论.
【跟踪训练】
1.若｜｜＝9，｜｜＝4，则｜｜的取值范围是（　　）
A.（5，13）　B.[4，5]　C.（5，9]　D.[5，13]
2.如果向量∥，｜｜＝3，｜｜＝1，那么｜－｜＝　　　　.
1.如图，向量＝a，＝b，＝c，则向量可以表示为（　　）
A.a＋b－c B.a－b＋c
C.b－a＋c D.b－a－c
2.在△ABC中，若｜｜＝｜｜＝｜－｜，则△ABC的形状为（　　）
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
3.（多选）已知＋＝，则下列结论正确的是（　　）
A.＋＝
B.＋＝
C.－＝
D.＋＝
6.1.3　向量的减法
【基础知识·重落实】
知识点
1.（1）a－b　（2）　　2.（1）相反　相等　（2）－a　－　　（3）0　0　a＋（－b）
自我诊断
1.C　若｜a｜＞｜b｜，则a－b与a同向，若｜a｜＜｜b｜，则a－b与－b同向，若｜a｜＝｜b｜，则a－b＝0，方向任意，且与任意向量共线，故A、B、D皆错，故选C.
2.B　－＋＋＝＋－＝.故选B.
3.1　解析：｜－｜＝｜｜＝1.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）A　＝－＝（＋）－＝a＋c－b.
（2）解：法一　如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
法二　如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.
跟踪训练
1.D　在平行四边形ABCD中，依题意，＝－＝－a，而＝b，所以＝－＝－a－b.故选D.
2.解：（1）如图所示，以，为邻边作平行四边形OBDC，连接OD，AD，则＝＋＝b＋c，
所以b＋c－a＝－＝.
（2）由a－b－c＝a－（b＋c），
如图，作平行四边形OBEC，连接OE，
则＝＋＝b＋c，
连接AE，则＝a－（b＋c）＝a－b－c.
【例2】　解：（1）（－）－（－）
＝（＋）－（＋）
＝－＝0.
（2）（＋＋）－（－－）
＝（＋）－（－）
＝－
＝0.
跟踪训练
　ABD　－＋＝＋＋＝＋＝0，－＋－＝＋－－＝－＝0，－＋＝＋－＝－≠0，＋＋－＝＋＝0.故选A、B、D.
【例3】　C　当a与b不共线时，如图所示，设＝a，＝b，作平行四边形OACB，设＝a＋b，＝a－b.在△OAB中，｜｜＋｜｜＞｜｜，即｜a｜＋｜b｜＞｜a－b｜；｜｜｜－｜｜｜＜｜｜，即｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a－b｜.在△OBC中，｜｜＋｜｜＞｜｜，即｜a｜＋｜b｜＞｜a＋b｜，｜｜｜－｜｜｜＜｜｜，即｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a＋b｜.∴｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a±b｜＜｜a｜＋｜b｜.
跟踪训练
1.D　｜｜－｜｜≤｜｜＝｜－｜≤｜｜＋｜｜，所以5≤｜｜≤13.故选D.
2.2或4　解析：因为∥，所以，的方向相同或相反，当，方向相同时，｜－｜＝3－1＝2，当，方向相反时，｜－｜＝3＋1＝4.
随堂检测
1.C　＝＋＝－＋＝b－a＋c.故选C.
2.A　因为｜－｜＝｜｜＝｜｜，所以｜｜＝｜｜＝｜｜，所以△ABC为等边三角形.故选A.
3.BCD　根据向量的线性运算，对A，化简为＋＝，错误；对B，即－＝，即＋＝，正确；对C，对－＝移项可得＋＝，正确；对D，由－－＝－，移项即＋＝，正确；故选B、C、D.
5 / 5(共53张PPT)
6.1.3　向量的减法
新课程标准解读 核心素养
借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法
运算的定义及运算法则，理解其几何意义 数学抽象、
直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　如图，由向量加法的三角形法则可知 ＋ x ＝ ，若 ，
为已知向量.
【问题】　（1）怎样用 ， 表示向量 x ；
（2）向量 x 的模与｜ ｜，｜ ｜有什么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　
知识点　向量的减法
1. 向量的减法
（1）定义：平面上任意给定两个向量 a ， b ，如果向量 x 能够满足
b ＋ x ＝ a ，则称 x 为向量 a 与 b 的差，记作 x ＝ ；
（2）作法：在平面内任取一点 O ，作 ＝ a ， ＝ b ，作出向
量 ，向量 就是向量 a 与 b 的差（也
称 为向量 a 与 b 的差向量），即 － ＝
；
a － b 　
　
　
（3）向量减法的三角形法则：当向量 a ， b 不共线时，向量 a ，
b ， a － b 正好能构成一个三角形，因此求两向量差的作图方
法也常称为向量减法的三角形法则.
2. 相反向量
（1）定义：给定一个向量，我们把与这个向量方向 、大
小 的向量称为它的相反向量；
（2）记法：向量 a 的相反向量记作 .因此， 的相反向
量是 ，而且－ ＝ ；
（3）性质：①－0＝ ；
② a ＋（－ a ）＝0， ＋（－ ）＝ ；
③ a － b ＝ .
相反　
相等　
－ a 　
－ 　
　
0　
0　
a ＋（－ b ）　
3. 向量 a ， b 的模与 a － b 的模之间的关系
｜｜ a ｜－｜ b ｜｜≤｜ a － b ｜≤｜ a ｜＋｜ b ｜.
提醒　（1）相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两
方面进行定义，相反向量必为平行向量；（2）在用三角形法则作
向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即
可；（3）向量的减法的实质是向量的加法的逆运算，利用相反向
量的定义－ ＝ 就可以将减法转化为加法.
1. 已知非零向量 a 与 b 同向，则 a － b （　　）
A. 必定与 a 同向
B. 必定与 b 同向
C. 必定与 a 是平行向量
D. 与 b 不可能是平行向量
解析： 　若｜ a ｜＞｜ b ｜，则 a － b 与 a 同向，若｜ a ｜＜｜
b ｜，则 a － b 与－ b 同向，若｜ a ｜＝｜ b ｜，则 a － b ＝0，方向
任意，且与任意向量共线，故A、B、D皆错，故选C.
2. 化简 － ＋ ＋ 的结果等于（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　 － ＋ ＋ ＝ ＋ － ＝ .故选B.
3. 在边长为1的等边△ ABC 中，｜ － ｜＝ .
解析：｜ － ｜＝｜ ｜＝1.
1　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 向量的减法及其几何意义
【例1】　（1）四边形 ABCD 中，若 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，则
＝（　A　）
A
A. a － b ＋ c
B. b －（ a ＋ c ）
C. a ＋ b ＋ c
D. b － a ＋ c
解析：　 ＝ － ＝（ ＋ ）－ ＝ a ＋ c － b .
（2）如图，已知向量 a ， b ， c不共线，求作向量 a ＋
b － c .
解：法一　如图①所示，在平面内任取一点 O ，作 ＝ a ，
＝ b ，则 ＝ a ＋ b ，再作 ＝ c ，则 ＝ a ＋ b － c .
法二　如图②所示，在平面内任取
一点 O ，作 ＝ a ， ＝ b ，则
＝ a ＋ b ，再作 ＝ c ，连接
OC ，则 ＝ a ＋ b － c .
通性通法
求作两个向量的差向量的两种思路
（1）可以转化为向量的加法来进行，如 a － b ，可以先作－ b ，然后
作 a ＋（－ b ）即可；
（2）可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，
则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.
【跟踪训练】
1. 如图，已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O ，且
＝ a ， ＝ b ，则 可以表示为（　　）
A. a ＋ b
B. a － b
C. b － a
D. － a － b
解析： 　在平行四边形 ABCD 中，依题意， ＝－ ＝－ a ，
而 ＝ b ，所以 ＝ － ＝－ a － b .故选D.
2. 如图， O 为△ ABC 内一点， ＝ a ， ＝ b ，
＝ c .求作：
（1） b ＋ c － a ；
解： 如图所示，以 ， 为邻边作平
行四边形 OBDC ，连接 OD ， AD ，则 ＝
＋ ＝ b ＋ c ，
所以 b ＋ c － a ＝ － ＝ .
（2） a － b － c .
解： 由 a － b － c ＝ a －（ b ＋ c ），
如图，作平行四边形 OBEC ，连接 OE ，
则 ＝ ＋ ＝ b ＋ c ，
连接 AE ，则 ＝ a －（ b ＋ c ）＝ a － b －c .
题型二 向量的减法运算
【例2】　化简：
（1）（ － ）－（ － ）；
解： （ － ）－（ － ）
＝（ ＋ ）－（ ＋ ）
＝ － ＝0.
（2）（ ＋ ＋ ）－（ － － ）.
解： （ ＋ ＋ ）－（ － － ）
＝（ ＋ ）－（ － ）
＝ －
＝0.
通性通法
1. 向量减法运算的常用方法
2. 向量加减法化简的两种形式
（1）首尾相连则为和；
（2）起点相同则为差.
做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用.
【跟踪训练】
　（多选）化简以下各式，结果为0的有（　　）
A. － ＋
B. － ＋ －
C. － ＋
D. ＋ ＋ －
解析： 　 － ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0，
－ ＋ － ＝ ＋ － － ＝ － ＝0， －
＋ ＝ ＋ － ＝ － ≠0， ＋ ＋ － ＝
＋ ＝0.故选A、B、D.
题型三 向量和差的模与向量模的和差
【例3】　若向量 a 与向量 b 不共线，则下列关系式成立的是（　　）
A. ｜｜ a ｜－｜ b ｜｜≤｜ a ＋ b ｜≤｜ a ｜＋｜ b ｜＜｜ a － b ｜
B. ｜ a ｜－｜ b ｜≤｜ a － b ｜≤｜｜ a ｜－｜ b ｜｜≤｜ a ｜＋｜
b ｜
C. ｜｜ a ｜－｜ b ｜｜＜｜ a ± b ｜＜｜ a ｜＋｜ b ｜
D. ｜ a ± b ｜＞｜｜ a ｜－｜ b ｜｜≥｜ a ｜＋｜ b ｜
解析： 当 a 与 b 不共线时，如图所示，设 ＝ a ，
＝ b ，作平行四边形 OACB ，设 ＝ a ＋ b ， ＝
a － b .在△ OAB 中，｜ ｜＋｜ ｜＞｜ ｜，
即｜ a ｜＋｜ b ｜＞｜ a － b ｜；｜｜ ｜－｜
｜｜＜｜ ｜，即｜｜ a ｜－｜ b ｜｜＜｜ a － b ｜.在△ OBC 中，｜ ｜＋｜ ｜＞｜ ｜，即｜ a ｜＋｜ b ｜＞｜ a ＋ b ｜，｜｜ ｜－｜ ｜｜＜｜ ｜，即｜｜ a ｜－｜ b ｜｜＜｜ a ＋ b ｜.∴｜｜ a ｜－｜ b ｜｜＜｜ a ± b ｜＜｜ a ｜＋｜ b ｜.
通性通法
1. ｜｜ a ｜－｜ b ｜｜≤｜ a － b ｜≤｜ a ｜＋｜ b ｜，当 a 与 b 同向
时，左边等号成立，当 a 与 b 反向时，右边等号成立.
2. 由向量加减运算的几何意义作出辅助图形，借助几何图形的几何性
质，分类讨论.
【跟踪训练】
1. 若｜ ｜＝9，｜ ｜＝4，则｜ ｜的取值范围是（　　）
A. （5，13） B. [4，5]
C. （5，9] D. [5，13]
解析： 　｜ ｜－｜ ｜≤｜ ｜＝｜ － ｜≤｜ ｜
＋｜ ｜，所以5≤｜ ｜≤13.故选D.
2. 如果向量 ∥ ，｜ ｜＝3，｜ ｜＝1，那么｜ －
｜＝ .
解析：因为 ∥ ，所以 ， 的方向相同或相反，当
， 方向相同时，｜ － ｜＝3－1＝2，当 ， 方
向相反时，｜ － ｜＝3＋1＝4.
2或4　
1. 如图，向量 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，则向量 可以表示为
（　　）
A. a ＋ b － c
B. a － b ＋ c
C. b － a ＋ c
D. b － a － c
解析： 　 ＝ ＋ ＝ － ＋ ＝ b － a ＋ c .故选C.
2. 在△ ABC 中，若｜ ｜＝｜ ｜＝｜ － ｜，则△ ABC 的
形状为（　　）
A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
解析： 　因为｜ － ｜＝｜ ｜＝｜ ｜，所以｜ ｜
＝｜ ｜＝｜ ｜，所以△ ABC 为等边三角形.故选A.
3. （多选）已知 ＋ ＝ ，则下列结论正确的是（　　）
A. ＋ ＝ B. ＋ ＝
C. － ＝ D. ＋ ＝
解析： 　根据向量的线性运算，对A，化简为 ＋ ＝
，错误；对B，即 － ＝ ，即 ＋ ＝ ，正
确；对C，对 － ＝ 移项可得 ＋ ＝ ，正确；对
D，由－ － ＝－ ，移项即 ＋ ＝ ，正确；故选
B、C、D.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列等式中，正确的个数为（　　）
①0－ a ＝－ a ；②－（－ a ）＝ a ；③ a ＋（－ a ）＝0；④ a ＋0＝
a ；⑤ a － b ＝ a ＋（－ b ）；⑥ a －（－ a ）＝0.
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
解析： 　由向量加减法的运算性质知：①0－ a ＝－ a ；②－（－
a ）＝ a ；③ a ＋（－ a ）＝0；④ a ＋0＝ a ；⑤ a － b ＝ a ＋（－
b ）；⑥ a －（－ a ）＝ a ＋ a ＝2 a .故选C.
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2. 已知正方形 ABCD 的边长为1， ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，则｜ a
＋ b － c ｜＝（　　）
A. 0 B. 1
C. D. 2
解析： 　因为 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，所以｜ a ＋ b － c ｜
＝｜ ＋ － ｜＝｜ － ｜＝0.故选A.
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3. 已知 O 是平面上一点， ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ， ＝ d ，且
四边形 ABCD 为平行四边形，则（　　）
A. a ＋ b ＋ c ＋ d ＝0 B. a － b － c ＋ d ＝0
C. a ＋ b － c － d ＝0 D. a － b ＋ c － d ＝0
解析： 　易知 － ＝ ， － ＝ ，而在平行四边
形 ABCD 中， ＝ ，所以 － ＝ － ，即 b － a ＝ c
－ d ，所以 a － b ＋ c － d ＝0，故选D.
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4. 如图， D ， E ， F 分别是△ ABC 的边 AB ， BC ， CA 的中点，则
（　　）
A. ＋ ＋ ＝0
B. － ＋ ＝0
C. ＋ － ＝0
D. － － ＝0
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解析： 　对于A，因为 ＝ ，所以 ＋ ＋ ＝ ＋
＝0，故选项A正确；对于B， － ＋ ＝ ＋ －
＝ － ＝ ≠0，故选项B不正确；对于C， ＋ － ＝
＋ ＝2 ≠0，故选项C不正确；对于D， － － ＝
＋ ＝2 ≠0，故选项D不正确；故选A.
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5. （多选）在五边形 ABCDE 中（如图），下列运算结果为 的是
（　　）
A. ＋ －
B. ＋
C. －
D. －
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解析： 对于A， ＋ － ＝ ＋ ＝ ，A正确；
对于B， ＋ ＝ ，B正确；对于C， － ＝ ＋ ＝
，C不正确；对于D， － ＝ ＋ ≠ ，D不正确.故
选A、B.
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6. 如图所示，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AC 与 BD 交于点 O ，则
－ － ＋ ＋ ＝ .
解析： － － ＋ ＋ ＝（ － ）－（ －
）＋ ＝ － ＋ ＝ .
　
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7. 若四边形 ABCD 为正方形，且边长为2，则｜ － ＋ ｜
＝ .
解析：｜ － ＋ ｜＝｜ ＋（ － ）｜＝｜ ＋
｜＝｜ ｜＝2.
2　
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8. 已知｜ ｜＝ a ，｜ ｜＝ b ，且 a ＞ b ，｜ ｜的取值范围是
[5，15]，则 a ， b 的值分别为 .
解析：由 ＝ － ，得｜ ｜＝｜ － ｜.∵ a ＞ b ，
即｜ ｜＞｜ ｜，∴｜ ｜－｜ ｜≤｜ － ｜≤｜
｜＋｜ ｜，即 a － b ≤｜ ｜≤ b ＋ a .∵｜ ｜∈[5，
15]，∴解得
10，5　
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9. 如图，在正六边形 ABCDEF 中， O 为中心，若 ＝ a ， ＝ b ，用向量 a ， b 表示向量 ， 和 .
解：法一　在平行四边形 OAFE 中， OF 为对角线，且 OA ， OF ，
OE 始点相同，应用平行四边形法则，得 ＝ ＋ ＝ a ＋ b .
∵ ＝－ ，∴ ＝－ a － b .
而 ＝－ ＝－ b ， ＝－ ＝－ a ，
∴ ＝－ b ， ＝－ a － b ， ＝－ a .
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法二　由正六边形的几何性质，得
＝－ a ， ＝－ b ， ＝－ ＝－ a .
在△ OBC 中， ＝ ＋ ＝－ a － b .
法三　由正六边形的几何性质，得 ＝－ b ， ＝－ a .
在平行四边形 OBCD 中， ＝ ＋ ＝－ a － b .
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10. 设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，｜ ｜2＝16，｜
＋ ｜＝｜ － ｜，则｜ ｜＝（　　）
A. 8 B. 4
C. 2 D. 1
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解析： 　以 AB ， AC 为邻边作平行四边形 ACDB （图略），则｜
｜＝｜ ＋ ｜，｜ ｜＝｜ － ｜.因为｜ ＋
｜＝｜ － ｜，所以｜ ｜＝｜ ｜，所以四边形
ACDB 为矩形，故 AC ⊥ AB ，所以 AM 为Rt△ BAC 斜边 BC 上的中
线，因此｜ ｜＝ ｜ ｜＝2.
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11. 已知｜ a ｜＝｜ b ｜＝1，｜ a ＋ b ｜＝1，则｜ a － b ｜＝（　　）
A. 1 B.
解析： 　如图，根据向量加法的平行四边形法则
可知，当｜ a ｜＝｜ b ｜＝1时，平行四边形
ABDC 为菱形.又｜ ｜＝｜ a ＋ b ｜＝1，
∴△ ABD 为正三角形，∴∠ ABD ＝60°.∴｜ a －
b ｜＝｜ ｜＝2｜ ｜＝2
＝2× ＝ .
C. D. 2
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12. 已知△ ABC 是等腰直角三角形，∠ ACB ＝90°， M 是斜边 AB 的
中点， ＝ a ， ＝ b .求证：
（1）｜ a － b ｜＝｜ a ｜；
（1）在△ ACM 中， ＝ － ＝ a － b ，于是，由｜
｜＝｜ ｜，得｜ a － b ｜＝｜ a ｜.
证明：如图，由于△ ABC 为等腰直角三
角形，可知｜ ｜＝｜ ｜.由 M 是斜
边 AB 的中点，得｜ ｜＝｜ ｜.
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（2）｜ a ＋（ a － b ）｜＝｜ b ｜.
解析：在△ MCB 中， ＝ ＝ a － b ，∴ ＝ －
＝ a － b ＋ a ＝ a ＋（ a － b ），从而由｜ ｜＝｜ ｜，
得｜ a ＋（ a － b ）｜＝｜ b ｜.
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13. 在四边形 ABCD 中，若 ＋ ＋ ＝0，且｜ ｜＝｜ ｜
＝｜ ｜＝4，则△ BCD 的面积为 .
解析：在四边形 ABCD 中， ＋ ＋ ＝0，即
为 ＋ ＝0，即 ＝ ，可得四边形 ABCD 为
平行四边形，又｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝4，
可得四边形 ABCD 为边长为4的菱形，则△ BCD 的面
积为正△ ABC 的面积，即为 ×4×2 ＝4 .
4 　
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14. 已知在△ OAB 中， ＝ a ， ＝ b ，满足｜ a ｜＝｜ b ｜＝｜ a
－ b ｜＝2，求｜ a ＋ b ｜与△ OAB 的面积.
解：由已知得｜ ｜＝｜ ｜，以 ， 为
邻边作平行四边形 OACB ，则可知其为菱形，如图
所示，且 ＝ a ＋ b ， ＝ a － b ，
由于｜ a ｜＝｜ b ｜＝｜ a － b ｜，则 OA ＝ OB ＝ BA ，
∴△ OAB 为正三角形，∴｜ a ＋ b ｜＝｜ ｜＝
2× ＝2 ，∴ S△ OAB ＝ ×2× ＝ .
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