资源简介

6.1.4　数乘向量
1.在△ABC中，D是线段BC的中点，且＋＝4，则（　　）
A.＝2　　　　B.＝4
C.＝2 D.＝4
2.若｜a｜＝5，b与a的方向相反，且｜b｜＝7，则a＝（　　）
A.b B.－b
C.b D.－b
3.给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa＝0（λ为实数），则λ必为零；③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线.其中错误的命题的个数为（　　）
A.0 B.1
C.2 D.3
4.已知A，B，C三点共线，且C为线段AB靠近B的五等分点，则下列结论正确的个数为（　　）
①＝5；②｜｜∶｜｜＝4∶1；③＝－.
A.0 B.1
C.2 D.3
5.（多选）已知e为单位向量，若向量a＝－e，b＝e，则下列说法正确的是（　　）
A.a＝－b B.b＝－a
C.b＝－a D.｜a｜·｜b｜＝1
6.如图，C，D将线段AB等分为三段，则＝　　　，＝　　　.
7.如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且＝＝，则＝　　　.
8.已知向量a，b满足｜a｜＝3，｜b｜＝5，且a＝λb，则实数λ的值是　　　　.
9.已知点C在线段AB的延长线上（在B点右侧），且AB∶AC＝2∶3.
（1）用表示；
（2）用表示.
10.下列结论成立的是（　　）
A.λa与a的方向相同
B.λa与a的方向相反的充要条件是λ＜0
C.与a方向相同的单位向量可表示为
D.若平行四边形ABCD的对角线的交点为O，则＝（－）
11.设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的是（　　）
A.a＝－2b B.a＝2b
C.a∥b D.｜a｜＝｜b｜
12.已知向量e1，e2不共线，求作向量2e1－3e2.
13.已知点P在直线AB上，且｜｜＝4｜｜，设＝λ，则实数λ＝　　　　.
14.已知△ABC，设＝b，＝c.
（1）求作：＝b，＝c，＝－b，＝－c；
（2）向量，分别与有什么关系？
6.1.4　数乘向量
1.A　由在△ABC中，D是线段BC的中点，可得＋＝2，且＋＝4，所以＝2.故选A.
2.B　∵b与a的反向，∴a＝λb（λ＜0），∴｜a｜＝－λ｜b｜，即－7λ＝5，解得λ＝－，∴a＝－b.故选B.
3.D　①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点.②错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量.故错误的命题有3个.故选D.
4.C　由题意知，＝－5，＝－，｜｜∶｜｜＝4∶1，所以②③正确.
5.BD　因为a＝－e，b＝e，所以｜a｜＝，｜b｜＝，｜a｜·｜b｜＝1，b＝－×e＝－a.故选B、D.
6.3　－2　解析：由于，方向相同，且｜｜＝3｜｜，故＝3，由于，方向相反，且｜｜＝2｜｜，故＝－2.
7.　解析：∵＝＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.∴＝.又与同向，∴＝.
8.±　解析：由a＝λb得：｜a｜＝｜λb｜＝｜λ｜｜b｜，所以｜λ｜＝＝，即λ＝±.
9.解：如图①，因为点C在线段AB的延长线上，且AB∶AC＝2∶3，所以AB＝2BC，AC＝3BC.
（1）如图②，向量与方向相同，所以＝2；
（2）如图③，向量与方向相反，所以＝－3.
10.C　当λ＜0且a≠0时，λa与a的方向相反，故A不正确；当λ＜0时，若a≠0，则λa与a方向相反，若a＝0则λa＝a＝0，方向是任意的，故B不正确；若平行四边形ABCD的对角线的交点为O，则＝（＋），D不正确；C正确.
11.A　∵＋＝0，∴＝－，∴a与b的方向相反，∴A正确.故选A.
12.解：在e1，e2所在平面内任取一点O，作＝e1，＝e2.延长OA到A'，使｜OA'｜＝2｜OA｜，则＝2e1，
延长BO至B'，使｜OB'｜＝3｜OB｜，则＝－3e2，再利用向量加法的平行四边形法则得到＝＋＝2e1＋（－3e2）＝2e1－3e2.如图所示.
13.或－　解析：因为点P在直线AB上，且｜｜＝4｜｜，所以＝4或＝－4.若＝4，则＋＝4，所以＝3，此时λ＝；若＝－4，则＋＝－4，所以＝－5，此时λ＝－.
14.解：（1）在线段AB，AC上分别取点B1，C1，使得AB1＝AB，AC1＝AC，在BA，CA的延长线上分别取点B2，C2，使得AB2＝AB，AC2＝AC，
则，，，对应的图形如图所示.
（2）∵＝＝，∠B1AC1＝∠BAC，
∴△AB1C1∽△ABC，
∴＝＝，∠AB1C1＝∠ABC，
∴B1C1∥BC，∴＝，同理可得＝－.
2 / 26.1.4　数乘向量
新课程标准解读 核心素养
1.理解数乘向量的定义及几何意义 数学抽象、直观想象
2.了解数乘向量的运算律 逻辑推理、数学运算
3.会判定两条直线平行、三点共线 数学抽象、数学运算
在急风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是先看到闪电，后听到雷声？这是因为在同一方向上光速远远大于声速.经测量，光速大小约为声速的8.7×105倍.
一重物由高空自由落下，由自由落体运动的速度公式vt＝gt可知，它在1 s末和2 s末的速度大小分别为v1＝9.8 m/s和v2＝19.6 m/s.显然v2＝2v1，并且方向都是竖直向下.
【问题】　在上述情景中的速度有什么关系？
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　数乘向量
1.定义：实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量.
2.规定：（1）当λ≠0且a≠0时，｜λa｜＝　　　　，且：
①当λ＞0时，λa的方向与a的方向　　　　；
②当λ＜0时，λa的方向与a的方向　　　　.
（2）当λ＝0或a＝0时，λa＝　　.
3.运算律
设λ，μ为实数，则λ（μa）＝　　　　；
特别地，我们有（－λ）a＝　　　　＝　　　　.
4.平行（共线）向量
（1）两向量平行：如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥a；
（2）三点共线：如果存在实数λ，使得＝λ，则与平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线.
提醒　（1）数乘向量的结果是一个向量；（2）不能把｜λa｜＝｜λ｜｜a｜简单的写成｜λa｜＝λ｜a｜，因为λ＜0时不成立；（3）数乘向量的几何意义：把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.即当｜λ｜＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长到原来的｜λ｜倍；当｜λ｜＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短到原来的｜λ｜倍.特别地，一个向量的相反向量可以看成－1与这个向量的乘积，即－a＝（－1）a.
1.要得到向量－2a，可将（　　）
A.向量a向左平移2个单位
B.向量a保持方向不变，长度伸长为原来的2倍
C.向量a向右平移2个单位
D.向量a的方向反向，长度伸长为原来的2倍
2.已知b为非零向量，则2（－3b）＝（　　）
A.－3b　　　　　　 B.2b
C.4b D.－6b
3.已知＝2，则＝　　　.
题型一 数乘向量的定义及其几何意义
【例1】　（1）设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有　　　　.
①｜－λa｜≥｜a｜；
②a与λ2a方向相同；
③｜－2λa｜＝2｜λ｜·｜a｜.
（2）
如图，已知非零向量a，作向量2a，－a.
尝试解答
通性通法
　　数乘向量与原来的向量是共线的，其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向或者反方向放大或缩小.
【跟踪训练】
1.若两个非零向量a与（2x－1）a方向相同，则x的取值范围为　　　　.
2.设｜a｜＝3，且b是与a方向相反的向量，｜b｜＝2，则a＝　　　　b.
题型二 数乘向量的运算
【例2】　下列各式化简正确的是　　　　.（填序号）
（1）－3×2a＝－5a；
（2）a×3×（－2）＝－3a；
（3）－2×＝2；
（4）0×b＝0.
尝试解答
通性通法
　　λa中的实数λ叫做向量a的系数，数乘向量运算就是把数与向量的系数相乘，作为新向量的系数.
【跟踪训练】
化简下列各式：
（1）4×a；
（2）－2××（－3a）.
题型三 数乘向量的应用
角度1　判断向量共线
【例3】　已知a＝2e，b＝－4e，判断a，b是否平行，求｜a｜∶｜b｜的值；若a∥b，说出它们是同向还是反向.
尝试解答
【母题探究】
（变条件）若把本例的条件改为“a＝2e，b＝3e”，其他不变，如何求解.
角度2　判断三点共线
【例4】　已知＝e，＝－3e，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，说出点A是线段BC的几等分点.
尝试解答
通性通法
数乘向量的应用
（1）如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥a；
（2）如果存在实数λ，使得＝λ，则∥，且AB与AC有公共点A，所以A，B，C三点共线.
【跟踪训练】
1.若＝，＝λ，则实数λ的值是（　　）
A.　　B.－　　C.　 　D.－
2.若＝5e，＝－7e，且｜｜＝｜｜，则四边形ABCD的形状是　　　　.
1.下列各式中不表示向量的是（　　 ）
A.0·a
B.a＋3b
C.｜3a｜
D.e（x，y∈R，且x≠y）
2.6×（　　 ）
A.化简结果为2a B.与向量a同向
C.与向量a反向 D.其长度为2
3.在△ABC中，D是BC的中点，则＋＝（　　）
A.2 B.2 C.2 D.2
4.（多选）已知a≠0，λ∈R，下列叙述正确的是（　　）
A.λa∥a
B.λa与a方向相同
C.是单位向量
D.若｜λa｜＞｜a｜，则λ＞1
5.若＝－且＝λ，则λ＝　　　　.
6.1.4　数乘向量
【基础知识·重落实】
知识点
2.（1）｜λ｜｜a｜　相同　相反　（2）0　3.（λμ）a　－（λa）　λ（－a）
自我诊断
1.D　根据向量数乘的概念及几何意义可知，要得到向量－2a，可将向量a的方向反向，长度伸长为原来的2倍.故选D.
2.D　2（－3b）＝－6b.故选D.
3.－3　解析：因为＝2，如图所示，所以＝－3.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）②③　解析：当0＜λ＜1时，｜－λa｜＜｜a｜，①错误；②③正确.
（2）解：
如图，作向量2a时将向量a同向放大到原来的2倍；作向
量－a时，将向量a
反向缩小到原来的.
跟踪训练
1.　解析：由向量数乘定义可知，2x－1＞0，即x＞.
2.－　解析：因为｜a｜＝3，且b是与a方向相反的向量，｜b｜＝2，所以a＝－b.
【例2】　（2）（3）　解析：因为－3×2a＝－6a，a×3×（－2）＝－3a，－2×＝－2＝2，0×b＝0.所以（1）（4）错误，（2）（3）正确.
跟踪训练
　解：（1）4×a＝－a.
（2）－2××（－3a）＝3a.
【例3】　解：因为b＝－4e＝－2（2e）＝－2a，所以a∥b，且2｜a｜＝｜b｜，即｜a｜∶｜b｜＝1∶2.向量a，b反向.
母题探究
　解：因为b＝3e＝（2e）＝a，所以a∥b，且｜a｜＝｜b｜，即｜a｜∶｜b｜＝2∶3.向量a，b同向.
【例4】　解：因为＝－3e＝－3，所以∥，
且有公共点B，所以A，B，C三点共线，又因为BC＝3AB，且向量，反向，如图，所以点A是线段BC的三等分点.
跟踪训练
1.D　由＝，则A，P，B三点共线，且＝，所以＝，即＝－.故选D.
2.等腰梯形　解析：因为＝5e，＝－7e，且｜｜＝｜｜，所以＝－，因此∥，且｜｜≠｜｜，｜｜＝｜｜，所以四边形ABCD是等腰梯形.
随堂检测
1.C　向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有｜3a｜不是向量.
2.C　6×＝－2a，与向量a反向，其长度为2｜a｜.
3.A　由题意＋＝2，故选A.
4.AC　已知a≠0，λ∈R，由向量数乘的概念知，选项A正确；当λ＜0，λa与a方向相反，故选项B错误；因为＝＝1，故选项C正确；由｜λa｜＞｜a｜得，｜λ｜·｜a｜＞｜a｜，又｜a｜≠0，所以｜λ｜＞1，解得λ＞1或λ＜－1，故选项D错误.故选A、C.
5.　解析：因为＝－，所以－＝－（＋），所以＝，即＝，所以λ＝.
4 / 4(共49张PPT)
6.1.4　数乘向量
新课程标准解读 核心素养
1.理解数乘向量的定义及几何意义 数学抽象、直观想象
2.了解数乘向量的运算律 逻辑推理、数学运算
3.会判定两条直线平行、三点共线 数学抽象、数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在急风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是先看到闪电，后听到
雷声？这是因为在同一方向上光速远远大于声速.经测量，光速大小
约为声速的8.7×105倍.
一重物由高空自由落下，由自由落体运动的速度公式 vt ＝ gt 可
知，它在1 s末和2 s末的速度大小分别为 v1＝9.8 m/s和 v2＝19.6 m/s.
显然 v2＝2 v1，并且方向都是竖直向下.
【问题】　在上述情景中的速度有什么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　
知识点　数乘向量
1. 定义：实数λ与向量 a 相乘的运算简称为数乘向量.
2. 规定：（1）当λ≠0且 a ≠0时，｜λ a ｜＝
，且：
①当λ＞0时，λ a 的方向与 a 的方向 ；
②当λ＜0时，λ a 的方向与 a 的方向 .
｜λ｜｜ a ｜　
相同　
相反　
（2）当λ＝0或 a ＝0时，λ a ＝ .
0　
3. 运算律
设λ，μ为实数，则λ（μ a ）＝ ；
特别地，我们有（－λ） a ＝ ＝ .
4. 平行（共线）向量
（1）两向量平行：如果存在实数λ，使得 b ＝λ a ，则 b ∥ a ；
（2）三点共线：如果存在实数λ，使得 ＝λ ，则 与
平行且有公共点 A ，从而 A ， B ， C 三点一定共线.
（λμ） a 　
－（λ a ）　
λ（－ a ）　
提醒　（1）数乘向量的结果是一个向量；（2）不能把｜λ a ｜＝｜
λ｜｜ a ｜简单的写成｜λ a ｜＝λ｜ a ｜，因为λ＜0时不成立；
（3）数乘向量的几何意义：把向量沿着它的方向或反方向放大或缩
小.即当｜λ｜＞1时，表示向量 a 的有向线段在原方向（λ＞0）或反
方向（λ＜0）上伸长到原来的｜λ｜倍；当｜λ｜＜1时，表示向量
a 的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短到原来
的｜λ｜倍.特别地，一个向量的相反向量可以看成－1与这个向量的
乘积，即－ a ＝（－1） a .
1. 要得到向量－2 a ，可将（　　）
A. 向量 a 向左平移2个单位
B. 向量 a 保持方向不变，长度伸长为原来的2倍
C. 向量 a 向右平移2个单位
D. 向量 a 的方向反向，长度伸长为原来的2倍
解析： 　根据向量数乘的概念及几何意义可知，要得到向量－2
a ，可将向量 a 的方向反向，长度伸长为原来的2倍.故选D.
2. 已知 b 为非零向量，则2（－3 b ）＝（　　）
A. －3 b B. 2 b C. 4 b D. －6 b
解析： 　2（－3 b ）＝－6 b .故选D.
3. 已知 ＝2 ，则 ＝ .
解析：因为 ＝2 ，如图所示，所以
＝－3 .
－3　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 数乘向量的定义及其几何意义
【例1】　（1）设 a 是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的
有 .
①｜－λ a ｜≥｜ a ｜；② a 与λ2 a 方向相同；③｜－2λ a ｜＝2｜
λ｜·｜ a ｜.
解析：当0＜λ＜1时，｜－λ a ｜＜｜ a ｜，①错误；②③
正确.
②③　
解析：当0＜λ＜1时，｜－λ a ｜＜｜ a ｜，①错误；②③
正确.
（2）如图，已知非零向量 a ，作向量2 a ，－ a .
解：如图，作向量2 a 时将向量 a 同向放大到原来的2倍；作向
量－ a 时，将向量 a 反向缩小到原来的 .
通性通法
　　数乘向量与原来的向量是共线的，其几何意义就是把原来的向量
沿着它的方向或者反方向放大或缩小.
【跟踪训练】
1. 若两个非零向量 a 与（2 x －1） a 方向相同，则 x 的取值范围
为 .
解析：由向量数乘定义可知，2 x －1＞0，即 x ＞ .
2. 设｜ a ｜＝3，且 b 是与 a 方向相反的向量，｜ b ｜＝2，则 a ＝
b .
解析：因为｜ a ｜＝3，且 b 是与 a 方向相反的向量，｜ b ｜＝2，所
以 a ＝－ b .
　
－
　
题型二 数乘向量的运算
【例2】　下列各式化简正确的是 .（填序号）
（1）－3×2 a ＝－5 a ；
（2） a ×3×（－2）＝－3 a ；
（3）－2× ＝2 ；
（2）（3）　
（4）0× b ＝0.
解析：因为－3×2 a ＝－6 a ， a ×3×（－2）＝－3 a ，－2×
＝－2 ＝2 ，0× b ＝0.所以（1）（4）错误，（2）
（3）正确.
通性通法
　　λ a 中的实数λ叫做向量 a 的系数，数乘向量运算就是把数与向
量的系数相乘，作为新向量的系数.
【跟踪训练】
化简下列各式：
（1）4× a ；
解： 4× a ＝－ a .
（2）－2× ×（－3 a ）.
解： －2× ×（－3 a ）＝3 a .
题型三 数乘向量的应用
角度1　判断向量共线
【例3】　已知 a ＝2 e ， b ＝－4 e ，判断 a ， b 是否平行，求｜
a ｜∶｜ b ｜的值；若 a ∥ b ，说出它们是同向还是反向.
解：因为 b ＝－4 e ＝－2（2 e ）＝－2 a ，所以 a ∥ b ，且2｜ a ｜＝｜
b ｜，即｜ a ｜∶｜ b ｜＝1∶2.向量 a ， b 反向.
【母题探究】
（变条件）若把本例的条件改为“ a ＝2 e ， b ＝3 e ”，其他不变，如
何求解.
解：因为 b ＝3 e ＝ （2 e ）＝ a ，所以 a ∥ b ，且 ｜ a ｜＝｜ b ｜，
即｜ a ｜∶｜ b ｜＝2∶3.向量 a ， b 同向.
角度2　判断三点共线
【例4】　已知 ＝ e ， ＝－3 e ，判断 A ， B ， C 三点是否共线，
如果共线，说出点 A 是线段 BC 的几等分点.
解：因为 ＝－3 e ＝－3 ，所以 ∥ ，
且有公共点 B ，所以 A ， B ， C 三点共线，又因为 BC
＝3 AB ，且向量 ， 反向，如图，所以点 A 是线段
BC 的三等分点.
通性通法
数乘向量的应用
（1）如果存在实数λ，使得 b ＝λ a ，则 b ∥ a ；
（2）如果存在实数λ，使得 ＝λ ，则 ∥ ，且 AB 与 AC
有公共点 A ，所以 A ， B ， C 三点共线.
【跟踪训练】
1. 若 ＝ ， ＝λ ，则实数λ的值是（　　）
A. B. －
C. D. －
解析： 　由 ＝ ，则 A ， P ， B 三点共线，且 ＝ ，
所以 ＝ ，即 ＝－ .故选D.
2. 若 ＝5 e ， ＝－7 e ，且｜ ｜＝｜ ｜，则四边形 ABCD
的形状是 .
解析：因为 ＝5 e ， ＝－7 e ，且｜ ｜＝｜ ｜，所以
＝－ ，因此 ∥ ，且｜ ｜≠｜ ｜，｜ ｜
＝｜ ｜，所以四边形 ABCD 是等腰梯形.
等腰梯形　
1. 下列各式中不表示向量的是（　　 ）
A. 0· a
B. a ＋3 b
C. ｜3 a ｜
D. e （ x ， y ∈R，且 x ≠ y ）
解析： 　向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有｜3 a ｜不
是向量.
2.6× （　　 ）
A. 化简结果为2 a B. 与向量 a 同向
C. 与向量 a 反向 D. 其长度为2
解析： 　6× ＝－2 a ，与向量 a 反向，其长度为2｜ a ｜.
3. 在△ ABC 中， D 是 BC 的中点，则 ＋ ＝（　　）
A. 2 B. 2
C. 2 D. 2
解析： 　由题意 ＋ ＝2 ，故选A.
4. （多选）已知 a ≠0，λ∈R，下列叙述正确的是（　　）
A. λ a ∥ a
B. λ a 与 a 方向相同
C. 是单位向量
D. 若｜λ a ｜＞｜ a ｜，则λ＞1
解析： 　已知 a ≠0，λ∈R，由向量数乘的概念知，选项A正
确；当λ＜0，λ a 与 a 方向相反，故选项B错误；因为 ＝
＝1，故选项C正确；由
｜λ a ｜＞｜ a ｜得，｜λ｜·｜ a ｜＞｜ a ｜，又｜ a ｜≠0，所
以｜λ｜＞1，解得λ＞1或λ＜－1，故选项D错误.故选A、C.
5. 若 ＝－ 且 ＝λ ，则λ＝ 　 　.
解析：因为 ＝－ ，所以－ ＝－ （ ＋ ），所
以 ＝ ，即 ＝ ，所以λ＝ .
　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在△ ABC 中， D 是线段 BC 的中点，且 ＋ ＝4 ，则
（　　）
A. ＝2 B. ＝4
C. ＝2 D. ＝4
解析： 由在△ ABC 中， D 是线段 BC 的中点，可得 ＋ ＝2
，且 ＋ ＝4 ，所以 ＝2 .故选A.
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2. 若｜ a ｜＝5， b 与 a 的方向相反，且｜ b ｜＝7，则 a ＝（　　）
A. b B. － b
C. b D. － b
解析： 　∵ b 与 a 的反向，∴ a ＝λ b （λ＜0），∴｜ a ｜＝－
λ｜ b ｜，即－7λ＝5，解得λ＝－ ，∴ a ＝－ b .故选B.
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3. 给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②
λ a ＝0（λ为实数），则λ必为零；③λ，μ为实数，若λ a ＝μ
b ，则 a 与 b 共线.其中错误的命题的个数为（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： 　①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点.②
错误，当 a ＝0时，不论λ为何值，λ a ＝0.③错误，当λ＝μ＝0
时，λ a ＝μ b ＝0，此时， a 与 b 可以是任意向量.故错误的命题有
3个.故选D.
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4. 已知 A ， B ， C 三点共线，且 C 为线段 AB 靠近 B 的五等分点，则下
列结论正确的个数为（　　 ）
① ＝5 ；②｜ ｜∶｜ ｜＝4∶1；③ ＝－ .
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： 　由题意知， ＝－5 ， ＝－ ，｜ ｜∶｜
｜＝4∶1，所以②③正确.
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5. （多选）已知 e 为单位向量，若向量 a ＝－ e ， b ＝ e ，则下列说
法正确的是（　　）
A. a ＝－ b B. b ＝－ a
C. b ＝－ a D. ｜ a ｜·｜ b ｜＝1
解析： 　因为 a ＝－ e ， b ＝ e ，所以｜ a ｜＝ ，｜ b ｜＝
，｜ a ｜·｜ b ｜＝1， b ＝－ × e ＝－ a .故选B、D.
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6. 如图， C ， D 将线段 AB 等分为三段，则 ＝ ，
＝ .
解析：由于 ， 方向相同，且｜ ｜＝3｜ ｜，故 ＝3
，由于 ， 方向相反，且｜ ｜＝2｜ ｜，故 ＝－
2 .
3　
－2　
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7. 如图，在△ ABC 中， D ， E 分别在 AB ， AC 上，且 ＝ ＝ ，则
＝
解析：∵ ＝ ＝ ，∠ A ＝∠ A ，∴△ ADE ∽△ ABC . ∴ ＝ .
又 与 同向，∴ ＝ .
　
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8. 已知向量 a ， b 满足｜ a ｜＝3，｜ b ｜＝5，且 a ＝λ b ，则实数λ
的值是 .
解析：由 a ＝λ b 得：｜ a ｜＝｜λ b ｜＝｜λ｜｜ b ｜，所以｜
λ｜＝ ＝ ，即λ＝± .
± 　
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9. 已知点 C 在线段 AB 的延长线上（在 B 点右侧），且 AB ∶ AC ＝
2∶3.
（1）用 表示 ；
（1）如图②，向量 与 方向相同，所以 ＝2 ；
解：如图①，因为点 C 在
线段 AB 的延长线上，且AB ∶ AC ＝2∶3，所以 AB ＝2 BC ， AC ＝3 BC .
（2）用 表示 .
解：如图③，向量 与 方向相反，所以 ＝－3 .
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10. 下列结论成立的是（　　 ）
A. λ a 与 a 的方向相同
B. λ a 与 a 的方向相反的充要条件是λ＜0
C. 与 a 方向相同的单位向量可表示为
D. 若平行四边形 ABCD 的对角线的交点为 O ，则 ＝ （ －
）
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解析： 　当λ＜0且 a ≠0时，λ a 与 a 的方向相反，故A不正
确；当λ＜0时，若 a ≠0，则λ a 与 a 方向相反，若 a ＝0则λ a ＝
a ＝0，方向是任意的，故B不正确；若平行四边形 ABCD 的对角
线的交点为 O ，则 ＝ （ ＋ ），D不正确；C正确.
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11. 设 a ， b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使 ＋
＝0成立的是（　　）
A. a ＝－2 b B. a ＝2 b
C. a ∥ b D. ｜ a ｜＝｜ b ｜
解析： 　∵ ＋ ＝0，∴ ＝－ ，∴ a 与 b 的
方向相反，∴A正确.故选A.
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12. 已知向量 e1， e2不共线，求作向量2 e1－3 e2.
解：在 e1， e2所在平面内任取一点 O ，作 ＝
e1， ＝ e2.延长 OA 到A'，使｜OA'｜＝2｜
OA ｜，则 ＝2 e1，延长 BO 至B'，使｜OB'｜＝
3｜ OB ｜，则 ＝－3 e2，再利用向量加法的平
行四边形法则得到 ＝ ＋ ＝2 e1＋（－3
e2）＝2 e1－3 e2.如图所示.
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13. 已知点 P 在直线 AB 上，且｜ ｜＝4｜ ｜，设 ＝λ ，
则实数λ＝ .
解析：因为点 P 在直线 AB 上，且｜ ｜＝4｜ ｜，所以 ＝
4 或 ＝－4 .若 ＝4 ，则 ＋ ＝4 ，所以
＝3 ，此时λ＝ ；若 ＝－4 ，则 ＋ ＝－4 ，所
以 ＝－5 ，此时λ＝－ .
或－ 　
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14. 已知△ ABC ，设 ＝ b ， ＝ c .
（1）求作： ＝ b ， ＝ c ， ＝－ b ， ＝－ c ；
解： 在线段 AB ， AC 上分别取点
B1， C1，使得 AB1＝ AB ， AC1＝
AC ，在 BA ， CA 的延长线上分别取点
B2， C2，使得 AB2＝ AB ， AC2＝ AC ，
则 ， ， ， 对应的图形如图所示.
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（2）向量 ， 分别与 有什么关系？
解： ∵ ＝ ＝ ，∠ B1 AC1＝∠ BAC ，
∴△ AB1 C1∽△ ABC ，
∴ ＝ ＝ ，
∠ AB1 C1＝∠ ABC ，
∴ B1 C1∥ BC ，∴ ＝ ，同理可得 ＝－ .
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