资源简介 6.1.5 向量的线性运算1.化简：－＝（ ）A.a－b＋2c B.5a－b＋2cC.a＋b＋2c D.5a＋b2.若＝a，＝b，＝λ（λ≠－1），则＝（ ）A.a＋λb B.λa＋（1－λ）bC.λa＋b D.a＋b3.在平行四边形ABCD中，设M为线段BC的中点，N为线段AB上靠近点A的三等分点，＝a，＝b，则向量＝（ ）A.a＋b B.a＋bC.a－b D.a－b4.（多选）已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为（ ）A.m（a－b）＝ma－mbB.（m－n）a＝ma－naC.若ma＝mb，则a＝bD.若ma＝na，则m＝n5.（多选）已知4－3＝，则下列结论正确的是（ ）A.A，B，C，D四点共线B.C，B，D三点共线C.｜｜＝｜｜D.｜｜＝3｜｜6.已知在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是 .7.已知｜a｜＝2，则＝ .8.设点O在△ABC的内部，且＋＋＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为 .9.如图，已知在平行四边形ABCD中，AH＝HD，BF＝MC＝BC，设＝a，＝b，试用a，b分别表示，，.10.“a＝xb”是“向量a，b共线”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.如图，在正方形ABCD中，E为线段AD的中点，使＝λ＋μ，则λ＋μ＝ ，若E在线段AD上，异于A，D两点，则λ＋μ的取值范围为 .12.设O为△ABC内任一点，且满足＋2＋3＝0.（1）若D，E分别是边BC，CA的中点，求证：D，E，O三点共线；（2）求△ABC与△AOC的面积之比.13.设a，b，c是三个非零向量，且a与b不共线，若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有两个实根x1，x2，则（ ）A.x1＞x2 B.x1＝x2C.x1＜x2 D.x1，x2大小不确定14.已知平面上一定点O，不共线的三点A，B，C，动点P满足＝＋λ（ ＋），λ∈[0，＋∞），求证：P的轨迹一定通过△ABC的内心.6.1.5 向量的线性运算1.A －＝（3a－2a）＋＋（c＋c）＝a－b＋2c.故选A.2.D ∵＝λ，即－＝λ（－），∴（1＋λ）＝＋λ，∴＝＋＝a＋b.故选D.3.B 由题意作出图形，如图所示，在平行四边形ABCD中，∵M为BC的中点，则＝＋＝a＋b，又∵N为线段AB上靠近点A的三等分点，则＝＝a，∴＝－＝a＋b－a＝a＋b.故选B.4.AB 对于A，根据数乘向量的原则可得：m（a－b）＝ma－mb，故A正确；对于B，根据数乘向量的原则可得：（m－n）a＝ma－na，故B正确；对于C，由ma＝mb可得m（a－b）＝0，当m＝0时也成立，所以不能推出a＝b，故C错误；对于D，由ma＝na可得（m－n）a＝0，当a＝0，命题也成立，所以不能推出m＝n，故D错误；故选A、B.5.BD 因为4－3＝，所以3－3＝－，所以3＝，因为，有公共端点B，所以C，B，D三点共线，且｜｜＝3｜｜，所以B、D正确，A错误，由4－3＝，得＝3－3＋＝3＋，所以｜｜≠｜｜，所以C错误，故选B、D.6.2∶3 解析：因为＋＋＝，所以＋＋＝－，所以＝2，又与有公共点P，所以A，P，C三点共线，即点P在边CA上，且PC∶AC＝2∶3，所以△PBC和△ABC的面积之比为2∶3.7.5 解析：＝＝×2＝5.8.3∶1 解析：如图所示，设D为AC的中点，则＝（＋），因为＋＋＝0，所以＝－（＋），所以＝－2，即＝3，所以S△ABC∶S△AOC＝3∶1.9.解：∵四边形ABCD是平行四边形，BF＝MC＝BC，∴FM＝BC－BF－MC＝BC.∴FM＝BC＝AD＝AH.∴FM AH.∴四边形AHMF也是平行四边形.∴＝.又＝＝＝b，而＝－＝－b，∴＝＋＝a＋b.＝＝＋＝－b－a.＝＝－＝b＋a.10.A 充分性：若a＝xb，则向量a，b共线，充分性成立；必要性：若向量a，b共线，不妨设b＝0，a≠0，则不存在x∈R，使得a＝xb，必要性不成立.因此，“a＝xb”是“向量a，b共线”的充分不必要条件.故选A.11. （1，2） 解析：因为＝＋＝＋，所以λ＋μ＝＋1＝.＝＋＝λ＋，λ∈（0，1），所以λ＋μ∈（1，2）.12.解：（1）证明：如图，＋＝2，＋＝2.∵＋2＋3＝（＋）＋2（＋）＝2（＋2）＝0，即＝－2，∴与共线，而OD与OE有公共点O，∴D，E，O三点共线.（2）由（1）知2｜｜＝｜｜，∴S△AOC＝2S△COE＝2×S△CDE＝2××S△ABC＝S△ABC，∴＝3.13.B 因为关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有两个实根x1，x2，所以a＋bx1＋c＝0，a＋bx2＋c＝0，把两个等式相减可得：a（－）＋b（x1－x2）＝0，即（x1－x2）·[（x1＋x2）a＋b]＝0.因为a，b，c是三个非零向量，且a与b不共线，所以（x1＋x2）a＋b≠0，所以x1＝x2.故选B.14.证明：如图所示，因为，均为单位向量，且两向量方向分别与，同向.由向量加法的几何意义知＋对应一个平行四边形AMQN的对角线.又因为＝＝1，所以 AMQN是菱形.所以AQ在∠BAC的平分线上.因为－＝，所以＝λ.所以点P在∠BAC的平分线上，即P的轨迹必过△ABC的内心.2 / 26.1.5 向量的线性运算新课程标准解读 核心素养1.掌握向量加法与数乘向量混合运算的运算律 逻辑推理、数学运算2.理解向量线性运算的定义及运算法则 数学抽象、数学运算3.能利用向量的线性运算解决简单问题 数学建模、逻辑推理 向量的加法、减法及数乘向量学习之后，类比实数的运算，向量也可进行加、减、数乘混合运算.【问题】 向量的加、减、数乘混合运算满足什么运算律？ 知识点 向量的线性运算1.向量的加法与数乘向量的混合运算规定：一般地，一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，要先算数乘向量，再算向量加法.运算律：设对于实数λ，μ以及向量a，b，有（1）λa＋μa＝ ；（2）λ（a＋b）＝ .提醒 （1）向量的减法运算可以转化为加法运算；（2）运算式中有括号时，应先算括号内的，再算括号外的；（3）对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a±μ2b）＝λμ1a±λμ2b.2.向量的线性运算向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算.1.（2a－4b）＋2b＝（ ）A.a－2b B.a－4bC.a D.b2.已知e为单位向量，且a＝2e，b＝－3e，则｜a－4b｜＝（ ）A.3 B.5C.10 D.143.如图所示，已知＝，则可用，表示为 .题型一 向量的线性运算问题【例1】 （1）化简下列各式：①3（6a＋b）－9；②－2；③2（5a－4b＋c）－3（a－3b＋c）－7a.（2）如图，已知在平行四边形ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点，O为MN与AC的交点.若＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.尝试解答通性通法数乘向量运算的方法（1）向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，代数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数；（2）向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算；（3）用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示，其实质是向量线性运算的反复应用.【跟踪训练】1.如图所示，在矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则＝（ ）A.（5e1＋3e2） B.（5e1－3e2）C.（3e1－5e2） D.（5e2－3e1）2.已知a与b，且5x＋2y＝a，3x－y＝b，则x＝ ，y＝ .题型二 三点共线问题【例2】 已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线.尝试解答通性通法用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路（1）若b＝λa（a≠0），且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行；（2）若b＝λa（a≠0），且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合.例如，若向量＝λ，则，共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法.【跟踪训练】1.已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，则下列向量一定共线的是（ ）A.与 B.与C.与 D.与2.已知不共线的两个非零向量a与b，若＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则下列一定共线的三点是（ ）A.A，B，D B.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D题型三 向量的线性运算在平面几何中的应用【例3】 若G是△ABC内一点，且＋＋＝0，则点G是△ABC的（ ）A.内心 B.外心C.垂心 D.重心尝试解答通性通法1.利用向量的加法、减法、数乘向量等知识可以解决平面几何中的线段（或直线）平行、重合及图形相似等问题，解题的关键在于把平面几何语言转化为向量语言.2.三角形的“四心”（1）三角形的内心：三角形内切圆的圆心，三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等；（2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心，三角形三条边的垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等；（3）三角形的垂心：三角形三条高线的交点；（4）三角形的重心：三角形三条中线的交点.重心将中线长度分成2∶1.【跟踪训练】 若O是△ABC所在平面内的一点，且满足｜－｜＝｜＋－2｜，则△ABC的形状为（ ）A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形1.＝（ ）A.2a－b B.2b－aC.b－a D.a－b2.设x是未知向量，a，b是已知向量，且满足3（x＋a）＋2（b－a）＋x－a－2b＝0，则x＝（ ）A.0 B.a＋bC.3a－b D.03.在△ABC中，点D满足＝3，则（ ）A.＝＋B.＝＋C.＝＋D.＝＋4.在平行四边形ABCD中，M是对角线AC上的一点，且＝，设＝a，＝b，则＋＝ .（用a，b表示）6.1.5 向量的线性运算【基础知识·重落实】知识点1.（1）（λ＋μ）a （2）λa＋λb自我诊断1.C （2a－4b）＋2b＝a－2b＋2b＝a.故选C.2.D 因为e为单位向量，所以｜e｜＝1，｜a－4b｜＝｜2e＋12e｜＝｜14e｜＝14.故选D.3.－＋ 解析：＝＋＝＋＝＋（－）＝－＋.【典型例题·精研析】【例1】 解：（1）①原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.②原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.③原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.（2）∵M，N分别是DC，BC的中点，∴MN BD.∵＝－＝e2－e1，∴＝2＝2e2－2e1.又∵AO是△AMN的中线，∴＝（＋）＝e2＋e1.跟踪训练1.A ＝＋＝＋＝5e1＋3e2，则＝＝e1＋e2，故选A.2.a＋b a－b 解析：把已知中的两个等式看成关于x，y的方程，联立得解得x＝a＋b，y＝a－b.【例2】 证明：∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2，∴＝－＝e1－4e2.又＝2e1－8e2＝2（e1－4e2），∴＝2，∴∥.∵AB与BD有公共点B，∴A，B，D三点共线.跟踪训练1.B 因为＋＋＝，所以＋＋＋＝0，即－2＝，所以与共线.2.A 因为＝＋＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b，所以＝2，所以∥，因为AB与BD都过点B，所以A，B，D共线.故选A.【例3】 D 如图，以GB，GC为邻边作平行四边形GBPC，连接GP，交BC于点D，显然D为BC中点，且＋＝.∵＋＋＝＋＝＋2＝0，∴＝2，∴A，G，D三点共线，且AG∶GD＝2∶1.又D为BC中点，∴AD是△ABC的中线.∴G是△ABC的重心.跟踪训练 D ∵＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，∴｜＋｜＝｜－｜，即以AB，AC为邻边的平行四边形中，两条对角线长度相等，该平行四边形是矩形，∴⊥.∴△ABC为直角三角形.由于AB不一定等于AC，因此△ABC不一定为等腰直角三角形.随堂检测1.B 原式＝（2a＋8b）－（4a－2b）＝a＋b－a＋b＝－a＋2b＝2b－a.2.D 3（x＋a）＋2（b－a）＋x－a－2b＝3x＋3a＋2b－2a＋x－a－2b＝0，得x＝0.3.A ＝＋＝＋＝＋（－）＝＋.故选A.4.a－b 解析：由向量加法的平行四边形法则，得：＝＋＝a＋b，即＝＝（a＋b），则＋＝－＋－＝－2＝a－（a＋b）＝a－b.4 / 4(共57张PPT)6.1.5 向量的线性运算新课程标准解读 核心素养1.掌握向量加法与数乘向量混合运算的运算律 逻辑推理、数学运算2.理解向量线性运算的定义及运算法则 数学抽象、数学运算3.能利用向量的线性运算解决简单问题 数学建模、逻辑推理目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理 向量的加法、减法及数乘向量学习之后，类比实数的运算，向量也可进行加、减、数乘混合运算.【问题】 向量的加、减、数乘混合运算满足什么运算律？ 知识点 向量的线性运算1. 向量的加法与数乘向量的混合运算规定：一般地，一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，要先算数乘向量，再算向量加法.运算律：设对于实数λ，μ以及向量 a ， b ，有（1）λ a ＋μ a ＝ ；（2）λ（ a ＋ b ）＝ .（λ＋μ） a λ a ＋λ b 提醒 （1）向量的减法运算可以转化为加法运算；（2）运算式中有括号时，应先算括号内的，再算括号外的；（3）对于任意向量 a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1 a ±μ2 b ）＝λμ1 a±λμ2 b .2. 向量的线性运算向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算.1. （2 a －4 b ）＋2 b ＝（ ）A. a －2 b B. a －4 bC. a D. b解析： （2 a －4 b ）＋2 b ＝ a －2 b ＋2 b ＝ a .故选C.2. 已知 e 为单位向量，且 a ＝2 e ， b ＝－3 e ，则｜ a －4 b ｜＝（ ）A. 3 B. 5C. 10 D. 14解析： 因为 e 为单位向量，所以｜ e ｜＝1，｜ a －4 b ｜＝｜2 e＋12 e ｜＝｜14 e ｜＝14.故选D.3. 如图所示，已知 ＝ ，则 可用 ， 表示为 － .解析： ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝－＋ .－＋ 典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 向量的线性运算问题【例1】 （1）化简下列各式：①3（6 a ＋ b ）－9 ；② －2 ；③2（5 a －4 b ＋ c ）－3（ a －3 b ＋ c ）－7 a .解： ①原式＝18 a ＋3 b －9 a －3 b ＝9 a .②原式＝ － a － b＝ a ＋ b － a － b ＝0.③原式＝10 a －8 b ＋2 c －3 a ＋9 b －3 c －7 a ＝ b － c .（2）如图，已知在平行四边形 ABCD 中， M ， N 分别是 DC ， BC 的中点， O 为 MN 与 AC 的交点.若 ＝ e1， ＝ e2，试用 e1， e2表示 ， .解： ∵ M ， N 分别是 DC ， BC 的中点，∴ MN BD .∵ ＝ － ＝ e2－ e1，∴ ＝2＝2 e2－2 e1.又∵ AO 是△ AMN 的中线，∴ ＝ （ ＋ ）＝ e2＋ e1.通性通法数乘向量运算的方法（1）向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，代数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数；（2）向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算；（3）用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示，其实质是向量线性运算的反复应用.【跟踪训练】1. 如图所示，在矩形 ABCD 中， ＝5 e1， ＝3 e2，则 ＝（ ）A. （5 e1＋3 e2） B. （5 e1－3 e2）C. （3 e1－5 e2） D. （5 e2－3 e1）解析： ＝ ＋ ＝ ＋ ＝5 e1＋3 e2，则 ＝ ＝e1＋ e2，故选A.2. 已知 a 与 b ，且5 x ＋2 y ＝ a ，3 x － y ＝ b ，则 x ＝ ，y ＝ .解析：把已知中的两个等式看成关于 x ， y 的方程，联立得解得 x ＝ a ＋ b ， y ＝ a － b .a ＋ b a － b 题型二 三点共线问题【例2】 已知 e1， e2是两个不共线的向量，若 ＝2 e1－8 e2， ＝e1＋3 e2， ＝2 e1－ e2，求证： A ， B ， D 三点共线.证明：∵ ＝ e1＋3 e2， ＝2 e1－ e2，∴ ＝ － ＝ e1－4 e2.又 ＝2 e1－8 e2＝2（ e1－4 e2），∴ ＝2 ，∴ ∥ .∵ AB 与 BD 有公共点 B ，∴ A ， B ， D 三点共线.通性通法用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路（1）若 b ＝λ a （ a ≠0），且 b 与 a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行；（2）若 b ＝λ a （ a ≠0），且 b 与 a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合.例如，若向量 ＝λ ，则 ， 共线，又与 有公共点 A ，从而 A ， B ， C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法.【跟踪训练】1. 已知 P ， A ， B ， C 是平面内四点，且 ＋ ＋ ＝ ，则下列向量一定共线的是（ ）A. 与 B. 与C. 与 D. 与解析： 因为 ＋ ＋ ＝ ，所以 ＋ ＋ ＋ ＝0，即－2 ＝ ，所以 与 共线.2. 已知不共线的两个非零向量 a 与 b ，若 ＝ a ＋2 b ， ＝－5 a ＋6 b ， ＝7 a －2 b ，则下列一定共线的三点是（ ）A. A ， B ， D B. A ， B ， CC. B ， C ， D D. A ， C ， D解析： 因为 ＝ ＋ ＝－5 a ＋6 b ＋7 a －2 b ＝2 a ＋4 b ，所以 ＝2 ，所以 ∥ ，因为 AB 与 BD 都过点 B ，所以A ， B ， D 共线.故选A.题型三 向量的线性运算在平面几何中的应用【例3】 若 G 是△ ABC 内一点，且 ＋ ＋ ＝0，则点 G 是△ABC 的（ ）A. 内心 B. 外心C. 垂心 D. 重心解析： 如图，以 GB ， GC 为邻边作平行四边形GBPC ，连接 GP ，交 BC 于点 D ，显然 D 为 BC 中点，且 ＋ ＝ .∵ ＋ ＋ ＝ ＋＝ ＋2 ＝0，∴ ＝2 ，∴ A ， G ， D三点共线，且 AG ∶ GD ＝2∶1.又 D 为 BC 中点，∴AD 是△ ABC 的中线.∴ G 是△ ABC 的重心.通性通法1. 利用向量的加法、减法、数乘向量等知识可以解决平面几何中的线段（或直线）平行、重合及图形相似等问题，解题的关键在于把平面几何语言转化为向量语言.2. 三角形的“四心”（1）三角形的内心：三角形内切圆的圆心，三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等；（2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心，三角形三条边的垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等；（3）三角形的垂心：三角形三条高线的交点；（4）三角形的重心：三角形三条中线的交点.重心将中线长度分成2∶1.【跟踪训练】 若 O 是△ ABC 所在平面内的一点，且满足｜ － ｜＝｜ ＋－2 ｜，则△ ABC 的形状为（ ）A. 等边三角形 B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形解析： ∵ ＋ －2 ＝ － ＋ － ＝ ＋ ，－ ＝ ＝ － ，∴｜ ＋ ｜＝｜ － ｜，即以AB ， AC 为邻边的平行四边形中，两条对角线长度相等，该平行四边形是矩形，∴ ⊥ .∴△ ABC 为直角三角形.由于 AB 不一定等于AC ，因此△ ABC 不一定为等腰直角三角形.1. ＝（ ）A. 2 a － b B. 2 b － aC. b － a D. a － b解析： 原式＝ （2 a ＋8 b ）－ （4 a －2 b ）＝ a ＋ b － a ＋b ＝－ a ＋2 b ＝2 b － a .2. 设 x 是未知向量， a ， b 是已知向量，且满足3（ x ＋ a ）＋2（ b －a ）＋ x － a －2 b ＝0，则 x ＝（ ）A. 0 B. a ＋ bC. 3 a － b D. 0解析： 3（ x ＋ a ）＋2（ b － a ）＋ x － a －2 b ＝3 x ＋3 a ＋2 b－2 a ＋ x － a －2 b ＝0，得 x ＝0.3. 在△ ABC 中，点 D 满足 ＝3 ，则（ ）A. ＝ ＋B. ＝ ＋C. ＝ ＋D. ＝ ＋解析： ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝＋ .故选A.4. 在平行四边形 ABCD 中， M 是对角线 AC 上的一点，且 ＝，设 ＝ a ， ＝ b ，则 ＋ ＝ a － b .（用 a ，b 表示）解析：由向量加法的平行四边形法则，得： ＝ ＋ ＝ a ＋b ，即 ＝ ＝ （ a ＋ b ），则 ＋ ＝－ ＋ －＝ －2 ＝ a － （ a ＋ b ）＝ a － b .a － b 知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地1. 化简： － ＝（ ）A. a － b ＋2 c B. 5 a － b ＋2 cC. a ＋ b ＋2 c D. 5 a ＋ b解析： － ＝（3 a －2 a ）＋ ＋（ c ＋ c ）＝ a － b ＋2 c .故选A.12345678910111213142. 若 ＝ a ， ＝ b ， ＝λ （λ≠－1），则 ＝（ ）A. a ＋λ b B. λ a ＋（1－λ） bC. λ a ＋ b D. a ＋ b解析： ∵ ＝λ ，即 － ＝λ（ － ），∴（1＋λ） ＝ ＋λ ，∴ ＝ · ＋ ＝a ＋ b .故选D.12345678910111213143. 在平行四边形 ABCD 中，设 M 为线段 BC 的中点， N 为线段 AB 上靠近点 A 的三等分点， ＝ a ， ＝ b ，则向量 ＝（ ）A. a ＋ b B. a ＋ bC. a － b D. a － b1234567891011121314解析： 由题意作出图形，如图所示，在平行四边形 ABCD 中，∵ M 为 BC 的中点，则 ＝＋ ＝ a ＋ b ，又∵ N 为线段 AB 上靠近点A 的三等分点，则 ＝ ＝ a ，∴ ＝ － ＝ a ＋ b － a ＝ a ＋ b .故选B.12345678910111213144. （多选）已知 m ， n 是实数， a ， b 是向量，则下列命题中正确的为（ ）A. m （ a － b ）＝ ma － mb B. （ m － n ） a ＝ ma － naC. 若 ma ＝ mb ，则 a ＝ b D. 若 ma ＝ na ，则 m ＝ n1234567891011121314解析： 对于A，根据数乘向量的原则可得： m （ a － b ）＝ ma－ mb ，故A正确；对于B，根据数乘向量的原则可得：（ m － n ）a ＝ ma － na ，故B正确；对于C，由 ma ＝ mb 可得 m （ a － b ）＝0，当 m ＝0时也成立，所以不能推出 a ＝ b ，故C错误；对于D，由ma ＝ na 可得（ m － n ） a ＝0，当 a ＝0，命题也成立，所以不能推出 m ＝ n ，故D错误；故选A、B.12345678910111213145. （多选）已知4 －3 ＝ ，则下列结论正确的是（ ）A. A ， B ， C ， D 四点共线 B. C ， B ， D 三点共线C. ｜ ｜＝｜ ｜ D. ｜ ｜＝3｜ ｜解析：BD 因为4 －3 ＝ ，所以3 －3 ＝ －，所以3 ＝ ，因为 ， 有公共端点 B ，所以 C ， B ，D 三点共线，且｜ ｜＝3｜ ｜，所以B、D正确，A错误，由4 －3 ＝ ，得 ＝3 －3 ＋ ＝3 ＋ ，所以｜ ｜≠｜ ｜，所以C错误，故选B、D.12345678910111213146. 已知在△ ABC 所在的平面内有一点 P ，满足 ＋ ＋ ＝ ，则△ PBC 与△ ABC 的面积之比是 .解析：因为 ＋ ＋ ＝ ，所以 ＋ ＋ ＝ －，所以 ＝2 ，又 与 有公共点 P ，所以 A ， P ， C 三点共线，即点 P 在边 CA 上，且 PC ∶ AC ＝2∶3，所以△ PBC 和△ABC 的面积之比为2∶3.2∶3 12345678910111213147. 已知｜ a ｜＝2，则 ＝ .解析： ＝ ＝ ×2＝5.5 12345678910111213148. 设点 O 在△ ABC 的内部，且 ＋ ＋ ＝0，则△ ABC 的面积与△ AOC 的面积之比为 .解析：如图所示，设 D 为 AC 的中点，则 ＝（ ＋ ），因为 ＋ ＋ ＝0，所以＝－（ ＋ ），所以 ＝－2 ，即 ＝3 ，所以 S△ ABC ∶ S△ AOC ＝3∶1.3∶1 12345678910111213149. 如图，已知在平行四边形 ABCD 中， AH ＝ HD ， BF ＝ MC ＝BC ，设 ＝ a ， ＝ b ，试用 a ， b 分别表示 ， ， .1234567891011121314解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， BF ＝ MC ＝ BC ，∴ FM ＝ BC － BF － MC ＝ BC .∴ FM ＝ BC ＝ AD ＝ AH .∴ FM AH .∴四边形 AHMF 也是平行四边形.∴ ＝ .又 ＝ ＝ ＝ b ，1234567891011121314而 ＝－ ＝－ b ，∴ ＝ ＋ ＝ a ＋ b .＝ ＝ ＋ ＝－ b － a .＝ ＝－ ＝ b ＋ a .123456789101112131410. “ a ＝ xb ”是“向量 a ， b 共线”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件解析： 充分性：若 a ＝ xb ，则向量 a ， b 共线，充分性成立；必要性：若向量 a ， b 共线，不妨设 b ＝0， a ≠0，则不存在 x∈R，使得 a ＝ xb ，必要性不成立.因此，“ a ＝ xb ”是“向量a ， b 共线”的充分不必要条件.故选A.123456789101112131411. 如图，在正方形 ABCD 中， E 为线段 AD 的中点，使 ＝λ ＋μ ，则λ＋μ＝ ，若 E 在线段 AD 上，异于 A ， D 两点，则λ＋μ的取值范围为 . （1，2） 1234567891011121314解析：因为 ＝ ＋ ＝ ＋ ，所以λ＋μ＝ ＋1＝. ＝ ＋ ＝λ ＋ ，λ∈（0，1），所以λ＋μ∈（1，2）.123456789101112131412. 设 O 为△ ABC 内任一点，且满足 ＋2 ＋3 ＝0.（1）若 D ， E 分别是边 BC ， CA 的中点，求证： D ， E ， O 三点共线；解： 证明：如图， ＋ ＝2， ＋ ＝2 .∵ ＋2 ＋3 ＝（ ＋ ）＋2（ ＋ ）＝2（ ＋2 ）＝0，即 ＝－2 ，∴ 与 共线，而 OD 与 OE 有公共点 O ，∴ D ， E ， O 三点共线.1234567891011121314（2）求△ ABC 与△ AOC 的面积之比.解： 由（1）知2｜ ｜＝｜ ｜，∴ S△ AOC ＝2 S△ COE ＝2× S△ CDE ＝2× × S△ ABC ＝ S△ABC ，∴ ＝3.123456789101112131413. 设 a ， b ， c 是三个非零向量，且 a 与 b 不共线，若关于 x 的方程ax2＋ bx ＋ c ＝0有两个实根 x1， x2，则（ ）A. x1＞ x2 B. x1＝ x2C. x1＜ x2 D. x1， x2大小不确定1234567891011121314解析： 因为关于 x 的方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有两个实根 x1， x2，所以 a ＋ bx1＋ c ＝0， a ＋ bx2＋ c ＝0，把两个等式相减可得： a （ － ）＋ b （ x1－x2）＝0，即（ x1－ x2）[（ x1＋ x2） a ＋ b ]＝0.因为 a ， b ， c 是三个非零向量，且 a 与 b 不共线，所以（ x1＋ x2） a ＋ b ≠0，所以x1＝ x2.故选B.123456789101112131414. 已知平面上一定点 O ，不共线的三点 A ， B ， C ，动点 P 满足＝ ＋λ ，λ∈[0，＋∞），求证： P 的轨迹一定通过△ ABC 的内心.1234567891011121314证明：如图所示，因为 ， 均为单位向量，且两向量方向分别与 ， 同向.由向量加法的几何意义知 ＋ 对应一个平行四边形 AMQN 的对角线 .又因为 ＝ ＝1，所以 AMQN 是菱形.所以 AQ 在∠ BAC 的平分线上.因为 － ＝ ，所以 ＝λ .所以点 P 在∠ BAC 的平分线上，即 P 的轨迹必过△ ABC 的内心.1234567891011121314谢 谢 观 看！ 展开更多...... 收起↑ 资源列表 6.1.5 向量的线性运算.docx 6.1.5 向量的线性运算.pptx 6.1.5 向量的线性运算（练习，含解析）.docx
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