资源简介

6.2.2　直线上向量的坐标及其运算
1.如图所示，向量，的坐标分别是（　　）
A.－3，2　　　　　　　B.－3，4
C.2，－2 D.2，2
2.已知数轴上A点坐标为－5，＝－7e，则B点坐标是（　　）
A.－2 B.2
C.12 D.－12
3.已知数轴上两点M，N，且｜｜＝4.若xM＝－3，则xN＝（　　）
A.1 B.2
C.－7 D.1或－7
4.已知e为直线l上的一个单位向量，向量a与b都是直线l上的向量，且a＝3e，b＝－2e，则a，b的坐标分别为（　　）
A.3，－2 B.3，2
C.－3，2 D.－3，－2
5.（多选）已知数轴l上三点A，B，C，若B点坐标为2，＝5e，｜｜＝3，则AC的中点坐标可能是（　　）
A.1 B.2
C.－1 D.－2
6.若数轴上A，B两点的坐标分别为－2，x，且的坐标是－8，则x＝　　　　.
7.在数轴x上，已知＝－3e（e为x轴上的单位向量），且点B的坐标为3，则向量的坐标为　　　　.
8.已知a，b是直线l上的两个向量，4a＋3b＝－a，且向量b的坐标是6，则向量a－b的坐标是　　　　.
9.已知a，b是直线l上的向量，向量a－3（b＋a），b－a的坐标分别为－16，2，求｜a－3b｜的值.
10.已知M，P，N三点在数轴上，且点P的坐标是5，＝2e，＝8e，则点N的坐标为（　　）
A.11 B.－11
C.3 D.－3
11.已知数轴上两点A，B，A（1），且A，B的中点坐标为－3，则点B的坐标是　　　　，｜｜＝　　　　.
12.已知a，b，c是直线l上的向量，向量4a－3b，3a＋c的坐标分别为1，－3，且｜a＋c｜＝1，求a，b，c的坐标.
13.已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标为3，｜｜＝5，｜｜＝2，则点C的坐标为　　　　.
14.已知数轴上的点A（－2），B（x），C（3）.
（1）若点A是线段BC的一个三等分点，求x的值；
（2）求｜｜＋｜｜的最小值.
6.2.2　直线上向量的坐标及其运算
1.C　由数轴上向量的坐标的定义可知＝2e，＝－2e，所以向量，的坐标分别是2，－2.故选C.
2.D　∵xA＝－5，＝－7e，∴xB－xA＝－7，∴xB＝－12.
3.D　｜｜＝｜xN－（－3）｜＝4，∴xN－（－3）＝±4，即xN＝1或－7.
4.A　由题意，向量e的坐标为1，因为a＝3e，所以a在数轴上对应的坐标为3，又由b＝－2e，所以b在数轴上对应的坐标为－2.故选A.
5.AD　由xB＝2，＝5e，知点A坐标为－3，｜｜＝｜xC－xB｜＝｜xC－2｜＝3知xC＝5或xC＝－1.∴AC的中点坐标为＝1或＝－2，故选A、D.
6.－10　解析：设点O为坐标原点，则＝－，∴x－（－2）＝－8，∴x＝－10.
7.6　解析：由＝－3e，得点A的坐标为－3，则＝－＝[3－（－3）]e＝6e，即的坐标为6.
8.－　解析：因为4a＋3b＝－a，且向量b的坐标是6，所以a＝－b＝－e，所以a－b＝×e－×6e＝－e.所以a－b的坐标为－.
9.解：设a，b的坐标分别是x，y.因为向量a－3（b＋a），b－a的坐标分别为－16，2，所以解得所以｜a－3b｜＝10.
10.A　设点M，N的坐标分别为x1，x2，
因为点P的坐标是5，＝2e，＝8e，所以解得故点N的坐标为11.
11.－7　8　解析：设B（x），线段AB的中点坐标为：＝－3，解得x＝－7，则点B的坐标是－7，｜｜＝｜－7－1｜＝8.
12.解：设a，b，c的坐标分别是x，y，z.
因为向量4a－3b，3a＋c的坐标分别为1，－3，且｜a＋c｜＝1，
所以解得或
所以a，b，c的坐标分别是－2，－3，3或－1，－，0.
13.－4或0或6或10　解析：由题意，设A，C的坐标分别为xA，xC，则｜｜＝｜3－xA｜＝5，∴xA＝－2或xA＝8，∴｜｜＝｜xC－xA｜＝2，解得xC＝0或xC＝10或xC＝－4或xC＝6.
14.解：（1）因为点A是线段BC的一个三等分点，所以＝3或＝.
因为A（－2），B（x），C（3），
所以3－x＝3×[3－（－2）]或3－x＝×[3－（－2）].所以x＝－12或x＝－.
（2）因为｜｜＋｜｜≥｜＋｜＝｜｜＝5，当且仅当与同向时取等号，
所以当x∈[－2，3]时，｜｜＋｜｜取得最小值5.
2 / 26.2.2　直线上向量的坐标及其运算
新课程标准解读 核心素养
1.了解直线上向量的坐标的概念，会用实数表示直线上向量的坐标 数学抽象、直观想象
2.理解直线上向量的运算与坐标的关系并能进行正确的运算 数学运算、逻辑推理
　　我们已学过了数轴上点的坐标，如图，已知A（－1），B（2）.
【问题】　（1）对应的向量坐标是什么？
（2）对应的向量坐标是什么？
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　直线上向量的坐标及其运算
1.直线上向量的坐标
给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时，　　称为向量a的坐标.
2.直线上向量的运算与坐标的关系
　如果直线上两个向量a，b的坐标分别为x1，x2.
（1）a＝b的充要条件是 　　　　　　；
（2）a＋b的坐标为　　　　　　，a－b的坐标为 　　　　　　，λa的坐标为 　　　　　　；
（3）设A（x1），B（x2）是数轴上的两点，M（x）是线段AB的中点，则AB＝　 　　，x＝ 　　　.
【想一想】
　 向量a的坐标x能刻画它的模与方向吗？
1.（多选）下列说法正确的是（　　）
A.数轴上点A对应的数为－3，则向量的坐标为3
B.数轴上点A对应的数为－3，则向量｜｜＝3
C.直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等
D.两个向量差的坐标等于这两个向量坐标的差
2.已知直线上向量a的坐标为3，则b＝－2a的坐标为（　　）
A.－2　 　B.2　　　C.6　　　D.－6
3.已知数轴上两点A，B的坐标分别为－2，5，则向量的坐标为　　　　.
题型一 数轴上向量的坐标
【例1】　已知在数轴上点A，B，C的坐标分别为1，7，－3.
（1）求，，的坐标；
（2）若＝4，求D点的坐标.
尝试解答
通性通法
数轴上向量的坐标的求法
　　先求出（或寻找已知）相应点的坐标，再计算向量的坐标（其中向量的坐标为终点坐标减去起点坐标）.
【跟踪训练】
1.数轴上零向量的坐标为（　　）
A.1　　　　　　　　B.0e
C.0 D.e
2.已知A，B都是数轴上的点，A（3），B（－a），且的坐标为4，则a＝（　　）
A.－1 B.－7
C.4 D.－4
题型二 数轴上向量的长度
【例2】　已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是－4，－1，6，10.求向量，，的长度.
尝试解答
通性通法
　　求数轴上向量长度的方法：先求数轴上向量的坐标，再根据距离公式求长度.
注意　首先利用数轴上点的坐标，计算出两点所对应向量的坐标，特别要注意向量坐标运算公式的顺序.
【跟踪训练】
　已知数轴上的点A（－3），B（5），C（x），＝－3，则｜｜＝　　　　.
题型三 直线上的向量坐标运算及其应用
【例3】　已知直线上的向量a与向量b，向量a的坐标为－10，向量a与向量b满足关系2a－3b＝4e，求：
（1）向量b的坐标；
（2）a＋2b的坐标.
尝试解答
通性通法
1.求向量坐标：终点坐标减去起点坐标.
2.求向量长度：先求向量坐标，然后取绝对值.
【跟踪训练】
　直线上向量a，b的坐标分别为－3，5，则向量3a－2b的坐标和模分别是（　　）
A.－19，19 B.21，21
C.－19，5 D.1，1
1.已知数轴上两点A，B的坐标分别是－4，－1，则｜｜＝（　　）
A.－3 B.3
C.6 D.－6
2.已知A，B都是数轴上的点，A（3），B（－2），则3＋4的坐标为（　　）
A.17 B.1
C.－1 D.－17
3.已知数轴上A，B的坐标分别是12，－8，AB的中点为C，则向量的坐标是（　　 ）
A.－10 B.10
C.28 D.－28
4.（多选）已知数轴上的点A，B，C的坐标分别为－1，1，5，则下列结论正确的是（　　）
A.的坐标是2 B.＝－3
C.的坐标是4 D.＝2
5.已知直线上向量a，b的坐标分别为－2，2，求a＋b的坐标.
6.2.2　直线上向量的坐标及其运算
【基础知识·重落实】
知识点
1.x　2.（1）x1＝x2　（2）x1＋x2　x1－x2　λx1
3.｜x2－x1｜　
想一想
　提示：能.
（1）｜a｜＝｜xe｜＝｜x｜｜e｜＝｜x｜.
（2）当x＞0时，a的方向与e的方向相同；当x＝0时，a是零向量；当x＜0时，a的方向与e的方向相反.
自我诊断
1.BCD
2.D
3.7　解析：由题意，的坐标为－2，的坐标为5，又因为＝－，所以的坐标为5－（－2）＝7.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）因为点A，B，C的坐标分别为1，7，－3，
所以的坐标为1，的坐标为7，的坐标为－3，
又因为＝－，所以的坐标为1－7＝－6.
同理，的坐标为－4，的坐标为10.
（2）设D点的坐标为x，则
＝[x－（－3）]e＝（x＋3）e＝4e，
解得x＝1，即D点的坐标为1.
跟踪训练
1.C　由题意，可得0＝0e，所以0的坐标为0.故选C.
2.B　由题意，向量的坐标为终点B的坐标减去起点A的坐标，即－a－3＝4，解得a＝－7.故选B.
【例2】　解：∵＝[（－1）－（－4）]e＝（－1＋4）e＝3e，
∴｜｜＝3.
＝（－1－6）e＝－7e，∴｜｜＝7.
＝[（－1）－10]e＝－11e，｜｜＝｜－11｜＝11.
跟踪训练
　　解析：已知点A（－3），B（5），则｜｜＝8，又＝－3，所以B，C在A的两侧，且｜｜＝，所以｜｜＝8＋＝.
【例3】　解：（1）设直线上的向量b的坐标为x，由题意可得2×（－10）－3x＝4，解得x＝－8，即向量b的坐标为－8.
（2）a＋2b＝[－10＋2×（－8）]e＝－26e，所以a＋2b的坐标为－26.
跟踪训练
　A　由题可知，向量3a－2b的坐标为3×（－3）－2×5＝－19，向量3a－2b的模为｜－19｜＝19.故选A.
随堂检测
1.B　由题意，向量的坐标为－1－（－4）＝3，所以｜｜＝3.故选B.
2.B　由题意，可得向量的坐标为3，向量的坐标为－2，所以向量3＋4的坐标为3×3＋4×（－2）＝1.故选B.
3.A　C点的坐标为xC＝＝＝2，∴＝（2－12）e＝－10e.故的坐标为－10.
4.ABD　由题意，根据数轴上向量的坐标表示，可得向量的坐标为1－（－1）＝2，所以A正确；向量的坐标为－1－5＝－6，－3的坐标为－3×2＝－6，所以＝－3，所以B正确；向量的坐标为1－5＝－4，故C中结论不正确，向量的坐标为5－1＝4，向量2的坐标为2×2＝4，所以＝2，所以D正确.故选A、B、D.
5.解：a＋b＝e＝－1e，故a＋b的坐标为－1.
3 / 3(共46张PPT)
6.2.2　
直线上向量的坐标及其运算
新课程标准解读 核心素养
1.了解直线上向量的坐标的概念，会用实数表示
直线上向量的坐标 数学抽象、直观
想象
2.理解直线上向量的运算与坐标的关系并能进行
正确的运算 数学运算、逻辑
推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　我们已学过了数轴上点的坐标，如图，已知 A （－1）， B （2）.
【问题】　（1） 对应的向量坐标是什么？
（2） 对应的向量坐标是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　
知识点　直线上向量的坐标及其运算
1. 直线上向量的坐标
给定一条直线 l 以及这条直线上一个单位向量 e ，由共线向量基本
定理可知，对于直线 l 上的任意一个向量 a ，一定存在唯一的实数
x ，使得 a ＝ xe ，此时， 称为向量 a 的坐标.
x 　
2. 直线上向量的运算与坐标的关系
　如果直线上两个向量 a ， b 的坐标分别为 x1， x2.
（1） a ＝ b 的充要条件是 ；
（2） a ＋ b 的坐标为 ， a － b 的坐标为 ，λ a
的坐标为 ；
（3）设 A （ x1）， B （ x2）是数轴上的两点， M （ x ）是线段 AB
的中点，则 AB ＝ ， x ＝ .
x1＝ x2　
x1＋ x2　
x1－ x2　
λ x1　
｜ x2－ x1｜　
　
【想一想】
　 向量 a 的坐标 x 能刻画它的模与方向吗？
提示：能.
（1）｜ a ｜＝｜ xe ｜＝｜ x ｜｜ e ｜＝｜ x ｜.
（2）当 x ＞0时， a 的方向与 e 的方向相同；当 x ＝0时， a 是零向量；
当 x ＜0时， a 的方向与 e 的方向相反.
1. （多选）下列说法正确的是（　　）
A. 数轴上点 A 对应的数为－3，则向量 的坐标为3
B. 数轴上点 A 对应的数为－3，则向量｜ ｜＝3
C. 直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等
D. 两个向量差的坐标等于这两个向量坐标的差
2. 已知直线上向量 a 的坐标为3，则 b ＝－2 a 的坐标为（　　）
A. －2 B. 2
C. 6 D. －6
3. 已知数轴上两点 A ， B 的坐标分别为－2，5，则向量 的坐标
为 .
解析：由题意， 的坐标为－2， 的坐标为5，又因为 ＝
－ ，所以 的坐标为5－（－2）＝7.
7　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 数轴上向量的坐标
【例1】　已知在数轴上点 A ， B ， C 的坐标分别为1，7，－3.
（1）求 ， ， 的坐标；
解： 因为点 A ， B ， C 的坐标分别为1，7，－3，
所以 的坐标为1， 的坐标为7， 的坐标为－3，
又因为 ＝ － ，所以 的坐标为1－7＝－6.
同理， 的坐标为－4， 的坐标为10.
（2）若 ＝4，求 D 点的坐标.
解： 设 D 点的坐标为 x ，则
＝[ x －（－3）] e ＝（ x ＋3） e ＝4 e ，
解得 x ＝1，即 D 点的坐标为1.
通性通法
数轴上向量的坐标的求法
　　先求出（或寻找已知）相应点的坐标，再计算向量的坐标（其中
向量的坐标为终点坐标减去起点坐标）.
【跟踪训练】
1. 数轴上零向量的坐标为（　　）
A. 1 B. 0 e
C. 0 D. e
解析： 　由题意，可得0＝0 e ，所以0的坐标为0.故选C.
2. 已知 A ， B 都是数轴上的点， A （3）， B （－ a ），且 的坐标
为4，则 a ＝（　　）
A. －1 B. －7
C. 4 D. －4
解析： 　由题意，向量 的坐标为终点 B 的坐标减去起点 A 的坐
标，即－ a －3＝4，解得 a ＝－7.故选B.
题型二 数轴上向量的长度
【例2】　已知数轴上四点 A ， B ， C ， D 的坐标分别是－4，－1，
6，10.求向量 ， ， 的长度.
解：∵ ＝[（－1）－（－4）] e ＝（－1＋4） e ＝3 e ，
∴｜ ｜＝3. ＝（－1－6） e ＝－7 e ，
∴｜ ｜＝7.
＝[（－1）－10] e ＝－11 e ，｜ ｜＝｜－11｜＝11.
通性通法
　　求数轴上向量长度的方法：先求数轴上向量的坐标，再根据距离
公式求长度.
注意　首先利用数轴上点的坐标，计算出两点所对应向量的坐标，特
别要注意向量坐标运算公式的顺序.
【跟踪训练】
　已知数轴上的点 A （－3）， B （5）， C （ x ）， ＝－3 ，
则｜ ｜＝ .
解析：已知点 A （－3）， B （5），则｜ ｜＝8，又 ＝－3
，所以 B ， C 在 A 的两侧，且｜ ｜＝ ，所以｜ ｜＝8＋ ＝
.
　
题型三 直线上的向量坐标运算及其应用
【例3】　已知直线上的向量 a 与向量 b ，向量 a 的坐标为－10，向量
a 与向量 b 满足关系2 a －3 b ＝4 e ，求：
（1）向量 b 的坐标；
解： 设直线上的向量 b 的坐标为 x ，由题意可得2×（－
10）－3 x ＝4，解得 x ＝－8，即向量 b 的坐标为－8.
（2） a ＋2 b 的坐标.
解： a ＋2 b ＝[－10＋2×（－8）] e ＝－26 e ，所以 a ＋2 b
的坐标为－26.
通性通法
1. 求向量坐标：终点坐标减去起点坐标.
2. 求向量长度：先求向量坐标，然后取绝对值.
【跟踪训练】
　直线上向量 a ， b 的坐标分别为－3，5，则向量3 a －2 b 的坐标和模
分别是（　　）
A. －19，19 B. 21，21
C. －19，5 D. 1，1
解析： 　由题可知，向量3 a －2 b 的坐标为3×（－3）－2×5＝－
19，向量3 a －2 b 的模为｜－19｜＝19.故选A.
1. 已知数轴上两点 A ， B 的坐标分别是－4，－1，则｜ ｜＝
（　　）
A. －3 B. 3
C. 6 D. －6
解析： 　由题意，向量 的坐标为－1－（－4）＝3，所以｜
｜＝3.故选B.
2. 已知 A ， B 都是数轴上的点， A （3）， B （－2），则3 ＋4
的坐标为（　　）
A. 17 B. 1
C. －1 D. －17
解析： 　由题意，可得向量 的坐标为3，向量 的坐标为－
2，所以向量3 ＋4 的坐标为3×3＋4×（－2）＝1.故选B.
3. 已知数轴上 A ， B 的坐标分别是12，－8， AB 的中点为 C ，则向量
的坐标是（　　 ）
A. －10 B. 10
C. 28 D. －28
解析： 　 C 点的坐标为 xC ＝ ＝ ＝2，∴ ＝（2
－12） e ＝－10 e .故 的坐标为－10.
4. （多选）已知数轴上的点 A ， B ， C 的坐标分别为－1，1，5，则
下列结论正确的是（　　）
A. 的坐标是2 B. ＝－3
C. 的坐标是4 D. ＝2
解析： 　由题意，根据数轴上向量的坐标表示，可得向量
的坐标为1－（－1）＝2，所以A正确；向量 的坐标为－1－5＝
－6，－3 的坐标为－3×2＝－6，所以 ＝－3 ，所以B正
确；向量 的坐标为1－5＝－4，故C中结论不正确，向量 的
坐标为5－1＝4，向量2 的坐标为2×2＝4，所以 ＝2 ，所
以D正确.故选A、B、D.
5. 已知直线上向量 a ， b 的坐标分别为－2，2，求 a ＋ b 的坐标.
解： a ＋ b ＝ e ＝－1 e ，故 a ＋ b 的坐标为－1.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 如图所示，向量 ， 的坐标分别是（　　）
A. －3，2 B. －3，4
C. 2，－2 D. 2，2
解析： 　由数轴上向量的坐标的定义可知 ＝2 e ， ＝－2
e ，所以向量 ， 的坐标分别是2，－2.故选C.
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2. 已知数轴上 A 点坐标为－5， ＝－7 e ，则 B 点坐标是（　　）
A. －2 B. 2
C. 12 D. －12
解析： 　∵ xA ＝－5， ＝－7 e ，∴ xB － xA ＝－7，∴ xB ＝－
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3. 已知数轴上两点 M ， N ，且｜ ｜＝4.若 xM ＝－3，则 xN ＝
（　　 ）
A. 1 B. 2
C. －7 D. 1或－7
解析： 　｜ ｜＝｜ xN －（－3）｜＝4，∴ xN －（－3）＝
±4，即 xN ＝1或－7.
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4. 已知 e 为直线 l 上的一个单位向量，向量 a 与 b 都是直线 l 上的向
量，且 a ＝3 e ， b ＝－2 e ，则 a ， b 的坐标分别为（　　）
A. 3，－2 B. 3，2
C. －3，2 D. －3，－2
解析： 由题意，向量 e 的坐标为1，因为 a ＝3 e ，所以 a 在数轴
上对应的坐标为3，又由 b ＝－2 e ，所以 b 在数轴上对应的坐标为
－2.故选A.
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5. （多选）已知数轴 l 上三点 A ， B ， C ，若 B 点坐标为2， ＝5
e ，｜ ｜＝3，则 AC 的中点坐标可能是（　　 ）
A. 1 B. 2
C. －1 D. －2
解析： 　由 xB ＝2， ＝5 e ，知点 A 坐标为－3，｜ ｜＝｜
xC － xB ｜＝｜ xC －2｜＝3知 xC ＝5或 xC ＝－1.∴ AC 的中点坐标为
＝1或 ＝－2，故选A、D.
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6. 若数轴上 A ， B 两点的坐标分别为－2， x ，且 的坐标是－8，则
x ＝ .
解析：设点 O 为坐标原点，则 ＝ － ，∴ x －（－2）＝－
8，∴ x ＝－10.
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7. 在数轴 x 上，已知 ＝－3 e （ e 为 x 轴上的单位向量），且点 B 的
坐标为3，则向量 的坐标为 .
解析：由 ＝－3 e ，得点 A 的坐标为－3，则 ＝ － ＝[3
－（－3）] e ＝6 e ，即 的坐标为6.
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8. 已知 a ， b 是直线 l 上的两个向量，4 a ＋3 b ＝－ a ，且向量 b 的坐标
是6，则向量 a － b 的坐标是 　－ 　.
解析：因为4 a ＋3 b ＝－ a ，且向量 b 的坐标是6，所以 a ＝－ b ＝
－ e ，所以 a － b ＝ × e － ×6 e ＝－ e .所以 a － b
的坐标为－ .
－ 　
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9. 已知 a ， b 是直线 l 上的向量，向量 a －3（ b ＋ a ）， b － a 的坐标
分别为－16，2，求｜ a －3 b ｜的值.
解：设 a ， b 的坐标分别是 x ， y .因为向量 a －3（ b ＋ a ）， b － a
的坐标分别为－16，2，所以解得所
以｜ a －3 b ｜＝10.
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10. 已知 M ， P ， N 三点在数轴上，且点 P 的坐标是5， ＝2 e ，
＝8 e ，则点 N 的坐标为（　　 ）
A. 11 B. －11
C. 3 D. －3
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解析： 　设点 M ， N 的坐标分别为 x1， x2，
因为点 P 的坐标是5， ＝2 e ， ＝8 e ，所以
解得故点 N 的坐标为11.
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11. 已知数轴上两点 A ， B ， A （1），且 A ， B 的中点坐标为－3，则
点 B 的坐标是 ，｜ ｜＝ .
解析：设 B （ x ），线段 AB 的中点坐标为： ＝－3，解得 x ＝
－7，则点 B 的坐标是－7，｜ ｜＝｜－7－1｜＝8.
－7　
8　
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12. 已知 a ， b ， c 是直线 l 上的向量，向量4 a －3 b ，3 a ＋ c 的坐标分
别为1，－3，且｜ a ＋ c ｜＝1，求 a ， b ， c 的坐标.
解：设 a ， b ， c 的坐标分别是 x ， y ， z .
因为向量4 a －3 b ，3 a ＋ c 的坐标分别为1，－3，且｜ a ＋
c ｜＝1，所以解得或
所以 a ， b ， c 的坐标分别是－2，－3，3或－1，－ ，0.
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13. 已知 A ， B ， C 三点在数轴上，且点 B 的坐标为3，｜ ｜＝
5，｜ ｜＝2，则点 C 的坐标为 .
解析：由题意，设 A ， C 的坐标分别为 xA ， xC ，则｜ ｜＝｜3
－ xA ｜＝5，∴ xA ＝－2或 xA ＝8，∴｜ ｜＝｜ xC － xA ｜＝2，
解得 xC ＝0或 xC ＝10或 xC ＝－4或 xC ＝6.
－4或0或6或10　
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14. 已知数轴上的点 A （－2）， B （ x ）， C （3）.
（1）若点 A 是线段 BC 的一个三等分点，求 x 的值；
解： 因为点 A 是线段 BC 的一个三等分点，所以 ＝3
或 ＝ .
因为 A （－2）， B （ x ）， C （3），
所以3－ x ＝3×[3－（－2）]或3－ x ＝ ×[3－（－2）].
所以 x ＝－12或 x ＝－ .
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（2）求｜ ｜＋｜ ｜的最小值.
解：因为｜ ｜＋｜ ｜≥｜ ＋ ｜＝｜ ｜＝
5，当且仅当 与 同向时取等号，
所以当 x ∈[－2，3]时，｜ ｜＋｜ ｜取得最小值5.
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