资源简介

6.2.3　平面向量的坐标及其运算
1.已知向量a＝（2，5），3a－4b＝（－6，7），则向量b＝（　　）
A.（3，－2）　　　　　B.（3，2）
C.（－3，2） D.（－3，－2）
2.若平面向量a与b同向，a＝（2，1），｜b｜＝2，则b＝（　　）
A.（4，2） B.（2，4）
C.（6，3） D.（4，2）或（2，4）
3.已知向量＝（7，6），＝（－3，m），＝（－1，2m），若A，C，D三点共线，则m＝（　　）
A. B.
C.－ D.－
4.设向量a＝（1，－3），b＝（－2，4），若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于（　　）
A.（1，－1） B.（－1，1）
C.（－4，6） D.（4，－6）
5.（多选）已知两点A（2，－1），B（3，1），则与平行，且方向相反的向量a可能是（　　）
A.a＝（－1，－2） B.a＝（9，3）
C.a＝（－1，2） D.a＝（－4，－8）
6.若a＝（1，1），b＝（－1，2），则与a＋b同方向的单位向量是　　　　.
7.在△ABC中，已知A（0，8），B（2，0），C（4，－2），M，N分别是AB，AC的中点，则的坐标是　　　　.
8.已知向量a＝（1，－1），b＝（0，2），c＝（λ，2），若∥c，则λ＝　　　　.
9.在平面内给定三个向量a＝（3，2），b＝（－1，2），c＝（4，1）.
（1）求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；
（2）若向量d满足（d－c）∥（a＋b），且｜d－c｜＝，求向量d的坐标.
10.已知向量a＝（2，x2），b＝（－1，y2－2），若a，b共线，则y的取值范围是（　　）
A.[－1，1] B.[－，]
C.[0，] D.[，＋∞）
11.已知向量＝（3，－4），＝（6，－3），＝（5－m，－3－m）.若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为　　　　.
12.在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），
（1）若＋＋＝0，求的坐标；
（2）若＝m＋n（m，n∈R），且点P在函数y＝x＋1的图象上，求m－n.
13.若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ（x，y∈R），则称（x，y）为向量γ在基底α，β下的坐标.现已知向量a在基底p＝（1，－1），q＝（2，1）下的坐标为（－2，2），则a在另一组基底m＝（－1，1），n＝（1，2）下的坐标为（　　）
A.（2，0） B.（0，－2）
C.（－2，0） D.（0，2）
14.已知向量u＝（x，y）和v＝（y，2y－x）的对应关系可用v＝f（u）表示.
（1）若a＝（1，1），b＝（1，0），试求向量f（a）及f（b）的坐标；
（2）求使f（c）＝（4，5）的向量c的坐标；
（3）对于任意向量a，b及常数λ，μ，证明：f（λa＋μb）＝λf（a）＋μf（b）恒成立.
6.2.3　平面向量的坐标及其运算
1.B　因为a＝（2，5），3a－4b＝（－6，7），所以b＝＝（12，8）＝（3，2）.故选B.
2.A　因为a，b同向，所以设b＝λa（λ＞0），则｜b｜＝λ·＝λ＝2 λ＝2，于是b＝（4，2）.故选A.
3.D　＝＋＝（4，m＋6），因为A，C，D三点共线，所以与共线，所以4×2m＝－（m＋6），解得m＝－.故选D.
4.D　因为4a，3b－2a，c对应有向线段首尾相接，所以4a＋3b－2a＋c＝0，故有c＝－2a－3b＝－2（1，－3）－3（－2，4）＝（4，－6）.
5.AD　由题意可得＝（3，1）－（2，－1）＝（1，2）.A选项，a＝（－1，－2）＝－，故满足题意；D选项，a＝（－4，－8）＝－4，故满足题意；B、C选项中的a不与平行.故选A、D.
6.（0，1）　解析：因为a＝（1，1），b＝（－1，2），所以a＋b＝（0，3），所以与a＋b同方向的单位向量是（0，1）.
7.（1，－1）　解析：设M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1＝＝1，y1＝＝4，x2＝＝2，y2＝＝3，即M（1，4），N（2，3），∴＝（2，3）－（1，4）＝（1，－1）.
8.2　解析：由题意，a＋b＝（1，1），因为∥c，所以1×2－λ×1＝0 λ＝2.
9.解：（1）由已知条件以及a＝mb＋nc，可得（3，2）＝m（－1，2）＋n（4，1）＝（－m＋4n，2m＋n）.
∴解得m＝，n＝.
（2）设向量d＝（x，y），d－c＝（x－4，y－1），a＋b＝（2，4）.
∵（d－c）∥（a＋b），｜d－c｜＝，
∴解得或
∴向量d的坐标为（3，－1）或（5，3）.
10.B　∵a＝（2，x2），b＝（－1，y2－2），且a，b共线，∴2（y2－2）－（－1）x2＝0，∴x2＝4－2y2≥0，整理得y2≤2，解得－≤y≤.∴y的取值范围是[－，].
11.m≠　解析：若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线.∵＝－＝（3，1），＝－＝（2－m，1－m），∴3（1－m）≠2－m，即m≠.
12.解：（1）设点P的坐标为（x，y），
因为＋＋＝0，
又＋＋＝（1－x，1－y）＋（2－x，3－y）＋（3－x，2－y）＝（6－3x，6－3y）.
所以解得
所以点P的坐标为（2，2），
故＝（2，2）.
（2）设点P的坐标为（x0，y0），
因为A（1，1），B（2，3），C（3，2），
所以＝（2，3）－（1，1）＝（1，2），
＝（3，2）－（1，1）＝（2，1），
因为＝m＋n，
所以（x0，y0）＝m（1，2）＋n（2，1）＝（m＋2n，2m＋n），所以
两式相减得m－n＝y0－x0，
又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，
所以y0－x0＝1，
所以m－n＝1.
13.D　∵a在基底p，q下的坐标为（－2，2），∴a＝－2p＋2q＝－2（1，－1）＋2（2，1）＝（2，4）.令a＝xm＋yn＝（－x＋y，x＋2y），∴解得
∴a在基底m，n下的坐标为（0，2）.
14.解：（1）由题意知，当a＝（1，1）时，f（a）＝（1，2×1－1）＝（1，1）.
当b＝（1，0）时，f（b）＝（0，2×0－1）＝（0，－1）.
（2）设c＝（x，y），则f（c）＝（y，2y－x）＝（4，5），
则解得∴c＝（3，4）.
（3）证明：设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），
则λa＋μb＝（λx1＋μx2，λy1＋μy2），
∴f（λa＋μb）＝（λy1＋μy2，2（λy1＋μy2）－（λx1＋μx2））.
又∵f（a）＝（y1，2y1－x1），f（b）＝（y2，2y2－x2），
∴λf（a）＋μf（b）＝λ（y1，2y1－x1）＋μ（y2，2y2－x2）＝（λy1＋μy2，2（λy1＋μy2）－（λx1＋μx2））＝f（λa＋μb）.
∴f（λa＋μb）＝λf（a）＋μf（b）恒成立.
2 / 26.2.3　平面向量的坐标及其运算
新课程标准解读 核心素养
1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 数学抽象、数据分析
2.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算 数学运算
3.会用坐标表示平面向量共线的条件，能用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题 数学运算、逻辑推理
通过上节课的学习我们知道，以单位向量e为基底建立数轴，则数轴上的向量坐标等于它的终点坐标.
【问题】　（1）类比数轴，平面直角坐标系的基底应满足什么条件？
（2）在直角坐标系中（如图），向量应怎样用基底表示？
（3）若点A的坐标为（x，y），则向量的坐标与（x，y）有什么关系？
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　平面向量的坐标及其运算
1.平面向量的坐标
（1）向量的垂直：平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，则称向量a与b垂直，记作　　　　.规定零向量与任意向量都垂直；
（2）向量的正交分解：如果平面向量的基底{e1，e2}中，　　　　，则称这组基底为正交基底，在　　　　下向量的分解称为向量的正交分解；
（3）向量的坐标：给定平面内两个相互垂直的　　　　　　e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称　　　　为向量a的坐标，记作a＝　　　　.
2.平面上向量的运算与坐标的关系
若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则
（1）a＋b＝　　　　　　；
（2）a－b＝　　　　　　；
（3）ua＋vb＝　　　　　　　　；
（4）ua－vb＝　　　　　　　　.
3.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式
（1）若a＝（x，y），则｜a｜＝　　　　　　；
（2）若A（x1，y1），B（x2，y2），则＝　　　　　　　　；线段AB的中点坐标为　　　　　　　；｜｜＝　　　　　　　.
4.向量平行的坐标表示
设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b 　　　　　　.
提醒　（1）正交分解是平面向量基本定理的特殊形式（基底垂直时）；（2）以坐标原点O为始点的向量坐标就是该向量的终点坐标，如果向量不是以坐标原点为始点，则向量坐标就跟终点坐标不同，而对同一向量或相等向量（向量坐标相同），若选择不同的始点坐标，则终点坐标也不同；（3）设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），当证明a∥b时，可利用x2y1＝x1y2进行证明，此种方法没有a≠0的条件限制，便于应用；也可用＝进行证明，即两向量的对应坐标成比例，特别注意x1，y1≠0的条件限制.
1.已知向量a＝（1，－4），b＝（2，3），则3a－2b的坐标为（　　）
A.（1，－18）　　　　B.（－1，－6）
C.（－1，－2） D.（－1，－18）
2.设向量a＝（1，x），b＝（x，9），若a∥b，则x＝（　　）
A.－3　　B.0　　C.3　　D.3或－3
3.已知点A（－3，－2），B（5，6），则线段AB的中点坐标为　　　　.
题型一 平面向量的坐标表示
【例1】　已知O是坐标原点，点A在第一象限，｜｜＝4，∠xOA＝60°.
（1）求向量的坐标；
（2）若B（，－1），求的坐标.
尝试解答
通性通法
求点和向量坐标的常用方法
（1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点为起点，所求点为终点的向量的坐标；
（2）在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.
【跟踪训练】
　已知＝（－2，4），则下列说法正确的是（　　）
A.A点的坐标是（－2，4）1 B.B点的坐标是（－2，4）
C.当B是原点时，A点的坐标是（－2，4） D.当A是原点时，B点的坐标是（－2，4）
题型二 平面向量的坐标运算
【例2】　（1）已知向量a，b的坐标分别是（－1，2），（3，－5），求a＋b，a－b，3a，2a＋3b的坐标；
（2）已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），且＝3，＝2，求M，N及的坐标.
尝试解答
通性通法
1.平面向量坐标运算的方法
（1）若已知向量的坐标，则直接利用向量和、差及数乘向量运算的坐标运算法则求解；
（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，再利用向量的坐标运算法则求解.
2.坐标形式下向量相等的条件及其应用
（1）条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量；
（2）应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可求某些参数的值.
【跟踪训练】
1.已知在平行四边形ABCD中，＝（2，6），＝（－4，4），对角线AC与BD相交于点M，＝（　　）
A.（－2，－5）　　　　B.（－1，－5）
C.（2，－5） D.（－1，5）
2.已知向量a＝（－3，4），＝2a，点A的坐标为（3，－4），则点B的坐标为　　　　.
题型三 向量坐标运算中的参数求解
【例3】　（1）已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10）.若＝＋λ（λ∈R），试求λ为何值时，
①点P在一、三象限角平分线上？
②点P在第三象限内？
（2）已知向量a＝（1，2），b＝（λ，1），若（a＋2b）∥（2a－2b），求λ的值.
尝试解答
通性通法
1.利用向量共线的条件处理求值问题的思路
（1）利用共线向量定理a＝λb（b≠0）列方程组求解；
（2）利用向量平行的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解.
2.三点共线问题的处理方法
三点共线问题的实质是向量共线问题，只要利用三点构造出两个向量，再使用向量共线的条件解决即可.
【跟踪训练】
1.已知＝（－1，3），＝（2，－2），＝（a＋1，2a），若B，C，D三点共线，则实数a的值为（　　）
A.－2 B.
C.－ D.－
2.已知向量a＝（1，k），b＝（k＋1，2），若a与b共线，则实数k＝　　　　.
1.设平面向量a＝（3，5），b＝（－2，1），则a－2b＝（　　）
A.（7，3） B.（7，7）
C.（1，7） D.（1，3）
2.若向量＝（1，2），＝（3，4），则＝（　　 ）
A.（4，6） B.（－4，－6）
C.（－2，－2） D.（2，2）
3.已知点A（1，1），B（4，2）和向量a＝（2，λ），若a∥，则实数λ的值为（　　）
A.－ B.
C. D.－
4.（多选）在下列各组向量中，不能作为基底的是（　　）
A.e1＝（0，0），e2＝（1，－2）
B.e1＝（－1，2），e2＝（5，7）
C.e1＝（3，5），e2＝（6，10）
D.e1＝（2，－3），e2＝（3，2）
5.已知a＝（－3，0），b＝（3，4），则｜2a＋b｜＝　　　　.
6.2.3　平面向量的坐标及其运算
【基础知识·重落实】
知识点
1.（1）a⊥b　（2）e1⊥e2　正交基底　（3）单位向量　（x，y）
（x，y）　2.（1）（x1＋x2，y1＋y2）　（2）（x1－x2，y1－y2）　（3）（ux1＋vx2，uy1＋vy2）　（4）（ux1－vx2，uy1－vy2）
3.（1）　（2）（x2－x1，y2－y1）　　　4.x2y1＝x1y2
自我诊断
1.D　由已知可得3a－2b＝3（1，－4）－2（2，3）＝（－1，－18）.故选D.
2.D　由题设，有x2－9＝0，可得x＝±3.故选D.
3.（1，2）　解析：因为A（－3，－2），B（5，6），所以线段AB的中点坐标为（1，2）.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）设点A（x，y），则x＝4cos 60°＝2，
y＝4sin 60°＝6，即A（2，6），＝（2，6）.
（2）＝（2，6）－（，－1）＝（，7）.
跟踪训练
　D　由题意，向量＝（－2，4）与终点、始点的坐标差有关，所以A点的坐标不一定是（－2，4），故A错误；同理B点的坐标不一定是（－2，4），故B错误；当B是原点时，A点的坐标是（2，－4），故C错误；当A是原点时，B点的坐标是（－2，4），故D正确.
【例2】　解：（1）a＋b＝（－1，2）＋（3，－5）＝（2，－3），
a－b＝（－1，2）－（3，－5）＝（－4，7），
3a＝3（－1，2）＝（－3，6），
2a＋3b＝2（－1，2）＋3（3，－5）
＝（－2，4）＋（9，－15）＝（7，－11）.
（2）法一　由A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），
可得＝（－2，4）－（－3，－4）＝（1，8），
＝（3，－1）－（－3，－4）＝（6，3），
所以＝3＝3（1，8）＝（3，24），
＝2＝2（6，3）＝（12，6）.
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则＝（x1＋3，y1＋4）＝（3，24），x1＝0，y1＝20；
＝（x2＋3，y2＋4）＝（12，6），x2＝9，y2＝2，
所以M（0，20），N（9，2），
＝（9，2）－（0，20）＝（9，－18）.
法二　设点O为坐标原点，
则由＝3，＝2，
可得－＝3（－），
－＝2（－），
从而＝3－2，
＝2－，
所以＝3（－2，4）－2（－3，－4）＝（0，20），
＝2（3，－1）－（－3，－4）＝（9，2），
即点M（0，20），N（9，2），
故＝（9，2）－（0，20）＝（9，－18）.
跟踪训练
1.D　由题设，＝（＋）＝（－1，5）.故选D.
2.（－3，4）　解析：设点B（x，y），因为＝2a，则（x－3，y＋4）＝（－6，8），解得x＝－3，y＝4.故点B（－3，4）.
【例3】　解：（1）设点P的坐标为（x，y），
则＝（x，y）－（2，3）＝（x－2，y－3），
＋λ＝[（5，4）－（2，3）]＋λ[（7，10）－（2，3）]
＝（3，1）＋λ（5，7）＝（3＋5λ，1＋7λ）.
∵＝＋λ，∴则
①若P在一、三象限角平分线上，
则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝，
即λ＝时，点P在一、三象限角平分线上.
②若点P在第三象限内，则∴λ＜－1.
即λ＜－1时，点P在第三象限内.
（2）a＋2b＝（1，2）＋2（λ，1）＝（1＋2λ，4），2a－2b＝2（1，2）－2（λ，1）＝（2－2λ，2），
由（a＋2b）∥（2a－2b），可得2（1＋2λ）－4（2－2λ）＝0，
解得λ＝.
跟踪训练
1.D　根据题意，已知＝（－1，3），＝（2，－2），则＝－＝（3，－5），若B，C，D三点共线，则∥，则有3×2a＝（－5）×（a＋1），解得a＝－，故选D.
2.1或－2　解析：因为a与b共线，k（k＋1）－2＝0，解得k＝1或k＝－2.
随堂检测
1.A　∵2b＝2（－2，1）＝（－4，2），
∴a－2b＝（3，5）－（－4，2）＝（7，3）.
2.A　＝＋＝（1，2）＋（3，4）＝（4，6）.
3.C　根据A，B两点的坐标，可得＝（3，1），∵a∥，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝，故选C.
4.AC　对A，e1∥e2，不能作为基底；对B，－1×7－2×5≠0，e1与e2不平行，可以作为基底；对C，e2＝2e1，e1∥e2，不能作为基底；对D，2×2＋3×3≠0，e1与e2不平行，可以作为基底.故选A、C.
5.5　解析：2a＋b＝（－3，4），则｜2a＋b｜＝＝5.
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6.2.3　
平面向量的坐标及其运算
新课程标准解读 核心素养
1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 数学抽象、
数据分析
2.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量
运算 数学运算
3.会用坐标表示平面向量共线的条件，能用向
量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行
及点共线等问题 数学运算、
逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　通过上节课的学习我们知道，以单位向量 e 为基底建立数轴，则
数轴上的向量坐标等于它的终点坐标.
【问题】　（1）类比数轴，平面直角坐标系的基底应满足什么条
件？
（2）在直角坐标系中（如图），向量 应怎样用基底表示？
（3）若点 A 的坐标为（ x ， y ），则向量 的坐标与（ x ， y ）有什
么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　
知识点　平面向量的坐标及其运算
1. 平面向量的坐标
（1）向量的垂直：平面上的两个非零向量 a 与 b ，如果它们所在的
直线互相垂直，则称向量 a 与 b 垂直，记作 .规定零
向量与任意向量都垂直；
（2）向量的正交分解：如果平面向量的基底{ e1， e2}中，
，则称这组基底为正交基底，在 下向量的
分解称为向量的正交分解；
a ⊥ b 　
e1⊥
e2　
正交基底　
（3）向量的坐标：给定平面内两个相互垂直的 e1，
e2，对于平面内的向量 a ，如果 a ＝ xe1＋ ye2，则称
为向量 a 的坐标，记作 a ＝ .
单位向量　
（ x ，
y ）　
（ x ， y ）　
2. 平面上向量的运算与坐标的关系
若 a ＝（ x1， y1）， b ＝（ x2， y2），则
（1） a ＋ b ＝ ；
（2） a － b ＝ ；
（3） ua ＋ vb ＝ ；
（4） ua － vb ＝ .
（ x1＋ x2， y1＋ y2）　
（ x1－ x2， y1－ y2）　
（ ux1＋ vx2， uy1＋ vy2）　
（ ux1－ vx2， uy1－ vy2）　
3. 平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式
（1）若 a ＝（ x ， y ），则｜ a ｜＝ ；
（2）若 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 ＝
；线段 AB 的中点坐标为 ；｜
｜＝ .
4. 向量平行的坐标表示
设向量 a ＝（ x1， y1）， b ＝（ x2， y2），则 a ∥ b
.
　
（ x2－ x1， y2－
y1）　
　
　
x2 y1＝ x1
y2　
提醒　（1）正交分解是平面向量基本定理的特殊形式（基底垂直
时）；（2）以坐标原点 O 为始点的向量坐标就是该向量的终点坐
标，如果向量不是以坐标原点为始点，则向量坐标就跟终点坐标不
同，而对同一向量或相等向量（向量坐标相同），若选择不同的始点
坐标，则终点坐标也不同；（3）设 a ＝（ x1， y1）， b ＝（ x2，
y2），当证明 a ∥ b 时，可利用 x2 y1＝ x1 y2进行证明，此种方法没有 a
≠0的条件限制，便于应用；也可用 ＝ 进行证明，即两向量的对
应坐标成比例，特别注意 x1， y1≠0的条件限制.
1. 已知向量 a ＝（1，－4）， b ＝（2，3），则3 a －2 b 的坐标为
（　　）
A. （1，－18） B. （－1，－6）
C. （－1，－2） D. （－1，－18）
解析： 　由已知可得3 a －2 b ＝3（1，－4）－2（2，3）＝（－
1，－18）.故选D.
2. 设向量 a ＝（1， x ）， b ＝（ x ，9），若 a ∥ b ，则 x ＝（　　）
A. －3 B. 0
C. 3 D. 3或－3
解析： 　由题设，有 x2－9＝0，可得 x ＝±3.故选D.
3. 已知点 A （－3，－2）， B （5，6），则线段 AB 的中点坐标
为 .
解析：因为 A （－3，－2）， B （5，6），所以线段 AB 的中点坐
标为（1，2）.
（1，2）　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 平面向量的坐标表示
【例1】　已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，｜ ｜＝4 ，∠
xOA ＝60°.
（1）求向量 的坐标；
解： 设点 A （ x ， y ），则 x ＝4 cos 60°＝2 ，
y ＝4 sin 60°＝6，即 A （2 ，6）， ＝（2 ，6）.
（2）若 B （ ，－1），求 的坐标.
解： ＝（2 ，6）－（ ，－1）＝（ ，7）.
通性通法
求点和向量坐标的常用方法
（1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点为起点，
所求点为终点的向量的坐标；
（2）在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐
标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.
【跟踪训练】
　已知 ＝（－2，4），则下列说法正确的是（　　）
A. A 点的坐标是（－2，4）
B. B 点的坐标是（－2，4）
C. 当 B 是原点时， A 点的坐标是（－2，4）
D. 当 A 是原点时， B 点的坐标是（－2，4）
解析： 　由题意，向量 ＝（－2，4）与终点、始点的坐标差有
关，所以 A 点的坐标不一定是（－2，4），故A错误；同理 B 点的坐
标不一定是（－2，4），故B错误；当 B 是原点时， A 点的坐标是
（2，－4），故C错误；当 A 是原点时， B 点的坐标是（－2，4），
故D正确.
题型二 平面向量的坐标运算
【例2】　（1）已知向量 a ， b 的坐标分别是（－1，2），（3，－
5），求 a ＋ b ， a － b ，3 a ，2 a ＋3 b 的坐标；
解： a ＋ b ＝（－1，2）＋（3，－5）＝（2，－3），
a － b ＝（－1，2）－（3，－5）＝（－4，7），
3 a ＝3（－1，2）＝（－3，6），
2 a ＋3 b ＝2（－1，2）＋3（3，－5）
＝（－2，4）＋（9，－15）＝（7，－11）.
（2）已知 A （－2，4）， B （3，－1）， C （－3，－4），且 ＝
3 ， ＝2 ，求 M ， N 及 的坐标.
解：法一　由 A （－2，4）， B （3，－1）， C （－3，－4），
可得 ＝（－2，4）－（－3，－4）＝（1，8），
＝（3，－1）－（－3，－4）＝（6，3），
所以 ＝3 ＝3（1，8）＝（3，24），
＝2 ＝2（6，3）＝（12，6）.
设 M （ x1， y1）， N （ x2， y2），
则 ＝（ x1＋3， y1＋4）＝（3，24）， x1＝0， y1＝20；
＝（ x2＋3， y2＋4）＝（12，6）， x2＝9， y2＝2，
所以 M （0，20）， N （9，2），
＝（9，2）－（0，20）＝（9，－18）.
法二　设点 O 为坐标原点，
则由 ＝3 ， ＝2 ，
可得 － ＝3（ － ），
－ ＝2（ － ），
从而 ＝3 －2 ， ＝2 － ，
所以 ＝3（－2，4）－2（－3，－4）＝（0，20），
＝2（3，－1）－（－3，－4）＝（9，2），
即点 M （0，20）， N （9，2），
故 ＝（9，2）－（0，20）＝（9，－18）.
通性通法
1. 平面向量坐标运算的方法
（1）若已知向量的坐标，则直接利用向量和、差及数乘向量运算
的坐标运算法则求解；
（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，再
利用向量的坐标运算法则求解.
2. 坐标形式下向量相等的条件及其应用
（1）条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相
等向量；
（2）应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关
系，由此可求某些参数的值.
【跟踪训练】
1. 已知在平行四边形 ABCD 中， ＝（2，6）， ＝（－4，4），
对角线 AC 与 BD 相交于点 M ， ＝（　　）
A. （－2，－5） B. （－1，－5）
C. （2，－5） D. （－1，5）
解析： 　由题设， ＝ （ ＋ ）＝（－1，5）.故选D.
2. 已知向量 a ＝（－3，4）， ＝2 a ，点 A 的坐标为（3，－4），
则点 B 的坐标为 .
解析：设点 B （ x ， y ），因为 ＝2 a ，则（ x －3， y ＋4）＝
（－6，8），解得 x ＝－3， y ＝4.故点 B （－3，4）.
（－3，4）　
题型三 向量坐标运算中的参数求解
【例3】　（1）已知点 A （2，3）， B （5，4）， C （7，10）.若
＝ ＋λ （λ∈R），试求λ为何值时，
①点 P 在一、三象限角平分线上？
②点 P 在第三象限内？
解： 设点 P 的坐标为（ x ， y ），
则 ＝（ x ， y ）－（2，3）＝（ x －2， y －3），
＋λ ＝[（5，4）－（2，3）]＋λ[（7，10）－（2，3）]
＝（3，1）＋λ（5，7）＝（3＋5λ，1＋7λ）.
∵ ＝ ＋λ ，∴则
①若 P 在一、三象限角平分线上，
则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝ ，
即λ＝ 时，点 P 在一、三象限角平分线上.
②若点 P 在第三象限内，则∴λ＜－1.
即λ＜－1时，点 P 在第三象限内.
（2）已知向量 a ＝（1，2）， b ＝（λ，1），若（ a ＋2 b ）∥（2 a
－2 b ），求λ的值.
解： a ＋2 b ＝（1，2）＋2（λ，1）＝（1＋2λ，4），2
a －2 b ＝2（1，2）－2（λ，1）＝（2－2λ，2），
由（ a ＋2 b ）∥（2 a －2 b ），可得2（1＋2λ）－4（2－2λ）
＝0，解得λ＝ .
通性通法
1. 利用向量共线的条件处理求值问题的思路
（1）利用共线向量定理 a ＝λ b （ b ≠0）列方程组求解；
（2）利用向量平行的坐标表达式 x1 y2－ x2 y1＝0直接求解.
2. 三点共线问题的处理方法
三点共线问题的实质是向量共线问题，只要利用三点构造出两个向
量，再使用向量共线的条件解决即可.
【跟踪训练】
1. 已知 ＝（－1，3）， ＝（2，－2）， ＝（ a ＋1，2
a ），若 B ， C ， D 三点共线，则实数 a 的值为（　　）
A. －2 B. C. － D. －
解析： 　根据题意，已知 ＝（－1，3）， ＝（2，－2），
则 ＝ － ＝（3，－5），若 B ， C ， D 三点共线，则 ∥
，则有3×2 a ＝（－5）×（ a ＋1），解得 a ＝－ ，故选D.
2. 已知向量 a ＝（1， k ）， b ＝（ k ＋1，2），若 a 与 b 共线，则实数
k ＝ .
解析：因为 a 与 b 共线， k （ k ＋1）－2＝0，解得 k ＝1或 k ＝－2.
1或－2　
1. 设平面向量 a ＝（3，5）， b ＝（－2，1），则 a －2 b ＝（　　）
A. （7，3） B. （7，7）
C. （1，7） D. （1，3）
解析： 　∵2 b ＝2（－2，1）＝（－4，2），∴ a －2 b ＝（3，
5）－（－4，2）＝（7，3）.
2. 若向量 ＝（1，2）， ＝（3，4），则 ＝（　　 ）
A. （4，6） B. （－4，－6）
C. （－2，－2） D. （2，2）
解析： 　 ＝ ＋ ＝（1，2）＋（3，4）＝（4，6）.
3. 已知点 A （1，1）， B （4，2）和向量 a ＝（2，λ），若 a ∥
，则实数λ的值为（　　）
A. － B.
C. D. －
解析： 　根据 A ， B 两点的坐标，可得 ＝（3，1），∵ a ∥
，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝ ，故选C.
4. （多选）在下列各组向量中，不能作为基底的是（　　）
A. e1＝（0，0）， e2＝（1，－2）
B. e1＝（－1，2）， e2＝（5，7）
C. e1＝（3，5）， e2＝（6，10）
D. e1＝（2，－3）， e2＝（3，2）
解析： 　对A， e1∥ e2，不能作为基底；对B，－1×7－
2×5≠0， e1与 e2不平行，可以作为基底；对C， e2＝2 e1， e1∥
e2，不能作为基底；对D，2×2＋3×3≠0， e1与 e2不平行，可以作
为基底.故选A、C.
5. 已知 a ＝（－3，0）， b ＝（3，4），则｜2 a ＋ b ｜＝ .
解析：2 a ＋ b ＝（－3，4），则｜2 a ＋ b ｜＝ ＝5.
5　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知向量 a ＝（2，5），3 a －4 b ＝（－6，7），则向量 b ＝
（　　）
A. （3，－2） B. （3，2）
C. （－3，2） D. （－3，－2）
解析： 　因为 a ＝（2，5），3 a －4 b ＝（－6，7），所以 b ＝
＝ （12，8）＝（3，2）.故选B.
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2. 若平面向量 a 与 b 同向， a ＝（2，1），｜ b ｜＝2 ，则 b ＝
（　　）
A. （4，2） B. （2，4）
C. （6，3） D. （4，2）或（2，4）
解析： 　因为 a ， b 同向，所以设 b ＝λ a （λ＞0），则｜ b ｜＝
λ· ＝ λ＝2 λ＝2，于是 b ＝（4，2）.故选A.
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3. 已知向量 ＝（7，6）， ＝（－3， m ）， ＝（－1，2
m ），若 A ， C ， D 三点共线，则 m ＝（　　）
A. B.
C. － D. －
解析： 　 ＝ ＋ ＝（4， m ＋6），因为 A ， C ， D 三点
共线，所以 与 共线，所以4×2 m ＝－（ m ＋6），解得 m ＝
－ .故选D.
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4. 设向量 a ＝（1，－3）， b ＝（－2，4），若表示向量4 a ，3 b －2
a ， c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量 c 等于（　　 ）
A. （1，－1） B. （－1，1）
C. （－4，6） D. （4，－6）
解析： 　因为4 a ，3 b －2 a ， c 对应有向线段首尾相接，所以4 a
＋3 b －2 a ＋ c ＝0，故有 c ＝－2 a －3 b ＝－2（1，－3）－3（－
2，4）＝（4，－6）.
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5. （多选）已知两点 A （2，－1）， B （3，1），则与 平行，且
方向相反的向量 a 可能是（　　）
A. a ＝（－1，－2） B. a ＝（9，3）
C. a ＝（－1，2） D. a ＝（－4，－8）
解析： 　由题意可得 ＝（3，1）－（2，－1）＝（1，
2）.A选项， a ＝（－1，－2）＝－ ，故满足题意；D选项， a
＝（－4，－8）＝－4 ，故满足题意；B、C选项中的 a 不与
平行.故选A、D.
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6. 若 a ＝（1，1）， b ＝（－1，2），则与 a ＋ b 同方向的单位向量
是 .
解析：因为 a ＝（1，1）， b ＝（－1，2），所以 a ＋ b ＝（0，
3），所以与 a ＋ b 同方向的单位向量是（0，1）.
（0，1）　
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7. 在△ ABC 中，已知 A （0，8）， B （2，0）， C （4，－2）， M ，
N 分别是 AB ， AC 的中点，则 的坐标是 .
解析：设 M ， N 的坐标分别为（ x1， y1），（ x2， y2），则 x1＝
＝1， y1＝ ＝4， x2＝ ＝2， y2＝ ＝3，即 M （1，4）， N
（2，3），∴ ＝（2，3）－（1，4）＝（1，－1）.
（1，－1）　
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8. 已知向量 a ＝（1，－1）， b ＝（0，2）， c ＝（λ，2），若
∥ c ，则λ＝ .
解析：由题意， a ＋ b ＝（1，1），因为 ∥ c ，所以1×2－
λ×1＝0 λ＝2.
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9. 在平面内给定三个向量 a ＝（3，2）， b ＝（－1，2）， c ＝（4，
1）.
（1）求满足 a ＝ mb ＋ nc 的实数 m ， n 的值；
解： 由已知条件以及 a ＝ mb ＋ nc ，可得（3，2）＝ m
（－1，2）＋ n （4，1）＝（－ m ＋4 n ，2 m ＋ n ）.
∴解得 m ＝ ， n ＝ .
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（2）若向量 d 满足（ d － c ）∥（ a ＋ b ），且｜ d － c ｜＝ ，
求向量 d 的坐标.
解： 设向量 d ＝（ x ， y ）， d － c ＝（ x －4， y －1），
a ＋ b ＝（2，4）.
∵（ d － c ）∥（ a ＋ b ），｜ d － c ｜＝ ，
∴解得或
∴向量 d 的坐标为（3，－1）或（5，3）.
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10. 已知向量 a ＝（2， x2）， b ＝（－1， y2－2），若 a ， b 共线，则
y 的取值范围是（　　 ）
A. [－1，1] B. [－ ， ]
C. [0， ] D. [ ，＋∞）
解析： 　∵ a ＝（2， x2）， b ＝（－1， y2－2），且 a ， b 共
线，∴2（ y2－2）－（－1） x2＝0，∴ x2＝4－2 y2≥0，整理得
y2≤2，解得－ ≤ y ≤ .∴ y 的取值范围是[－ ， ].
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11. 已知向量 ＝（3，－4）， ＝（6，－3）， ＝（5－ m ，
－3－ m ）.若点 A ， B ， C 能构成三角形，则实数 m 应满足的条
件为 .
解析：若点 A ， B ， C 能构成三角形，则这三点不共线，即 与
不共线.∵ ＝ － ＝（3，1）， ＝ － ＝（2
－ m ，1－ m ），∴3（1－ m ）≠2－ m ，即 m ≠ .
m ≠ 　
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12. 在直角坐标系 xOy 中，已知点 A （1，1）， B （2，3）， C （3，2），
（1）若 ＋ ＋ ＝0，求 的坐标；
解： 设点 P 的坐标为（ x ， y ），因为 ＋ ＋ ＝0，
又 ＋ ＋ ＝（1－ x ，1－ y ）＋（2－ x ，3－ y ）＋
（3－ x ，2－ y ）＝（6－3 x ，6－3 y ）.
所以解得
所以点 P 的坐标为（2，2），故 ＝（2，2）.
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（2）若 ＝ m ＋ n （ m ， n ∈R），且点 P 在函数 y ＝ x ＋
1的图象上，求 m － n .
解： 设点 P 的坐标为（ x0， y0），
因为 A （1，1）， B （2，3）， C （3，2），
所以 ＝（2，3）－（1，1）＝（1，2），
＝（3，2）－（1，1）＝（2，1），
因为 ＝ m ＋ n ，
所以（ x0， y0）＝ m （1，2）＋ n （2，1）＝（ m ＋2 n ，2
m ＋ n ），所以两式相减得 m － n ＝ y0－ x0，
又因为点 P 在函数 y ＝ x ＋1的图象上，
所以 y0－ x0＝1，所以 m － n ＝1.
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13. 若α，β是一组基底，向量γ＝ x α＋ y β（ x ， y ∈R），则称
（ x ， y ）为向量γ在基底α，β下的坐标.现已知向量 a 在基底 p
＝（1，－1）， q ＝（2，1）下的坐标为（－2，2），则 a 在另一
组基底 m ＝（－1，1）， n ＝（1，2）下的坐标为（　　）
A. （2，0） B. （0，－2）
C. （－2，0） D. （0，2）
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解析： 　∵ a 在基底 p ， q 下的坐标为（－2，2），∴ a ＝－2 p
＋2 q ＝－2（1，－1）＋2（2，1）＝（2，4）.令 a ＝ xm ＋ yn ＝
（－ x ＋ y ， x ＋2 y ），∴解得
∴ a 在基底 m ， n 下的坐标为（0，2）.
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14. 已知向量 u ＝（ x ， y ）和 v ＝（ y ，2 y － x ）的对应关系可用 v ＝
f （ u ）表示.
（1）若 a ＝（1，1）， b ＝（1，0），试求向量 f （ a ）及 f
（ b ）的坐标；
解： 由题意知，当 a ＝（1，1）时， f （ a ）＝（1，
2×1－1）＝（1，1）.
当 b ＝（1，0）时， f （ b ）＝（0，2×0－1）＝（0，－1）.
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（2）求使 f （ c ）＝（4，5）的向量 c 的坐标；
解： 设 c ＝（ x ， y ），则 f （ c ）＝（ y ，2 y － x ）＝
（4，5），
则解得∴ c ＝（3，4）.
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（3）对于任意向量 a ， b 及常数λ，μ，证明： f （λ a ＋μ b ）
＝λ f （ a ）＋μ f （ b ）恒成立.
解： 证明：设 a ＝（ x1， y1）， b ＝（ x2， y2），
则λ a ＋μ b ＝（λ x1＋μ x2，λ y1＋μ y2），
∴ f （λ a ＋μ b ）＝（λ y1＋μ y2，2（λ y1＋μ y2）－
（λ x1＋μ x2））.
又∵ f （ a ）＝（ y1，2 y1－ x1）， f （ b ）＝（ y2，2 y2－ x2），
∴λ f （ a ）＋μ f （ b ）＝λ（ y1，2 y1－ x1）＋μ（ y2，2
y2－ x2）＝（λ y1＋μ y2，2（λ y1＋μ y2）－（λ x1＋μ
x2））＝ f （λ a ＋μ b ）.
∴ f （λ a ＋μ b ）＝λ f （ a ）＋μ f （ b ）恒成立.
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