资源简介 6.3 平面向量线性运算的应用1.作用在同一物体上的两个力｜F1｜＝5 N，｜F2｜＝4 N，它们的合力不可能是（ ）A.2 N B.5 NC.9 N D.10 N2.已知点A（2，3），B（－2，6），C（6，6），D（10，3），则以A，B，C，D为顶点的四边形是（ ）A.梯形B.邻边不相等的平行四边形C.菱形D.两组对边均不平行的四边形3.O是平面内的一个定点，A，B，C是平面内不共线的三个点，动点P满足＝＋λ（＋），λ∈（0，＋∞），则动点P的轨迹一定经过△ABC的（ ）A.重心 B.垂心C.外心 D.内心4.过△ABC内部一点M任作一条直线EF，AD⊥EF于D，BE⊥EF于E，CF⊥EF于F，都有＋＋＝0，则点M是△ABC的（ ）A.三条高的交点B.三条中线的交点C.三边中垂线的交点D.三个内角平分线的交点5.（多选）在水流速度为4 km/h的河水中，一艘船以12 km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（ ）A.这艘船航行速度的大小为12 km/hB.这艘船航行速度的大小为8 km/hC.这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为150°D.这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为120°6.设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为 .7.两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为 N.8.如图所示，在四边形ABCD中，已知A（2，6），B（6，4），C（5，0），D（1，0），则直线AC与BD交点P的坐标为 .9.已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，求｜＋3｜的最小值.10.（多选）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半”这就是著名的欧拉线定理.设△ABC中，点O、H、G分别是外心、垂心、重心，下列四个选项中结论正确的是（ ）A.＝2B.＋＋＝0C.设BC边中点为D，则有＝3D.＝＝11.设P为△ABC所在平面上一点，且满足＋2＝m（m＞0），若△ABP的面积为2，则△ABC面积为 .12.如图，在△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点.若＝x，＝y，试问：＋是否为定值？13.如图，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域（不含边界）内运动，且＝x＋y，则x的取值范围是 .当x＝－时，y的取值范围是 .14.如图，已知△ABC的面积为14，D，E分别为边AB，BC上的点，AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，且AE与CD交于点P，求△APC的面积.6.3 平面向量线性运算的应用1.D 当F1，F2共线且同向时合力最大，最大值为5 N＋4 N＝9 N.故选D.2.B 因为＝（8，0），＝（8，0），所以＝，因为＝（4，－3），所以｜｜＝5，而｜｜＝8，故四边形ABCD为邻边不相等的平行四边形.故选B.3.A 由＝＋λ（＋），λ∈（0，＋∞），得＝λ（＋），设BC的中点为D，则＝2λ，又AP与AD有公共点A，所以与共线，即点P在边BC的中线上，所以点P的轨迹通过△ABC的重心.4.B 当直线EF经过C点时，＋＋＝0，即为＋＝0，于是｜｜＝｜｜，EF是AB边上的中线；同理，当EF经过A点时，EF是BC边上的中线；当EF经过B点时，EF是AC边上的中线；因此，点M是△ABC的三条中线的交点，故选B.5.BD 设船的实际航行速度为v1，水流速度为v2，船的航行速度为v3，根据向量的平行四边形法则可知：｜v3｜＝＝8 km/h，所以v3＝2v2，所以∠BOC＝30°，∠BOA＝120°，故选B、D.6.1∶2 解析：设D为AC的中点，如图所示，连接OD，则＋＝2.又＋＝－2，所以＝－，即O为线段BD的中点，即△AOB与△AOC的面积之比为1∶2.7.10 解析：｜F1｜＝｜F2｜＝｜F｜cos 45°＝10，当θ＝120°时，由平行四边形法则知｜F合｜＝｜F1｜＝｜F2｜＝10 N.8. 解析：设P（x，y），则＝（x－1，y），＝（5，4），＝（－3，6），＝（4，0）.由B，P，D三点共线可得＝λ＝（5λ，4λ）.又∵＝－＝（5λ－4，4λ），由于与共线得，（5λ－4）×6＋12λ＝0.解得λ＝，∴＝＝，∴P的坐标为.9.解：建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝h，则A（2，0），B（1，h），设P（0，y）（0≤y≤h），则＝（2，－y），＝（1，h－y），∴＋3＝（5，3h－4y），∴｜＋3｜＝≥＝5，当且仅当y＝h时，等号成立，故｜＋3｜的最小值为5.10.AB 如图，A.由题得＝2，OD⊥BC，AH⊥BC，∴OD∥AH，∴＝2，∴该选项正确；B.＋＝2＝－，∴＋＋＝0，∴该选项正确；C.∵D为BC中点，G为△ABC的重心，∴＝2，GH＝2OG，∠AGH＝∠DGO，∴△AGH∽△DGO，∴＝2，故C选项错误；D.向量，，的模相等，方向不同，故D选项错误.故选A、B.11.3 解析：因为＋2＝m（m＞0），所以＋＝（m＞0），令＝＋，则－＝－，所以＝，所以D为AC上靠近C的三等分点，因为＝，所以∥，所以S△ABP＝S△ABD＝S△ABC＝2，所以S△ABC＝3.12.解：设＝a，＝b，则＝xa，＝yb，＝＝（＋）＝（a＋b），∴＝－＝（a＋b）－xa＝a＋b，＝－＝yb－xa＝－xa＋yb.∵与共线，∴存在实数λ，使＝λ，∴a＋b＝λ（－xa＋yb）＝－λxa＋λyb.∵a与b不共线，∴消去λ得＋＝4，∴＋为定值.13.（－∞，0） 解析：∵OM∥AB，∴＝n＋m（m＞0，n＞0）.又∵＝－，∴＝n＋m（－）＝－m＋（m＋n）.∵＝x＋y，∴x＝－m＜0，即x∈（－∞，0），y＝m＋n.由图形可知，0＜n＜1，∴当x＝－，即m＝时，＜m＋n＜，即y∈.14.解：设＝a，＝b为一组基底，则＝a＋b，＝a＋b.∵点A，P，E共线且D，P，C共线，∴存在λ和μ，使＝λ＝λa＋λb，＝μ＝μa＋μb.又＝＋＝a＋μb.∴即连接BP（图略），则S△PAB＝S△ABC＝14×＝8，S△PBC＝14×＝2，∴S△APC＝14－8－2＝4.2 / 26.3 平面向量线性运算的应用新课程标准解读 核心素养会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他的实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用 数学建模、数学运算、直观想象题型一 向量在平面几何中的应用角度1 解决与平行相关的问题【例1】 如图，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：（1）DE∥BC；（2）D，M，B三点共线.尝试解答角度2 求线段长度或证明线段相等问题【例2】 如图，在 ABCD中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论.尝试解答角度3 求参数值问题【例3】 如图，在△AOB中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.（1）试用a，b表示向量；（2）在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使得EF过点M，设＝λ，＝μ，求λ＋μ的最小值.尝试解答通性通法用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系；（3）把运算结果“翻译”成几何关系.【跟踪训练】1.若E，F，G，H分别是平面四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.（1）求的值；（2）证明：四边形EFGH为平行四边形.2.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，求m＋n的值.题型二 向量在物理中的应用角度1 解决速度、加速度及位移问题【例4】 某人在静水中游泳的速度为4 km/h.（1）如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？（2）他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进（求出其与河岸夹角的余弦值即可）？他实际前进的速度大小为多少？尝试解答角度2 解决力的合成与分解问题【例5】 一物体受到两个大小均为60 N的力的作用，两力的夹角为60°且有一力方向水平，求合力的大小及方向.尝试解答通性通法1.用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系.2.速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则.【跟踪训练】1.已知三个力F1＝（－2，－1），F2＝（－3，2），F3＝（7，－3）同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4＝（ ）A.（－2，－2） B.（2，－2）C.（－1，2） D.（－2，2）2.坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝（1，2）从点A（4，6）处移动到点B（7，12）处，其所用时间为 .平面向量线性运算的实例探究2019青少年OP帆船国际城市联赛暨摩纳哥OP级帆船赛中国赛在三亚鸿洲国际游艇港正式开幕，来自厦门、福州、深圳、广州、苏州、南通、海口、琼海、三亚等地约50位分站赛脱颖而出的小选手将在三亚总决赛中争夺前往摩纳哥的入场券. OP帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动比赛，如果某帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.【问题探究】（1）若不考虑其他因素，求该帆船的速度大小；（2）求该帆船的方向；（3）某地南北两岸平行，一艘帆船从南岸码头A出发航行到北岸，假设帆船在静水中的航行速度v1的大小为｜v1｜＝10 km/h，水流的速度v2的大小为｜v2｜＝4 km/h.设v1和v2的夹角为θ（0°＜θ＜180°），北岸的点A'在A的正北方向，帆船正好到达A'处时，求cos θ的值.提示：（1）建立如图所示的平面直角坐标系，设帆船行驶的速度为v，风力速度为v1，水流速度为v2，则v＝v1＋v2，由题意可得向量v1＝（20cos 60°，20sin 60°）＝（10，10），向量v2＝（20，0），则帆船行驶的速度v＝v1＋v2＝（10，10）＋（20，0）＝（30，10），∴｜v｜＝＝20.∴该帆船的速度大小为20 km/h.（2）tan α＝＝＝，且α为锐角，∴α＝30°.∴帆船的方向为北偏东60°.（3）设船的实际速度为v，船在静水中的速度v1与河道南岸上游的夹角为α，如图所示，要使帆船正好到达A'的位置，则｜v1｜cos α＝｜v2｜，即cos α＝＝，又θ＝π－α，∴cos θ＝cos（π－α）＝－cos α＝－.【迁移应用】如图，已知河水自西向东流速为｜v0｜＝1 m/s，设某人在静水中游泳的速度为v1，在流水中实际速度为v2.（1）若此人朝正南方向游去，且｜v1｜＝ m/s，求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小；（2）若此人实际前进方向与水流垂直，且｜v2｜＝ m/s，求他游泳的方向与水流方向的夹角β和｜v1｜的大小.1.若＝3a，＝－5a，且｜｜＝｜｜，则四边形ABCD是（ ）A.平行四边形 B.菱形C.等腰梯形 D.非等腰梯形2.人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为（ ）A.v1－v2 B.v1＋v2C.｜v1｜－｜v2｜ D.3.在△ABC中，若（＋＋）＝，则点G是△ABC的（ ）A.内心 B.外心C.垂心 D.重心4.（多选）若O是△ABC所在平面内一点，且满足｜－｜＝｜＋－2｜，则△ABC的形状不可能是（ ）A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形5.飞机以300 km/h的速度斜向上飞行，方向与水平面成30°角，若将速度沿水平和垂直方向分解，求飞机在水平方向的分速度大小.6.3 平面向量线性运算的应用【典型例题·精研析】【例1】 证明：以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图.令｜｜＝1，则｜｜＝1，｜｜＝2.∵CE⊥AB，AD＝DC，∴四边形AECD为正方形.∴可求得各点坐标分别为E（0，0），B（1，0），C（0，1），D（－1，1），A（－1，0）.（1）∵＝（－1，1）－（0，0）＝（－1，1），＝（0，1）－（1，0）＝（－1，1），∴＝，∴∥，即DE∥BC.（2）连接MB，MD，∵M为EC的中点，∴M，∴＝（－1，1）－＝，＝（1，0）－＝.∵＝－，∴∥.又∵与有公共点M，∴D，M，B三点共线.【例2】 解：AR＝RT＝TC，证明如下：设＝a，＝b，＝r，则＝a＋b.由∥，可设r＝n（a＋b），n∈R，又＝－＝a－b，∥，可设＝m＝m，m∈R，∵＝＋，∴r＝b＋m，综上，有n（a＋b）＝b＋m，即（n－m）a＋b＝0，由于a与b不共线，则解得m＝n＝，∴＝.同理，＝，＝.∴AR＝RT＝TC.【例3】 解：（1）设＝t，则＝＋＝＋t＝＋t（－）＝（1－t）＋t＝（1－t）＋t＝4（1－t）＋t，由于C，M，B三点共线，所以4（1－t）＋t＝1 t＝.所以＝＋＝a＋b.（2）依题意＝λ，＝μ，由于EF过点M，而＝，＝，所以由（1）得＝＋，所以＝·＋·＝＋，由于M，E，F三点共线，所以＋＝1，λ＋μ＝（λ＋μ）＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，μ2＝3λ2，μ＝λ，λ＝，μ＝时等号成立.跟踪训练1.解：（1）因为H，F分别是边AD，BC的中点，所以＝－，＝－，又因为＝＋＋，＝＋＋，所以＋＝＋＋＋＋＋＝2，所以＝＝2.（2）证明：连接DB，因为E，F，G，H分别是平面四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，所以在△ABD和△BCD中，由中位线定理得：＝，＝，所以＝＝，因为H，E，G，F不共线，所以HE∥GF，HE＝GF，所以四边形EFGH为平行四边形.2.解：法一 连接AO（图略），∵O为BC的中点，∴＝（＋），∴＝－＝（＋）－＝＋，同理，＝＋.∵向量，共线，∴存在实数λ使得＝λ，即＋＝λ，∵，不共线，∴－＝λ且＝λ，消去λ，并整理（m－2）（n－2）＝mn，化简即得m＋n＝2.法二 连接AO（图略），∵O是BC的中点，∴＝（＋）.又∵＝m，＝n，∴＝＋.∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，∴m＋n＝2.【例4】 解：（1）如图①，设人游泳的速度为，水流的速度为，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则此人的实际速度为＋＝，根据勾股定理，｜｜＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人实际沿与水速夹角60°的方向前进，速度大小为8 km/h.（2）如图②，设此人的实际速度为，水流速度为.∵实际速度＝游速＋水速，故游速为－＝，在Rt△AOB中，｜｜＝4，｜｜＝4，｜｜＝4.∴cos∠BAO＝，故此人的前进方向与河岸夹角的余弦值为，且逆着水流方向，实际前进速度的大小为4 km/h.【例5】 解：设向量，分别表示两力，以，为邻边作平行四边形OACB，如图，则即为合力.由已知可得△OAC为等腰三角形，且∠COA＝30°.过A作AD⊥OC于D，则在Rt△OAD中，｜｜＝｜｜·cos 30°＝60×＝30.故｜｜＝2｜｜＝60，即合力的大小为60 N，方向与水平方向成30°角.跟踪训练1.D 因为F1＝（－2，－1），F2＝（－3，2），F3＝（7，－3），所以F1＋F2＋F3＝（－2，－1）＋（－3，2）＋（7，－3）＝（2，－2），要想使该物体保持平衡，只需F4＝－（2，－2）＝（－2，2），故选D.2.3 解析：设所用时间为t，则＝tv，即（3，6）＝t（1，2），所以t＝3.拓视野 平面向量线性运算的实例探究迁移应用 解：设＝v0，＝v1，＝v2，则由题意知v2＝v0＋v1，｜｜＝1，根据向量加法的平行四边形法则，得四边形OACB为平行四边形.（1）由此人朝正南方向游去，得四边形OACB为矩形，且AC＝OB＝，如图所示，则在Rt△OAC中，｜v2｜＝OC＝＝2.所以tan∠AOC＝＝，又α＝∠AOC∈，所以α＝.所以实际前进方向与水流方向的夹角α为，｜v2｜的大小为2 m/s.（2）由题意知α＝∠AOC＝，且｜v2｜＝｜｜＝，BC＝1，如图所示，则在Rt△OBC中，｜v1｜＝OB＝＝2，故tan∠BOC＝＝，又∠BOC∈，所以∠BOC＝，则β＝＋＝.所以他游泳的方向与水流方向的夹角β为，｜v1｜的大小为2 m/s.随堂检测1.C ∵＝3a，＝－5a，∴∥，｜｜≠｜｜，∵｜｜＝｜｜，∴四边形ABCD是等腰梯形，故选C.2.B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量.3.D 因为（＋＋）＝，所以＋＋＋＋＋＝3，化简得＋＋＝0，故点G为三角形ABC的重心，故选D.4.AD 设点M为BC边的中点，由题意可得：｜－｜＝｜｜，｜＋－2｜＝｜2－2｜＝2｜｜，据此结合题意可知：CB＝2AM，由三角形的性质可知：△ABC的形状是直角三角形.故选A、D.5.解：如图所示，｜v1｜＝｜v｜cos 30°＝300×＝150.3 / 4(共65张PPT)6.3 平面向量线性运算的应用新课程标准解读 核心素养会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他的实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用 数学建模、数学运算、直观想象目录典型例题·精研析01知能演练·扣课标02典型例题·精研析01课堂互动 关键能力提升题型一 向量在平面几何中的应用角度1 解决与平行相关的问题【例1】 如图，已知直角梯形 ABCD 中， AD ⊥ AB ， AB ＝2 AD ＝2 CD ，过点 C 作 CE ⊥ AB 于点 E ， M 为 CE 的中点，用向量的方法证明：（1） DE ∥ BC ；证明：以 E 为原点， AB 所在直线为 x 轴， EC所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，如图.令｜ ｜＝1，则｜ ｜＝1，｜ ｜＝2.∵ CE ⊥ AB ， AD ＝ DC ，∴四边形 AECD 为正方形.∴可求得各点坐标分别为 E （0，0）， B （1，0）， C （0，1）， D（－1，1）， A （－1，0）.（1）∵ ＝（－1，1）－（0，0）＝（－1，1），＝（0，1）－（1，0）＝（－1，1），∴ ＝ ，∴ ∥ ，即 DE ∥ BC .（2） D ， M ， B 三点共线.证明：连接 MB ， MD ，∵ M 为 EC 的中点，∴M ，∴ ＝（－1，1）－ ＝ ，＝（1，0）－ ＝ .∵ ＝－ ，∴ ∥ .又∵ 与 有公共点 M ，∴ D ， M ， B 三点共线.角度2 求线段长度或证明线段相等问题【例2】 如图，在 ABCD 中，点 E ， F 分别是 AD ， DC 边的中点，BE ， BF 分别与 AC 交于 R ， T 两点，你能发现 AR ， RT ， TC 之间的关系吗？用向量方法证明你的结论.解： AR ＝ RT ＝ TC ，证明如下：设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ r ，则 ＝ a ＋ b .由 ∥ ，可设 r ＝ n （ a ＋ b ）， n ∈R，又 ＝ － ＝ a － b ， ∥ ，可设 ＝ m ＝ m ， m ∈R，∵ ＝ ＋ ，∴ r ＝ b ＋ m ，综上，有 n （ a ＋ b ）＝ b ＋ m ，即（ n － m ） a ＋ b ＝0，由于 a 与 b 不共线，则解得 m ＝ n ＝ ，∴ ＝ .同理， ＝ ， ＝ .∴ AR ＝ RT ＝ TC .角度3 求参数值问题【例3】 如图，在△ AOB 中， ＝ ， ＝ ， AD 与 BC 相交于点 M ，设 ＝ a ， ＝ b .（1）试用 a ， b 表示向量 ；解： 设 ＝ t ，则 ＝ ＋ ＝ ＋ t ＝ ＋ t （ － ）＝（1－ t ） ＋ t ＝（1－ t ） ＋ t＝4（1－ t ）· ＋ t ，由于 C ， M ， B 三点共线，所以4（1－ t ）＋ t ＝1 t ＝ .所以 ＝ ＋ ＝ a ＋ b .（2）在线段 AC 上取一点 E ，在线段 BD 上取一点 F ，使得 EF 过点M ，设 ＝λ ， ＝μ ，求λ＋μ的最小值.解：依题意 ＝λ ， ＝μ ，由于 EF 过点 M ，而 ＝ ， ＝ ，所以由（1）得 ＝ ＋ ，所以＝ · ＋ · ＝ ＋ ，由于 M ， E ， F 三点共线，所以 ＋ ＝1，λ＋μ＝（λ＋μ） ＝ ＋＋ ≥ ＋2 ＝ ，当且仅当 ＝ ，μ2＝3λ2，μ＝λ，λ＝ ，μ＝ 时等号成立.通性通法用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系；（3）把运算结果“翻译”成几何关系.【跟踪训练】1. 若 E ， F ， G ， H 分别是平面四边形 ABCD 的边 AB ， BC ， CD ，DA 的中点.（1）求 的值；解： 因为 H ， F 分别是边 AD ， BC 的中点，所以 ＝－ ， ＝－ ，又因为 ＝ ＋ ＋ ， ＝ ＋ ＋ ，所以 ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝2 ，所以 ＝ ＝2.（2）证明：四边形 EFGH 为平行四边形.解： 证明：连接 DB ，因为 E ， F ，G ， H 分别是平面四边形 ABCD 的边 AB ，BC ， CD ， DA 的中点，所以在△ ABD 和△BCD 中，由中位线定理得： ＝ ， ＝ ，所以 ＝ ＝ ，因为 H ， E ， G ， F 不共线，所以 HE ∥ GF ， HE ＝ GF ，所以四边形 EFGH 为平行四边形.2. 如图所示，在△ ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB ， AC 于不同的两点 M ， N ，若 ＝ m ， ＝ n ，求 m ＋ n 的值.解：法一 连接 AO （图略），∵ O 为 BC 的中点，∴ ＝ （ ＋ ），∴ ＝ － ＝ （ ＋ ）－ ＝ ＋ ，同理， ＝ ＋ .∵向量 ， 共线，∴存在实数λ使得 ＝λ ，即 ＋ ＝λ ，∵ ， 不共线，∴ － ＝ λ且 ＝λ ，消去λ，并整理（ m －2）（ n －2）＝ mn ，化简即得 m ＋ n ＝2.法二 连接 AO （图略），∵ O 是 BC 的中点，∴ ＝ （ ＋ ）.又∵ ＝ m ， ＝ n ，∴ ＝ ＋ .∵ M ， O ， N 三点共线，∴ ＋ ＝1，∴ m ＋ n ＝2.题型二 向量在物理中的应用角度1 解决速度、加速度及位移问题【例4】 某人在静水中游泳的速度为4 km/h.（1）如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？解：如图①，设人游泳的速度为 ，水流的速度为 ，以 OA ， OB 为邻边作平行四边形 OACB ，则此人的实际速度为 ＋ ＝，根据勾股定理，｜ ｜＝8，且在Rt△ ACO 中，∠ COA ＝60°，故此人实际沿与水速夹角60°的方向前进，速度大小为8 km/h.（2）他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进（求出其与河岸夹角的余弦值即可）？他实际前进的速度大小为多少？解： 如图②，设此人的实际速度为 ，水流速度为 .∵实际速度＝游速＋水速，故游速为 － ＝ ，在Rt△ AOB 中，｜ ｜＝4 ，｜ ｜＝4，｜ ｜＝4 .∴ cos ∠ BAO ＝ ，故此人的前进方向与河岸夹角的余弦值为 ，且逆着水流方向，实际前进速度的大小为4 km/h.角度2 解决力的合成与分解问题【例5】 一物体受到两个大小均为60 N的力的作用，两力的夹角为60°且有一力方向水平，求合力的大小及方向.解：设向量 ， 分别表示两力，以 ， 为邻边作平行四边形 OACB ，如图，则 即为合力.由已知可得△ OAC 为等腰三角形，且∠ COA ＝30°.过 A 作 AD ⊥ OC 于 D ，则在Rt△ OAD 中，｜ ｜＝｜ ｜· cos 30°＝60× ＝30 .故｜ ｜＝2｜ ｜＝60 ，即合力的大小为60 N，方向与水平方向成30°角.通性通法1. 用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系.2. 速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则.【跟踪训练】1. 已知三个力 F1＝（－2，－1）， F2＝（－3，2）， F3＝（7，－3）同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，再加上一个力 F4，则 F4＝（ ）A. （－2，－2） B. （2，－2）C. （－1，2） D. （－2，2）解析：D 因为 F1＝（－2，－1）， F2＝（－3，2）， F3＝（7，－3），所以 F1＋ F2＋ F3＝（－2，－1）＋（－3，2）＋（7，－3）＝（2，－2），要想使该物体保持平衡，只需 F4＝－（2，－2）＝（－2，2），故选D.2. 坐标平面内一只小蚂蚁以速度 v ＝（1，2）从点 A （4，6）处移动到点 B （7，12）处，其所用时间为 .解析：设所用时间为 t ，则 ＝ tv ，即（3，6）＝ t （1，2），所以 t ＝3.3 平面向量线性运算的实例探究 2019青少年OP帆船国际城市联赛暨摩纳哥OP级帆船赛中国赛在三亚鸿洲国际游艇港正式开幕，来自厦门、福州、深圳、广州、苏州、南通、海口、琼海、三亚等地约50位分站赛脱颖而出的小选手将在三亚总决赛中争夺前往摩纳哥的入场券. OP帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动比赛，如果某帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.【问题探究】（1）若不考虑其他因素，求该帆船的速度大小；提示： 建立如图所示的平面直角坐标系，设帆船行驶的速度为 v ，风力速度为 v1，水流速度为 v2，则 v ＝ v1＋ v2，由题意可得向量 v1＝（20 cos 60°，20 sin 60°）＝（10，10 ），向量 v2＝（20，0），则帆船行驶的速度 v ＝ v1＋ v2＝（10，10 ）＋（20，0）＝（30，10 ），∴｜ v ｜＝ ＝20 .∴该帆船的速度大小为20 km/h.（2）求该帆船的方向；提示： tan α＝＝ ＝ ，且α为锐角，∴α＝30°.∴帆船的方向为北偏东60°.（3）某地南北两岸平行，一艘帆船从南岸码头 A 出发航行到北岸，假设帆船在静水中的航行速度 v1的大小为｜ v1｜＝10 km/h，水流的速度 v2的大小为｜ v2｜＝4 km/h.设 v1和 v2的夹角为θ（0°＜θ＜180°），北岸的点A'在 A 的正北方向，帆船正好到达A'处时，求 cos θ的值.提示： 设船的实际速度为 v ，船在静水中的速度 v1与河道南岸上游的夹角为α，如图所示，要使帆船正好到达A'的位置，则｜ v1｜ cos α＝｜ v2｜，即 cos α＝ ＝ ，又θ＝π－α，∴ cos θ＝ cos （π－α）＝－ cos α＝－ .【迁移应用】如图，已知河水自西向东流速为｜ v0｜＝1 m/s，设某人在静水中游泳的速度为 v1，在流水中实际速度为 v2.（1）若此人朝正南方向游去，且｜ v1｜＝ m/s，求他实际前进方向与水流方向的夹角α和 v2的大小；解：设 ＝ v0， ＝ v1， ＝ v2，则由题意知 v2＝ v0＋ v1，｜ ｜＝1，根据向量加法的平行四边形法则，得四边形 OACB为平行四边形.又α＝∠ AOC ∈ ，所以α＝ .所以实际前进方向与水流方向的夹角α为 ，｜ v2｜的大小为2m/s.（1）由此人朝正南方向游去，得四边形 OACB 为矩形，且 AC ＝ OB ＝ ，如图所示，则在Rt△ OAC 中，｜ v2｜＝ OC ＝ ＝2.所以tan∠ AOC ＝ ＝ ，（2）若此人实际前进方向与水流垂直，且｜ v2｜＝ m/s，求他游泳的方向与水流方向的夹角β和｜ v1｜的大小.解：由题意知α＝∠ AOC ＝ ，且｜ v2｜＝｜｜＝ ， BC ＝1，如图所示，则在Rt△ OBC 中，｜ v1｜＝ OB ＝＝2，故tan∠ BOC ＝ ＝ ，又∠ BOC ∈ ，所以∠ BOC ＝ ，则β＝ ＋ ＝ .所以他游泳的方向与水流方向的夹角β为 ，｜ v1｜的大小为2 m/s.1. 若 ＝3 a ， ＝－5 a ，且｜ ｜＝｜ ｜，则四边形 ABCD是（ ）A. 平行四边形 B. 菱形C. 等腰梯形 D. 非等腰梯形解析： ∵ ＝3 a ， ＝－5 a ，∴ ∥ ，｜ ｜≠｜ ｜，∵｜ ｜＝｜ ｜，∴四边形 ABCD 是等腰梯形，故选C.2. 人骑自行车的速度是 v1，风速为 v2，则逆风行驶的速度为（ ）A. v1－ v2 B. v1＋ v2C. ｜ v1｜－｜ v2｜ D.解析： 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为 v1＋ v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量.3. 在△ ABC 中，若 （ ＋ ＋ ）＝ ，则点 G 是△ ABC 的（ ）A. 内心 B. 外心C. 垂心 D. 重心解析： 因为 （ ＋ ＋ ）＝ ，所以 ＋ ＋＋ ＋ ＋ ＝3 ，化简得 ＋ ＋ ＝0，故点 G 为三角形 ABC 的重心，故选D.4. （多选）若 O 是△ ABC 所在平面内一点，且满足｜ － ｜＝｜ ＋ －2 ｜，则△ ABC 的形状不可能是（ ）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形解析： 设点 M 为 BC 边的中点，由题意可得：｜ － ｜＝｜ ｜，｜ ＋ －2 ｜＝｜2 －2 ｜＝2｜｜，据此结合题意可知： CB ＝2 AM ，由三角形的性质可知：△ ABC 的形状是直角三角形.故选A、D.5. 飞机以300 km/h的速度斜向上飞行，方向与水平面成30°角，若将速度沿水平和垂直方向分解，求飞机在水平方向的分速度大小.解：如图所示，｜ v1｜＝｜ v ｜ cos 30°＝300× ＝150 .知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地1. 作用在同一物体上的两个力｜ F1｜＝5 N，｜ F2｜＝4 N，它们的合力不可能是（ ）A. 2 N B. 5 NC. 9 N D. 10 N解析： 当 F1， F2共线且同向时合力最大，最大值为5 N＋4 N＝9 N. 故选D.12345678910111213142. 已知点 A （2，3）， B （－2，6）， C （6，6）， D （10，3），则以 A ， B ， C ， D 为顶点的四边形是（ ）A. 梯形B. 邻边不相等的平行四边形C. 菱形D. 两组对边均不平行的四边形解析： 因为 ＝（8，0）， ＝（8，0），所以 ＝ ，因为 ＝（4，－3），所以｜ ｜＝5，而｜ ｜＝8，故四边形 ABCD 为邻边不相等的平行四边形.故选B.12345678910111213143. O 是平面内的一个定点， A ， B ， C 是平面内不共线的三个点，动点 P 满足 ＝ ＋λ（ ＋ ），λ∈（0，＋∞），则动点P 的轨迹一定经过△ ABC 的（ ）A. 重心 B. 垂心C. 外心 D. 内心解析： 由 ＝ ＋λ（ ＋ ），λ∈（0，＋∞），得＝λ（ ＋ ），设 BC 的中点为 D ，则 ＝2λ ，又 AP与 AD 有公共点 A ，所以 与 共线，即点 P 在边 BC 的中线上，所以点 P 的轨迹通过△ ABC 的重心.12345678910111213144. 过△ ABC 内部一点 M 任作一条直线 EF ， AD ⊥ EF 于 D ， BE ⊥ EF于 E ， CF ⊥ EF 于 F ，都有 ＋ ＋ ＝0，则点 M 是△ ABC 的（ ）A. 三条高的交点B. 三条中线的交点C. 三边中垂线的交点D. 三个内角平分线的交点1234567891011121314解析： 当直线 EF 经过 C 点时， ＋ ＋ ＝0，即为＋ ＝0，于是｜ ｜＝｜ ｜， EF 是 AB 边上的中线；同理，当 EF 经过 A 点时， EF 是 BC 边上的中线；当 EF 经过 B 点时， EF 是 AC 边上的中线；因此，点 M 是△ ABC 的三条中线的交点，故选B.12345678910111213145. （多选）在水流速度为4 km/h的河水中，一艘船以12 km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（ ）A. 这艘船航行速度的大小为12 km/hB. 这艘船航行速度的大小为8 km/hC. 这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为150°D. 这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为120°1234567891011121314解析： 设船的实际航行速度为 v1，水流速度为 v2，船的航行速度为 v3，根据向量的平行四边形法则可知：｜ v3｜＝＝8 km/h，所以 v3＝2 v2，所以∠ BOC ＝30°，∠ BOA ＝120°，故选B、D.12345678910111213146. 设 O 是△ ABC 内部一点，且 ＋ ＝－2 ，则△ AOB 与△AOC 的面积之比为 .解析：设 D 为 AC 的中点，如图所示，连接 OD ，则＋ ＝2 .又 ＋ ＝－2 ，所以＝－ ，即 O 为线段 BD 的中点，即△ AOB 与△AOC 的面积之比为1∶2.1∶2 12345678910111213147. 两个大小相等的共点力 F1， F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为 N.解析：｜ F1｜＝｜ F2｜＝｜ F ｜ cos 45°＝10 ，当θ＝120°时，由平行四边形法则知｜ F合｜＝｜ F1｜＝｜ F2｜＝10 N.10 12345678910111213148. 如图所示，在四边形 ABCD 中，已知 A （2，6）， B （6，4）， C（5，0）， D （1，0），则直线 AC 与 BD 交点 P 的坐标为 .1234567891011121314解析：设 P （ x ， y ），则 ＝（ x －1， y ）， ＝（5，4），＝（－3，6）， ＝（4，0）.由 B ， P ， D 三点共线可得＝λ ＝（5λ，4λ）.又∵ ＝ － ＝（5λ－4，4λ），由于 与 共线得，（5λ－4）×6＋12λ＝0.解得λ＝，∴ ＝ ＝ ，∴ P 的坐标为 .12345678910111213149. 已知在直角梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ ADC ＝90°， AD ＝2，BC ＝1， P 是腰 DC 上的动点，求｜ ＋3 ｜的最小值.解：建立如图所示的平面直角坐标系，设 DC ＝h ，则 A （2，0）， B （1， h ），设 P （0， y ）（0≤ y ≤ h ），则 ＝（2，－y ）， ＝（1， h － y ），∴ ＋3 ＝（5，3 h －4 y ），∴｜ ＋3 ｜＝ ≥ ＝5，当且仅当 y ＝ h 时，等号成立，故｜ ＋3 ｜的最小值为5.123456789101112131410. （多选）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半”这就是著名的欧拉线定理.设△ ABC 中，点 O 、 H 、 G 分别是外心、垂心、重心，下列四个选项中结论正确的是（ ）A. ＝2B. ＋ ＋ ＝0C. 设 BC 边中点为 D ，则有 ＝3D. ＝ ＝1234567891011121314解析： 如图，A. 由题得 ＝2 ， OD⊥ BC ， AH ⊥ BC ，∴ OD ∥ AH ，∴ ＝2，∴该选项正确；B. ＋ ＝2 ＝－，∴ ＋ ＋ ＝0，∴该选项正确；C. ∵ D 为 BC 中点， G 为△ ABC 的重心，∴ ＝2 ， GH ＝2 OG ，∠ AGH ＝∠ DGO ，∴△ AGH ∽△ DGO ，∴ ＝2 ，故C选项错误；D. 向量 ， ， 的模相等，方向不同，故D选项错误.故选A、B.123456789101112131411. 设 P 为△ ABC 所在平面上一点，且满足 ＋2 ＝ m （ m ＞0），若△ ABP 的面积为2，则△ ABC 面积为 .解析：因为 ＋2 ＝ m （ m ＞0），所以 ＋ ＝（ m ＞0），令 ＝ ＋ ，则 － ＝ －，所以 ＝ ，所以 D 为 AC 上靠近 C 的三等分点，因为 ＝ ，所以 ∥ ，所以 S△ ABP ＝ S△ ABD ＝ S△ ABC ＝2，所以 S△ ABC ＝3.3 123456789101112131412. 如图，在△ ABC 中， D 为 BC 的中点， G 为 AD 的中点，过点 G 任作一直线 MN 分别交 AB ， AC 于 M ， N 两点.若 ＝ x ，＝ y ，试问： ＋ 是否为定值？1234567891011121314解：设 ＝ a ， ＝ b ，则 ＝ xa ， ＝ yb ，＝ ＝ （ ＋ ）＝ （ a ＋ b ），∴ ＝ － ＝ （ a ＋ b ）－ xa ＝ a ＋ b ，＝ － ＝ yb － xa ＝－ xa ＋ yb .∵ 与 共线，∴存在实数λ，使 ＝λ ，∴ a ＋ b ＝λ（－ xa ＋ yb ）＝－λ xa ＋λ yb .∵ a 与 b 不共线，∴消去λ得 ＋ ＝4，∴ ＋ 为定值.123456789101112131413. 如图， OM ∥ AB ，点 P 在由射线 OM 、线段 OB 及 AB 的延长线围成的区域（不含边界）内运动，且 ＝ x ＋ y ，则 x 的取值范围是 .当 x ＝－ 时， y 的取值范围是 .（－∞，0） 1234567891011121314解析：∵ OM ∥ AB ，∴ ＝ n ＋ m （ m ＞0， n ＞0）.又∵ ＝ － ，∴ ＝ n ＋ m （ － ）＝－ m ＋（ m ＋ n ） .∵ ＝ x ＋ y ，∴ x ＝－ m ＜0，即 x ∈（－∞，0）， y ＝ m ＋ n .由图形可知，0＜ n ＜1，∴当 x ＝－ ，即 m ＝ 时， ＜ m ＋ n ＜ ，即 y ∈ .123456789101112131414. 如图，已知△ ABC 的面积为14， D ， E 分别为边 AB ， BC 上的点， AD ∶ DB ＝ BE ∶ EC ＝2∶1，且 AE 与 CD 交于点 P ，求△APC 的面积.1234567891011121314解：设 ＝ a ， ＝ b 为一组基底，则 ＝ a ＋ b ， ＝ a ＋ b .∵点 A ， P ， E 共线且 D ， P ， C 共线，∴存在λ和μ，使 ＝λ ＝λ a ＋ λ b ， ＝μ ＝ μ a ＋μ b .又 ＝ ＋ ＝ a ＋μ b .∴即连接 BP （图略），则 S△ PAB ＝ S△ ABC ＝14× ＝8， S△ PBC ＝14×＝2，∴ S△ APC ＝14－8－2＝4.1234567891011121314谢 谢 观 看！ 展开更多...... 收起↑ 资源列表 6.3 平面向量线性运算的应用.docx 6.3 平面向量线性运算的应用.pptx 6.3 平面向量线性运算的应用（练习，含解析）.docx
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