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第30讲 尺规作图与定义，命题，定理
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中考考点 新课标要求
尺规作图 能用尺规作图
定义、命题、定理 通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义.结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.
知识导航·学法指引
分类研究·深度理解
考点一 尺规作图
定义：最基本、最常用的尺规作图，通常称作基本作图,
五种基本作图：
1）作一条线段等于已知线段
已知 线段 a
求作 线段0A，使OA等于a
作法 1）任作一条射线OP；2）以点0为圆心，a的长为半径画弧，交0P于点A，则线段OA 即为所求
依据 圆上的点到圆心的距离等于半径.
2）作一个角等于已知角
已知 ∠AOB
求作 ∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB
作法 1）作射线O'A'；2）以点0为圆心，任意长为半径画弧，交0A于点C，交OB于点 D；3）以点0'为圆心，0C的长为半径画弧，交O'A'于点E；4）以点E为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点F；5）经过点F作射线O'B',ㄥA'0'B'即为所求.
依据 1）三边分别相等的两个三角形全等；2）全等三角形的对应角相等；3）两点确定一条直线.
3）作已知角的角平分线
已知 ∠AOB
求作 射线OP，使∠AOP=∠BOP
作法 1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于点M，交0B于点N；2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P；3）作射线OP，射线OP即为所求.
依据 1）三边分别相等的两个三角形全等；2）全等三角形的对应角相等；3）两点确定一条直线.
4）过一点作已知直线的垂线
已知 直线AB和AB上的一点M
求作 AB的垂线，使它经过点M
作法 作平角ㄥACB的平分线MF.直线MF就是所求作的垂线.
已知 直线AB和AB外一点M
求作 AB的垂线，使它经过点M
作法 1）任意取一点P，使点P和点M在AB的两旁；2）以点M为圆心，MP的长为半径作弧，交AB于点C和点D；3）分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E；4）作直线EM，直线EM就是所求作的垂线.
依据 1）等腰三角形“三线合一”；
2）两点确定一条直线.
5）作线段的垂直平分线
已知 线段AB
求作 线段AB的垂直平分线
作法 1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N；2）作直线MN，直线MN就是线段AB的垂直平分线.
依据 1）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；2）两点确定一条直线.
尺规作图的关键:
1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；
2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题；
3)切记作图中一定要保留作图痕迹；
4）无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键.
【典例1】（ 2025·北京）如图，∠MON＝100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（　　）
A．80° B．100° C．110° D．120°
【分析】连接AB，AC，BC，由作图可得OA＝OB，AC＝BC＝AB，则△ABC为等边三角形，可得∠ACB＝60°．证明△OAC≌△OBC，可得∠ACO＝∠BCO，50°，则可得∠OAC＝180°﹣∠AOC﹣∠ACO＝100°．
【解答】解：连接AB，AC，BC，
由作图可得，OA＝OB，AC＝BC＝AB，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°．
∵OC＝OC，
∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴∠ACO＝∠BCO，50°，
∴∠OAC＝180°﹣∠AOC﹣∠ACO＝180°﹣30°﹣50°＝100°．
故选：B．
【点评】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【典例2】（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可．
【详解】解：由作法得：，
根据题意无法得到与的大小关系，
所以无法确定与的大小关系，故A选项错误；
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，故D选项正确；
题干中没有说明的大小关系，
∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误；
根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误；
故选：D
【典例3】如图，四边形ABCD是平行四边形．
（1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）；
（2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形．
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定．.
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】（1）作图见解析部分；
（2）证明见解析部分．
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．
【解答】（1）解：如图，直线MN即为所求；
（2）证明：设AC与EF交于点O．由作图可知，EF垂直平分线段AC，
∴OA＝OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠OAE＝∠OCF，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
考点二 定义、命题、定理
1. 命题
定义：判断一件事情的语句，叫做命题.
组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．
2.真命题、假命题
内容 举例 注意
真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论
假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可
3.逆命题
逆命题：把原命题的结论作为命题的题设，把原命题的题设作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题.
互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．
4.公理、定理
公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短.
定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理．
5.互逆定理
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．
6.反证法
定义：先假设原命题的结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，这种证明的方法叫做反证法.
反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确．
【典例1】下列说法正确的是（　　）
A．任意画一个三角形，其内角和是360°是必然事件
B．调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜全面调查
C．一组数据2，4，6，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是4
D．在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，两团女演员的身高平均数相同，方差分别为S甲2＝1.5，S乙2＝2.5，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐
【考点】命题与定理；全面调查与抽样调查；中位数；众数；方差；随机事件．.
【专题】统计的应用；概率及其应用；数据分析观念．
【答案】D
【分析】根据随机事件、三角形内角和定理、全面调查与抽样调查、众数和中位数、方差的性质判断即可．
【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，故本选项说法错误，不符合题意；
B、调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜抽样调查，故本选项说法错误，不符合题意；
C、一组数据2，4，6，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是5，故本选项说法错误，不符合题意；
D、在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，两团女演员的身高平均数相同，方差分别为S甲2＝1.5，S乙2＝2.5，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐，说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查命题与定理，掌握随机事件、全面调查与抽样调查、众数和中位数、方差的性质是解题的关键．
【典例2】下列命题正确的是（　　）
A．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件
B．3.14精确到十分位
C．点（﹣2，﹣3）关于x轴的对称点坐标是（﹣2，3）
D．甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是S甲2＝2.25，S乙2＝1.81，则甲成绩比乙的稳定
【考点】命题与定理；关于x轴、y轴对称的点的坐标；随机事件．.
【专题】数据的收集与整理；概率及其应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据随机事件、近似数、关于x轴的对称的点的坐标特征、方差的性质判断即可．
【解答】解：A、“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，故本选项命题错误，不符合题意；
B、3.14精确到百分位，故本选项命题错误，不符合题意；
C、点（﹣2，﹣3）关于x轴的对称点坐标是（﹣2，3），命题正确，符合题意；
D、甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是S甲2＝2.25，S乙2＝1.81，则乙成绩比甲的稳定，故本选项命题错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
【典例3】下列命题是真命题的是（　　）
A．对顶角相等
B．平行四边形的对角线互相垂直
C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点
D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形
【考点】命题与定理；对顶角、邻补角；全等三角形的判定；平行四边形的性质；三角形的内切圆与内心．.
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；多边形与平行四边形；正多边形与圆；空间观念；应用意识．
【答案】A
【分析】根据对顶角性质判断A，根据平行四边形的性质判断B，根据三角形的内心定义判断C，根据全等三角形的判定定理判断D．
【解答】解：A．对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故选项A符合题意；
B．菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一个假命题，故选项B不符合题意；
C．三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故选项C不符合题意；
D．三角分别相等的两个三角形不一定全等，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了真命题与假命题的判断，对顶角的性质，平行四边形的性质，三角形的内心定义，全等三角形的判定，熟练掌握这些性质、定义、定理是解决问题的关键．
专项训练·深度理解
专项训练三十：尺规作图与定义，命题，定理
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）
1. 下列命题是真命题的是（　　）
A．同位角相等
B．菱形的四条边相等
C．正五边形是中心对称图形
D．单项式5ab2的次数是4
【考点】命题与定理；中心对称图形；单项式；同位角、内错角、同旁内角；菱形的性质．.
【专题】整式；线段、角、相交线与平行线；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】B
【分析】利用平行线的性质、菱形的性质、正多边形的对称性及单项式的有关定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、菱形的四条边相等，正确，是真命题，符合题意；
C、正五边形不是中心对称图形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、单项式5ab2的次数是3，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
2. 下列说法正确的是（　　）
A．命题一定有逆命题
B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题
D．假命题的逆命题一定是假命题
【考点】命题与定理．.
【专题】三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据逆命题的概念、真假命题的概念判断即可．
【解答】解：A、命题一定有逆命题，本选项说法正确，符合题意，
B、不是所有的定理一定有逆定理，例如全等三角形的对应角相等，没有逆定理，故本选项说法错误，不符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项说法错误，不符合题意；
D、假命题的逆命题不一定是假命题，例如假命题对应角相等的三角形全等，其逆命题是真命题，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
3. 以下命题是假命题的是（　　）
A．的算术平方根是2
B．有两边相等的三角形是等腰三角形
C．一组数据：3，﹣1，1，1，2，4的中位数是1.5
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【考点】命题与定理；中位数．.
【专题】推理填空题；推理能力．
【答案】A
【分析】根据算术平方根、等腰三角形的定义、中位数以及平行公理判断即可．
【解答】解：A、2的算术平方根是，原命题是假命题，符合题意；
B、有两边相等的三角形是等腰三角形，是真命题，不符合题意；
C、一组数据：3，﹣1，1，1，2，4的中位数是1.5，原命题是真命题，不符合题意；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是真命题，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
4. 下列命题中，是真命题的是（　　）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
【考点】命题与定理；轴对称图形；线段垂直平分线的性质；直角三角形的性质；菱形的判定．.
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的概念、菱形的判定、线段垂直平分线的性质、直角三角形的概念判断即可．
【解答】解：A、平行四边形不一定是轴对称图形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题，符合题意；
D、在△ABC中，当∠A：∠B：∠C＝3：4：5时，△ABC不是直角三角形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5. 下列命题不正确的是（　　）
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．负数的立方根是负数
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．五边形的外角和是360°
【考点】命题与定理．.
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】由平行公理、立方根的定义、菱形的判定定理、多边形的外角和，分别进行判断，即可得到答案．
【解答】解：A、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；故A正确；
B、负数的立方根是负数；故B正确；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；
D、五边形的外角和是360°，故D正确；
故选：C．
【点评】本题考查了判断命题的真假，以及考查了平行公理、立方根的定义、菱形的判定定理、多边形的外角和，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断．
6. 下列命题是真命题的是（　　）
A．相等的两个角是对顶角
B．相等的圆周角所对的弧相等
C．若a＜b，则ac2＜bc2
D．在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是
【考点】命题与定理；概率公式；不等式的性质；对顶角、邻补角；圆周角定理．.
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】根据对顶角的定义、圆周角，不等式的性质、概率公式判断即可．
【解答】解：A、相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题；
B、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，原命题是假命题；
C、若a＜b，c＝0时，则ac2＝bc2，原命题是假命题；
D、在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是，是真命题；
故选：D．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的定义、圆周角，不等式的性质、概率公式等知识，难度不大．
7. 能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（　　）
A．x1 B．x1 C．x＝3 D．x
【考点】命题与定理；无理数．.
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意，只要x2是有理数，即求出各个选项中x2的值，再判断即可．
【解答】解：（1）2＝3﹣2，是无理数，不符合题意；
（1）2＝3+2，是无理数，不符合题意；
（3）2＝18，是有理数，符合题意；
（）2＝5﹣2，是无理数，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了命题，命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
8. （2025·浙江）如图，在Rt△ABC中，∠A＝35°，CD是斜边AB上的中线，以点C为圆心，CD长为半径作弧，与AB的另一个交点为点E．若AB＝2，则的长为（　　）
A．π B．π C．π D．π
【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴CDAB，
∴CD＝AD，
∴∠ACD＝∠A＝35°，
∴∠CDE＝∠A+∠ACD＝70°，
由题意知：CD＝CE，
∴∠CED＝∠CDE＝70°，
∴∠DCE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵AB＝2，
∴CD2＝1，
∴的长π．
故选：B．
9. （2025·内蒙古·中考真题）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，熟练掌握角平分线的作法和平行线的性质是解题的关键．由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解，
【详解】解：由作图可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
10. （2025·四川眉山·中考真题）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识；
根据题意可得：平分，即，根据平行线的性质结合等腰三角形的判定可得，进一步即可求解.
【详解】解：根据题意可得：平分，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：A.
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，分别以点B和点C为圆心、大于BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF交AB于点D，连接CD，则△ACD的周长是 　 　．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理．.
【专题】尺规作图；几何直观．
【答案】18．
【分析】由题可知，EF为线段BC的垂直平分线，则CD＝BD，由勾股定理可得AC5，则△ACD的周长为AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB，即可得出答案．
【解答】解：由题可知，EF为线段BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∵∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴AC5，
∴△ACD的周长为AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝5+13＝18．
故答案为：18．
【点评】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质及勾股定理是解答本题的关键．
12. 如图，在 ABCD中，∠ABC＝150°．利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BF，使BE＝BF；分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点G；作射线BG交DC于点H．若AD1，则BH的长为 　 　．
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；平行四边形的性质．.
【专题】作图题；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】．
【分析】根据平行四边形的性质得到∠C＝30°，AB∥CD，BC＝AD1，根据角平分线的定义得到∠CBH＝∠ABH，过B作BP⊥CD于P，根据直角三角形的性质得到BP，CPBC，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：在 ABCD中，∠ABC＝150°，
∴∠C＝30°，AB∥CD，BC＝AD1，
由作图知，BH平分∠ABC，
∴∠CBH＝∠ABH，
∵AB∥CD，
∴∠CHB＝∠ABH，
∴∠CHB＝∠CBH，
∴CH＝BC1，
过B作BP⊥CD于P，
∴∠CPB＝90°，
∴BP，CPBC，
∴HP＝CH﹣CP，
∴BH，
故答案为：．
【点评】考查了作图﹣基本作图及角平分线的定义、矩形的性质等知识，解题的关键是根据图形确定BP平分∠ABD．
13. （2025·湖南）如图，在△ABC中，BC＝6，点E是AC的中点，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线MN交AB于点D，连接DE，则DE的长是 　 ．
【解答】解：由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，
∴点D为AB的中点．
∵点E是AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE3．
故答案为：3．
14. 如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线OH，若H（2a﹣1，a+1），则a＝　 　．
【考点】作图—基本作图；坐标与图形性质．.
【专题】概率及其应用；几何直观．
【答案】2．
【分析】由作图过程可知，OH为∠MON的平分线，进而可得2a﹣1＝a+1，解方程即可．
【解答】解：由作图过程可知，OH为∠MON的平分线，
∴∠MOH＝45°，
∴2a﹣1＝a+1，
解得a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查作图—基本作图、坐标与图形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15. 如图，在平行四边形ABCD（AB＜AD）中，按如下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠BAD内交于点P；③作射线AP交BC于点E．若∠B＝120°，则∠EAD为 　 　°．
【考点】作图—基本作图；平行四边形的性质．.
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】30．
【分析】先利用基本作图得到∴∠EAB＝∠EAD∠BAD，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到∠BAD＝180°﹣∠B＝60°，从而得到∠EAD＝30°．
【解答】解：由作法得AE平分∠BAD，
∴∠EAB＝∠EAD∠BAD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∴∠BAD＝180°﹣120°＝60°，
∴∠EAD∠BAD＝30°．
故答案为：30．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质．
16. （2025·浙江模拟）如图，在菱形中，，连接，以点A为圆心，长为半径作弧，交直线于点E，连接，则的度数是_______．
【答案】或
【分析】根据题意画出图形，结合菱形的性质可得，再进行分类讨论：当点E在点A上方时，当点E在点A下方时，即可进行解答．本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和以及三角形的外角定理，解题的关键是掌握菱形的对角线平分内角；等腰三角形两底角相等，三角形的内角和为；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
【详解】解：∵四边形菱形，，
∴，
连接，
①当点E在点A上方时，如图，
∵，，
∴，
②当点E在点A下方时，如图，
∵，，
∴，
故答案为：或．
三、解答题（本题共7题，共52分）
17. （6分）（2025·陕西·中考真题）如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】作图见解析
【分析】本题考查尺规基本作图—作角的平分线，作一角等于已知角，平行线的性质，熟练掌握尺规基本作图是解题的关键．先作的平分线，再在同侧作，使 ，交于P即可．
【详解】解：如图，点即为所求；
理由如下：
由作图可知：是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴点即为所求．
18. （6分）（ 2025·甘肃）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，
AB是月洞门的横跨，CD是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为AB，拱高的长度为a．作法如下：
①作线段AB的垂直平分线MN，垂足为D；
②在射线DM上截取DC＝a；
③连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O；
④以点O为圆心，OC的长为半径作．
则就是所要作的圆弧．
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）．
【解答】解：如图3所示．
19. （6分）（ 2025·河南）如图，四边形ABCD是平行四边形，以BC为直径的圆交AD于点E．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若点E是AD的中点，连接OA，CE．求证：四边形AOCE是平行四边形．
【解答】（1）解：如图，点O即为所求；
（2）证明：∵四边形ABC都是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E是AD的中点，O是BC的中点，
∵AE＝DE＝OC＝OB，
∵AE∥OC，
∴四边形AOCE是平行四边形．
20. （8分）
（2025·山东·中考真题）在中，，，的平分线交于点．如图1．
(1)求的度数；
(2)已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点F．如图2，求的长．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了三角形的外角性质，垂直平分线的作法和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）由角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求解即可；
（2）由作图知是线段的垂直平分线，求得，求得，，再证明，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴；
（2）解：由作图知是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴．
21. （8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，AC＝2，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线MN分别交AB，BC于点D，E，连接CD，AE．
（1）求CD的长；
（2）求△ACE的周长．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．.
【专题】等腰三角形与直角三角形；尺规作图；几何直观；运算能力．
【答案】（1）．
（2）6．
【分析】（1）由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，点D为AB的中点，根据直角三角形斜边中线定理可得，CD．
（2）由勾股定理得，BC4．由线段垂直平分线的性质得EA＝EB，则△ACE的周长可转化为AC+CE+EB＝AC+BC，进而可得答案．
【解答】解：（1）由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，
∴点D为AB的中点，
∴CD．
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC4．
∵直线MN为线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB．
∴△ACE的周长为AC+CE+EA＝AC+CE+EB＝AC+BC＝2+4＝6．
【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线定理、勾股定理是解答本题的关键．
22. （8分）
（2025·浙江模拟）如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4矩形分割成的小正方形网格．在该矩形边上取点，来表示的度数．阅读以下作图过程，并回答下列问题：
（答题卷用）
作法（如图） 结论
①在上取点，使． ，点表示．
②以为圆心，8为半径作弧，与交于点． ，点表示．
③分别以为圆心，大于长度一半的长为半径作弧，相交于点，连结与相交于点． …
④以为圆心，的长为半径作弧，与射线交于点，连结交于点． …
（1）分别求点表示的度数．
（2）用直尺和圆规在该矩形的边上作点，使该点表示（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】（1）点表示；点表示
（2）见解析
【分析】（1）根据矩形的性质可求出度数，根据线段垂直平分线的性质度数，即可求出的度数，从而知道点表示度数；利用半径相等即可求出，再根据平行线的性质即可求出以及对应的度数，从而知道点表示度数．
（2）利用角平分线的性质作图即可求出答案．
【小问1详解】
解：①四边形是矩形，
．
由作图可知，是的中垂线，
．
．
．
点表示．
②由作图可知，．
．
又，
．
．
∴点表示．
故答案为：点表示，点表示．
【小问2详解】
解：如图所示，
作的角平分线等．如图2，点即为所求作的点．
∵点表示，点表示．
．
∴表示．
【点睛】本题考查的是尺规作图的应用，涉及到的知识点有线段垂直平分线、角平分线性质、圆的相关性质，解题的关键需要正确理解题意，清楚知道用到的相关知识点．
23. （10分）如图，已知矩形ABCD．
（1）尺规作图：作对角线AC的垂直平分线，交CD于点E，交AB于点F；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接AE、CF，求证：四边形AFCE是菱形．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的性质．.
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】（1）作图见解析；
（2）证明见解析．
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）证明四边相等可得结论．
【解答】（1）解：如图1所示：
（2）证明：如图2设EF与AC的交点为O，由（1）可知，直线EF是线段AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，FA＝FC，
∠COE＝∠AOF＝90°，
OA＝OC，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠ECO＝∠FAO，
在△COE和△AOF中，
，
∴△COE≌△AOF（ASA），
∴EC＝FA，
∴EA＝EC＝FA＝FC，
∴四边形AFCE是菱形．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
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第30讲 尺规作图与定义，命题，定理
考点展示·课标透视
中考考点 新课标要求
尺规作图 能用尺规作图
定义、命题、定理 通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义.结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.
知识导航·学法指引
分类研究·深度理解
考点一 尺规作图
定义：最基本、最常用的尺规作图，通常称作基本作图,
五种基本作图：
1）作一条线段等于已知线段
已知 线段 a
求作 线段0A，使OA等于a
作法 1）任作一条射线OP；2）以点0为圆心，a的长为半径画弧，交0P于点A，则线段OA 即为所求
依据 圆上的点到圆心的距离等于半径.
2）作一个角等于已知角
已知 ∠AOB
求作 ∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB
作法 1）作射线O'A'；2）以点0为圆心，任意长为半径画弧，交0A于点C，交OB于点 D；3）以点0'为圆心，0C的长为半径画弧，交O'A'于点E；4）以点E为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点F；5）经过点F作射线O'B',ㄥA'0'B'即为所求.
依据 1）三边分别相等的两个三角形全等；2）全等三角形的对应角相等；3）两点确定一条直线.
3）作已知角的角平分线
已知 ∠AOB
求作 射线OP，使∠AOP=∠BOP
作法 1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于点M，交0B于点N；2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P；3）作射线OP，射线OP即为所求.
依据 1）三边分别相等的两个三角形全等；2）全等三角形的对应角相等；3）两点确定一条直线.
4）过一点作已知直线的垂线
已知 直线AB和AB上的一点M
求作 AB的垂线，使它经过点M
作法 作平角ㄥACB的平分线MF.直线MF就是所求作的垂线.
已知 直线AB和AB外一点M
求作 AB的垂线，使它经过点M
作法 1）任意取一点P，使点P和点M在AB的两旁；2）以点M为圆心，MP的长为半径作弧，交AB于点C和点D；3）分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E；4）作直线EM，直线EM就是所求作的垂线.
依据 1）等腰三角形“三线合一”；
2）两点确定一条直线.
5）作线段的垂直平分线
已知 线段AB
求作 线段AB的垂直平分线
作法 1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N；2）作直线MN，直线MN就是线段AB的垂直平分线.
依据 1）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；2）两点确定一条直线.
尺规作图的关键:
1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；
2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题；
3)切记作图中一定要保留作图痕迹；
4）无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键.
【典例1】（ 2025·北京）如图，∠MON＝100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（　　）
A．80° B．100° C．110° D．120°
【典例2】（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】如图，四边形ABCD是平行四边形．
（1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）；
（2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形．
考点二 定义、命题、定理
1. 命题
定义：判断一件事情的语句，叫做命题.
组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．
2.真命题、假命题
内容 举例 注意
真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论
假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可
3.逆命题
逆命题：把原命题的结论作为命题的题设，把原命题的题设作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题.
互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．
4.公理、定理
公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短.
定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理．
5.互逆定理
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．
6.反证法
定义：先假设原命题的结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，这种证明的方法叫做反证法.
反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确．
【典例1】下列说法正确的是（　　）
A．任意画一个三角形，其内角和是360°是必然事件
B．调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜全面调查
C．一组数据2，4，6，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是4
D．在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，两团女演员的身高平均数相同，方差分别为S甲2＝1.5，S乙2＝2.5，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐
【典例2】下列命题正确的是（　　）
A．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件
B．3.14精确到十分位
C．点（﹣2，﹣3）关于x轴的对称点坐标是（﹣2，3）
D．甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是S甲2＝2.25，S乙2＝1.81，则甲成绩比乙的稳定
【典例3】下列命题是真命题的是（　　）
A．对顶角相等
B．平行四边形的对角线互相垂直
C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点
D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形
专项训练·深度理解
专项训练三十：尺规作图与定义，命题，定理
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）
1. 下列命题是真命题的是（　　）
A．同位角相等
B．菱形的四条边相等
C．正五边形是中心对称图形
D．单项式5ab2的次数是4
2. 下列说法正确的是（　　）
A．命题一定有逆命题
B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题
D．假命题的逆命题一定是假命题
3. 以下命题是假命题的是（　　）
A．的算术平方根是2
B．有两边相等的三角形是等腰三角形
C．一组数据：3，﹣1，1，1，2，4的中位数是1.5
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
4. 下列命题中，是真命题的是（　　）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
5. 下列命题不正确的是（　　）
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．负数的立方根是负数
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．五边形的外角和是360°
6. 下列命题是真命题的是（　　）
A．相等的两个角是对顶角
B．相等的圆周角所对的弧相等
C．若a＜b，则ac2＜bc2
D．在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是
7. 能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（　　）
A．x1 B．x1 C．x＝3 D．x
8. （2025·浙江）如图，在Rt△ABC中，∠A＝35°，CD是斜边AB上的中线，以点C为圆心，CD长为半径作弧，与AB的另一个交点为点E．若AB＝2，则的长为（　　）
A．π B．π C．π D．π
9. （2025·内蒙古·中考真题）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10. （2025·四川眉山·中考真题）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，分别以点B和点C为圆心、大于BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF交AB于点D，连接CD，则△ACD的周长是 　 　．
12. 如图，在 ABCD中，∠ABC＝150°．利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BF，使BE＝BF；分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点G；作射线BG交DC于点H．若AD1，则BH的长为 　 　．
定义、矩形的性质等知识，解题的关键是根据图形确定BP平分∠ABD．
13. （2025·湖南）如图，在△ABC中，BC＝6，点E是AC的中点，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线MN交AB于点D，连接DE，则DE的长是 　 ．
14. 如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线OH，若H（2a﹣1，a+1），则a＝　 　．
15. 如图，在平行四边形ABCD（AB＜AD）中，按如下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠BAD内交于点P；③作射线AP交BC于点E．若∠B＝120°，则∠EAD为 　 　°．
16. （2025·浙江模拟）如图，在菱形中，，连接，以点A为圆心，长为半径作弧，交直线于点E，连接，则的度数是_______．
三、解答题（本题共7题，共52分）
17. （6分）（2025·陕西·中考真题）如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法）
18. （6分）（ 2025·甘肃）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，AB是月洞门的横跨，CD是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为AB，拱高的长度为a．作法如下：
①作线段AB的垂直平分线MN，垂足为D；
②在射线DM上截取DC＝a；
③连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O；
④以点O为圆心，OC的长为半径作．
则就是所要作的圆弧．
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）．
20. （8分）
（2025·山东·中考真题）在中，，，的平分线交于点．如图1．
(1)求的度数；
(2)已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点F．如图2，求的长．
21. （8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，AC＝2，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线MN分别交AB，BC于点D，E，连接CD，AE．
（1）求CD的长；
（2）求△ACE的周长．
22. （8分）
（2025·浙江模拟）如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4矩形分割成的小正方形网格．在该矩形边上取点，来表示的度数．阅读以下作图过程，并回答下列问题：
（答题卷用）
作法（如图） 结论
①在上取点，使． ，点表示．
②以为圆心，8为半径作弧，与交于点． ，点表示．
③分别以为圆心，大于长度一半的长为半径作弧，相交于点，连结与相交于点． …
④以为圆心，的长为半径作弧，与射线交于点，连结交于点． …
（1）分别求点表示的度数．
（2）用直尺和圆规在该矩形的边上作点，使该点表示（保留作图痕迹，不写作法）．
23. （10分）如图，已知矩形ABCD．
（1）尺规作图：作对角线AC的垂直平分线，交CD于点E，交AB于点F；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接AE、CF，求证：四边形AFCE是菱形．
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