资源简介

一、数学抽象
　　在本章中，数学抽象核心素养主要体现在对平面向量相关概念的理解及应用问题中.
培优一 平面向量的有关概念
【例1】　（1）（多选）下列叙述中正确的是（　　）
A.若a＝b，则3a＞2b
B.已知非零向量a与b且a∥b，则a与b的方向相同或相反
C.若a∥b，b∥c，则a∥c
D.对任一非零向量a，是一个单位向量
（2）给出下列四个命题：①若｜a｜＝｜b｜，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是｜a｜＝｜b｜且a∥b.其中正确命题的个数有　　　　个.
尝试解答
二、数学运算
　　在本章中，通过向量的线性运算培养学生的数学运算核心素养.
培优二 平面向量的坐标运算
【例2】　（1）已知向量a＝（5，2），b＝（－4，－3），c＝（x，y），若3a－2b＋c＝0，则c＝（　　）
A.（－23，－12）　　B.（23，12）
C.（7，0） D.（－7，0）
（2）如图，有5个全等的小正方形，若＝x＋y，则x＋y的值是　　　　.
（3）已知在平行四边形ABCD中，＝（3，7），＝（－2，3），对角线AC与BD交于点O，则的坐标为　　　　.
尝试解答
培优三 利用向量的线性运算求参数
【例3】　（1）如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝（　　）
A.　　　　　　　 B.
C. D.
（2）已知非零向量a，b不共线，若＝a＋b，＝2a－3b，＝2a－kb，且A，C，D三点共线，则k＝　　　　.
尝试解答
三、逻辑推理和直观想象
　　在本章中，平面向量的线性运算、共线向量基本定理和平面向量基本定理的应用均体现了逻辑推理和直观想象的核心素养.
培优四 平面向量的线性运算
【例4】　如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
尝试解答
培优五 共线向量基本定理的应用
【例5】　（1）P是△ABC所在平面上一点，满足：＋＋＝2，△ABC的面积是S1，△PAB的面积是S2，则（　　）
A.S1＝4S2 B.S1＝3S2
C.S1＝2S2 D.S1＝S2
（2）如图，在△ABC中，点E为边AB上一点，点F为线段AC延长线上一点，且＝，连接EF交BC于点D，求证：ED＝DF.
尝试解答
培优六 平面向量基本定理的应用
【例6】　（1）已知E为△ABC所在平面内的点，且＋＝2，若＝m＋n，则＝（　　）
A.－3 B.3
C. D.－
（2）在平面四边形ABCD中，已知△ABC的面积是△ACD的面积的2倍.若存在正实数x，y使得＝＋成立，则2x＋y的最小值为（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
尝试解答
章末复习与总结
【例1】　（1）BD　（2）2　解析：（1）对于A：因为向量不能比较大小，故选项A不正确；对于B：因为a与b是非零向量，若a∥b，则a与b的方向相同或相反，故选项B正确；对于C：当b＝0时，若a∥b，b∥c，a与c是任意向量，故选项C不正确；对于D：对任一非零向量a，表示与a方向相同且模长为1的向量，所以是一个单位向量，故选项D正确；故选B、D.
（2）对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；对于②，因为A，B，C，D是不共线的四点，且＝等价于AB∥DC且AB＝DC，即等价于四边形ABCD为平行四边形，故②正确；对于③，若a＝b，b＝c，则a＝c，显然正确，故③正确；对于④，由a＝b可以推出｜a｜＝｜b｜且a∥b，但是由｜a｜＝｜b｜且a∥b可能推出a＝－b，故“｜a｜＝｜b｜且a∥b”是“a＝b”的必要不充分条件，故④不正确，故正确命题的个数为2.
【例2】　（1）A　（2）1　（3）
解析：（1）3a－2b＋c＝（23＋x，12＋y）＝0，故x＝－23，y＝－12，故选A.
（2）依题意建立平面直角坐标系如图所示，设小正方形的边长为1，则＝（0，1），＝（1，0），＝（－2，3），所以＝3－2，所以x＝3，y＝－2.所以x＋y＝1.
（3）因为＝＋＝（－2，3）＋（3，7）＝（1，10），所以＝＝，所以＝.
【例3】　（1）B　（2）　解析：（1）＝＋＝＋＝＋（－）＝＋×＝＋，因为＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，则λ＋μ＝＋＝.故选B.
（2）因为A，C，D三点共线，故可得∥，则存在非零实数x，使得＝x，又＝＋＝3a－2b，＝2a－kb，故可得3a－2b＝2xa－kxb，又非零向量a，b不共线，故可得2x＝3，kx＝2，解得x＝，k＝.
【例4】　C　法一　根据图形，由题意可得＝＋＝＋＝＋（＋＋）＝＋（＋）＝＋（＋）＝＋.因为＝r＋s，所以r＝，s＝，则2r＋3s＝1＋2＝3.
法二　因为＝2，所以－＝2（－），整理，得＝＋＝＋（＋）＝＋，以下同法一.
法三　如图，延长AD，BC交于点P，则由＝得DC∥AB，且AB＝4DC.又＝2，所以E为PB的中点，且＝.于是，＝（＋）＝（ ＋）＝＋.以下同法一.
法四　如图，建立平面直角坐标系xAy，依题意可设点B（4m，0），D（3m，3h），E（4m，2h），其中m＞0，h＞0.
由＝r＋s，得（4m，2h）＝r（4m，0）＋s（3m，3h），
所以解得所以2r＋3s＝1＋2＝3.
【例5】　（1）B　∵＋＋＝2＝2（＋），∴3＝，∴∥，设AP到BC的距离为h，∵S△PAB＝｜｜·h，S△ABC＝｜｜·h，又∵｜｜＝3｜｜，∴S△PAB＝S△ABC，即S1＝3S2.故选B.
（2）证明：如图，以点B为原点，BC所在的直线为x轴建立直角坐标系，不妨设BC＝1，
设＝＝λ，C（1，0），A（a，b），D（d，0），则E（λa，λb），＝（1－a，－b），
所以＝λ＝（λ（1－a），－λb），所以F（λ（1－a）＋1，－λb）.
所以＝（d－λa，－λb），＝（λ（1－a）＋1－d，－λb）.
因为E，D，F三点共线，所以∥，
所以－λb（d－λa）＝－λb[λ（1－a）＋1－d]，化简得2d＝λ＋1.
因为－＝（d－λa，－λb）－（λ－λa＋1－d，－λb）＝（2d－λ－1，0）＝（0，0）＝0，
所以＝.所以ED＝DF.
【例6】　（1）A　（2）A　解析：（1）因为＝＋，则＋＝2＝2（＋），所以2＝－－＝－－（－）＝－，所以＝－，所以m＝，n＝－，故＝－3.故选A.
（2）设AC与BD交于点M，由△ABC的面积是△ACD的面积的2倍，可得BM＝2MD，所以＝＋＝＋＝＋（－）＝＋，又A，M，C三点共线，即，共线，所以存在实数k使得＝k，因为＝＋，所以消去k，可得＋＝9，又因为x＞0，y＞0，所以2x＋y＝·（2x＋y）·＝≥＝1，当且仅当＝，即x＝y＝时等号成立.所以2x＋y的最小值为1.故选A.
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章末复习与总结
一、数学抽象
　　在本章中，数学抽象核心素养主要体现在对平面向量相关概念的
理解及应用问题中.
培优一 平面向量的有关概念
【例1】　（1）（多选）下列叙述中正确的是（　BD　）
BD
A. 若 a ＝ b ，则3 a ＞2 b
B. 已知非零向量 a 与 b 且 a ∥ b ，则 a 与 b 的方向相同或相反
C. 若 a ∥ b ， b ∥ c ，则 a ∥ c
D. 对任一非零向量 a ， 是一个单位向量
解析： 对于A：因为向量不能比较大小，故选项A不正
确；对于B：因为 a 与 b 是非零向量，若 a ∥ b ，则 a 与 b 的方向
相同或相反，故选项B正确；对于C：当 b ＝0时，若 a ∥ b ， b
∥ c ， a 与 c 是任意向量，故选项C不正确；对于D：对任一非零
向量 a ， 表示与 a 方向相同且模长为1的向量，所以
是一个单位向量，故选项D正确；故选B、D.
（2）给出下列四个命题：①若｜ a ｜＝｜ b ｜，则 a ＝ b ；②若 A ，
B ， C ， D 是不共线的四点，则“ ＝ ”是“四边形 ABCD
为平行四边形”的充要条件；③若 a ＝ b ， b ＝ c ，则 a ＝ c ；④
a ＝ b 的充要条件是｜ a ｜＝｜ b ｜且 a ∥ b .其中正确命题的个
数有 个.
2　
解析： 对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量
的方向的关系，故①错误；对于②，因为 A ， B ， C ， D 是不共
线的四点，且 ＝ 等价于 AB ∥ DC 且 AB ＝ DC ，即等价于
四边形 ABCD 为平行四边形，故②正确；对于③，若 a ＝ b ， b
＝ c ，则 a ＝ c ，显然正确，故③正确；对于④，由 a ＝ b 可以推
出｜ a ｜＝｜ b ｜且 a ∥ b ，但是由｜ a ｜＝｜ b ｜且 a ∥ b 可能
推出 a ＝－ b ，故“｜ a ｜＝｜ b ｜且 a ∥ b ”是“ a ＝ b ”的必
要不充分条件，故④不正确，故正确命题的个数为2.
二、数学运算
　　在本章中，通过向量的线性运算培养学生的数学运算核心素养.
培优二 平面向量的坐标运算
【例2】　（1）已知向量 a ＝（5，2）， b ＝（－4，－3）， c ＝
（ x ， y ），若3 a －2 b ＋ c ＝0，则 c ＝（　A　）
A. （－23，－12） B. （23，12）
C. （7，0） D. （－7，0）
A
解析： a －2 b ＋ c ＝（23＋ x ，12＋ y ）＝0，故 x ＝－23， y ＝－12，故选A.
（2）如图，有5个全等的小正方形，若 ＝ x ＋ y ，则 x ＋ y 的值是 .
解析： 依题意建立平面直角坐标系如
图所示，设小正方形的边长为1，则 ＝
（0，1）， ＝（1，0）， ＝（－2，
3），所以 ＝3 －2 ，所以 x ＝3， y
＝－2.所以 x ＋ y ＝1.
1　
（3）已知在平行四边形 ABCD 中， ＝（3，7）， ＝（－2，
3），对角线 AC 与 BD 交于点 O ，则 的坐标为 .
解析： 因为 ＝ ＋ ＝（－2，3）＋（3，7）＝（1，10），所以 ＝ ＝ ，所以 ＝ .
　
培优三 利用向量的线性运算求参数
【例3】　（1）如图，在△ ABC 中， ＝ ， ＝ ，若
＝λ ＋μ ，则λ＋μ＝（　B　）
A. B.
C. D.
B
解析： ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ × ＝ ＋ ，因为 ＝λ ＋μ ，所以λ＝ ，μ＝ ，则λ＋μ＝ ＋ ＝ .故选B.
（2）已知非零向量 a ， b 不共线，若 ＝ a ＋ b ， ＝2 a －3 b ，
＝2 a － kb ，且 A ， C ， D 三点共线，则 k ＝ .
解析： 因为 A ， C ， D 三点共线，故可得 ∥ ，则存在非零实数 x ，使得 ＝ x ，又 ＝ ＋ ＝3 a －2 b ， ＝2 a － kb ，故可得3 a －2 b ＝2 xa － kxb ，又非零向量 a ， b 不共线，故可得2 x ＝3， kx ＝2，解得 x ＝ ， k ＝ .
　
三、逻辑推理和直观想象
　　在本章中，平面向量的线性运算、共线向量基本定理和平面向量
基本定理的应用均体现了逻辑推理和直观想象的核心素养.
培优四 平面向量的线性运算
【例4】　如图，在直角梯形 ABCD 中， ＝ ， ＝2 ，且
＝ r ＋ s ，则2 r ＋3 s ＝（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 　法一　根据图形，由题意可得 ＝ ＋ ＝ ＋
＝ ＋ （ ＋ ＋ ）＝ ＋ （ ＋ ）＝ ＋
（ ＋ ）＝ ＋ .因为 ＝ r ＋ s ，所以 r ＝ ， s
＝ ，则2 r ＋3 s ＝1＋2＝3.
法二　因为 ＝2 ，所以 － ＝2（ －
），整理，得 ＝ ＋ ＝ ＋ （
＋ ）＝ ＋ ，以下同法一.
法三　如图，延长 AD ， BC 交于点 P ，则由 ＝
得 DC ∥ AB ，且 AB ＝4 DC . 又 ＝2 ，
所以 E 为 PB 的中点，且 ＝ .于是， ＝
（ ＋ ）＝ ＝ ＋ .以
下同法一.
法四　如图，建立平面直角坐标系 xAy ，依题意可设点 B （4 m ，
0）， D （3 m ，3 h ）， E （4 m ，2 h ），其中 m ＞0， h ＞0.
由 ＝ r ＋ s ，得（4 m ，2 h ）＝ r （4 m ，0）＋ s （3 m ，3
h ），
所以解得所以2 r ＋3 s ＝1＋2＝3.
培优五 共线向量基本定理的应用
【例5】　（1） P 是△ ABC 所在平面上一点，满足： ＋ ＋
＝2 ，△ ABC 的面积是 S1，△ PAB 的面积是 S2，则（　　）
A. S1＝4 S2 B. S1＝3 S2
C. S1＝2 S2 D. S1＝ S2
解析： 　∵ ＋ ＋ ＝2 ＝2（ ＋
），∴3 ＝ ，∴ ∥ ，设 AP 到 BC 的
距离为 h ，∵ S△ PAB ＝ ｜ ｜· h ， S△ ABC ＝ ｜
｜· h ，又∵｜ ｜＝3｜ ｜，∴ S△ PAB ＝ S△
ABC ，即 S1＝3 S2.故选B.
（2）如图，在△ ABC 中，点 E 为边 AB 上一点，点 F 为线段 AC 延长线上一点，且 ＝ ，连接 EF 交 BC 于点 D ，求证： ED ＝ DF .
证明：如图，以点 B 为原点， BC 所在的直
线为 x 轴建立直角坐标系，不妨设 BC ＝1，
设 ＝ ＝λ， C （1，0）， A （ a ， b ）， D
（ d ，0），则 E （λ a ，λ b ）， ＝（1－ a ，
－ b ），所以 ＝λ ＝（λ（1－ a ），－λ
b ），所以 F （λ（1－ a ）＋1，－λ b ）.所以
＝（ d －λ a ，－λ b ）， ＝（λ（1－ a ）
＋1－ d ，－λ b ）.
因为 E ， D ， F 三点共线，所以 ∥ ，所以－λ b （ d －λ a ）＝－λ b [λ（1－ a ）＋1－ d ]，化简得2 d ＝λ＋1.
因为 － ＝（ d －λ a ，－λ b ）－（λ－λ a ＋1－ d ，－λ b ）＝（2 d －λ－1，0）＝（0，0）＝0，
所以 ＝ .所以 ED ＝ DF .
培优六 平面向量基本定理的应用
【例6】　（1）已知 E 为△ ABC 所在平面内的点，且 ＋ ＝2
，若 ＝ m ＋ n ，则 ＝（　A　）
A. －3 B. 3 C. D. －
A
解析： 因为 ＝ ＋ ，则 ＋ ＝2 ＝2
（ ＋ ），所以2 ＝－ － ＝－ － （ －
）＝ － ，所以 ＝ － ，所以 m ＝ ， n
＝－ ，故 ＝－3.故选A.
（2）在平面四边形 ABCD 中，已知△ ABC 的面积是△ ACD 的面积的2
倍.若存在正实数 x ， y 使得 ＝ ＋ 成
立，则2 x ＋ y 的最小值为（　A　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
A
解析：设 AC 与 BD 交于点 M ，由△ ABC 的面积是△ ACD 的面积的
2倍，可得 BM ＝2 MD ，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝
＋ （ － ）＝ ＋ ，又 A ， M ， C 三点共线，
即 ， 共线，所以存在实数 k 使得 ＝ k ，因为 ＝
＋ ，所以消去 k ，可得 ＋
＝9，又因为 x ＞0， y ＞0，所以2 x ＋ y ＝ ·（2 x ＋ y ）·
＝ ≥ ＝1，当且仅当 ＝
，即 x ＝ y ＝ 时等号成立.所以2 x ＋ y 的最小值为1.故选A.
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