资源简介

模块综合检测
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层随机抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝（　　）
A.54　　 　 B.90　　 　
C.45　　 　 D.126
2.从集合{1，2，3，4}中随机抽取一个数a，从集合{1，2，3}中随机抽取一个数b，则向量m＝（a，b）与向量n＝（2，1）共线的概率为（　　）
A. B.
C. D.
3.10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（　　）
A.a＞b＞c B.c＞b＞a
C.c＞a＞b D.b＞c＞a
4.如图，＝2，＝2，＝m，＝n，若m＝，那么n＝（　　）
A. B.
C. D.
5.函数y＝在[－6，6]的图象大致为（　　）
6.一台设备由1，2，3三个部件构成，假设设备在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立，则该设备在一天的运转中，至少有一个部件需要调整的概率为（　　）
A.0.32 B.0.4
C.0.496 D.0.5
7.定义在R上的偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，且f＝0，则满足f（lox）＞0的x的取值范围是（　　）
A.（0，＋∞） B.∪（2，＋∞） C.∪ D.
8.在△ABC中，点O是BC的三等分点，｜｜＝2｜｜，过点O的直线分别交直线AB，AC于点E，F，且＝m，＝n（m＞0，n＞0），若＋的最小值为，则正数t的值为（　　）
A.1 B.2
C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.设a0为单位向量，下列命题是假命题的为（　　）
A.若a为平面内的某个向量，则a＝｜a｜a0
B.若a与a0平行，则a＝｜a｜a0
C.若a与a0平行且｜a｜＝1，则a＝a0
D.若a为单位向量，则｜a｜＝｜a0｜
10.某社区开展“消防知识竞赛”，甲、乙两人荣获一等奖的概率分别为p和q，两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为（　　）
A.p（1－q）＋q（1－p）＋pq
B.p＋q
C.pq
D.1－（1－p）（1－q）
　　
11.对于定义域为R的函数f（x），若存在非零实数x0，使函数f（x）在（－∞，x0）和（x0，＋∞）上与x轴都有交点，则称x0为函数f（x）的一个“界点”.则下列四个函数中，一定存在“界点”的是（　　）
A.f（x）＝ax－x2（a＞0，a≠1）
B.f（x）＝x2＋bx－2（b∈R）
C.f（x）＝1－｜x－2｜
D.f（x）＝x－lo｜x｜
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.某校为了调查学生在课外读物方面的支出（单位：元）情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[40，50]内的学生有39人，则n的值为　　　　.
13.已知平面向量a，b，c满足｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜＝｜a＋b－c｜＝1，则｜c｜的最大值M＝　　　　，｜c｜的最小值m＝　　　　.
14.已知f（x）＝loga（ax2－x）（a＞0，且a≠1）在上单调递增，则实数a的取值范围是　　　　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知幂函数f（x）＝（m2－2m＋2）·（k∈Z）是偶函数，且在（0，＋∞）上单调递增.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（2x－1）＜f（2－x），求x的取值范围.
　　
16.（本小题满分15分）平面直角坐标系xOy中，已知向量＝（6，1），＝（x，y），＝（－2，－3），且∥.
（1）求x与y之间的关系式；
（2）若⊥，求四边形ABCD的面积.
17.（本小题满分15分）某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目.据预测，三个项目成功的概率分别为，，，且三个项目是否成功相互独立.
（1）求恰有两个项目成功的概率；
（2）求至少有一个项目成功的概率.
　　
18.（本小题满分17分）2024年入春以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重.市环保研究所对每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数f（x）与时刻x（时）的函数关系为：f（x）＝｜log25（x＋1）－a｜＋2a＋1，x∈[0，24]，其中a为空气治理调节参数，且a∈（0，1）.
（1）若a＝，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；
（2）若规定一天中f（x）的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数均不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？
19.（本小题满分17分）近几年高考增加了对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.
（1）求频率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）用样本估计总体，若高三年级共有2 000名学生，试估计高三年级这次测试成绩不低于70分的人数；
（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的分析会，试求成绩在[80，100]的学生至少有1人被抽到的概率.
模块综合检测
1.B　依题意有×n＝18，由此解得n＝90，即样本容量为90.
2.A　由题意可知m＝（a，b），基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），共12个，∵向量m＝（a，b）与向量n＝（2，1）共线，∴a－2b＝0，即a＝2b，∴有（2，1），（4，2），共2个，故所求概率为.
3.B　将生产的件数由小到大排列为：10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，∴a＝（10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17）＝14.7，中位数为b＝15，众数为c＝17，因此，c＞b＞a，故选B.
4.A　由＝2，＝2可知点C是AB的中点，点P是OC的中点，所以＝（＋），＝（＋），又＝m，＝n，所以＝－＝
n－m，＝－＝－，因为点M，P，N共线，所以存在实数λ，使＝λ，即n－＝λ，又因为，不共线，所以有解得n＝.故选A.
5.B　设y＝f（x）＝，则f（－x）＝＝－＝－f（x），所以f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除选项C；又f（4）＝＞0，排除选项D；f（6）＝≈7，排除选项A.故选B.
6.C　设部件1，2，3需要调整分别为事件A，B，C，则至少有一个部件需要调整的概率为P＝1－P（）·P（）P（）＝1－0.9×0.8×0.7＝1－0.504＝0.496.故选C.
7.B　由题意知f（x）＝f（－x）＝f（｜x｜），所以f（｜lox｜）＞f.因为f（x）在[0，＋∞）上单调递增，所以｜lox｜＞，又x＞0，解得0＜x＜或x＞2.
8.B　
因为点O是BC的三等分点，｜｜＝2｜｜，则＝＋＝＋＝＋－＝＋＝＋，又由点E，O，F三点共线，则＋＝1，＋＝（＋）（＋）＝＋＋≥＋2＝＋2，当且仅当2tm2＝n2时，等号成立，即＋的最小值为＋2，则有＋2＝，即（＋3）（－）＝0.解得t＝2.故选B.
9.ABC　向量是既有大小又有方向的量，a与｜a｜a0的模相同，但方向不一定相同，故A是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－｜a｜a0，当｜a｜＝1时，a＝－a0，故B、C也是假命题；D为真命题.
10.AD　记事件A为“甲获得一等奖”，B为“乙获得一等奖”.则P（A）＝p，P（B）＝q，且A，B相互独立.从正面考虑，甲、乙两人中至少有一人获得一等奖为A＋B＋AB，所以P（A＋B＋AB）＝P（A）＋P（B）＋P（AB）＝p（1－q）＋q（1－p）＋pq，故A正确；从反面考虑，事件“甲、乙两人中至少有一人获得一等奖”的对立事件是“甲、乙两人都没获得一等奖”，即事件 ，易得P（）＝（1－p）·（1－q），所以“这两人中至少有一人获得一等奖”的概率为1－P（）＝1－（1－p）（1－q），故D正确.故选A、D.
11.BC　f（x）＝ax－x2（a＞0，a≠1），当a＝8时，f（x）＝8x－x2＞0在（0，＋∞）上恒成立，在（－∞，0]上只有一个零点，所以A不满足题意；对于f（x）＝x2＋bx－2（b∈R），Δ＝b2＋8＞0恒成立，即f（x）＝x2＋bx－2（b∈R）的图象与x轴恒有两个交点，在两个交点之间任取一个x0都是“界点”，所以B满足题意；由1－｜x－2｜＝0，得x＝1或x＝3，所以函数f（x）有两个零点，且在1，3之间任取一个x0都是“界点”，所以C满足题意；函数f（x）＝x－lo｜x｜的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），所以D不满足题意.故选B、C.
12.130　解析：由频率分布直方图可知，支出在[10，40）内的频率为（0.01＋0.023＋0.037）×10＝0.7，所以支出在[40，50]内的频率为0.3，故n＝＝130.
13.＋1　－1　解析：因为｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜＝1.所以a，b，a－b可构成等边三角形，且｜a＋b｜＝，因为｜a＋b－c｜＝1，所以如图所示，c的终点在以a＋b的终点为圆心、半径为1的圆上，故M＝＋1，m＝－1.
14.[4，＋∞）　解析：令z＝ax2－x，若0＜a＜1，则y＝logaz在（0，＋∞）上单调递减，可得z＝ax2－x（z＞0）在上单调递减，则a－≥0，且≥，无解；若a＞1，则y＝logaz在（0，＋∞）上单调递增，可得z＝ax2－x（z＞0）在上单调递增，则a－≥0，且≤，解得a≥4.综上可得，实数a的取值范围是[4，＋∞）.
15.解：（1）∵f（x）为幂函数，∴m2－2m＋2＝1，∴m＝1，∵f（x）在（0，＋∞）上单调递增，∴5k－2k2＞0，
∴0＜k＜（k∈Z），即k＝1或2，
又∵f（x）为偶函数，∴k＝2，即f（x）＝x2.
（2）由f（x）为偶函数且在（0，＋∞）上单调递增，则f（2x－1）＜f（2－x） f（｜2x－1｜）＜f（｜2－x｜），
∴｜2x－1｜＜｜2－x｜，（2x－1）2＜（2－x）2，x2＜1，∴x∈（－1，1），即x的取值范围为（－1，1）.
16.解：（1）由题意得＝＋＋＝（x＋4，y－2），
因为∥，＝（x，y），
所以（x＋4）y－（y－2）x＝0，即x＋2y＝0，
所以x与y之间的关系式为x＋2y＝0. ①
（2）由题意得＝＋＝（x＋6，y＋1），＝＋＝（x－2，y－3），
因为⊥，
所以（x＋6）（x－2）＋（y＋1）（y－3）＝0，即x2＋y2＋4x－2y－15＝0， ②
由①②得或
当时，＝（8，0），＝（0，－4），
则S四边形ABCD＝｜｜｜｜＝16.
当时，＝（0，4），＝（－8，0），
则S四边形ABCD＝｜｜｜｜＝16.
所以四边形ABCD的面积为16.
17.解：（1）记农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植成功分别是事件A，B，C，则P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，
恰有两个项目成功为事件M，
则P（M）＝P（AB＋AC＋BC）＝P（A）P（B）P（）＋P（A）P（）P（C）＋P（）P（B）P（C）＝××＋××＋××＝.
（2）记至少有一个项目成功为事件N，
P（N）＝1－P（）＝1－P（）＝1－P（）P（）P（）＝1－××＝.
18.解：（1）若a＝，则f（x）＝＋2≥2.
当f（x）＝2时，log25（x＋1）－＝0，得x＋1＝2，
即x＝4.
所以一天中凌晨4点该市的空气污染指数最低.
（2）设t＝log25（x＋1），则当0≤x≤24时，0≤t≤1.
设g（t）＝｜t－a｜＋2a＋1，t∈[0，1]，
则g（t）＝
显然g（t）在[0，a]上是减函数，在（a，1]上是增函数，
则f（x）max＝max{g（0），g（1）}.
因为g（0）＝3a＋1，g（1）＝a＋2，由g（0）－g（1）＝2a－1＞0，得a＞，
所以f（x）max＝
当0＜a≤时，2＜a＋2≤＜3，符合要求；
当＜a＜1时，由3a＋1≤3，得＜a≤.
故调节参数a应控制在内.
19.解：（1）由频率分布直方图可得第4组的频率为1－（0.01＋0.03＋0.03＋0.01）×10＝0.2，则x＝0.02.
故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为（55×0.01＋65×0.03＋75×0.03＋85×0.02＋95×0.01）×10＝74（分）.
由于前两组的频率之和为0.1＋0.3＝0.4，前三组的频率之和为0.1＋0.3＋0.3＝0.7，故中位数在第3组中.
设中位数为t分，则有（t－70）×0.03＝0.1，得t＝，
即所求的中位数为分.
（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，用样本估计总体，可以估计高三年级2 000名学生中成绩不低于70分的人数为2 000×0.6＝1 200.
（3）由（1）可知，后三组中的人数分别为15，10，5，由分层抽样的知识得这三组中所抽取的人数分别为3，2，1.
记成绩在[70，80）的3名学生分别为a，b，c，成绩在[80，90）的2名学生分别为d，e，成绩在[90，100]的1名学生为f，则从中随机抽取3人的所有可能结果为（a，b，c），（a，b，d），（a，b，e），（a，b，f），（a，c，d），（a，c，e），（a，c，f），（a，d，e），（a，d，f），（a，e，f），（b，c，d），（b，c，e），（b，c，f），（b，d，e），（b，d，f），（b，e，f），（c，d，e），（c，d，f），（c，e，f），（d，e，f），共20种.
其中成绩在[80，100]的学生没人被抽到的可能结果为（a，b，c），只有1种，
故成绩在[80，100]的学生至少有1人被抽到的概率为1－＝.
3 / 3(共41张PPT)
课件使用说明
本课件使用Office2016制作，请使用相应软件打开并使用。
本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑。
本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office2007或WPS 2021年4月份以前的版本会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验。
如您在使用过程中遇到公式不显示或者乱码的情况，可能是因为您的电脑缺少字体，请登录网站http://help.fonts./下载。
由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office2016或以上版本即可解决该问题，登录网站http://help.office./下载。
关于一键升级Office版本及其他课件使用方面的问题，请点击"常见问题"，或致电0537-7311096。
模块综合检测
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为
3∶5∶7，现用分层随机抽样的方法抽出容量为 n 的样本，其中甲
种产品有18件，则样本容量 n ＝（　　）
A. 54 B. 90
C. 45 D. 126
解析： 　依题意有 × n ＝18，由此解得 n ＝90，即样本容量
为90.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
2. 从集合{1，2，3，4}中随机抽取一个数 a ，从集合{1，2，3}中随
机抽取一个数 b ，则向量 m ＝（ a ， b ）与向量 n ＝（2，1）共线
的概率为（　　）
A. B.
C. D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 由题意可知 m ＝（ a ， b ），基本事件有：（1，1），
（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，
1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），共
12个，∵向量 m ＝（ a ， b ）与向量 n ＝（2，1）共线，∴ a －2 b
＝0，即 a ＝2 b ，∴有（2，1），（4，2），共2个，故所求概率为
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
3.10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，
17，17，16，14，12.设其平均数为 a ，中位数为 b ，众数为 c ，则
有（　　）
A. a ＞ b ＞ c B. c ＞ b ＞ a
C. c ＞ a ＞ b D. b ＞ c ＞ a
解析： 　将生产的件数由小到大排列为：10，12，14，14，15，
15，16，17，17，17，∴ a ＝ （10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋
17＋17＋17）＝14.7，中位数为 b ＝15，众数为 c ＝17，因此， c ＞
b ＞ a ，故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
4. 如图， ＝2 ， ＝2 ， ＝ m ， ＝ n ，若 m
＝ ，那么 n ＝（　　）
A. B.
C. D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 　由 ＝2 ， ＝2 可知点 C 是 AB 的中点，点 P
是 OC 的中点，所以 ＝ （ ＋ ）， ＝ （ ＋
），又 ＝ m ， ＝ n ，所以 ＝ － ＝ n
－ m ， ＝ － ＝ － ，因为点 M ， P ， N 共
线，所以存在实数λ，使 ＝λ ，即 n － ＝λ
，又因为 ， 不共线，所以有解
得 n ＝ .故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
5. 函数 y ＝ 在[－6，6]的图象大致为（　　）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 　设 y ＝ f （ x ）＝ ，则 f （－ x ）＝ ＝－
＝－ f （ x ），所以 f （ x ）是奇函数，图象关于原点对称，
排除选项C；又 f （4）＝ ＞0，排除选项D； f （6）＝
≈7，排除选项A. 故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
6. 一台设备由1，2，3三个部件构成，假设设备在一天的运转中，部
件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相
互独立，则该设备在一天的运转中，至少有一个部件需要调整的概
率为（　　）
A. 0.32 B. 0.4
C. 0.496 D. 0.5
解析： 　设部件1，2，3需要调整分别为事件 A ， B ， C ，则至少
有一个部件需要调整的概率为 P ＝1－ P （ ） P （ ） P （ ）＝
1－0.9×0.8×0.7＝1－0.504＝0.496.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
7. 定义在R上的偶函数 f （ x ）在[0，＋∞）上单调递增，且 f ＝
0，则满足 f （lo x ）＞0的 x 的取值范围是（　　）
A. （0，＋∞） B. ∪（2，＋∞）
C. ∪ D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 　由题意知 f （ x ）＝ f （－ x ）＝ f （｜ x ｜），所以 f （｜
lo x ｜）＞ f .因为 f （ x ）在[0，＋∞）上单调递增，所以｜
lo x ｜＞ ，又 x ＞0，解得0＜ x ＜ 或 x ＞2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
8. 在△ ABC 中，点 O 是 BC 的三等分点，｜ ｜＝2｜ ｜，过点 O
的直线分别交直线 AB ， AC 于点 E ， F ，且 ＝ m ， ＝ n
（ m ＞0， n ＞0），若 ＋ 的最小值为 ，则正数 t 的值为
（　　）
A. 1 B. 2
C. D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 　因为点 O 是 BC 的三等分点，｜ ｜＝2｜ ｜，则
＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ － ＝ ＋ ＝
＋ ，又由点 E ， O ， F 三点共线，则 ＋ ＝1， ＋
＝（ ＋ ）（ ＋ ）＝ ＋ ＋ ≥ ＋2
＝ ＋2 ，当且仅当2 tm2＝ n2时，等号成立，
即 ＋ 的最小值为 ＋2 ，则有
＋2 ＝ ，即（ ＋3 ）（ － ）＝0.解得 t ＝2.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 设 a0为单位向量，下列命题是假命题的为（　　）
A. 若 a 为平面内的某个向量，则 a ＝｜ a ｜ a0
B. 若 a 与 a0平行，则 a ＝｜ a ｜ a0
C. 若 a 与 a0平行且｜ a ｜＝1，则 a ＝ a0
D. 若 a 为单位向量，则｜ a ｜＝｜ a0｜
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 　向量是既有大小又有方向的量， a 与｜ a ｜ a0的模相
同，但方向不一定相同，故A是假命题；若 a 与 a0平行，则 a 与 a0
的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a ＝－｜ a ｜
a0，当｜ a ｜＝1时， a ＝－ a0，故B、C也是假命题；D为真命题.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
10. 某社区开展“消防知识竞赛”，甲、乙两人荣获一等奖的概率分
别为 p 和 q ，两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一
人获得一等奖的概率为（　　）
A. p （1－ q ）＋ q （1－ p ）＋ pq
B. p ＋ q
C. pq
D. 1－（1－ p ）（1－ q ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 　记事件 A 为“甲获得一等奖”， B 为“乙获得一等
奖”.则 P （ A ）＝ p ， P （ B ）＝ q ，且 A ， B 相互独立.从正面
考虑，甲、乙两人中至少有一人获得一等奖为 A ＋ B ＋ AB ，
所以 P （ A ＋ B ＋ AB ）＝ P （ A ）＋ P （ B ）＋ P （ AB ）
＝ p （1－ q ）＋ q （1－ p ）＋ pq ，故A正确；从反面考虑，事件
“甲、乙两人中至少有一人获得一等奖”的对立事件是“甲、乙
两人都没获得一等奖”，即事件 ，易得 P （ ）＝（1－
p ）·（1－ q ），所以“这两人中至少有一人获得一等奖”的概率
为1－ P （ ）＝1－（1－ p ）（1－ q ），故D正确.故选A、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
11. 对于定义域为R的函数 f （ x ），若存在非零实数 x0，使函数 f
（ x ）在（－∞， x0）和（ x0，＋∞）上与 x 轴都有交点，则称 x0
为函数 f （ x ）的一个“界点”.则下列四个函数中，一定存在
“界点”的是（　　）
A. f （ x ）＝ ax － x2（ a ＞0， a ≠1）
B. f （ x ）＝ x2＋ bx －2（ b ∈R）
C. f （ x ）＝1－｜ x －2｜
D. f （ x ）＝ x －lo ｜ x ｜
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 　 f （ x ）＝ ax － x2（ a ＞0， a ≠1），当 a ＝8时， f
（ x ）＝8 x － x2＞0在（0，＋∞）上恒成立，在（－∞，0]上只
有一个零点，所以A不满足题意；对于 f （ x ）＝ x2＋ bx －2（ b
∈R），Δ＝ b2＋8＞0恒成立，即 f （ x ）＝ x2＋ bx －2（ b ∈R）
的图象与 x 轴恒有两个交点，在两个交点之间任取一个 x0都是
“界点”，所以B满足题意；由1－｜ x －2｜＝0，得 x ＝1或 x ＝
3，所以函数 f （ x ）有两个零点，且在1，3之间任取一个 x0都是
“界点”，所以C满足题意；函数 f （ x ）＝ x －lo ｜ x ｜的定义
域是（－∞，0）∪（0，＋∞），所以D不满足题意.故选B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 某校为了调查学生在课外读物方面的支出（单位：元）情况，抽
取了一个容量为 n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支
出在[40，50]内的学生有39人，则 n 的值为 .
130　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析：由频率分布直方图可知，支出在[10，40）内的频率为
（0.01＋0.023＋0.037）×10＝0.7，所以支出在[40，50]内的频
率为0.3，故 n ＝ ＝130.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
13. 已知平面向量 a ， b ， c 满足｜ a ｜＝｜ b ｜＝｜ a － b ｜＝｜ a ＋
b － c ｜＝1，则｜ c ｜的最大值 M ＝ ，｜ c ｜的最小值
m ＝ .
解析：因为｜ a ｜＝｜ b ｜＝｜ a － b ｜＝1.所
以 a ， b ， a － b 可构成等边三角形，且｜ a ＋
b ｜＝ ，因为｜ a ＋ b － c ｜＝1，所以如图
所示， c 的终点在以 a ＋ b 的终点为圆心、半径
为1的圆上，故 M ＝ ＋1， m ＝ －1.
＋1　
－1　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析：令 z ＝ ax2－ x ，若0＜ a ＜1，则 y ＝log az 在（0，＋∞）上
单调递减，可得 z ＝ ax2－ x （ z ＞0）在 上单调递减，则 a
－ ≥0，且 ≥ ，无解；若 a ＞1，则 y ＝log az 在（0，＋∞）
上单调递增，可得 z ＝ ax2－ x （ z ＞0）在 上单调递增，则
a － ≥0，且 ≤ ，解得 a ≥4.综上可得，实数 a 的取值范围
是[4，＋∞）.
14. 已知 f （ x ）＝log a （ ax2－ x ）（ a ＞0，且 a ≠1）在 上单
调递增，则实数 a 的取值范围是 .
[4，＋∞）　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知幂函数 f （ x ）＝（ m2－2 m ＋
2）· （ k ∈Z）是偶函数，且在（0，＋∞）上单调递增.
（1）求函数 f （ x ）的解析式；
解： ∵ f （ x ）为幂函数，∴ m2－2 m ＋2＝1，∴ m ＝
1，∵ f （ x ）在（0，＋∞）上单调递增，∴5 k －2 k2＞0，
∴0＜ k ＜ （ k ∈Z），即 k ＝1或2，
又∵ f （ x ）为偶函数，∴ k ＝2，即 f （ x ）＝ x2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）若 f （2 x －1）＜ f （2－ x ），求 x 的取值范围.
解： 由 f （ x ）为偶函数且在（0，＋∞）上单调递
增，则 f （2 x －1）＜ f （2－ x ） f （｜2 x －1｜）＜ f （｜
2－ x ｜），
∴｜2 x －1｜＜｜2－ x ｜，（2 x －1）2＜（2－ x ）2， x2＜
1，∴ x ∈（－1，1），即 x 的取值范围为（－1，1）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
16. （本小题满分15分）平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 ＝
（6，1）， ＝（ x ， y ）， ＝（－2，－3），且 ∥ .
（1）求 x 与 y 之间的关系式；
解： 由题意得 ＝ ＋ ＋ ＝（ x ＋4， y －2），
因为 ∥ ， ＝（ x ， y ），
所以（ x ＋4） y －（ y －2） x ＝0，即 x ＋2 y ＝0，
所以 x 与 y 之间的关系式为 x ＋2 y ＝0.　①
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）若 ⊥ ，求四边形 ABCD 的面积.
解： 由题意得 ＝ ＋ ＝（ x ＋6， y ＋1），
＝ ＋ ＝（ x －2， y －3）， 因为 ⊥ ，
所以（ x ＋6）（ x －2）＋（ y ＋1）（ y －3）＝0，即 x2＋
y2＋4 x －2 y －15＝0，　②
由①②得或 当时， ＝（8，0）， ＝（0，－4），则 S四边形 ABCD ＝ ｜ ｜｜ ｜＝16.
当时， ＝（0，4）， ＝（－8，0），
则 S四边形 ABCD ＝ ｜ ｜｜ ｜＝16.
所以四边形 ABCD 的面积为16.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
17. （本小题满分15分）某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色
蔬菜种植和水果种植三个项目.据预测，三个项目成功的概率分别
为 ， ， ，且三个项目是否成功相互独立.
（1）求恰有两个项目成功的概率；
解： 记农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植成功分
别是事件 A ， B ， C ，则 P （ A ）＝ ， P （ B ）＝ ， P
（ C ）＝ ，
恰有两个项目成功为事件 M ，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
则 P （ M ）＝ P （ AB ＋ A C ＋ BC ）＝ P （ A ） P
（ B ） P （ ）＋ P （ A ） P （ ） P （ C ）＋ P （ ） P
（ B ） P （ C ）＝ × × ＋ × × ＋
× × ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）求至少有一个项目成功的概率.
解： 记至少有一个项目成功为事件 N ，
P （ N ）＝1－ P （ ）＝1－ P （ ）＝1－ P （ ） P
（ ） P （ ）＝1－ × × ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
18. （本小题满分17分）2024年入春以来，某市多有雾霾天气，空气
污染较为严重.市环保研究所对每天的空气污染情况进行调查研究
后发现，每一天中空气污染指数 f （ x ）与时刻 x （时）的函数关
系为： f （ x ）＝｜log25（ x ＋1）－ a ｜＋2 a ＋1， x ∈[0，24]，
其中 a 为空气治理调节参数，且 a ∈（0，1）.
（1）若 a ＝ ，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；
解： 若 a ＝ ，则 f （ x ）＝ ＋2≥2.
当 f （ x ）＝2时，log25（ x ＋1）－ ＝0，得 x ＋1＝2 ，即
x ＝4.
所以一天中凌晨4点该市的空气污染指数最低.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）若规定一天中 f （ x ）的最大值作为当天的空气污染指数，
要使该市每天的空气污染指数均不超过3，则调节参数 a 应
控制在什么范围内？
解： 设 t ＝log25（ x ＋1），则当0≤ x ≤24时，0≤
t ≤1.
设 g （ t ）＝｜ t － a ｜＋2 a ＋1， t ∈[0，1]，
则 g （ t ）＝
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
显然 g （ t ）在[0， a ]上是减函数，在（ a ，1]上是增函数，
则 f （ x ）max＝max{ g （0）， g （1）}.
因为 g （0）＝3 a ＋1， g （1）＝ a ＋2，由 g （0）－ g
（1）＝2 a －1＞0，得 a ＞ ，
所以 f （ x ）max＝
当0＜ a ≤ 时，2＜ a ＋2≤ ＜3，符合要求；
当 ＜ a ＜1时，由3 a ＋1≤3，得 ＜ a ≤ .
故调节参数 a 应控制在 内.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
19. （本小题满分17分）近几年高考增加了对数学文化的考查，为此
某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、
理科试卷满分均为100分），并对整个高三年级的学生进行了测
试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照
[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成了如图所
示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解： 由频率分布直方图可得第4组的频率为1－（0.01＋0.03＋0.03＋0.01）×10＝0.2，则 x ＝0.02.
故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为（55×0.01
＋65×0.03＋75×0.03＋85×0.02＋95×0.01）×10＝74（分）.
由于前两组的频率之和为0.1＋0.3＝0.4，前三组的频率
之和为0.1＋0.3＋0.3＝0.7，故中位数在第3组中.
设中位数为 t 分，则有（ t －70）×0.03＝0.1，得 t ＝
，即所求的中位数为 分.
（1）求频率分布直方图中 x 的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）用样本估计总体，若高三年级共有2 000名学生，试估计高
三年级这次测试成绩不低于70分的人数；
解： 由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，用样本估计总体，可以估计高三年级2 000名学生中成绩不低于70分的人数为2 000×0.6＝1 200.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽
取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的分析会，
试求成绩在[80，100]的学生至少有1人被抽到的概率.
解： 由（1）可知，后三组中的人数分别为15，10，5，由分层抽样的知识得这三组中所抽取的人数分别为3，2，1.
记成绩在[70，80）的3名学生分别为 a ， b ， c ，成绩在
[80，90）的2名学生分别为 d ， e ，成绩在[90，100]的1名
学生为 f ，则从中随机抽取3人的所有可能结果为（ a ， b ，
c ），（ a ， b ， d ），（ a ， b ， e ），（ a ， b ， f ），
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（ a ， c ， d ），（ a ， c ， e ），（ a ， c ， f ），（ a ， d ，e ），（ a ， d ， f ），（ a ， e ， f ），（ b ， c ， d ），（ b ， c ， e ），（ b ， c ， f ），（ b ， d ， e ），（ b ， d ， f ），（ b ， e ， f ），（ c ， d ， e ），（ c ， d ， f ），（ c ， e ， f ），（ d ， e ， f ），共20种.
其中成绩在[80，100]的学生没人被抽到的可能结果为（ a ， b ， c ），只有1种，
故成绩在[80，100]的学生至少有1人被抽到的概率为1－ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
谢 谢 观 看！
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

展开更多......

收起↑