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高一暑假作业1：集合与常用逻辑、不等式、复数（北师大版）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2025·江苏省苏州市·月考试卷)已知全集，，，则下图中阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.命题p：是命题q：成立的 条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
4.(2025·福建省三明市·月考试卷)已知,若不等式恒成立，则n的最大值为
A. 9 B. 12 C. 16 D. 20
5.(2025·吉林省·期末考试)已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D. 的解集为
6.(2025·河北省·单元测试)欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，得到公式，这个公式被誉为“数学的天桥”．根据该公式，可得( )
A. 1 B. C. 2 D.
7.已知函数的定义域为A，集合，若中的最小元素为2，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
8.(2025·浙江省·同步练习)当时，恒成立，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(2025·黑龙江省绥化市·期末考试)下列叙述中正确的是
A. 若，则
B. “，”的否定是“，”
C. ，则“”的充要条件是“”
D. 若命题“，”为假命题，则实数m的取值范围是
10.(2025·内蒙古自治区·期中考试)已知z是复数，且和都是实数，其中i是虚数单位．则下列说法正确的是
A.
B.
C.
D. 若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数
11.(2025·湖南省·单元测试)已知，关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(2025·上海市市辖区·月考试卷)已知条件p：，q：，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是 .
13.(2025·天津市·月考试卷)已知x，，若与互为共轭复数，则________.
14.设，若关于x的不等式对任意的恒成立，则的最大值为_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(2025·浙江省·单元测试)本小题13分
已知集合，，
求
若 ，求实数m的取值范围.
请从①，②，③这三个条件中选一个填入中横线处，并完成第问的解答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
16.(2025·广东省·单元测试)本小题15分
已知复数，其中 i为虚数单位.
若z是纯虚数，求实数m的值：
若，设，试求的值.
17.(2025·吉林省吉林市·期中考试)本小题15分
已知命题“关于x的方程有两个不相等的实数根”是假命题．
求实数m的取值集合A；
设集合，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18.(2025·黑龙江省·月考试卷)本小题17分
一墙一文化，一村一风景．在美丽乡村创建中，墙绘依托其公共性、视觉冲击等特点担负美化乡村、宣传乡村的使命．如图所示，某乡村拟建一绘画墙，在墙面上画三幅大小相同的矩形图画，每一幅画的面积为9600平方厘米，要求图画上四周空白的宽度为2厘米，每幅图画之间的空隙的宽度为2厘米．设绘画墙的长和宽分别为x厘米，y厘米．
求y关于x的关系式；
为了节约成本，应该如何设计绘画墙的尺寸，使得绘画墙墙面的面积最小？
19.(2025·吉林省·联考题)本小题17分
设函数
若不等式对于实数时恒成立，求实数x的取值范围;
命题，，使成立.若p为真命题，求实数a的取值范围.
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查集合的运算，Venn图表达集合的关系及运算，属于基础题.
依题意，可得阴影部分所示集合为，进而求解.
【解答】
解：依题意，可得阴影部分所示集合为，
其中，故
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查命题的否定．存在量词命题与全称量词命题的否定关系，基本知识的考查．
直接利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可．
【解答】
解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以：命题“，”的否定是：，
故选：
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查充分、必要条件的判断，属于基础题.
解分式不等式，再利用充分、必要条件的定义即可判断.
【解答】
解：由，得或，
因为是或的既不充分也不必要条件，
故p是q的既不充分也不必要条件，
故选
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查基本不等式，将n分离出来，化为是关键，属于中档题．
依题意可将化为，利用基本不等式即可得到答案．
【解答】
解：，，
，
由，得，当且仅当时取“=”
故选
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系，是基础题．
根据不等式的解集得出对应方程的解，以及，由此判断选项中的命题是否正确．
【解答】
解：因为不等式的解集为或，
所以和3是方程的解，且，选项A错误；
所以，解得，，选项B错误；
所以，选项C错误；
不等式可化为，即，
解得，所以不等式的解集为，选项D正确．
故选：
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查模的计算，体现基础性、创新性，属于基础题.
由定义得出，然后利用模的计算公式求解即可.
【解答】
解：由已知，
所以，
故选B.
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了函数的定义域
【解答】
函数，由解得或，所以集合或，由，得，即所以集合，因为A 中的最小元素为2，所以解得 4，故选
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查对数函数和指数函数的图像和性质，不等式恒成立问题.
作出与的大致图象，结合函数图像进行求解.
【解答】
解：，
，
而，
作出与的大致图象，如图所示，
则只需满足，
，
故选
9.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查利用不等式的基本性质判断不等关系，全称量词命题与存在量词命题的否定，充要条件及其判断，属于基础题.
利用不等式的性质判断A；利用存在量词命题的否定判断B；利用充要条件的定义判断C；求出m的范围判断
【解答】
解：对于A，，则 ，故A正确；
对于B，“，”是存在量词命题，
其否定是：“，”，故B错误；
对于C，若，，则，
因此不是的充要条件，故C错误；
对于D，命题“，”为假命题，
则，为真命题，
因此，解得，故D正确.
故选：
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了复数的概念，几何意义和复数的运算，属于中档题.
利用待定系数法可求得z，根据复数的模长公式，乘法运算以及几何意义即可得结果.
【解答】
解：设，x，，
所以为实数，即
所以，即，所以，故A正确;
所以，故B错误;
所以，故C正确;
复数对应的点为在第三象限，所以
解得，故D正确，
故选：
11.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题主要考查一元二次不等式，以及根的存在性及根的个数判断问题，同时考查了转化的思想，属于较综合的中档题．
设，其图象是开口向上，对称轴是的抛物线，如图所示．利用数形结合的方法得出，若关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则，从而解出所有符合条件的a的值．
【解答】
解：设，其图象是开口向上，对称轴是的抛物线，如图所示．
若关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则
，即，
解得又，，6，
故选
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件与必要条件，属于基础题．
根据已知条件，可知p能推出q，即可列出不等式组，即可求解．
【解答】
解：：，q：，p是q的充分条件，
能推出q，即，解得，
故实数k的取值范围为
故答案为：
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了共轭复数和复数的四则运算，先由复数的运算化简，再由共轭复数定义可得结果.
【解答】
解：，
与互为共轭复数，
，，则，
故答案为
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等式恒成立问题，分类讨论思想的应用.
分类讨论a、b与0的大小关系，根据不等式恒成立得出的范围，即可求出的最大值.
【解答】
解：当时，，，
所以在上恒成立，
可转化为，，
在上单调递增，，
所以，则，
所以；
当时，在上恒成立，且，
当时，，不符合题意；
当时，由题意知，恒成立，
则，，所以，
所以，
综上可知，的最大值为
故答案为
15.【答案】解：集合，，
若选择①，由，得，即，
实数m的取值范围是
若选择②，由，得，即，
实数m的取值范围是
若选择③，由，且或，得，即，
实数m的取值范围是
【解析】本题为结构不良题型，考查集合的基本运算，集合关系中含参问题，属于基础题.
16.【答案】解：若z是纯虚数，则 ，解得 ；
若 ，则 ，
，
， ，
；
综上， ， .

【解析】本题主要考察复数的概念与分类和复数的除法运算，属于中等题.
根据复数的定义以及复数相等的意义即可求解.
17.【答案】解：若命题“关于x的方程有两个不相等的实数根”是真命题，
则，解得或，
故
因为，是的充分不必要条件，所以
即等号不同时成立，解得，
所以实数a的取值范围为
【解析】本题考查充分条件，必要条件，集合的包含关系，属于中档题．
先假设命题为真，进行求解即可；
根据题意，可得，即可得解.
18.【答案】解：由题意，知每一幅矩形图画的长为厘米，宽为厘米，
则，整理得
由知绘画墙墙面的面积，
则
，
由基本不等式，有，当且仅当时取等号．
故，此时，
故当绘画墙墙面的长为248厘米，宽为124厘米时，绘画墙面的面积最小．

【解析】本题考查利用基本不等式解决实际问题，属于中档题.
由题意得，化简即可得解；
首先得，然后结合基本不等式及其取得条件即可求解.
19.【答案】解：原式可化为对实数恒成立，
即对实数恒成立，
因为恒成立，
则只需满足对实数恒成立，
因为，故即可，
所以
则，
解得
由题意知：在的最小值大于等于在上的最小值即可，
，当且仅当，即时，取等号，
所以在上的最小值为3，
若即，则，则，易得，
若即，则，则矛盾，
，即，则，易得
综上可得：，即a的取值范围为
【解析】本题考查不等式恒成立问题，二次函数的单调性及最值，利用基本不等式求最值，属于较难题.
原式可化为对实数恒成立，即对实数恒成立，然后进行后面的求解即可得；
由题意知：在的最小值大于等于在上的最小值即可，利用基本不等式求得在上的最小值为3，对中的a进行分析讨论，计算求解即可得实数a的取值范围.
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