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13．3　三角形的内角与外角
13．3.1　三角形的内角
【学习目标】
1．会阐述三角形内角和定理．
2．会应用三角形内角和定理进行计算(求三角形的角的度数)．
3．能通过动手实践去验证三角形的内角和定理．
【预习导学】
阅读教材P11—14，回答下列问题：
(1)三角形的内角和等于__180°__；
(2)在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝　__50°__；
(3)已知三角形三个内角的度数之比为1∶3∶5，则这三个内角的度数分别为__20°，60°，100°__；
(4)在△ABC中，若∠A＝40°，∠B＝50°，则△ABC为__直角__三角形．
【自学反馈】
1．在△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC是(　B　)
A．锐角三角形　　　　　B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．一个三角形至少有(　B　)
A．一个锐角 B．两个锐角
C．一个钝角 D．一个直角
3．在Rt△ABC中，C为直角顶点，∠A＝46°，则∠B＝__44°__.
【合作探究】
活动1　揭示三角形的内角和
利用三角板的三个角之和为多少度来探索三角形的内角和．
30°＋60°＋90°＝__180°__，
45°＋45°＋90°＝__180°__.
活动2　探索并证明三角形的内角和定理
1．动手把一个三角形(如图①)的两个角剪下按图②拼在一起，可得到∠A＋∠B＋∠ACB＝__180°__.
2．把∠B和∠C剪下按图③拼在一起，用量角器得∠MAN＝__180°__.
如果我们不用剪、拼办法，可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论的正确性呢？
活动3　跟踪训练
1．在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝55°，则∠C为__直__角．
2．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A＝__40°__，∠B＝__60°__，∠C＝__80°__.
3．(1)一个三角形中最多有几个直角？__1个__
(2)一个三角形中最多有几个钝角？__1个__
4．任意一个三角形中，最大的一个角的度数至少为__60°__.
5．如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数是__90°__.
活动4　拓展与思考
在△ABC中，如果∠A＝∠B＝∠C，那么△ABC是什么三角形？
解：设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x.
根据题意得x＋2x＋3x＝180°，
解得x＝30°，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
13．3.2　三角形的外角
【学习目标】
1．在操作活动中，探索并了解三角形的外角的两条性质．
2．利用学过的定理论证这些性质．
3．能利用三角形的外角性质解决与外角有关的实际问题．
【预习导学】
阅读教材P15，回答下列问题：
(1)如图①，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作__三角形的外角__；
　 　
① ②
如图②，一个三角形有__6__个外角．每个顶点处有__2__个外角；
(2)在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD＝__120°__.试猜想∠ACD与∠A，∠B的关系是__∠A＋∠B＝∠ACD__；
(3)试结合图形写出上题猜想的证明过程．
证明：过点C作CM∥AB，延长BC到D.
则∠1＝__∠A__(两直线平行，内错角相等)，
∠2＝__∠B__(两直线平行，同位角相等)，
所以∠1＋∠2＝__∠A__＋__∠B__.
即∠A＋∠B＝__∠ACD__.
一般地，有下面的结论：
三角形的外角等于与它不相邻的__两个内角的和_．
【自学反馈】
1．判断下列∠1是哪个三角形的外角：
解：(1)△ACB.　(2)△ADB.　(3)△ACB.
(4)△AEC.
2．求下列各图中∠1的度数．
解：(1)75°.　(2)95°.　(3)120°.　(4)125°.
【合作探究】
活动1　思考发现
1．定义：三角形__一边__与另一边的__延长线__组成的角，叫作三角形的外角．
2．画△ABC，你能画出所有的外角来吗？动手试一试，同时想一想，△ABC的外角共有几个呢？
解：图略，△ABC的外角共有6个．
活动2　三角形外角的性质
如图，回答下列问题：
(1)看一看：图中哪些角是三角形的内角，哪些角是三角形的外角？
解：∠A，∠B，∠ACB是三角形的内角，∠ACD是三角形的外角．
(2)算一算：若∠A＝70°，∠B＝60°，你能求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？
解：∠ACD＝130°，∠ACD＝∠A＋∠B.
(3)想一想：任何三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？
解：有．　
(4)证一证：证明你的猜想∠ACD＝∠A＋∠B.
证明：∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∠ACD＋∠ACB＝180°，
∴∠ACD＝∠A＋∠B.
【归纳总结】三角形的外角等于__与它不相邻的__两个内角的和．
活动3　三角形的外角和定理
如图，求∠1＋∠2＋∠3的度数．
解：∠1＋∠BAC＝180°，
∠2＋∠ABC＝180°，
∠3＋∠ACB＝180°，
三个式子相加得
∠1＋∠2＋∠3＋∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝540°.
∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
∴∠1＋∠2＋∠3＝360°.
【归纳总结】三角形的外角和为__360°__.
活动4　跟踪训练
1．求下列各图中∠1的度数．
解：(1)∠1＝85°.(2)∠1＝80°.(3)∠1＝95°.
2．求下列各图中∠1和∠2的度数．
解：(1)∠1＝60°，∠2＝30°.(2)∠1＝50°，∠2＝140°.
3．已知三角形各外角的比为2∶3∶4，求它的每个外角的度数．
解：设三个外角度数分别为2x，3x，4x，由三角形外角和为360°得
2x＋3x＋4x＝360°， 解得x＝40°，
∴三个外角度数分别为80°，120°，160°.
4．如图，AB∥CD，∠4＝40°，∠1＝45°，求∠2和∠3的度数．
解：∠2＝40°，∠3＝85°.

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