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5．3　二元一次方程组的应用
第1课时　古代数学问题　　　第2课时　和差倍分问题
学习目标
【知识与技能】
1．会用二元一次方程组解决实际问题。
2．在解决实际问题的过程中，能用方程组这样的数学模型刻画现实世界。
【过程与方法】
1．在列方程组的建模过程中，强化方程的模型思想，培养列方程解决现实问题的意识和应用能力。
2．将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，进一步提高解方程组的技能。
学习重难点
【重点】
经历和体验到方程组解决实际问题的过程，进一步体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型，培养数学应用能力。
【难点】
用方程(组)这样的数学模型刻画和解决实际问题，即数学建模的过程。
学习过程
一、创设情境，引入新课
“鸡兔同笼”是经典的数学问题，在小学阶段曾探究过它的多种解法，现在用方程来解决此问题，看结果如何。
二、学习新课
今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
(1)“上有三十五头”的意思是什么？“下有九十四足”是什么意思？
(2)你能根据(1)中的数量关系列出方程组吗？
(3)你能解决这个有趣的问题吗？
解：“上有三十五头”是指鸡和兔共有35只，即“鸡的只数＋兔的只数＝35”，“下有九十四足”是指鸡的腿和兔子的腿的和为94条，即“鸡的腿数＋兔子的腿数＝94”。
根据(1)中的数量关系，我们可以设鸡有x只，兔有y只，可得x＋y＝35①，2x＋4y＝94②，把①和②联立方程组，得
解这个方程组，得
即笼中有鸡23只，兔12只。
三、例题学习
【例】　以绳测井。若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺。绳长、井深各几何？
题目大意：用绳子测量水井的深度。如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺。绳长、井深各是多少尺？
解：设绳长x尺，井深y尺，根据题意，得
①－②，得－＝4，
解得x＝48。
将x＝48代入①，得y＝11。
所以绳长48尺，井深11尺。
第3课时　百分数、小数问题
学习目标
【知识与技能】
用二元一次方程组解决图文信息问题。
【过程与方法】
经历方程组解决问题的过程，熟练等量关系的寻找，方程组的建立，体验数形结合的紧密性。
学习重难点
【重点】
会用二元一次方程组解决问题。
【难点】
理解并分析问题，找等量关系，列方程组。
学习过程
一、学习新课
某工厂去年的利润(总收入－总支出)为200万元。今年总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元。去年的总收入、总支出各是多少万元？
分析：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则有
总收入/万元 总支出/万元 利润/万元
去年 x y 200
今年 (1＋20%)x (1－10%)y 780
根据上表，可以列出方程组
。
解得。
因此，去年的总收入是2 000万元。
总支出是1 800万元。
二、例题学习
【例1】　医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品。每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质。若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
分析：设每餐需甲原料x g、需乙原料y g，则有
甲原料x g 乙原料y g 所配制的营养品
其中所含蛋白质 0.5x 0.7y 05x＋0.7y
其中所含铁质 x 0.4y x＋0.4y
解：设每餐需甲原料x g、需乙原料y g，根据题意，得
化简，得
①－②，得5y＝150，
y＝30。
将y＝30代入①，得x＝28。
所以每餐需要甲原料28 g、乙原料30 g。
【例2】　通过对一份中学生营养快餐的检测，得到以下信息：
①快餐总质量为300 g；
②快餐的成分：蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质；
③蛋白质和脂肪含量占50%；矿物质的含量是脂肪含量的2倍；蛋白质和碳水化合物含量占85%。
根据上述数据回答下面的问题：
分别求出营养快餐中蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质的质量和所占百分比；
分析：找题中的等量关系：
a．蛋白质含量＋脂肪含量＝总质量×50%。
b．矿物质含量＝2×脂肪含量。
c．蛋白质含量＋碳水化合物含量＝总含量×85%。
d．碳水化合物＋矿物质含量＝总质量×50%。
……
解：设一份营养快餐中含蛋白质x(g)，脂肪y(g)，则含矿物质为2y(g)，碳水化合物为(300×85%－x)(g)。由题意，得
化简，得
①＋②，得3y＝45，解得y＝15。
所以x＝150－y＝150－15＝135(g)。
2y＝2×15＝30(g)，
300×85%－x＝255－135＝120(g)。
故营养快餐中蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质的质量和所占百分比如下表。
蛋白质 脂肪 矿物质 碳水化合物 合计
各种成分的质量(g) 135 15 30 120 300
各种成分所占百分比(%) 45 5 10 40 100
归纳：解信息量大、关系复杂的实际问题时，要仔细分析题意，找出等量关系，利用它们的数量关系适当地设元，然后列方程组解题。
第4课时　图文信息问题
学习目标
【知识与技能】
用二元一次方程组解决实际问题。
【过程与方法】
经历和体验方程组解决实际问题的过程，了解应用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
学习重难点
【重点】
经历和体验用二元一次方程组解决实际问题的过程，会列方程组解决实际问题。
【难点】
在实际问题中找等量关系，列方程组。
学习过程
一、例题学习
【例】　如图，在踩高跷表演中，已知演员身高是高跷长度的2倍，高跷与腿重合部分的长度是28 cm，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为 224 cm，设演员的身高为 x cm，高跷的长度为y cm，求x，y的值。
分析：本题存在两个等量关系：一是演员的身高是高跷长度的2倍；二是演员的身高与高跷和腿重合部分长度的差等于演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度与高跷的长度的差。
解：根据题意得
解得
答：演员的身高为168 cm，高跷的长度为 84 cm。
二、巩固练习
如图，8块相同的小长方形地砖恰好能拼成一个大长方形，且该大长方形的宽为20 cm，求每块小长方形地砖的面积。
解：设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，由题意和图形得
解得
15×5＝75(cm2)。
答：每块小长方形地砖的面积为75 cm2。
第5课时　行程问题
学习目标
【知识与技能】
会用二元一次方程组解决行程问题，掌握行程问题中的等量关系。
【过程与方法】
通过用二元一次方程组解决行程问题，进一步了解解题的一般步骤，感受二元一次方程组在实际问题中的实用性。
学习重难点
【重点】
用二元一次方程组解决行程问题。
【难点】
寻找等量关系，建立方程组模型。
学习过程
一、例题学习
【例】　两地相距280 km，一艘轮船在其间航行，顺流用14 h，逆流用20 h。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度。
解：设这艘轮船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h，
依题意列方程组得
解得
答：这艘轮船在静水中的速度为17 km/h，水流速度为3 km/h。
二、巩固练习
甲、乙两物体分别以均匀的速度在周长为600 m的圆形轨道上运动，甲的速度较快。当两物体反向运动时，每15 s相遇1次；当两物体同向运动时，每1 min相遇一次，求各物体的速度。
(提示：反向：甲15 s所走路程＋乙15 s所走路程＝600，同向：甲60 s所走路程－乙60 s所走路程＝600。)
解：设甲物体的速度为x m/s，乙物体的速度为y m/s。
依题意列方程组得
解得
答：甲物体的速度为25 m/s，乙物体的速度为15 m/s。
小结：行程问题：路程＝速度×时间。
追及问题：快车路程－慢车路程＝被追路程。
相遇问题：两者路程之和＝两者开始的距离。
第6课时　购买问题
学习目标
【知识与技能】
用二元一次方程组解决购买问题，进一步掌握方程组解决问题的方法。
【过程与方法】
经历和体验方程组解决购买问题的过程，了解应用二元一次方程组解决购买问题的一般步骤。
学习重难点
【重点】
掌握运用二元一次方程组解决销售问题的步骤。
【难点】
学会用二元一次方程组解决简单的销售应用问题。
学习过程
一、例题学习
【例】　某商场购进商品后，加价40%作为销售价。后来在促销活动中，商场决定将甲、乙两种商品分别按七折和九折销售，某顾客购买甲、乙两种商品共付款399元，这两种商品原销售价之和为490元，则这两种商品的进价分别为多少元？
分析：本题的两个等量关系：
并且标价＝(1＋利润率)×进价。
设甲商品进价为x元，乙商品的进价为y元。
根据题意得
解得
答：甲商品的进价为150元，乙商品的进价为200元。
二、巩固练习
某商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价50%、乙商品加价40%作为标价，适逢元旦，商场举办促销活动，甲商品打八折销售，乙商品打八五折酬宾。某顾客购买甲、乙商品各1件，共付款 538元，已知商场共盈利88元，求甲、乙两种商品的进价。
解：设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，则
化简，得解得
答：甲商品的进价为每件250元，乙商品的进价为每件200元。
小结：销售问题中进价、利润、售价、折扣等量之间的关系：利润＝售价－进价，售价＝标价×折扣，售价＝进价＋利润等。

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