资源简介

第七章　命题与证明
7．1　认识证明
第1课时　为什么要证明
学习目标
【知识与技能】
1．体会通过观察、猜想、归纳等得到的结论不一定正确，从而认识到证明的必要性。
2．理解并掌握检验数学结论是否正确的常用方法：试验验证、举出反例、推理证明等，理解数学的严谨性。
【过程与方法】
通过观察、猜想、推理的过程，发展探索意识与合作交流的意识。
学习重难点
【重点】
理解判断一个结论正确与否需要进行推理证明，理解并掌握应用实验进行证明、举反例验证、利用推理论证来验证某些结论是否正确的方法。
【难点】
体会数学推理的重要性和必要性。
学习过程
一、创设情境，引入新课
在以前的学习过程中，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论，那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗？
1．探究一：观察得到的结论正确吗？
(1)图①中两条线段a，b的长度相等吗？图②中的四边形是正方形吗？请先观察，再设法体验你观察到的结论；
(2)如图③，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1 m的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否一致。
图①中的两条线段相等；图②是正方形；图③中假设地球半径是R，则赤道长2πR，铁丝长(2πR＋1)m，那么这个铁丝围成的半径是m，所以铁丝与赤道之间的间隙为 m≈16 cm，能放进一个拳头。
2．探究二：归纳得到的结论正确吗？
(1)听故事“公鸡归纳法”：
某主妇养小鸡十只，公母各半。她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐。天天早晨她拿米喂鸡。到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃。”这时，该主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了。
第1天有食吃，第2天有食吃……第99天有食吃，一定能推出第100天有食吃吗？从这个故事中你明白了什么道理？
(2)算一算验证“归纳法”：
①出示代数式n2－n＋11，分别计算当n＝1，2，3，4，5时，代数式的值是多少，提问它们的值都是质数吗？
②我们是不是可以由此得出结论，当n为任意自然数时，n2－n＋11的值一定是质数呢？
③再多取几个数代入代数式中，验证结论是否正确。
不正确，比如当n＝11时，n2－n＋11＝121，结果是合数。
④思考：由归纳得到的结论一定正确吗？
(3)再次验证“归纳法”：
如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想。你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗？
DE与BC平行，且等于BC长度的一半；猜想：连接三角形两条边的中点所得的线段平行第三条边，且是第三条边长度的一半；这样的结论对所有的三角形都成立。
小结：归纳得到的结论有的正确有的不正确。
3．交流与发现。
通过上述几类问题的分析，你有什么发现吗？
(1)通过实验、观察、归纳得到的结论是否都正确？怎样判断一个结论是否正确呢？
(2)总结：实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确，因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明。
二、例题学习
【例1】　观察图中的两条线段a与b，你认为哪条线段长些？
分析：观察往往会产生错觉，得出的结论不一定正确，想要判断两条线段是否一样长，最科学、合理的方式是量一量，动手操作量一量。
解：两条线段一样长。
【例2】　图中三条线段a，b，c，哪一条线段与线段d在同一直线上？请先观察，再用三角尺验证一下。
解：线段b与线段d在同一直线上。
第2课时　定义与命题
学习目标
【知识与技能】
会在简单情况下判断一个命题的真假，会区分命题中的条件与结论。
【过程与方法】
通过对真假命题的判断，树立科学严谨的学习方法。
学习重难点
【重点】
定义、命题的概念。
【难点】
正确认识定义、命题(真命题)之间的区别。
学习过程
一、学习新课
1．判断下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
(1)同一平面中的两条直线不是平行就是相交。(　　)
(2)画一个长方形和正方形。(　　)
(3)直角小于钝角。(　　)
(4)4是偶数吗？(　　)
判断一件事情的句子叫作命题。每个命题都由条件和结论两部分组成。
2．思考下列命题的条件是什么？结论是什么？
(1)如果地面是潮湿的，那么下雨了；
(2)同位角相等，两条直线平行；
(3)三角形两边之和大于第三边。
在上述命题中，哪些正确？哪些不正确？你的理由是什么？
3．什么叫作真命题，什么叫作假命题？
正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。
二、例题学习
【例1】　下列语句是命题的是(　　)
A．画线段CD
B．内错角相等吗
C．用量角器画∠AOC＝90°
D．对顶角相等
解：D
【例2】　能说明命题“若x>y，则x2>y2”是假命题的反例可以是(　　)
A．x＝－2，y＝1　　　　　B．x＝2，y＝1
C．x＝1，y＝－2 D．x＝1，y＝2
解：C
【例3】　将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并判断它们是真命题还是假命题，若是假命题，请举出反例。
(1)绝对值相等的两个数一定相等；
(2)一个角的补角一定是钝角。
解：(1)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等，是假命题，例如：|2|＝|－2|，但2≠－2。
(2)如果一个角是另一个角的补角，那么这个角一定是钝角。是假命题；例如：设∠1＝60°，∠2＝120°，∠1是∠2的补角，但∠1不是钝角。
第3课时　定理与证明
学习目标
【知识与技能】
1．理解公理和定理的概念。
2．会进行推理和证明。
【过程与方法】
通过证明的过程，强化逻辑表达能力。
学习重难点
【重点】
公理、定理的概念。
【难点】
证明过程的书写。
学习过程
一、创设情景，引入新课
我们知道真命题与假命题的概念，也知道要判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可；但要判断一个命题是真命题，该怎么办呢？
二、学习新课
1．什么叫公理？公理的意义是什么？
2．定理的概念是什么？它和公理有什么区别和联系？
3．我们学过哪些公理？哪些定理？
4．小结：
(1)公理：人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。这样公认为正确的命题叫作公理。
例如：“两点之间线段最短”“三边分别相等的两个三角形全等”“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”……
(2)定理：经过证明的真命题称为定理。
定理和公理都可以作为判断其他命题真假的依据。
5．判断。
所有的命题都是公理；所有的真命题都是定理。(　　)
所有的定理是真命题；所有的公理是真命题。(　　)
6．请用学过的公理或定理说明下面这些命题的正确性。
(1)同角(等角)的补角相等。
(2)同角(等角)的余角相等。
(3)三角形的任意两边之和大于第三边。
几何证明如下：
(1)已知∠1＝∠2，∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角，求证：∠3＝∠4。
证明：∵∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角。
∴∠3＝180°－∠1，∠4＝180°－∠2。
∵∠1＝∠2。∴∠3＝∠4。
同理可证同角的补角相等。
(2)证明过程与(1)类似。
(3)任取三角形的两个顶点，根据公理“两点之间线段最短”可知命题正确。
三、例题学习
【例】　如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角。
求证：∠AOC＝∠BOD。
证明：∵直线AB与直线CD相交于点O，
∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义)。
∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义)。
∴∠AOC＝∠BOD(同角的补角相等)
小结：得到定理：对顶角相等。

展开更多......

收起↑