资源简介

7.1.2　弧度制及其与角度制的换算
1.下列角与－的终边相同的是（　　）
A.－　 　 B.　 　
C.　 　 D.－
2.已知点P在圆O上先按顺时针方向旋转弧度，再按逆时针方向旋转弧度，则OP转过的角等于（　　）
A.－ B.－
C. D.
3.（多选）下列转化结果正确的是（　　）
A.67°30'化成弧度是 B.－化成角度是－600°
C.－150°化成弧度是－ D.化成角度是15°
4.把－π表示成θ＋2kπ（k∈Z）的形式，使｜θ｜最小的θ值是（　　）
A.－ B.－
C. D.
5.圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为（　　）
A. B.
C. D.2
6.《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝（弦×矢＋矢2）.弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（　　）
A.6 m2 B.9 m2
C.12 m2 D.15 m2
7.－105°化为弧度为　　　　，π化为角度为　　　　.
8.弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为　　　　，面积为　　　　.
9.若角α的终边与角π的终边相同，则在[0，2π]上，终边与角的终边相同的角是　　　　.
10.已知角α＝1 200°.
（1）将α改写成β＋2kπ（k∈Z，0≤β＜2π）的形式，并指出α是第几象限的角；
（2）在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角.
11.数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形.若线段AB长为2，则莱洛三角形的面积是（　　）
A.2π－ B.π－
C.2π－2 D.2π＋
12.（多选）某扇形的周长为6，面积为2，则其圆心角的弧度数可能是（　　）
A.1 B.2
C.4 D.5
13.某时针的秒针端点A到中心O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合.设秒针端点A转过的路程为d cm，所形成的扇形面积为S cm2，分别求d与S关于时间t（s）的函数，其中t∈[0，60].
7.1.2　弧度制及其与角度制的换算
1.C　法一　由于－＝－4π＋，所以－与的终边相同，与的终边相同的角的集合为{α＋2kπ，k∈Z}，令k＝1，α＝，故选C.
法二　因为－－＝－，－－＝－，－－＝－6π，－－＝－，只要两个角的差为周角的整数倍，那么其终边相同，故选C.
2.B　∵按顺时针方向旋转转过的角为负角，按逆时针方向旋转转过的角为正角，∴OP转过的角为－＋＝－.故选B.
3.ABD　对于A，67°30'＝67.5×＝，故A正确；对于B，因为－×＝－600°，所以－＝－600°，故B正确；对于C，－150°＝－150×＝－，故C错误；对于D，因为×＝15°，所以＝15°，故D正确.故选A、B、D.
4.A　∵－＝－2π－，∴－与－是终边相同的角，且此时＝是最小的.
5.C　如图，设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，所以圆弧长度为R的圆心角的弧度数α＝＝.
6.B　根据题设，弦＝2×4sin ＝4 m，矢＝4－4cos ＝2 m，故弧田面积＝×（弦×矢＋矢2）＝×（4×2＋22）＝4＋2≈9 m2.
7.－π　600°　解析：－105°＝－105×＝－π，π＝π×＝600°.
8.4　6π　解析：因为135°＝＝，所以扇形的半径为＝4，面积为×3π×4＝6π.
9.，，，　解析：由题意，得α＝＋2kπ，∴＝＋（k∈Z）.令k＝0，1，2，3，得＝，，，.
10.解：（1）因为α＝1 200°＝1 200×＝＝3×2π＋，
又＜＜π，所以角α与的终边相同，所以角α是第二象限的角.
（2）因为与角α终边相同的角（含角α在内）为2kπ＋，k∈Z，所以由－4π≤2kπ＋≤π，得－≤k≤.
因为k∈Z，所以k＝－2或k＝－1或k＝0.
故在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是－，－，.
11.C　由已知得AB＝BC＝AC＝2，则＝＝＝，故扇形的面积为，由已知可得，莱洛三角形的面积是扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍，所以所求面积为3×－2××22＝2π－2.故选C.
12.AC　设此扇形的半径为r，圆心角的弧度数是α（0＜α＜2π），则有解得α＝1或α＝4，故选A、C.
13.解：∵秒针的旋转方向为顺时针，
∴t s后秒针端点A转过的角α＝－ rad，
∴秒针端点A转过的路程为d＝｜α｜·r＝（cm），
∴形成的扇形面积为S＝｜α｜·r2＝（cm2），
∴d＝（t∈[0，60]），S＝（t∈[0，60]）.
2 / 27.1.2　弧度制及其与角度制的换算
新课程标准解读 核心素养
1.了解弧度制的概念，能进行角度与弧度之间的互化 数学抽象
2.理解弧度制下扇形的弧长与面积公式 数学运算
公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念.欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年，在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于2π弧度，1弧度等于周角的.这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算.
【问题】　按照上述定义30°是多少弧度？
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　弧度制
1.度量角的两种制度
角度制 定义 用度作单位来度量角的制度
1度 的角 1度的角等于周角的　　，记作1°
弧度制 定义 以弧度为单位来度量角的制度
1弧度 的角 长度等于　　　　的圆弧所对的圆心角为1弧度的角.记作1 rad（rad可省略不写）
在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为 α rad，则α＝（l＝αr）.
2.弧度制与角度制的换算
（1）弧度制与角度制的互化（换算）
180°＝　　 rad；
设一个角的角度数为n，弧度数为α，则＝.
（2）特殊角的度数与弧度数的对应表
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π π π π π 2π
提醒　角度制和弧度制的比较：①弧度制与角度制是以不同单位来度量角的单位制；②1弧度的角与1度的角所指含义不同，大小更不同；③无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值；④用“度”作为单位度量角时，“度”（或“°”）不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写.
【想一想】
1.在大小不同的圆中，长为1的弧所对的圆心角相等吗？为什么？
2.某同学表示与30°角终边相同的角的集合时写成S＝{α｜α＝2kπ＋30°，k∈Z}，这种表示正确吗？为什么？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.（　　）
（2）用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关.（　　）
（3）1弧度的角等于1度的角.（　　）
（4）直角的弧度数为.（　　）
2.360°化为弧度数是（　　）
A.　　　　　　　　 B.π
C. D.2π
知识点二　扇形的弧长及面积公式
　设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角的弧度数，n为圆心角的角度数，则扇形的弧长：l＝＝　　；扇形的面积：S＝　　　＝　　　　.
提醒　扇形面积公式的再理解：①在应用公式l＝αr和S＝lr＝αr2时，要注意α的单位是弧度；②弧度制下的扇形面积公式S＝lr，与三角形面积公式S＝ah（h是三角形底边a上的高）有类似的形式.
【想一想】
　圆心角所对的弧长与半径的比值，与半径的大小有关吗？
1.已知扇形的周长为6 cm，半径是2 cm，则扇形的圆心角的弧度数是（　　）
A.4　　　　　　　　　 B.1
C.1或4 D.2
2.圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为　　　　.
题型一 弧度制的概念
【例1】　下列说法中正确的是（　　）
A.1弧度是1度的圆心角所对的弧
B.1弧度是长度为半径长的弧
C.1弧度是1度的弧与1度的角之和
D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
通性通法
弧度制与角度制的区别与联系
区别 ①单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位； ②定义不同
联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值
【跟踪训练】
　时钟的分针在从1时到3时20分这段时间里转过的弧度数为（　　）
A.π　　　　　　 B.－π
C.π D.－π
题型二 角度与弧度的换算
【例2】　（1）将α1＝510°，α2＝－750°用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；
（2）将β1＝，β2＝－用角度表示出来，并在（－360°，360°）内找出与它们各自终边相同的所有的角.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
通性通法
角度制与弧度制转换中的注意点
（1）在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键.由它可以得：度数×＝弧度数，弧度数×°＝度数；
（2）特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记；
（3）在同一个式子中，角度与弧度不能混合用，必须保持单位统一，如α＝2kπ＋30°，k∈Z是不正确的写法；
（4）判断角α终边所在的象限时，若α [－2π，2π]，应首先把α表示成α＝2kπ＋β，β∈[－2π，2π]的形式，然后利用角β终边所在的象限来确定角α终边所在的象限.
【跟踪训练】
1.把下列弧度化为角度.
（1）＝　　　　；
（2）－＝　　　　.
2.将α＝－800°改写成β＋2kπ（k∈Z，0≤β＜2π）的形式，并指出α是第几象限角.
题型三 扇形的弧长公式及面积公式
【例3】　已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为.求：
（1）这个圆心角所对的弧长；
（2）这个扇形的面积.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【母题探究】
1.（变条件）本例条件变为“圆的半径为10，圆心角为60°”，完成本例问题（1）.
2.（变条件）本例条件变为“扇形的圆心角是，弧长为π”，完成本例问题（2）.
通性通法
关于弧度制下扇形问题的解决方法
（1）三个公式：｜α｜＝，S＝lr＝αr2，要恰当选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程（组）求值；
（2）弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长（面积），利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值求解.
【跟踪训练】
1.一个扇形的面积为15π，弧长为5π，则这个扇形的圆心角为（　　）
A. B.
C. D.
2.已知扇形的周长是4，则扇形面积的最大值为　　　　，此时扇形的圆心角α＝　　　　.
扇形的弧长公式的应用
如图，点P，Q从点A（4，0）同时出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转，点Q按顺时针方向每秒钟转.
【问题探究】
1.点P，Q第一次相遇时用了多少秒？
提示：设点P，Q第一次相遇所用的时间是t s，则t·＋t·＝2π，解得t＝4，∴第一次相遇时用了4 s.
2.点P，Q第一次相遇时各自走过的弧长是多少？
提示：第一次相遇时，点P运动到角的终边与圆相交的位置，点Q运动到角－的终边与圆相交的位置，
∴点P走过的弧长为·4＝，点Q走过的弧长为×4＝.
【迁移应用】
　若点Q也按逆时针方向转，则点P，Q第一次相遇时用了多少秒？
1.（多选）下列各式正确的是（　　）
A.－210°＝－　　　　 B.405°＝ C.335°＝ D.705°＝
2.在半径为8 cm的圆中，π的圆心角所对的弧长为（　　）
A.π cm B.π cm C.π cm D.π cm
3.如果α＝－2，则α的终边所在的象限为（　　）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.将－1 485°化成2kπ＋α（0≤α＜2π，k∈Z）的形式为　　　　.
5.一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数.
7.1.2　弧度制及其与角度制的换算
【基础知识·重落实】
知识点一
1.　半径长　2.（1）π
想一想
1.提示：不相等.这是因为长为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同.
2.提示：这种表示不正确，同一个式子中，角度、弧度不能混用，否则会产生混乱，正确的表示方法应为{αk∈Z}或{α｜α＝k·360°＋30°，k∈Z}.
自我诊断
1.（1）√　（2）×　（3）×　（4）√
2.D
知识点二
　αr　lr　αr2
想一想
　提示：只与α的大小有关，也就是说，这个比值随α的确定而唯一确定.
自我诊断
1.B　设扇形的圆心角为α rad，半径为R cm，则解得α＝1.
2.6π　解析：扇形的面积为×62×＝6π.
【典型例题·精研析】
【例1】　D　利用弧度的定义及角度的定义判断.
选项 结论 理由
A 错误 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度是角的一种度量单位，而不是长度的度量单位
B 错误
C 错误
D 正确
跟踪训练
　B　显然分针在从1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度数为×2π＝－π.
【例2】　解：（1）∵1°＝ rad，
∴α1＝510°＝510×＝＝2π＋；
α2＝－750°＝－750×＝－＝－4π－.
∴角α1的终边在第二象限，角α2的终边在第四象限.
（2）β1＝＝＝144°.
设θ1＝k·360°＋144°（k∈Z），
∵－360°＜θ1＜360°，∴－360°＜k·360°＋144°＜360°，
∴k＝－1或k＝0.
∴在（－360°，360°）内与角β1终边相同的角是－216°.
β2＝－＝＝－330°.
设θ2＝k·360°－330°（k∈Z），
∵－360°＜θ2＜360°，∴－360°＜k·360°－330°＜360°，
∴k＝0或k＝1.
∴在（－360°，360°）内与角β2终边相同的角是30°.
跟踪训练
1.（1）690°　（2）－390°　解析：（1）＝＝690°.
（2）－＝－＝－390°.
2.解：∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝π，
∴α＝－800°＝＋（－3）×2π.
∵α与角终边相同，∴α是第四象限角.
【例3】　解：（1）因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为，所以半径r＝＝，
所以这个圆心角所对的弧长l＝×＝.
（2）由（1）得扇形的面积S＝××＝.
母题训练
1.解：设圆心角为α，则α＝60°＝rad.又r＝10，∴l＝αr＝.
2.解：设扇形的圆心角的度数为n，由l＝αr，∴r＝3，∴S＝lr＝.
跟踪训练
1.D　设扇形的圆心角为θ，半径为r，则解得故扇形的圆心角为.
2.1　2　解析：设扇形的半径为r，则弧长l＝4－2r，∴扇形面积S＝lr＝（2－r）r＝－（r－1）2＋1，当r＝1时，S最大，最大值为1.此时l＝2，扇形的圆心角α＝＝2.
拓视野　扇形的弧长公式的应用
迁移应用
　解：设点P，Q第一次相遇的时间为t s，则t·－t·＝2π，解得t＝12 s.所以第一次相遇时用了12 s.
随堂检测
1.ABD　对于A，－210°＝－210×＝－，正确；对于B，405°＝405×＝，正确；对于C，335°＝335×＝，错误；对于D，705°＝705×＝，正确.
2.A　根据弧长公式，得l＝π×8＝π（cm）.
3.C　因为－π＜－2＜－，所以α的终边在第三象限.
4.－10π＋π　解析：由－1 485°＝－5×360°＋315°，所以－1 485°可以表示为－10π＋π.
5.解：设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
则2r＋l＝4. ①
由扇形的面积公式S＝lr，得lr＝1. ②
由①②得r＝1，l＝2，所以α＝＝2 rad.
所以扇形的圆心角为2 rad.
4 / 4(共63张PPT)
7.1.2　
弧度制及其与角度制的换算
新课程标准解读 核心素养
1.了解弧度制的概念，能进行角度与弧度之
间的互化 数学抽象
2.理解弧度制下扇形的弧长与面积公式 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　
公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一
单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念.欧
拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年，在他的
一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提出把
圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于2π弧度，1弧度等
于周角的 .这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角
公式及计算.
【问题】　按照上述定义30°是多少弧度？
知识点一　弧度制
1. 度量角的两种制度
角度制 定义 用度作单位来度量角的制度
1度的角 1度的角等于周角的 ，记作1°
弧度制 定义 以弧度为单位来度量角的制度
1弧度的角 长度等于 的圆弧所对的圆心角为1弧度的角.记作1 rad（rad可省略不写）
　
半径长　
在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为 α rad，则α
＝ （l＝αr）.
2. 弧度制与角度制的换算
（1）弧度制与角度制的互化（换算）
180°＝ rad；
设一个角的角度数为n，弧度数为α，则 ＝ .
（2）特殊角的度数与弧度数的对应表
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π 2π
π　
提醒　角度制和弧度制的比较：①弧度制与角度制是以不同
单位来度量角的单位制；②1弧度的角与1度的角所指含义不
同，大小更不同；③无论是以“弧度”还是以“度”为单位
来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值；④
用“度”作为单位度量角时，“度”（或“°”）不能省
略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或
“rad”通常省略不写.
【想一想】
1. 在大小不同的圆中，长为1的弧所对的圆心角相等吗？为什么？
提示：不相等.这是因为长为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同
的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同.
2. 某同学表示与30°角终边相同的角的集合时写成S＝{α｜α＝2kπ
＋30°，k∈Z}，这种表示正确吗？为什么？
提示：这种表示不正确，同一个式子中，角度、弧度不能混用，否
则会产生混乱，正确的表示方法应为 或
{α｜α＝k·360°＋30°，k∈Z}.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.
（　√　）
（2）用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关. （　×　）
（3）1弧度的角等于1度的角. （　×　）
（4）直角的弧度数为 . （　√　）
√
×
×
√
2.360°化为弧度数是（　　）
B. π
D. 2π
知识点二　扇形的弧长及面积公式
　设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角的弧度数，n为圆心角
的角度数，则扇形的弧长：l＝ ＝ ；扇形的面积：S＝ 　
＝ .
αr　
lr　
αr2　
提醒　扇形面积公式的再理解：①在应用公式l＝αr和S＝ lr＝
αr2时，要注意α的单位是弧度；②弧度制下的扇形面积公式S＝
lr，与三角形面积公式S＝ ah（h是三角形底边a上的高）有类似的
形式.
【想一想】
　圆心角所对的弧长与半径的比值，与半径的大小有关吗？
提示：只与α的大小有关，也就是说，这个比值随α的确定而唯
一确定.
1. 已知扇形的周长为6 cm，半径是2 cm，则扇形的圆心角的弧度数是
（　　）
A. 4 B. 1
C. 1或4 D. 2
解析： 　设扇形的圆心角为α rad，半径为R cm，则
解得α＝1.
2. 圆心角为 弧度，半径为6的扇形的面积为 　6π 　.
解析：扇形的面积为 ×62× ＝6π.
6π
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
　　题型一 弧度制的概念
【例1】　下列说法中正确的是（　　）
A. 1弧度是1度的圆心角所对的弧
B. 1弧度是长度为半径长的弧
C. 1弧度是1度的弧与1度的角之和
D. 1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种
度量单位
解析： 　利用弧度的定义及角度的定义判断.
选项 结论 理由
A 错误 长度等于半径长的弧所对的圆心
角叫做1弧度的角，弧度是角的
一种度量单位，而不是长度的度
量单位
B 错误 C 错误 D 正确 通性通法
弧度制与角度制的区别与联系
区别 ①单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以
“度”为度量单位；
②定义不同
联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与
圆的半径大小无关的定值
【跟踪训练】
　时钟的分针在从1时到3时20分这段时间里转过的弧度数为（　　）
解析： 　显然分针在从1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了
周，转过的弧度数为 ×2π＝－ π.
题型二 角度与弧度的换算
【例2】　（1）将α1＝510°，α2＝－750°用弧度表示出来，并指
出它们各自终边所在的象限；
解： ∵1°＝ rad，
∴α1＝510°＝510× ＝ ＝2π＋ ；
α2＝－750°＝－750× ＝－ ＝－4π－ .
∴角α1的终边在第二象限，角α2的终边在第四象限.
（2）将β1＝ ，β2＝－ 用角度表示出来，并在（－360°，
360°）内找出与它们各自终边相同的所有的角.
解： β1＝ ＝ ＝144°.
设θ1＝k·360°＋144°（k∈Z），
∵－360°＜θ1＜360°，∴－360°＜k·360°＋144°＜
360°，
∴k＝－1或k＝0.
∴在（－360°，360°）内与角β1终边相同的角是－216°.
β2＝－ ＝ ＝－330°.
设θ2＝k·360°－330°（k∈Z），
∵－360°＜θ2＜360°，∴－360°＜k·360°－330°＜
360°，
∴k＝0或k＝1.
∴在（－360°，360°）内与角β2终边相同的角是30°.
通性通法
角度制与弧度制转换中的注意点
（1）在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键.
由它可以得：度数× ＝弧度数，弧度数× °＝度数；
（2）特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记；
（3）在同一个式子中，角度与弧度不能混合用，必须保持单位统
一，如α＝2kπ＋30°，k∈Z是不正确的写法；
（4）判断角α终边所在的象限时，若α [－2π，2π]，应首先把α表
示成α＝2kπ＋β，β∈[－2π，2π]的形式，然后利用角β终边
所在的象限来确定角α终边所在的象限.
【跟踪训练】
1. 把下列弧度化为角度.
（1） ＝ ；
解析： ＝ ＝690°.
（2）－ ＝ .
解析： － ＝－ ＝－390°.
690°　
－390°　
2. 将α＝－800°改写成β＋2kπ（k∈Z，0≤β＜2π）的形式，并
指出α是第几象限角.
解：∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝ π，
∴α＝－800°＝ ＋（－3）×2π.
∵α与角 终边相同，∴α是第四象限角.
题型三 扇形的弧长公式及面积公式
【例3】　已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为 .求：
（1）这个圆心角所对的弧长；
解： 因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为 ，所
以半径r＝ ＝ ，
所以这个圆心角所对的弧长l＝ × ＝ .
（2）这个扇形的面积.
解： 由（1）得扇形的面积S＝ × × ＝ .
【母题探究】
1. （变条件）本例条件变为“圆的半径为10，圆心角为60°”，完成
本例问题（1）.
解：设圆心角为α，则α＝60°＝ rad.又r＝10，∴l＝αr＝
.
2. （变条件）本例条件变为“扇形的圆心角是 ，弧长为π”，完成
本例问题（2）.
解：设扇形的圆心角的度数为n，由l＝αr，∴r＝3，∴S＝ lr
＝ .
通性通法
关于弧度制下扇形问题的解决方法
（1）三个公式：｜α｜＝ ，S＝ lr＝ αr2，要恰当选择公式，建
立未知量、已知量间的关系，通过解方程（组）求值；
（2）弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长
（面积），利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值
求解.
【跟踪训练】
1. 一个扇形的面积为15π，弧长为5π，则这个扇形的圆心角为（　　）
解析： 　设扇形的圆心角为θ，半径为r，则解得
故扇形的圆心角为 .
2. 已知扇形的周长是4，则扇形面积的最大值为 ，此时扇形的圆
心角α＝ .
解析：设扇形的半径为r，则弧长l＝4－2r，∴扇形面积S＝ lr＝
（2－r）r＝－（r－1）2＋1，当r＝1时，S最大，最大值为1.此
时l＝2，扇形的圆心角α＝ ＝2.
1　
2　
　扇形的弧长公式的应用
如图，点P，Q从点A（4，0）同时出发，沿圆周运动，点P按
逆时针方向每秒钟转 ，点Q按顺时针方向每秒钟转 .
【问题探究】
1. 点P，Q第一次相遇时用了多少秒？
提示：设点P，Q第一次相遇所用的时间是t s，则t· ＋t·
＝2π，解得t＝4，∴第一次相遇时用了4 s.
2. 点P，Q第一次相遇时各自走过的弧长是多少？
提示：第一次相遇时，点P运动到角 的终边与圆相交的位置，
点Q运动到角－ 的终边与圆相交的位置，
∴点P走过的弧长为 ·4＝ ，点Q走过的弧长为 ×4＝
.
【迁移应用】
　若点Q也按逆时针方向转，则点P，Q第一次相遇时用了多少秒？
解：设点P，Q第一次相遇的时间为t s，则t· －t· ＝2π，解得t
＝12 s.所以第一次相遇时用了12 s.
1. （多选）下列各式正确的是（　　）
解析： 　对于A，－210°＝－210× ＝－ ，正确；对于
B，405°＝405× ＝ ，正确；对于C，335°＝335× ＝
，错误；对于D，705°＝705× ＝ ，正确.
2. 在半径为8 cm的圆中， π的圆心角所对的弧长为（　　）
解析： 　根据弧长公式，得l＝ π×8＝ π（cm）.
3. 如果α＝－2，则α的终边所在的象限为（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： 　因为－π＜－2＜－ ，所以α的终边在第三象限.

解析：由－1 485°＝－5×360°＋315°，所以－1 485°可以表示
为－10π＋ π.
－10π
＋ π　
5. 一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数.
解：设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
则2r＋l＝4.　①
由扇形的面积公式S＝ lr，得 lr＝1.　②
由①②得r＝1，l＝2，所以α＝ ＝2 rad.
所以扇形的圆心角为2 rad.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 下列角与－ 的终边相同的是（　　）
解析： 　法一　由于－ ＝－4π＋ ，所以－ 与 的终边相
同，与 的终边相同的角的集合为 ，令k＝
1，α＝ ，故选C.
法二　因为－ － ＝－ ，－ － ＝－ ，－ －
＝－6π，－ － ＝－ ，只要两个角的差为周角的整数倍，
那么其终边相同，故选C.
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2. 已知点P在圆O上先按顺时针方向旋转 弧度，再按逆时针方向旋
转 弧度，则OP转过的角等于（　　）
解析： 　∵按顺时针方向旋转转过的角为负角，按逆时针方向旋
转转过的角为正角，∴OP转过的角为－ ＋ ＝－ .故选B.
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3. （多选）下列转化结果正确的是（　　）
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解析： 　对于A，67°30'＝67.5× ＝ ，故A正确；对于
B，因为－ × ＝－600°，所以－ ＝－600°，故B正
确；对于C，－150°＝－150× ＝－ ，故C错误；对于D，因
为 × ＝15°，所以 ＝15°，故D正确.故选A、B、D.
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4. 把－ π表示成θ＋2kπ（k∈Z）的形式，使｜θ｜最小的θ值是
（　　）
解析： 　∵－ ＝－2π－ ，∴－ 与－ 是终边相同的
角，且此时 ＝ 是最小的.
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5. 圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角
的弧度数为（　　）
D. 2
解析： 　如图，设圆的半径为R，则圆的内接正三
角形的边长为 R，所以圆弧长度为 R的圆心角
的弧度数α＝ ＝ .
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6. 《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作.其中《方田》章给出
计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝ （弦×矢＋矢2）.
弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的
弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为
，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是
（　　）
A. 6 m2 B. 9 m2
C. 12 m2 D. 15 m2
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解析： 　根据题设，弦＝2×4 sin ＝4 m，矢＝4－4 cos ＝2
m，故弧田面积＝ ×（弦×矢＋矢2）＝ ×（4 ×2＋22）＝
4 ＋2≈9 m2.
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7. －105°化为弧度为 　－ π　， π化为角度为 .
解析：－105°＝－105× ＝－ π， π＝ π× ＝
600°.
－ π　
600°　
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8. 弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为 ，面积为 .
解析：因为135°＝ ＝ ，所以扇形的半径为 ＝4，面积为
×3π×4＝6π.
4　
6π　
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9. 若角α的终边与角 π的终边相同，则在[0，2π]上，终边与角 的
终边相同的角是 .
解析：由题意，得α＝ ＋2kπ，∴ ＝ ＋ （k∈Z）.令k＝
0，1，2，3，得 ＝ ， ， ， .
， ， ， 　
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10. 已知角α＝1 200°.
（1）将α改写成β＋2kπ（k∈Z，0≤β＜2π）的形式，并指出
α是第几象限的角；
解： 因为α＝1 200°＝1 200× ＝ ＝3×2π＋
，又 ＜ ＜π，所以角α与 的终边相同，所以角α是
第二象限的角.
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（2）在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角.
解： 因为与角α终边相同的角（含角α在内）为2kπ
＋ ，k∈Z，所以由－4π≤2kπ＋ ≤π，得－ ≤k≤ .
因为k∈Z，所以k＝－2或k＝－1或k＝0.
故在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是－ ，－
， .
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11. 数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以
对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别
以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三
角形.若线段AB长为2，则莱洛三角形的面积是（　　）
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解析： 　由已知得AB＝BC＝AC＝2，则 ＝ ＝ ＝ ，
故扇形的面积为 ，由已知可得，莱洛三角形的面积是扇形面积
的3倍减去三角形面积的2倍，所以所求面积为3× －2× ×22
＝2π－2 .故选C.
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12. （多选）某扇形的周长为6，面积为2，则其圆心角的弧度数可能
是（　　）
A. 1 B. 2
C. 4 D. 5
解析： 　设此扇形的半径为r，圆心角的弧度数是α（0＜α＜
2π），则有解得α＝1或α＝4，故选A、C.
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13. 某时针的秒针端点A到中心O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O
旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合.设秒针端点
A转过的路程为d cm，所形成的扇形面积为S cm2，分别求d与S关
于时间t（s）的函数，其中t∈[0，60].
解：∵秒针的旋转方向为顺时针，
∴t s后秒针端点A转过的角α＝－ rad，∴秒针端点A转过的路
程为d＝｜α｜·r＝ （cm），
∴形成的扇形面积为S＝ ｜α｜·r2＝ （cm2），∴d＝
（t∈[0，60]），S＝ （t∈[0，60]）.
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谢 谢 观 看！

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