资源简介

第二课时　正弦函数的图象
1.用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（　　）
A.0，，π，π，2π
B.0，，，π，π
C.0，π，2π，3π，4π
D.0，，，，π
2.（多选）下列函数图象相同的是（　　）
A.y＝sin x与y＝sin（π－x）
B.y＝sin与y＝sin
C.y＝sin x与y＝sin（－x）
D.y＝sin（2π＋x）与y＝sin x
3.函数y＝sin｜x｜的图象是（　　）
4.函数y＝的图象是（　　）
5.（多选）函数y＝sin（π－x）－1的图象（　　）
A.关于直线x＝对称
B.关于直线x＝π对称
C.关于原点对称
D.关于点（π，－1）对称
6.下列各点：M（0，0），N，P，Q（π，－2）在函数y＝2sin x图象上的是　　　　.
7.用“五点法”作函数y＝2＋sin x，x∈[0，2π]的图象时的五个点分别是　　　　，　　　　，　　　　，　　　　，　　　　.
8.在[0，2π]内，不等式sin x＜－的解集是　　　　.
9.已知函数y＝sin x（x∈[m，n]）的值域为，则n－m的最大值为　　　　.
10.用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
（1）观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：
①y＞1；②y＜1.
（2）若直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点，求a的取值范围；
（3）求函数y＝1－2sin x的最大值，最小值及相应的自变量的值.
11.（多选）设函数f（x）＝sin x，则下列结论正确的是（　　）
A.f（x）的一个周期为－2π
B.f（x）的图象关于直线x＝0对称
C.f（x）的图象关于点对称
D.f（x）在区间上单调递增
12.若sin θ＝1－log2x，则实数x的取值范围是　　　　.
13.（1）利用sin（3π－x）＝sin x，证明正弦曲线关于x＝对称；
（2）利用sin（2π－x）＝－sin x，证明正弦曲线关于点（π，0）对称.
14.已知函数y＝2sin x的图象与直线y＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为（　　）
A.4　　　　　　　　 B.8
C.4π D.2π
15.已知函数f（x）＝sin x－2｜sin x｜，x∈[0，2π].
（1）作出函数f（x）的图象，并写出f（x）的单调区间；
（2）讨论g（x）＝sin x－2｜sin x｜－k，x∈[0，2π]的零点个数，并求此时k的取值范围.
第二课时　正弦函数的图象
1.B　由五点作图法，令2x＝0，，π，π，2π，解得x＝0，，，π，π.
2.AD　根据诱导公式，y＝sin（π－x）＝sin x，故A符合；y＝sin（2π＋x）＝sin x，故D符合.
3.B　因为函数y＝sin ｜x｜是偶函数，且x≥0时，sin ｜x｜＝sin x.故选B.
4.C　由y＝＝｜sin x｜易知该函数为偶函数，当sin x≥0时，y＝sin x，当sin x＜0时，y＝－sin x，作x≥0时y＝sin x的图象，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，再关于y轴对称即作出y＝｜sin x｜的图象.
5.AD　由三角函数的诱导公式得y＝sin（π－x）－1＝sin x－1，所以函数y＝sin（π－x）－1的图象关于直线x＝对称，关于点（π，－1）对称.
6.M，N　解析：将点的坐标代入可知符合条件的是点M与N.
7.（0，2）　　（π，2）　　（2π，2）　解析：可结合函数y＝sin x的图象的五个关键点寻找，即把y＝sin x的图象上五个关键点向上平移2个单位.
8.　解析：画出y＝sin x，x∈[0，2π]的图象如下：
因为sin＝，所以sin＝－，
sin＝－.
即在[0，2π]内，满足sin x＝－的是x＝或x＝.
可知不等式sin x＜－的解集是.
9.　解析：
作出正弦函数y＝sin x（x∈R）的图象，如图所示，∵函数y＝sin x的定义域为[m，n]，值域为，又sin＝sin ＝－，结合图象可知n－m的最大值为－＝.
10.解：按五个关键点列表
x －π － 0 π
sin x 0 －1 0 1 0
1－2sin x 1 3 1 －1 1
描点连线得：
（1）由图象可知函数y＝1－2sin x在y＝1上方的部分y＞1，在y＝1下方的部分y＜1，
所以当x∈（－π，0）时，y＞1，当x∈（0，π）时，y＜1.
（2）如图，当直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点时，1＜a＜3或－1＜a＜1，
所以a的取值范围是{a｜1＜a＜3或－1＜a＜1}.
（3）由图象可知ymax＝3，此时x＝－；
ymin＝－1，此时x＝.
11.AD　函数f（x）＝sin x的最小正周期为2π；对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z；对称中心为（kπ，0），k∈Z；单调增区间为，k∈Z.则A正确，B错误，C错误，D正确.故选A、D.
12.[1，4]　解析：由正弦函数的图象，可知－1≤sin θ≤1，所以－1≤1－log2x≤1，整理得0≤log2x≤2，解得1≤x≤4.
13.证明：（1）令f（x）＝sin x，
f（3π－x）＝sin（3π－x）＝sin x，
∴f（3π－x）＝f（x），
令t＝－x，则x＝－t，
∴f＝f，
即f＝f，
∴f（x）＝sin x关于x＝对称.
（2）令f（x）＝sin x.
∴f（2π－x）＝sin（2π－x）＝－sin x，
∴f（2π－x）＝－f（x），
令t＝π－x，则x＝π－t，
∴f[2π－（π－t）]＝－f（π－t），
即f（π＋t）＝－f（π－t），
∴f（x）＝sin x关于点（π，0）对称.
14.C　数形结合，如图所示，y＝2sin x，x∈的图象与直线y＝2围成的封闭平面图形的面积相当于由x＝，x＝，y＝0，y＝2围成的矩形面积，即S＝×2＝4π.
15.解：（1）f（x）＝
图象如图，
由图象可知f（x）的递增区间为，；
f（x）的递减区间为，.
（2）由图象可知：
当k＞0或k＜－3时，直线y＝k与函数f（x）有0个交点，故g（x）没有零点；
当k＝－3时，直线y＝k与函数f（x）有1个交点，故g（x）有1个零点；
当－3＜k＜－1时，直线y＝k与函数f（x）有2个交点，故g（x）有2个零点；
当k＝0或k＝－1时，直线y＝k与函数f（x）有3个交点，故g（x）有3个零点；
当－1＜k＜0时，直线y＝k与函数f（x）有4个交点，故g（x）有4个零点.
2 / 2(共52张PPT)
第二课时　
正弦函数的图象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成
了一个简易单摆（如图所示）.在漏斗下方放一块纸板，板的中间画
一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手
使它摆动，同时匀速拉动纸板.这样就可在纸板上得到一条曲线，它
就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”.它
表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的
情况.
【问题】　（1）通过上述实验，你对正弦函数
图象的直观印象是怎样的？
（2）你能比较精确地画出y＝ sin x在[0，2π]上
的图象吗？
（3）以上方法作图虽然精确，但太麻烦，有没
有快捷画y＝ sin x，
x∈[0，2π]图象的方法？你认为图象上哪些点是关键点？
知识点　正弦函数的图象
1. 正弦函数y＝ sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：（0，
0）， 　 　，（π，0）， 　 　，（2π，0）.
2. 正弦曲线是轴对称图形，对称轴为 ；正弦
曲线也是中心对称图形，且对称中心为 .
　
　
x＝ ＋kπ（k∈Z）　
（kπ，0）（k∈Z）　
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝ sin x的图象关于y轴对称. （　×　）
（2）正弦函数的图象向左右是无限伸展的. （　√　）
（3）正弦函数y＝ sin x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π]（k∈Z）上
的图象形状相同，只是位置不同. （　√　）
×
√
√
2. 下列图象中，符合y＝－ sin x在[0，2π]上的图象的是（　　）
解析： 　把y＝ sin x，x∈[0，2π]上的图象关于x轴对称，即可
得到y＝－ sin x，x∈[0，2π]上的图象，故选D.
3. 点M 在函数y＝ sin x的图象上，则m＝ .
解析：由题意－m＝ sin ，∴－m＝1，∴m＝－1.
－1　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
　　
题型一 “五点法”作正弦曲线
【例1】　用“五点法”作出下列函数的简图：
（1）y＝－ sin x－1（0≤x≤2π）；
解： 找关键的五个点，列表如下：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
－ sin x 0 －1 0 1 0
－ sin x－1 －1 －2 －1 0 －1
描点作图，如图：
（2）y＝｜ sin x｜，x∈R.
解： 找关键的五个点，列表如下：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
｜ sin x｜ 0 1 0 1 0
描点并用光滑的曲线
将它们连接起来，通
过平移得到y＝｜ sin
x｜，x∈R的图象，如图所示.
通性通法
用“五点法”作函数y＝A sin x＋B（A≠0）在[0，2π]上的简图的
步骤
（1）列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
y＝A sin x＋B B A＋B B －A＋B B
（2）描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：（0，B），
，（π，B）， ，（2π，B），这里的y
是通过函数式计算得到的；
（3）连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进
行连接.
注意　作图时一定要找准这五个关键点，这是“五点法”作图
的关键所在.
【跟踪训练】
用“五点法”画出函数y＝2 sin x在区间[0，2π]上的图象.
解：按五个关键点列表如下：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
2 sin x 0 2 0 －2 0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示.
题型二 正弦函数图象的简单应用
【例2】　求函数y＝log3 的定义域.
解：要使函数有意义，则 sin x＞ ，
作出y＝ sin x在[0，2π]内的图象如
图所示.
由图象知，在[0，2π]内使 sin x＞ 的x的取值范围是 .
故原函数的定义域为 （k∈Z）.
通性通法
利用三角函数图象解 sin x＞a的三个步骤
（1）作出直线y＝a，y＝ sin x的图象；
（2）确定 sin x＝a的x值；
（3）确定 sin x＞a的解集.
注意　解三角不等式 sin x＞a，如果不限定范围时，一般先利
用图象求出x∈[0，2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相
同角的同一三角函数值相等，写出原不等式的解集.
【跟踪训练】
　当x＝[0，3π]时，设关于x的方程 sin x＋2｜ sin x｜＝m（m∈R）
的根的个数为n，那么n的取值构成的集合为
（用列举法表示）.
解析：求方程的根的个数等价于求直线y＝m与y＝ sin x＋2｜ sin x｜，x∈[0，3π]的图象的交点个数，由题意得y＝ sin x＋2｜ sin x｜＝其图象如图所示，
由图可以看到交点的个数可能为0，2，
4，5，6.故n的取值构成的集合为{0，2，4，5，6}.
{0，2，4，5，6}　
题型三 正弦曲线的对称性
【例3】　求函数y＝2 sin x＋1的图象的对称中心和对称轴.
解：由正弦函数的对称性可知z＝ sin
x的对称中心为（kπ，0），k∈Z，
作出y＝2 sin x＋1的图象如图所示.
结合正弦函数的对称性可知y＝2 sin　x＋1的图象的对称中心是（kπ，1）（k∈Z），对称轴是直线x＝kπ＋ （k∈Z）.
通性通法
正弦函数y＝ sin x的对称性
　　对称中心：点（kπ，0）（k∈Z），对称轴：直线x＝kπ＋
（k∈Z），要明确两者的不同.
【跟踪训练】
　（多选）函数y＝ sin x与y＝ sin （－x）的图象关于（　　）
A. x轴对称 B. y轴对称
C. 直线y＝x对称
解析：　　∵函数y＝f（x）与y＝f（－x）的图象关于y轴对称，
∴函数y＝ sin x与y＝ sin （－x）的图象关于y轴对称.∵函数y＝f
（x）与y＝－f（x）的图象关于x轴对称，y＝ sin （－x）＝－ sin
x，∴函数y＝ sin x与y＝ sin （－x）的图象关于x轴对称.
1. 以下对于正弦函数y＝ sin x的图象描述不正确的是（　　）
A. 在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图象形状相同，只是位置不同
B. 关于x轴对称
C. 介于直线y＝1和y＝－1之间
D. 与y轴仅有一个交点
解析：　　　观察y＝ sin x图象可知A、C、D项正确，且关于原点中
心对称，故选B.
2. 已知a是实数，则函数f（x）＝1＋a sin ax的图象不可能是（　　）
解析：　　当a＝0时，f（x）＝1，选项C符合；当0＜｜a｜＜1时，T＞2π，f（x）的最大值小于2，选项A符合；当｜a｜＞1时，T＜2π，f（x）的最大值大于2，选项B符合.排除选项A、B、C，故选D.
3. 函数y＝1－ sin x（x∈[0，2π]）的大致图象是（　　）
解析：　　用五点法作图时五个关键点是（0，1）， ，
（π，1）， ，（2π，1），故只有选项B的图象符合.
4. y＝1＋ sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝2的交点个数是
（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析：B　由五点法作出函数y＝1＋ sin
x，x∈[0，2π]的图象（如图所示），由图
可知其与直线y＝2只有1个交点.
5. 求方程 sin x＝lg x的解的个数.
解：建立平面直角坐标系xOy，先用五
点法画出函数y＝ sin x，x∈[0，2π]的
图象，再向右连续平移2π个单位，得到
y＝ sin x的图象.
描出点（1，0），（10，1），并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示.
由图象可知方程 sin x＝lg x的解有3个.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 用“五点法”作y＝2 sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐
标是（　　）
C. 0，π，2π，3π，4π
解析：　　由五点作图法，令2x＝0， ，π， π，2π，解得x＝
0， ， ， π，π.
2. （多选）下列函数图象相同的是（　　）
A. y＝ sin x与y＝ sin （π－x）
C. y＝ sin x与y＝ sin （－x）
D. y＝ sin （2π＋x）与y＝ sin x
解析：　　　根据诱导公式，y＝ sin （π－x）＝ sin x，故A符合；
y＝ sin （2π＋x）＝ sin x，故D符合.
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3. 函数y＝ sin ｜x｜的图象是（　　）
解析：　　因为函数y＝ sin ｜x｜是偶函数，且x≥0时， sin ｜
x｜＝ sin x.故选B.
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4. 函数y＝ 的图象是（　　）
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解析：　　由y＝ ＝｜ sin x｜易知该函数为偶函数，
当 sin x≥0时，y＝ sin x，当 sin x＜0时，y＝－ sin x，作x≥0时y
＝ sin x的图象，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，再关于y轴对
称即作出y＝｜ sin x｜的图象.
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5. （多选）函数y＝ sin （π－x）－1的图象（　　）
B. 关于直线x＝π对称
C. 关于原点对称 D. 关于点（π，－1）对称
解析：　　由三角函数的诱导公式得y＝ sin （π－x）－1＝ sin x
－1，所以函数y＝ sin （π－x）－1的图象关于直线x＝ 对称，关
于点（π，－1）对称.
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6. 下列各点：M（0，0），N ，P ，Q（π，－2）
在函数y＝2 sin x图象上的是 .
解析：将点的坐标代入可知符合条件的是点M与N.
M，N　
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7. 用“五点法”作函数y＝2＋ sin x，x∈[0，2π]的图象时的五个点
分别是 ， ，
， ， .
解析：可结合函数y＝ sin x的图象的五个关键点寻找，即把y＝ sin
x的图象上五个关键点向上平移2个单位.
（0，2）　
　
（π，
2）　
　
（2π，2）　
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8. 在[0，2π]内，不等式 sin x＜－ 的解集是 　 　.
解析：画出y＝ sin x，x∈[0，2π]的图象如下：
因为 sin ＝ ，所以 sin ＝－ ，
sin ＝－ .
即在[0，2π]内，满足 sin x＝－ 的是x＝ 或x＝ .
可知不等式 sin x＜－ 的解集是 .
　
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9. 已知函数y＝ sin x（x∈[m，n]）的值域为 ，则n－m的
最大值为 .
解析：作出正弦函数y＝ sin x（x∈R）的图象，
如图所示，∵函数y＝ sin x的定义域为[m，n]，
值域为 ，又 sin ＝ sin ＝－ ，
结合图象可知n－m的最大值为 － ＝ .
　
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10. 用“五点法”作出函数y＝1－2 sin x，x∈[－π，π]的简图，并回
答下列问题：
（1）观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：
①y＞1；②y＜1.
解：按五个关键点列表
x －π 0 π
sin x 0 －1 0 1 0
1－2 sin x 1 3 1 －1 1
描点连线得：
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（1）由图象可知函数y＝1－2 sin x在y＝1上方的部分
y＞1，在y＝1下方的部分y＜1，
所以当x∈（－π，0）时，y＞1，
当x∈（0，π）时，
y＜1.
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（2）若直线y＝a与y＝1－2 sin x有两个交点，求a的取值范围；
解：如图，当直线y＝a与y＝1－2 sin x有两个交点时，1＜a＜3或－1＜a＜1，
所以a的取值范围是{a｜1＜a＜3或－1＜a＜1}.
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（3）求函数y＝1－2 sin x的最大值，最小值及相应的自变量
的值.
解：由图象可知ymax＝3，
此时x＝－ ；
ymin＝－1，此时x＝ .
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11. （多选）设函数f（x）＝ sin x，则下列结论正确的是（　　）
A. f（x）的一个周期为－2π
B. f（x）的图象关于直线x＝0对称
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解析：　　函数f（x）＝ sin x的最小正周期为2π；对称轴方程
为x＝kπ＋ ，k∈Z；对称中心为（kπ，0），k∈Z；单调增区
间为［2kπ－ ，2kπ＋ ］，k∈Z. 则A正确，B错误，C错误，
D正确.故选A、D.
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12. 若 sin θ＝1－log2x，则实数x的取值范围是 .
解析：由正弦函数的图象，可知－1≤ sin θ≤1，所以－1≤1－
log2x≤1，整理得0≤log2x≤2，解得1≤x≤4.
[1，4]　
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13. （1）利用 sin （3π－x）＝ sin x，证明正弦曲线关于x＝ 对
称；
证明：　令f（x）＝ sin x，f（3π－x）＝ sin （3π－
x）＝ sin x，
∴f（3π－x）＝f（x），令t＝ －x，则x＝ －t，
∴f ＝f ，
即f ＝f ，∴f（x）＝ sin x关于x＝ 对称.
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（2）利用 sin （2π－x）＝－ sin x，证明正弦曲线关于点（π，
0）对称.
证明：　　令f（x）＝ sin x.∴f（2π－x）＝ sin （2π－
x）＝－ sin x，
∴f（2π－x）＝－f（x），令t＝π－x，则x＝π－t，
∴f[2π－（π－t）]＝－f（π－t），即f（π＋t）＝－f（π
－t），
∴f（x）＝ sin x关于点（π，0）对称.
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14. 已知函数y＝2 sin x 的图象与直线y＝2围成一个封闭
的平面图形，那么此封闭图形的面积为（　　）
A. 4 B. 8
解析：　　数形结合，如图所示，y＝
2 sin x，x∈ 的图象与直线y＝
2围成的封闭平面图形的面积相当于由
x＝ ，x＝ ，y＝0，y＝2围成的矩形面积，即S＝ ×2＝4π.
C. 4π D. 2π
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15. 已知函数f（x）＝ sin x－2｜ sin x｜，x∈[0，2π].
（1）作出函数f（x）的图象，并写出f（x）的单调区间；
解：　　f（x）＝
图象如图，
由图象可知f（x）的递增区间为［ ，
π］，［ ，2π］；f（x）的递减区间为 ， .
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（2）讨论g（x）＝ sin x－2｜ sin x｜－k，x∈[0，2π]的零点
个数，并求此时k的取值范围.
解：　由图象可知：
当k＞0或k＜－3时，直线y＝k与函数f（x）有0个交点，
故g（x）没有零点；
当k＝－3时，直线y＝k与函数f（x）有1个交点，故g
（x）有1个零点；
当－3＜k＜－1时，直线y＝k与函数f（x）有2个交点，故
g（x）有2个零点；
当k＝0或k＝－1时，直线y＝k与函数f（x）有3个交点，
故g（x）有3个零点；
当－1＜k＜0时，直线y＝k与函数f（x）有4个交点，故g
（x）有4个零点.
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谢 谢 观 看！第二课时　正弦函数的图象
将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆（如图所示）.在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板.这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况.
【问题】　（1）通过上述实验，你对正弦函数图象的直观印象是怎样的？
（2）你能比较精确地画出y＝sin x在[0，2π]上的图象吗？
（3）以上方法作图虽然精确，但太麻烦，有没有快捷画y＝sin x，x∈[0，2π]图象的方法？你认为图象上哪些点是关键点？
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　正弦函数的图象
1.正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：（0，0），　　　　，（π，0），　　　　，（2π，0）.
2.正弦曲线是轴对称图形，对称轴为　　　 　；正弦曲线也是中心对称图形，且对称中心为　　　　　　.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝sin x的图象关于y轴对称.（　　）
（2）正弦函数的图象向左右是无限伸展的.（　　）
（3）正弦函数y＝sin x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π]（k∈Z）上的图象形状相同，只是位置不同.（　　）
2.下列图象中，符合y＝－sin x在[0，2π]上的图象的是（　　）
3.点M在函数y＝sin x的图象上，则m＝　　　　.
题型一 “五点法”作正弦曲线
【例1】　用“五点法”作出下列函数的简图：
（1）y＝－sin x－1（0≤x≤2π）；
（2）y＝｜sin x｜，x∈R.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
通性通法
　　用“五点法”作函数y＝Asin x＋B（A≠0）在[0，2π]上的简图的步骤
（1）列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
y＝Asin x＋B B A＋B B －A＋B B
（2）描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：（0，B），，（π，B），，（2π，B），这里的y是通过函数式计算得到的；
（3）连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接.
注意　作图时一定要找准这五个关键点，这是“五点法”作图的关键所在.
【跟踪训练】
用“五点法”画出函数y＝2sin x在区间[0，2π]上的图象.
题型二 正弦函数图象的简单应用
【例2】　求函数y＝log3的定义域.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
通性通法
利用三角函数图象解sin x＞a的三个步骤
（1）作出直线y＝a，y＝sin x的图象；
（2）确定sin x＝a的x值；
（3）确定sin x＞a的解集.
注意　解三角不等式sin x＞a，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x∈[0，2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同一三角函数值相等，写出原不等式的解集.
【跟踪训练】
　当x＝[0，3π]时，设关于x的方程sin x＋2｜sin x｜＝m（m∈R）的根的个数为n，那么n的取值构成的集合为　　　　（用列举法表示）.
题型三 正弦曲线的对称性
【例3】　求函数y＝2sin x＋1的图象的对称中心和对称轴.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
通性通法
正弦函数y＝sin x的对称性
　　对称中心：点（kπ，0）（k∈Z），对称轴：直线x＝kπ＋（k∈Z），要明确两者的不同.
【跟踪训练】
　（多选）函数y＝sin x与y＝sin（－x）的图象关于（　　）
A.x轴对称
B.y轴对称
C.直线y＝x对称
D.直线x＝对称
1.以下对于正弦函数y＝sin x的图象描述不正确的是（　　）
A.在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图象形状相同，只是位置不同
B.关于x轴对称
C.介于直线y＝1和y＝－1之间
D.与y轴仅有一个交点
2.已知a是实数，则函数f（x）＝1＋asin ax的图象不可能是（　　）
3.函数y＝1－sin x（x∈[0，2π]）的大致图像是（　　）
4.y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝2的交点个数是（　　）
A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3
5.求方程sin x＝lg x的解的个数.
第二课时　正弦函数的图象
【基础知识·重落实】
知识点
1.　　2.x＝＋kπ（k∈Z）　（kπ，0）（k∈Z）
自我诊断
1.（1）×　（2）√　（3）√
2.D　把y＝sin x，x∈[0，2π]上的图象关于x轴对称，即可得到y＝－sin x，x∈[0，2π]上的图象，故选D.
3.－1　解析：由题意－m＝sin ，∴－m＝1，∴m＝－1.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）找关键的五个点，列表如下：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
－sin x 0 －1 0 1 0
－sin x－1 －1 －2 －1 0 －1
描点作图，如图：
（2）找关键的五个点，列表如下：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
｜sin x｜ 0 1 0 1 0
描点并用光滑的曲线将它们连接起来，通过平移得到y＝｜sin x｜，x∈R的图象，如图所示.
跟踪训练
　解：按五个关键点列表如下：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
2sin x 0 2 0 －2 0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示.
【例2】　解：要使函数有意义，则sin x＞，作出y＝sin x在[0，2π]内的图象如图所示.
由图象知，在[0，2π]内使sin x＞的x的取值范围是.
故原函数的定义域为（k∈Z）.
跟踪训练
　{0，2，4，5，6}　解析：求方程的根的个数等价于求直线y＝m与y＝sin x＋2｜sin x｜，x∈[0，3π]的图象的交点个数，由题意得y＝sin x＋2｜sin x｜＝其图象如图所示，
由图可以看到交点的个数可能为0，2，4，5，6.故n的取值构成的集合为{0，2，4，5，6}.
【例3】　解：由正弦函数的对称性可知z＝sin x的对称中心为（kπ，0），k∈Z，
作出y＝2sin x＋1的图象如图所示.
结合正弦函数的对称性可知y＝2sin x＋1的图象的对称中心是（kπ，1）（k∈Z），对称轴是直线x＝kπ＋（k∈Z）.
跟踪训练
　AB　∵函数y＝f（x）与y＝f（－x）的图象关于y轴对称，∴函数y＝sin x与y＝sin（－x）的图象关于y轴对称.∵函数y＝f（x）与y＝－f（x）的图象关于x轴对称，y＝sin（－x）＝－sin x，∴函数y＝sin x与y＝sin（－x）的图象关于x轴对称.
随堂检测
1.B　观察y＝sin x图象可知A、C、D项正确，且关于原点中心对称，故选B.
2.D　当a＝0时，f（x）＝1，选项C符合；当0＜｜a｜＜1时，T＞2π，f（x）的最大值小于2，选项A符合；当｜a｜＞1时，T＜2π，f（x）的最大值大于2，选项B符合.排除选项A、B、C，故选D.
3.B　用五点法作图时五个关键点是（0，1），，（π，1），，（2π，1），故只有选项B的图象符合.
4.B　由五点法作出函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象（如图所示），由图可知其与直线y＝2只有1个交点.
5.解：建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，再向右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图象.
描出点（1，0），（10，1），并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示.
由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个.
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