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7.3.4　正切函数的性质与图象
1.函数f（x）＝｜tan 2x｜是（　　）
A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数
C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数
2.当x∈时，函数y＝tan｜x｜的图象（　　）
A.关于原点对称 B.关于y轴对称
C.关于x轴对称 D.没有对称轴
3.（多选）若直线y＝m（m为常数）与函数f（x）＝tan ωx（ω＞0）的图象的相邻两支相交于A，B两点，且｜AB｜＝，则（　　）
A.函数f（x）的最小正周期为
B.ω＝4
C.函数f（x）图象的对称中心的坐标为（，0）（k∈Z）
D.函数｜f（x）｜图象的对称轴方程均可表示为x＝（k∈Z）
4.函数y＝tan在一个周期内的图象是下图中的（　　）
5.函数f（x）＝tan ωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线y＝1所得的线段长为，则f的值是（　　）
A.0　　 　B. C.1　　 　D.
6.（多选）下列说法错误的是（　　）
A.函数y＝tan x的所有对称中心是（kπ，0）（k∈Z）
B.直线y＝a与正切函数y＝tan x图象相邻两交点之间的距离为π
C.y＝2tan x，x∈的值域为[0，＋∞）
D.y＝tan x在其定义域上是增函数
7.函数y＝的定义域为　　　　.
8.若函数f（x）＝2tan的最小正周期T满足1＜T＜2，则自然数k的值为　　　　.
9.函数y＝tan的最小正周期为　　　　，其图象的对称中心为　　　　.
10.已知函数f（x）＝3tan.
（1）求f（x）的定义域与单调区间；
（2）比较f与f的大小.
11.已知函数y＝tan ωx在内是减函数，则（　　）
A.0＜ω≤1 B.－1≤ω＜0
C.ω≥1 D.ω≤－1
12.（多选）下列关于函数y＝tan的说法正确的是（　　）
A.在区间上单调递增
B.最小正周期是π
C.图象关于点成中心对称
D.图象关于直线x＝成轴对称
13.设函数f（x）＝tan（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜），已知函数y＝f（x）的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称.
（1）求f（x）的解析式；
（2）求不等式－1≤f（x）≤的解集.
14.已知函数f（x）＝tan（x＋φ）的图象的一个对称中心为（，0），则φ的值为　　　　，最小正周期为　　　　.
15.已知f（x）＝ .
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）当x∈[－π，π]，且x≠±时，画出f（x）的简图，并指出函数的单调区间.
7.3.4　正切函数的性质与图象
1.D　f（－x）＝｜tan（－2x）｜＝｜tan 2x｜＝f（x）为偶函数，T＝.
2.B　∵x∈，f（－x）＝tan ｜－x｜＝tan ｜x｜＝f（x），∴f（x）为偶函数，即y＝tan ｜x｜的图象关于y轴对称.
3.BC　∵｜AB｜＝，则T＝，∴ω＝4，故A错，B正确；令4x＝kπ，k∈Z，∴x＝kπ，k∈Z.∴y＝tan 4x的图象的对称中心为（k∈Z），故C正确；y＝｜f（x）｜图象的对称轴方程为x＝（k∈Z），故D错.
4.A　由函数周期T＝＝2π，排除选项B、D；将x＝代入函数式中，得tan＝tan 0＝0.故函数图象与x轴的一个交点为.故选A.
5.D　f（x）＝tan ωx的图象的相邻两支截直线y＝1所得的线段长度为函数的周期，所以该函数的周期是，所以＝（ω＞0），解得ω＝4.所以f（x）＝tan 4x，当x＝时，f＝tan＝tan ＝.
6.AD　A错，对称中心为（k∈Z）；B对，同y＝tan x的周期为π；C对，x∈时，tan x≥0；D错，它的单调区间只在（k∈Z）内，而不能说它在定义域内是增函数，由此可知D错.
7.（k∈Z）　解析：由题可得tan x＋1≥0，即tan x≥－1，解得x∈（k∈Z）.
8.2或3　解析：由T＝，又1＜T＜2，∴k的值可取2或3.
9.　（k∈Z）　解析：最小正周期T＝.由＝2x－（k∈Z）得x＝＋（k∈Z）.∴对称中心为（k∈Z）.
10.解：（1）由函数f（x）＝3tan，
可得2x－≠kπ＋求得x≠＋，k∈Z，
故函数的定义域为.
令kπ－＜2x－＜kπ＋，k∈Z，
求得－＜x＜＋，k∈Z.
故函数的单调增区间为，k∈Z.
（2）f＝3tan ＝－3tan ＜0，
f＝3tan＝3tan ＞0，
所以f＜f.
11.B　∵y＝tan ωx在内是减函数，∴ω＜0且T＝≥π.∴｜ω｜≤1，即－1≤ω＜0.
12.BC　令kπ－＜x＋＜kπ＋，解得kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，显然不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为π，故B正确；令x＋＝，解得x＝－，k∈Z，当k＝1时，x＝，故C正确；正切函数曲线没有对称轴，因此函数y＝tan的图象也没有对称轴，故D错误.故选B、C.
13.解：（1）由题意知，函数f（x）的最小正周期为T＝，即T＝＝.
因为ω＞0，所以ω＝2，从而f（x）＝tan（2x＋φ）.
因为函数y＝f（x）的图象关于点M对称，
所以2×＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z.
因为0＜φ＜，所以φ＝，故f（x）＝tan.
（2）由（1）知，f（x）＝tan.
由－1≤tan≤，得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z，
即－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以不等式－1≤f（x）≤的解集为［－＋，＋］，k∈Z.
14.或－　π　解析：由于是函数f（x）图象的对称中心，所以＋φ＝π，k∈Z，所以φ＝π－，k∈Z，由于｜φ｜＜，故取k＝0，1，φ＝－，，T＝π.
15.解：（1）由函数f（x）＝的解析式可得函数的定义域为关于原点对称，
又因为f（x）＝＝，
所以f（－x）＝＝＝－f（x），
所以函数f（x）＝为奇函数.
（2）由（1）可得
f（x）＝
其图象如图所示：
由图象可知f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为，.
2 / 27.3.4　正切函数的性质与图象
新课程标准解读 核心素养
1.了解正切函数，会画y＝tan x的图象 直观想象
2.理解正切函数的性质，并能利用正切函数的图象及性质解决有关问题 数学运算、逻辑推理
孔子东游，见两小儿辩斗，问其故，一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地.在相同的时间、相等的面积里，物体在直线状态下比在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题.
　　那么这与正切函数的性质与图象有什么联系呢？
　　类比y＝sin x，y＝cos x的图象与性质.
【问题】　（1）y＝tan x是周期函数吗？有最大（小）值吗？
（2）正切函数的图象是连续的吗？
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　正切函数
　对于任意一个角x，只要　　　　　　　　，就有　　　　确定的正切值tan x与之对应，因此y＝tan x是一个函数，称为正切函数.
知识点二　正切函数的图象与性质
解析式 y＝tan x
图象
定义域
值域 R
最小 正周期 π
奇偶性 奇函数
单调性 在每个开区间　　　　　　　　上都是增函数
对称性 对称中心　　　　　　　
零点 kπ，k∈Z
提醒　“三点两线法”作正切函数的图象：①“三点”分别为（kπ，0），，，其中k∈Z；两线为直线x＝kπ＋和直线x＝kπ－，其中k∈Z（两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交）；②作图象时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用平滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周期内即可.
【想一想】
1.正切函数在定义域上是单调函数吗？
2.正切函数只有一个对称中心吗？
3.正切曲线有无数条对称轴，其对称轴是x＝＋kπ（k∈Z），对吗？
　判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）正切函数的定义域和值域都是R.（　　）
（2）正切函数在R上是递增的.（　　）
（3）正切曲线是中心对称图形，有无数个对称中心.（　　）
题型一 正切函数的定义域及值域
【例1】　（1）函数y＝＋lg（1－tan x）的定义域是　　　　；
（2）函数y＝tan（sin x）的值域为　　　　.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【母题探究】
　（变条件）本例（2）中函数变为“y＝tan2x－2tan x，｜x｜≤”，求函数y＝tan2x－2tan x的值域.
通性通法
1.求正切函数定义域的方法
（1）求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解；
（2）求正切型函数y＝Atan（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0）的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个整体.令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.
2.求正切函数值域的方法
（1）对于y＝Atan（ωx＋φ）的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域；
（2）对于与y＝tan x相关的二次函数，可以把tan x看成整体，利用配方法求值域.
【跟踪训练】
1.函数y＝tan的定义域为　　　　.
2.函数y＝tan，x∈的值域是　　　　.
题型二 正切函数的周期性、奇偶性
【例2】　（1）函数y＝4tan的最小正周期为　　　　.
（2）判断下列函数的奇偶性：
①f（x）＝；
②f（x）＝tan＋tan.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
通性通法
1.函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）周期的求解方法
（1）定义法；
（2）公式法：对于函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）的最小正周期T＝；
（3）观察法（或图象法）：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现.
2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f（－x）与f（x）的关系.
【跟踪训练】
1.函数f（x）＝tan的最小正周期为（　　）
A.　　　　　　　　 B. C.π D.2π
2.判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝tan x＋；
（2）f（x）＝lg｜tan x｜.
题型三 正切函数的单调性
【例3】　（1）比较大小：tan 1，tan 2，tan 3；
（2）求函数y＝2tan的单调区间.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
通性通法
1.正切型函数单调区间的求解思路
正切函数y＝tan x在开区间（k∈Z）上是增函数，求函数y＝Atan（ωx＋φ）的单调区间，将“ωx＋φ”视为一个整体，若ω＜0，一般先用诱导公式化为ω＞0，使x的系数为正值，然后求单调区间.当A＞0（或A＜0）时，函数y＝Atan（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0）的单调性与y＝tan x，x∈R，x≠＋kπ，k∈Z的单调性相同（或相反），解不等式即可得出对应单调区间.
2.利用正切函数的单调性，比较两个正切值大小的步骤
（1）利用诱导公式将任意角的正切值转化为内的正切值；
（2）确定转化到内的各角的大小顺序；
（3）利用y＝tan x在上为增函数的性质得出大小顺序.
【跟踪训练】
1.若函数f（x）＝tan x在区间上单调递增，则实数a的取值范围是　　　　.
2.不通过求值，比较大小：tan和tan.
题型四 正切函数的图象及应用
【例4】　画出函数y＝｜tan x｜的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
通性通法
1.作函数y＝｜f（x）｜的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是：
（1）保留函数y＝f（x）图象在x轴上方的部分；
（2）将函数y＝f（x）图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折.
2.若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可.
【跟踪训练】
　根据正切函数的图象，写出tan x≥－1的解集.
1.函数f（x）＝tan，x∈R的最小正周期为（　　）
A. B.π
C.2π D.4π
2.函数f（x）＝2tan（－x）是（　　）
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数也是偶函数
D.非奇非偶函数
3.函数f（x）＝tan的定义域是　　　.
4.函数y＝tan的单调递增区间是　　　　，对称中心为　　　　.
5.求函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈［－，］的值域.
7.3.4　正切函数的性质与图象
【基础知识·重落实】
知识点一
　x≠＋kπ，k∈Z　唯一
知识点二
　（k∈Z）　（k∈Z）　
想一想
1.提示：不是.
2.提示：不是，点（k∈Z）是其对称中心，有无数个.
3.提示：不对.正切曲线没有对称轴.
自我诊断
　（1）×　（2）×　（3）√
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）　（2）[－tan 1，tan 1]　解析：（1）要使函数y＝＋lg（1－tan x）有意义，则即－1≤tan x＜1.在（－，）上满足上述不等式的x的取值范围是.又因为y＝tan x的周期为π，所以所求x的定义域为{x｜－＋kπ≤x＜＋kπ，k∈Z}.
（2）因为－1≤sin x≤1，且[－1，1] ，所以y＝tan x在[－1，1]上是增函数，因此tan（－1）≤tan x≤tan 1，即函数y＝tan（sin x）的值域为[－tan 1，tan 1].
母题探究
　解：令u＝tan x，∵｜x｜≤，∴由正切函数的图象知u∈[－，]，∴原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－，]，∵二次函数y＝u2－2u＝（u－1）2－1图象开口向上，对称轴方程为u＝1，∴当u＝1时，ymin＝－1，当u＝－时，ymax＝3＋2，∴原函数的值域为[－1，3＋2].
跟踪训练
1.　解析：要使函数有意义，自变量x的取值应满足3x－≠kπ＋（k∈Z），得x≠＋（k∈Z），∴函数的定义域为.
2.[－，0]　解析：y＝tan＝－tan.∵x∈，∴2x－∈.∴0≤tan（2x－）≤.∴－≤tan≤0，故函数y＝tan，x∈的值域为[－，0].
【例2】　　（1）解析：由于ω＝3，故函数的最小正周期为T＝＝.
（2）解：①由
得f（x）的定义域为，
不关于原点对称，
所以函数f（x）既不是偶函数，也不是奇函数.
②函数定义域为，
关于原点对称，
又f（－x）＝tan＋tan＝－tan－tan＝－f（x），
所以函数是奇函数.
跟踪训练
1.A　函数f（x）＝tan（ωx＋φ）的最小正周期是T＝，直接利用公式，可得T＝＝.
2.解：（1）要使函数有意义，需满足：tan x≠0，且tan x有意义，即x∈∪，k∈Z，
可知定义域关于原点对称.又对于定义域内的任意x，都有f（－x）＝－tan x－＝－f（x），∴函数f（x）为奇函数.
（2）由得
∴函数f（x）的定义域为∪，k∈Z，定义域关于原点对称.
又对任意x∈∪，k∈Z，都有f（－x）＝lg｜tan（－x）｜＝lg｜－tan x｜＝lg｜tan x｜＝f（x），
∴函数f（x）是偶函数.
【例3】　解：（1）由诱导公式可知tan 2＝tan（2－π），tan 3＝tan（3－π），因为＜2＜π，＜3＜π，所以－＜2－π＜0，－＜3－π＜0，所以－＜2－π＜3－π＜1＜.因为函数y＝tan x在上单调递增，所以tan（2－π）＜tan（3－π）＜tan 1，即tan 2＜tan 3＜tan 1.
（2）y＝2tan＝－2tan，
由－＋kπ＜2x－＜＋kπ，k∈Z，可得－＜x＜＋，k∈Z，
故函数y＝2tan的单调递减区间为（ －＋，＋），k∈Z，无单调递增区间.
跟踪训练
1.（0，1]　解析：∵＞，∴a＞0，∵＞0，＜0，∴解得0＜a≤1.
2.解：∵tan＝－tan＝tan，
tan＝－tan＝tan.
又0＜＜＜，y＝tan x在内单调递增，
∴tan＜tan，即tan＞tan.
【例4】　解：由y＝｜tan x｜得，
y＝其图象如图所示.
由图象可知，函数y＝｜tan x｜是偶函数，
单调递增区间为（k∈Z），
单调递减区间为（k∈Z），周期为π.
跟踪训练
　解：作出y＝tan x及y＝－1的图象，如图.
∴满足此不等式的x的集合为{x＋kπ≤x＜＋kπ，k∈Z}.
随堂检测
1.C　由＝2π，故选C.
2.A　因为f（－x）＝2tan x＝－2tan（－x）＝－f（x），且f（x）的定义域关于原点对称，所以函数f（x）＝2tan（－x）是奇函数.
3.　解析：由题意知x＋≠kπ＋（k∈Z），即x≠＋kπ（k∈Z）.故定义域为{x｜x≠kπ＋，k∈Z}.
4.（k∈Z）　（k∈Z）
解析：由kπ－＜＋＜kπ＋，k∈Z，得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z.令＋＝（k∈Z），则x＝kπ－（k∈Z），所以对称中心坐标为（k∈Z）.
5.解：∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤1.
令tan x＝t，则t∈[－1，1].
∴y＝－t2＋4t＋1＝－（t－2）2＋5.
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，
当t＝1，即x＝时，ymax＝4.
故所求函数的值域为[－4，4].
4 / 4(共67张PPT)
7.3.4　
正切函数的性质与图象
新课程标准解读 核心素养
1.了解正切函数，会画y＝tan x的图象 直观想象
2.理解正切函数的性质，并能利用正切函数的图
象及性质解决有关问题 数学运算、逻辑推
理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
孔子东游，见两小儿辩斗，问其故，一儿曰：“日
初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者
凉乎？”事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早
晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地.在相同的时间、
相等的面积里，物体在直线状态下比在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题.
　那么这与正切函数的性质与图象有什么联系呢？
　　类比y＝ sin x，y＝ cos x的图象与性质.
【问题】　（1）y＝tan x是周期函数吗？有最大（小）值吗？
（2）正切函数的图象是连续的吗？

x≠ ＋kπ，k∈Z　
唯一　
知识点二　正切函数的图象与性质
解析式 y＝tan x
图象
定义域
值域 R
最小正周期 π
解析式 y＝tan x
奇偶性 奇函数
单调性 在每个开区间
上都是增函数
对称性 对称中心
零点 kπ，k∈Z
（k∈Z）　
（k∈Z）　
提醒　“三点两线法”作正切函数的图象：①“三点”分别为（kπ，
0）， ， ，其中k∈Z；两线为直线x＝kπ
＋ 和直线x＝kπ－ ，其中k∈Z（两线也称为正切曲线的渐近线，
即无限接近但不相交）；②作图象时，只需先作出一个周期中的两条
渐近线，然后描出三个点，用平滑的曲线连接得到一条曲线，最后平
行移动至各个周期内即可.
【想一想】
1. 正切函数在定义域上是单调函数吗？
提示：不是.
2. 正切函数只有一个对称中心吗？
提示：不是，点 （k∈Z）是其对称中心，有无数个.
3. 正切曲线有无数条对称轴，其对称轴是x＝ ＋kπ（k∈Z），对
吗？
提示：不对.正切曲线没有对称轴.
　判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）正切函数的定义域和值域都是R. （　×　）
（2）正切函数在R上是递增的. （　×　）
（3）正切曲线是中心对称图形，有无数个对称中心. （　√　）
×
×
√
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
　　
题型一 正切函数的定义域及值域
【例1】　（1）函数y＝ ＋lg（1－tan x）的定义域
是 ；
　
解析： 要使函数y＝ ＋lg（1－tan x）有意义，
则即－1≤tan x＜1.在 上满足上述不
等式的x的取值范围是 .又因为y＝tan x的周期为π，所
以所求x的定义域为 .
（2）函数y＝tan（ sin x）的值域为 .
解析： 因为－1≤ sin x≤1，且[－1，1] ，所
以y＝tan x在[－1，1]上是增函数，因此tan（－1）≤tan x≤tan
1，即函数y＝tan（ sin x）的值域为[－tan 1，tan 1].
[－tan 1，tan 1]　
【母题探究】
　（变条件）本例（2）中函数变为“y＝tan2x－2tan x，｜x｜
≤ ”，求函数y＝tan2x－2tan x的值域.
解：令u＝tan x，∵｜x｜≤ ，∴由正切函数的图象知u∈[－ ，
]，∴原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－ ， ]，∵二次函数y
＝u2－2u＝（u－1）2－1图象开口向上，对称轴方程为u＝1，∴当u
＝1时，ymin＝－1，当u＝－ 时，ymax＝3＋2 ，∴原函数的值域
为[－1，3＋2 ].
通性通法
1. 求正切函数定义域的方法
（1）求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的
一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠ ＋
kπ，k∈Z. 而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图
象求解；
（2）求正切型函数y＝Atan（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0）的定义域
时，要将“ωx＋φ”视为一个整体.令ωx＋φ≠kπ＋ ，
k∈Z，解得x.
2. 求正切函数值域的方法
（1）对于y＝Atan（ωx＋φ）的值域，可以把ωx＋φ看成整体，
结合图象，利用单调性求值域；
（2）对于与y＝tan x相关的二次函数，可以把tan x看成整体，利用
配方法求值域.
【跟踪训练】
1. 函数y＝tan 的定义域为 　 　.
解析：要使函数有意义，自变量x的取值应满足3x－ ≠kπ＋
（k∈Z），得x≠ ＋ （k∈Z），∴函数的定义域为
.
　
2. 函数y＝tan ，x∈ 的值域是 　[－ ，0]　.
解析：y＝tan ＝－tan .∵x∈ ，∴2x－
∈ .∴0≤tan ≤ .∴－ ≤tan ≤0，故
函数y＝tan ，x∈ 的值域为[－ ，0].
[－ ，0]　
题型二 正切函数的周期性、奇偶性
【例2】　（1）函数y＝4tan 的最小正周期为 　 　.
解析：由于ω＝3，故函数的最小正周期为T＝ ＝ .
（2）判断下列函数的奇偶性：
①f（x）＝ ；
②f（x）＝tan ＋tan .
　
解：①由
得f（x）的定义域为{x｜x≠kπ＋ 且x≠kπ＋ ，k∈Z}，
不关于原点对称，
所以函数f（x）既不是偶函数，也不是奇函数.
②函数定义域为 ，
关于原点对称，
又f（－x）＝tan ＋tan ＝－tan －
tan ＝－f（x），
所以函数是奇函数.
通性通法
1. 函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）周期的求解方法
（1）定义法；
（2）公式法：对于函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）的最小正周期T
＝ ；
（3）观察法（或图象法）：观察函数的图象，看自变量间隔多
少，函数值重复出现.
2. 判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原
点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f
（－x）与f（x）的关系.
【跟踪训练】
1. 函数f（x）＝tan 的最小正周期为（　　）
C. π D. 2π
解析： 函数f（x）＝tan（ωx＋φ）的最小正周期是T＝
，直接利用公式，可得T＝ ＝ .
2. 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝tan x＋ ；
解： 要使函数有意义，需满足：tan x≠0，且tan x有意
义，即x∈ ∪ ，k∈Z，可知定
义域关于原点对称.又对于定义域内的任意x，都有f（－x）
＝－tan x－ ＝－f（x），∴函数f（x）为奇函数.
解：由得
∴函数f（x）的定义域为（－ ＋kπ，kπ）∪（kπ， ＋
kπ），k∈Z，定义域关于原点对称.
又对任意x∈（－ ＋kπ，kπ）∪（kπ， ＋kπ），k∈Z，
都有f（－x）＝lg｜tan（－x）｜＝lg｜－tan x｜＝lg｜tan
x｜＝f（x），
∴函数f（x）是偶函数.
（2）f（x）＝lg｜tan x｜.
题型三 正切函数的单调性
【例3】　（1）比较大小：tan 1，tan 2，tan 3；
解： 由诱导公式可知tan 2＝tan（2－π），tan 3＝tan（3－
π），因为 ＜2＜π， ＜3＜π，所以－ ＜2－π＜0，－ ＜3－
π＜0，所以－ ＜2－π＜3－π＜1＜ .因为函数y＝tan x在
上单调递增，所以tan（2－π）＜tan（3－π）＜tan 1，
即tan 2＜tan 3＜tan 1.
（2）求函数y＝2tan 的单调区间.
解： y＝2tan ＝－2tan ，
由－ ＋kπ＜2x－ ＜ ＋kπ，k∈Z，可得 － ＜x＜ ＋
，k∈Z，
故函数y＝2tan 的单调递减区间为
，k∈Z，无单调递增区间.
通性通法
1. 正切型函数单调区间的求解思路
正切函数y＝tan x在开区间 （k∈Z）上是增函
数，求函数y＝Atan（ωx＋φ）的单调区间，将“ωx＋φ”视为一
个整体，若ω＜0，一般先用诱导公式化为ω＞0，使x的系数为正
值，然后求单调区间.当A＞0（或A＜0）时，函数y＝Atan（ωx
＋φ）（A≠0，ω＞0）的单调性与y＝tan x，x∈R，x≠ ＋kπ，
k∈Z的单调性相同（或相反），解不等式即可得出对应单调区间.
2. 利用正切函数的单调性，比较两个正切值大小的步骤
（1）利用诱导公式将任意角的正切值转化为 内的正
切值；
（2）确定转化到 内的各角的大小顺序；
（3）利用y＝tan x在 上为增函数的性质得出大小顺序.
【跟踪训练】
1. 若函数f（x）＝tan x在区间 上单调递增，则实数a的
取值范围是 .
解析：∵ ＞ ，∴a＞0，∵ ＞0， ＜0，
∴解得0＜a≤1.
（0，1]　
2. 不通过求值，比较大小：tan 和tan .
解：∵tan ＝－tan ＝tan ，
tan ＝－tan ＝tan .
又0＜ ＜ ＜ ，y＝tan x在 内单调递增，
∴tan ＜tan ，即tan ＞tan .
题型四 正切函数的图象及应用
【例4】　画出函数y＝｜tan x｜的图象，并根据图象判断其单调区
间、奇偶性、周期性.
解：由y＝｜tan x｜得，
y＝其图象如图所示.
由图象可知，函数y＝｜tan x｜是偶函数，
单调递增区间为 （k∈Z），
单调递减区间为 （k∈Z），周期为π.
通性通法
1. 作函数y＝｜f（x）｜的图象一般利用图象变换方法，具体步骤
是：
（1）保留函数y＝f（x）图象在x轴上方的部分；
（2）将函数y＝f（x）图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折.
2. 若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期
性，延拓到定义域上即可.
【跟踪训练】
　根据正切函数的图象，写出tan x≥－1的解集.
解：作出y＝tan x及y＝－1的图象，如图.
∴满足此不等式的x的集合为{x ＋
kπ≤x＜ ＋kπ，k∈Z}.
1. 函数f（x）＝ tan ，x∈R的最小正周期为（　　）
B. π
C. 2π D. 4π
解析： 　由 ＝2π，故选C.
2. 函数f（x）＝2tan（－x）是（　　）
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 既是奇函数也是偶函数
D. 非奇非偶函数
解析： 　因为f（－x）＝2tan x＝－2tan（－x）＝－f（x），
且f（x）的定义域关于原点对称，所以函数f（x）＝2tan（－x）
是奇函数.
3. 函数f（x）＝tan 的定义域是 　 .
解析：由题意知x＋ ≠kπ＋ （k∈Z），即x≠ ＋kπ
（k∈Z）.故定义域为{x｜x≠kπ＋ ，k∈Z}.
　
4. 函数y＝tan 的单调递增区间是 　
，对称中心为 .
解析：由kπ－ ＜ ＋ ＜kπ＋ ，k∈Z，得2kπ－ ＜x＜2kπ
＋ ，k∈Z. 令 ＋ ＝ （k∈Z），则x＝kπ－ （k∈Z），
所以对称中心坐标为（kπ－ ，0）（k∈Z）.
（k∈Z）　
（kπ－ ，0）（k∈Z）　
5. 求函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈ 的值域.
解：∵－ ≤x≤ ，∴－1≤tan x≤1.
令tan x＝t，则t∈[－1，1].
∴y＝－t2＋4t＋1＝－（t－2）2＋5.
∴当t＝－1，即x＝－ 时，ymin＝－4，
当t＝1，即x＝ 时，ymax＝4.
故所求函数的值域为[－4，4].
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 函数f（x）＝｜tan 2x｜是（　　）
A. 周期为π的奇函数 B. 周期为π的偶函数
解析： 　f（－x）＝｜tan（－2x）｜＝｜tan 2x｜＝f（x）为
偶函数，T＝ .
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2. 当x∈ 时，函数y＝tan｜x｜的图象（　　）
A. 关于原点对称 B. 关于y轴对称
C. 关于x轴对称 D. 没有对称轴
解析： 　∵x∈ ，f（－x）＝tan ｜－x｜＝tan ｜x｜
＝f（x），∴f（x）为偶函数，即y＝tan ｜x｜的图象关于y轴对
称.
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3. （多选）若直线y＝m（m为常数）与函数f（x）＝tan ωx（ω＞
0）的图象的相邻两支相交于A，B两点，且｜AB｜＝ ，则
（　　）
B. ω＝4
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解析： 　∵｜AB｜＝ ，则T＝ ，∴ω＝4，故A错，B正确；
令4x＝ kπ，k∈Z，∴x＝ kπ，k∈Z. ∴y＝tan 4x的图象的对
称中心为 （k∈Z），故C正确；y＝｜f（x）｜图象的对
称轴方程为x＝ （k∈Z），故D错.
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4. 函数y＝tan 在一个周期内的图象是如图中的（　　）
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解析： 　由函数周期T＝ ＝2π，排除选项B、D；将x＝ 代入
函数式中，得tan ＝tan 0＝0.故函数图象与x轴的一个
交点为 .故选A.
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5. 函数f（x）＝tan ωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线y＝1所得
的线段长为 ，则f 的值是（　　）
A. 0
C. 1
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解析： 　f（x）＝tan ωx的图象的相邻两支截直线y＝1所得的线
段长度为函数的周期，所以该函数的周期是 ，所以 ＝ （ω＞
0），解得ω＝4.所以f（x）＝tan 4x，当x＝ 时，f ＝
tan ＝tan ＝ .
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6. （多选）下列说法错误的是（　　）
A. 函数y＝tan x的所有对称中心是（kπ，0）（k∈Z）
B. 直线y＝a与正切函数y＝tan x图象相邻两交点之间的距离为π
D. y＝tan x在其定义域上是增函数
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解析： 　A错，对称中心为 （k∈Z）；B对，同y＝tan
x的周期为π；C对，x∈ 时，tan x≥0；D错，它的单调区间
只在（kπ－ ，kπ＋ ）（k∈Z）内，而不能说它在定义域内是
增函数，由此可知D错.
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7. 函数y＝ 的定义域为 　 （k∈Z）　.
解析：由题可得tan x＋1≥0，即tan x≥－1，解得x∈ （k∈Z）.
（k∈Z）　
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8. 若函数f（x）＝2tan 的最小正周期T满足1＜T＜2，则自
然数k的值为 .
解析：由T＝ ，又1＜T＜2，∴k的值可取2或3.
2或3　
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9. 函数y＝tan 的最小正周期为 　 　，其图象的对称中心
为 .
解析：最小正周期T＝ .由 ＝2x－ （k∈Z）得x＝ ＋
（k∈Z）.∴对称中心为 （k∈Z）.
　
（k∈Z）　
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10. 已知函数f（x）＝3tan .
（1）求f（x）的定义域与单调区间；
解： 由函数f（x）＝3tan ，
可得2x－ ≠kπ＋ 求得x≠ ＋ ，k∈Z，
故函数的定义域为 .
令kπ－ ＜2x－ ＜kπ＋ ，k∈Z，
求得 － ＜x＜ ＋ ，k∈Z.
故函数的单调增区间为 ，k∈Z.
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（2）比较f 与f 的大小.
解： f ＝3tan ＝－3tan ＜0，
f ＝3tan ＝3tan ＞0，
所以f ＜f .
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11. 已知函数y＝tan ωx在 内是减函数，则（　　）
A. 0＜ω≤1 B. －1≤ω＜0
C. ω≥1 D. ω≤－1
解析： 　∵y＝tan ωx在 内是减函数，∴ω＜0且T＝
≥π.∴｜ω｜≤1，即－1≤ω＜0.
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12. （多选）下列关于函数y＝tan 的说法正确的是（　　）
B. 最小正周期是π
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解析： 　令kπ－ ＜x＋ ＜kπ＋ ，解得kπ－ ＜x＜kπ＋
，k∈Z，显然 不满足上述关系式，故A错误；易知
该函数的最小正周期为π，故B正确；令x＋ ＝ ，解得x＝
－ ，k∈Z，当k＝1时，x＝ ，故C正确；正切函数曲线没有对
称轴，因此函数y＝tan 的图象也没有对称轴，故D错误.
故选B、C.
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13. 设函数f（x）＝tan（ωx＋φ） ，已知函数y
＝f（x）的图象与x轴相邻两个交点的距离为 ，且图象关于点
M 对称.
（1）求f（x）的解析式；
解： 由题意知，函数f（x）的最小正周期为T＝ ，
即T＝ ＝ .
因为ω＞0，所以ω＝2，从而f（x）＝tan（2x＋φ）.
因为函数y＝f（x）的图象关于点M 对称，
所以2× ＋φ＝ ，k∈Z，即φ＝ ＋ ，k∈Z.
因为0＜φ＜ ，所以φ＝ ，故f（x）＝tan .
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（2）求不等式－1≤f（x）≤ 的解集.
解： 由（1）知，f（x）＝tan .
由－1≤tan ≤ ，得－ ＋kπ≤2x＋ ≤ ＋
kπ，k∈Z，
即－ ＋ ≤x≤ ＋ ，k∈Z.
所以不等式－1≤f（x）≤ 的解集为 ，k∈Z.
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14. 已知函数f（x）＝tan（x＋φ） 的图象的一个对称中
心为 ，则φ的值为 　 或－ 　，最小正周期为 .
解析：由于 是函数f（x）图象的对称中心，所以 ＋φ＝
π，k∈Z，所以φ＝ π－ ，k∈Z，由于｜φ｜＜ ，故取k＝0，
1，φ＝－ ， ，T＝π.
或－ 　
π　
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15. 已知f（x）＝ .
（1）判断f（x）的奇偶性；
解： 由函数f（x）＝ 的解析式可得函数的定义
域为 关于原点对称，
又因为f（x）＝ ＝ ，
所以f（－x）＝ ＝ ＝－f（x），
所以函数f（x）＝ 为奇函数.
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（2）当x∈[－π，π]，且x≠± 时，
画出f（x）的简图，并指出函数的
单调区间.
解： 由（1）可得
f（x）＝
其图象如图所示：
由图象可知f（x）的单调递增区间为 ，单调递减
区间为 ， .
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