资源简介

7.3.5　已知三角函数值求角
1.已知sin x＝，x∈，则x＝（　　）
A.arcsin B.＋arcsin
C.π－arcsin D.
2.已知cos x＝－，x∈[0，π]，则x＝（　　）
A.arccos B.π－arccos
C.－arccos D.π＋arccos
3.函数y＝arctan －的一个值域是（　　）
A. B.
C. D.
4.若P（－1，2）是钝角α的终边上一点，则角α可以表示为（　　）
A.arcsin B.arccos
C.arctan（－2） D.以上都不对
5.已知等腰三角形的顶角为arccos，则底角的正切值是（　　）
A. B.－
C. D.
6.（多选）以下为三角方程sin x＝（x∈[0，2π））的解的是（　　）
A.arcsin B.π－arcsin
C. D.
7.arccos＝　　　　.
8.若tan α＝，且α∈，则α＝　　　　.
9.已知函数f（x）＝cos ωx，g（x）＝sin（ωx－）（ω＞0），且g（x）的最小正周期为π.若f（α）＝，α∈[－π，π]，则α的取值集合为　　　　.
10.求值：（1）；
（2）sin（arcsin）＋arcsin＋cos＋arccos.
11.（多选）下列式子，正确的有（　　）
A.arcsin＝1
B.arcsin＝－
C.arcsin＝
D.sin＝
12.arccos＝　　　　.
13.设函数f（x）＝tan.
（1）求函数f（x）的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；
（2）求不等式－1≤f（x）≤的解集.
14.已知sin x＝，则当x∈时，x＝　　　　，当x∈[0，2π]时，x＝　　　　.
15.求函数y＝arcsin（sin x）的定义域、值域，判断它的奇偶性、单调性、周期性.
7.3.5　已知三角函数值求角
1.C　因为arcsin∈，所以π－arcsin∈，所以sin x＝，x∈，x＝π－arcsin.
2.B　arccos∈，所以π－arccos∈.所以cos x＝－，x∈[0，π]，x＝π－arccos.
3.B　因为≥0，所以arctan ∈，则arctan －∈，故选B.
4.B　由题意可得sin α＝，cos α＝－，tan α＝－2，又α∈，可知α＝π－arcsin ＝arccos＝π＋arctan（－2）.故选B.
5.A　由题意得三角形顶角为arccos＝，底角为＝.故tan ＝.
6.AB　因为sin x＝，x∈[0，2π），所以x＝arcsin ，或x＝π－arcsin，所以方程的解集为{arcsin，π－arcsin}.故选A、B.
7.　解析：因为cos＝，且0＜＜1，所以arccos＝.
8.　解析：因为tan＝，又α∈，所以α＝π＋＝.
9.　解析：因为g（x）＝sin（ω＞0）的最小正周期为π，所以＝π，解得ω＝2，所以f（x）＝cos 2x.由f（α）＝，得cos 2α＝，即cos 2α＝，所以2α＝2kπ±，k∈Z.则α＝kπ±，k∈Z.因为α∈[－π，π]，所以α∈.
10.解：（1）∵arcsin ＝，arccos＝，arctan （－1）＝－
∴原式＝＝－1＋＝.
（2）∵arcsin ＝，∴sin＝sin ＝.
∵sin ＝，∴arcsin＝arcsin ＝.
∵arccos ＝，∴cos＝cos ＝，
∵cos ＝－，∴arccos＝arccos＝，∴原式＝＋＋＋＝π＋1.
11.BCD　对于A，在arcsin x中－1≤x≤1，而＞1.故A式无意义；对于B，在上只有sin＝－，所以arcsin＝－，故B正确；对于C、D，由定义知是正确的.故选B、C、D.
12.　解析：∵cos＝cos ，且cos ＝∈[0，1]，∴arccos＝arccos＝.
13.解：（1）由－≠kπ＋，得到函数的定义域为；
周期T＝2π；
由kπ－＜－＜kπ＋（k∈Z），解得f（x）的单调递增区间为（k∈Z），无减区间；
由－＝得x＝＋kπ（k∈Z），故f（x）的对称中心为（k∈Z）.
（2）由题意，kπ－≤－≤kπ＋（k∈Z），
解得＋2kπ≤x≤＋2kπ（k∈Z），
可得不等式－1≤f（x）≤的解集为{x≤x≤＋2kπ，k∈Z}.
14.　或π　解析：∵y＝sin x在上是增函数，且sin ＝，∴x＝.∵sin x＝＞0，∴x为第一或第二象限的角，且sin＝sin＝，∴在[0，2π]上符合条件的角有x＝或x＝π.
15.解：对于函数y＝arcsin（sin x），根据－1≤sin x≤1，求得x∈R，故函数的定义域为R.
根据反正弦函数的定义可得y∈.
再根据y＝f（x）＝arcsin（sin x）满足f（－x）＝arcsin[sin（－x）]＝arcsin[－sin x]＝－arcsin（sin x）＝－f（x），
故函数f（x）为奇函数.
在R上，当x增大时，函数t＝sin x不具备单调性，故函数y＝arcsin（sin x）在定义域R上不具备单调性.
再根据y＝f（x）＝arcsin（sin x）满足f（x＋2π）＝arcsin[sin（x＋2π）]＝arcsin（sin x）＝f（x），
可得函数y的一个周期为2π.
由于不存在T∈（0，2π），使f（x＋T）＝f（x）对于定义域内的任意x都成立，故函数y的最小正周期为2π.
2 / 27.3.5　已知三角函数值求角
新课程标准解读 核心素养
1.会利用三角函数线求角 直观想象、数学运算
2.会用符号arcsin x，arccos x，arctan x表示角 数学运算
　　大海中航行需要正确地计算航行的方向，需要掌握包括三角函数在内的广泛的数学知识.
【问题】　已知sin x＝，你能求出满足条件的角x吗？
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　arcsin x，arccos x，arctan x的含义
1.任意给定一个y∈[－1，1]，当sin x＝y且x∈时，通常记作：x＝　　　　　　.
2.在区间[0，π]内，满足cos x＝y（y∈[－1，1]）的x只有一个，通常记作：x＝　　　　　　.
3.在区间内，满足tan x＝y（y∈R）的x只有一个，通常记作：x＝　　　　　　.
【想一想】
　符号arcsin α（α∈[－1，1]），arccos α（α∈[－1，1]），arctan α（α∈R）分别表示什么？
1.（多选）下列说法中正确的是（　　）
A.arcsin＝－
B.arcsin 0＝0
C.arcsin（－1）＝π
D.arcsin 1＝
2.已知α是三角形的内角，且sin α＝，则α＝　　　　.
3.已知tan 2x＝－且x∈[0，π]，则x＝　　　　.
题型一 已知正弦函数值求角
【例1】　求下列范围内适合sin x＝的x的集合.
（1）x∈；
（2）x∈[0，2π]；
（3）x∈R.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
通性通法
1.给值求角问题，关键是看角的范围，通常借助单位圆或三角函数在一个周期上的图象，根据相应三角函数值确定一个单调区间内或一个周期内的角，再利用终边相同角把所求范围内的所在角表示出来.
2.对于已知正弦值求角有如下规律
sin x＝α （｜α｜≤1） x∈ x∈[0，2π]
x＝arcsin α 0≤α≤1 －1≤α＜0
x1＝arcsin α， x2＝π－arcsin α x1＝π－arcsin α， x2＝2π＋arcsin α
【跟踪训练】
　已知sin＝，x∈R，求角x的取值集合.
题型二 已知余弦函数值求角
【例2】　（1）已知cos＝，求x；
（2）求不等式cos＞－的解集.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
通性通法
利用余弦值求角、解不等式
　　将ωx＋φ看作整体，先求出[0，2π]或[－π，π]上的角，再通过周期推广到整个定义域内，最后解出x的值或范围.
【跟踪训练】
　已知cos x＝－.
（1）当x∈[0，π]时，求x；
（2）当x∈R时，求x的取值集合.
题型三 已知正切函数值求角
【例3】　已知tan α＝－3.
（1）若α∈，求角α；
（2）若α∈R，求角α.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
通性通法
1.已知角的正切值求角，可先求出内的角，再由y＝tan x的周期性表示所给范围内的角.
2.tan α＝a，α∈R的解集为{α｜α＝kπ＋arctan a，k∈Z}.
【跟踪训练】
　已知tan x＝－1，写出在区间[－2π，0]内满足条件的x.
1.arccos＝（　　）
A.　 　 B.－　 　 C.　 　 D.
2.＝（　　）
A. B.0 C.1 D.－
3.若3tan x－1＝0，0＜x＜2π，则x＝（　　）
A.arctan
B.arctan 或π－arctan
C.arctan 或π＋arctan
D.2π－arctan
4.已知sin α＝，根据下列所给范围求α.
（1）α为锐角；（2）α为第二象限的角.
7.3.5　已知三角函数值求角
【基础知识·重落实】
知识点
1.arcsin y　2.arccos y　3.arctan y
想一想
　提示：arcsin α表示在区间上，正弦值为α的角；arccos α表示在区间上，余弦值为α的角；arctan α表示在区间上，正切值为α的角.
自我诊断
1.ABD　根据已知正弦值求角的定义知arcsin（－1）＝－，故C项错误.易知A、B、D正确.
2.或　解析：因为α是三角形的内角，所以α∈（0，π），
当sin α＝时，α＝或.
3.或　解析：∵x∈[0，π]，∴2x∈[0，2π].
∵tan 2x＝－，∴2x＝或2x＝，
∴x＝或.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）由y＝sin x在上是增函数及反正弦函数的概念，
知适合sin x＝的角x只有一个，
即x＝.这时，适合sin x＝的x的集合为.
（2）当x∈[0，2π]时，由诱导公式sin（π－x）
＝sin x＝及sin ＝sin ＝，
可知x1＝，x2＝.
这时，适合sin x＝的x的集合为.
（3）当x∈R时，据正弦函数的周期性可知x＝2kπ＋（k∈Z）或x＝2kπ＋（k∈Z）时，sin x＝，
则所求的x的集合是{x，k∈Z或x＝2kπ＋，k∈Z}.
跟踪训练
　解：法一　由sin＝＞0可知，
角x＋对应的正弦线方向朝上，
且长度为.
作出示意图如图①所示.
由图①可知角x＋的终边可能是OP，也可能是OP'.
又sin＝sin＝，
所以x＋＝2kπ＋或x＋＝2kπ＋，k∈Z，
即x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z.
所以角x的取值集合为
.
法二　作出y＝sin x在[0，2π]上的图象及直线y＝，如图②所示，由图②可知sin＝sin＝，
所以x＋＝2kπ＋或x＋＝2kπ＋，k∈Z，
即x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z.
所以角x的取值集合为
.
【例2】　解：（1）由cos＝＞0，
知角2x－对应的余弦线方向向右，且长度为，
如图所示，可知角2x－的终边可能是OP，也可能是OP'.
又因为cos ＝cos＝，
所以2x－＝－＋2kπ或2x－＝＋2kπ，k∈Z.
所以x＝＋kπ或x＝＋kπ，k∈Z.
（2）如图所示，
在[－π，π]上，x＋＝－或x＋＝时，cos＝－，
所以x＋＝－＋2kπ或x＋＝＋2kπ，k∈Z时，cos＝－.
令－＋2kπ＜x＋＜＋2kπ，k∈Z，
解得－＋4kπ＜x＜＋4kπ，k∈Z，
所以不等式的解集为
.
跟踪训练
　解：（1）因为cos x＝－且x∈[0，π]，
所以x＝arccos.
（2）当x∈R时，先求出x在[0，2π]上的解.
因为cos x＝－，故x是第二或第三象限角.
由（1）知x＝arccos是第二象限角，
又cos＝cos＝－，
且2π－arccos∈，
所以由余弦函数的周期性知，
当x＝arccos＋2kπ或x＝2π－arccos＋2kπ（k∈Z）时，cos x＝－，
即所求x值的集合是.
【例3】　解：（1）由正切函数在开区间上是增函数可知，
符合条件tan α＝－3的角只有一个，
即α＝arctan（－3）.
（2）α＝kπ＋arctan（－3）（k∈Z）.
跟踪训练
　解：因为tan x＝－1＜0，
所以x是第二或第四象限角.
由tan＝－tan ＝－1可知，
所求符合条件的第四象限角为x＝－.
又由tan＝－tan ＝－1，
得所求符合条件的第二象限角为x＝－π，
所以在[－2π，0]内满足条件的角是－与－.
随堂检测
1.C　由arccos的定义可得arccos＝π－arccos＝π－＝.故选C.
2.C　因为arcsin＝，arccos＝，arctan（－）＝－，所以原式＝＝1.
3.C　由题意知tan x＝，x∈（0，2π），则x＝arctan 或x＝π＋arctan ，故选C.
4.解：（1）因为sin α＝，且α为锐角，即α∈，
所以α＝.
（2）因为sin α＝，且α为第二象限的角，
所以在（0，2π）内满足条件的角为.
所以符合条件的所有角为α＝2kπ＋（k∈Z）.
3 / 3(共53张PPT)
7.3.5　
已知三角函数值求角
新课程标准解读 核心素养
1.会利用三角函数线求角 直观想象、数学运算
2.会用符号arc sin x，arc cos x，arctan x表
示角 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　大海中航行需要正确地计算航行的方向，需要掌握包括三角函数
在内的广泛的数学知识.
【问题】　已知 sin x＝ ，你能求出满足条件的角x吗？
知识点　arc sin x，arc cos x，arctan x的含义
1. 任意给定一个y∈[－1，1]，当 sin x＝y且x∈ 时，通常
记作：x＝ .
2. 在区间[0，π]内，满足 cos x＝y（y∈[－1，1]）的x只有一个，
通常记作：x＝ .
3. 在区间 内，满足tan x＝y（y∈R）的x只有一个，通常
记作：x＝ .
arc sin y　
arc cos y　
arctan y　
【想一想】
　符号arc sin α（α∈[－1，1]），arc cos α（α∈[－1，1]），
arctan α（α∈R）分别表示什么？
提示：arc sin α表示在区间 上，正弦值为α的角；arc cos α
表示在区间 上，余弦值为α的角；arctan α表示在区间
上，正切值为α的角.
1. （多选）下列说法中正确的是（　　）
A. arc sin ＝－ B. arc sin 0＝0
C. arc sin （－1）＝ π D. arc sin 1＝
解析： 　根据已知正弦值求角的定义知arc sin （－1）＝－
，故C项错误.易知A、B、D正确.
2. 已知α是三角形的内角，且 sin α＝ ，则α＝ 　 或 　.
解析：因为α是三角形的内角，所以α∈（0，π），当 sin α＝
时，α＝ 或 .
3. 已知tan 2x＝－ 且x∈[0，π]，则x＝ 　 或 　.
解析：∵x∈[0，π]，∴2x∈[0，2π].∵tan 2x＝－ ，∴2x＝
或2x＝ ，∴x＝ 或 .
或 　
或 　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
　　
题型一 已知正弦函数值求角
【例1】　求下列范围内适合 sin x＝ 的x的集合.
（1）x∈ ；
解： 由y＝ sin x在 上是增函数及反正弦函数的概
念，知适合 sin x＝ 的角x只有一个，即x＝ .这时，适合 sin
x＝ 的x的集合为 .
（2）x∈[0，2π]；
解：当x∈[0，2π]时，由诱导公式 sin （π－x）＝ sin x＝
及 sin ＝ sin ＝ ，可知x1＝ ，x2＝ .这时，适合 sin x＝
的x的集合为 .
解：当x∈R时，据正弦函数的周期性可知x＝2kπ＋
（k∈Z）或x＝2kπ＋ （k∈Z）时， sin x＝ ，
则所求的x的集合是
.
（3）x∈R.
通性通法
1. 给值求角问题，关键是看角的范围，通常借助单位圆或三角函
数在一个周期上的图象，根据相应三角函数值确定一个单调区
间内或一个周期内的角，再利用终边相同角把所求范围内的所
在角表示出来.
2. 对于已知正弦值求角有如下规律
sin x＝α （｜α｜≤1） x∈ x∈[0，2π]
x＝arc sin α 0≤α≤1 －1≤α＜0
x1＝arc sin α， x2＝π－arc sin α x1＝π－arc sin α，
x2＝2π＋arc sin α
【跟踪训练】
　已知 sin ＝ ，x∈R，求角x的取值集合.
解：法一　由 sin ＝ ＞0可知，角x＋ 对应的正弦线方向朝
上，且长度为 .
作出示意图如图①所示.
由图①可知角x＋ 的终
边可能是OP，也可能是
OP'.
又 sin ＝ sin ＝ ，
所以x＋ ＝2kπ＋ 或x＋ ＝2kπ＋ ，k∈Z，即x＝ ＋2kπ或x＝ ＋2kπ，k∈Z. 所以角x的取值集合为 .
法二　作出y＝ sin x在[0，2π]上的图象及直线y＝ ，如图②所示，
由图②可知 sin ＝ sin ＝ ，
所以x＋ ＝2kπ＋ 或x＋ ＝2kπ＋ ，k∈Z，
即x＝ ＋2kπ或x＝ ＋2kπ，k∈Z.
所以角x的取值集合为
.
题型二 已知余弦函数值求角
【例2】　（1）已知 cos ＝ ，求x；
解： 由 cos ＝ ＞0，
知角2x－ 对应的余弦线方向向右，且长度为 ，
如图所示，可知角2x－ 的终边可能是OP，也可能是OP'.
又因为 cos ＝ cos ＝ ，
所以2x－ ＝－ ＋2kπ或2x－ ＝ ＋2kπ，k∈Z.
所以x＝ ＋kπ或x＝ ＋kπ，k∈Z.
（2）求不等式 cos ＞－ 的解集.
解： 如图所示，
在[－π，π]上， x＋ ＝－ 或 x＋ ＝ 时， cos
＝－ ，
所以 x＋ ＝－ ＋2kπ或 x＋ ＝ ＋2kπ，k∈Z时， cos
＝－ .
令－ ＋2kπ＜ x＋ ＜ ＋2kπ，k∈Z，
解得－ ＋4kπ＜x＜ ＋4kπ，k∈Z，
所以不等式的解集为
.
通性通法
利用余弦值求角、解不等式
　　将ωx＋φ看作整体，先求出[0，2π]或[－π，π]上的角，再通过
周期推广到整个定义域内，最后解出x的值或范围.
【跟踪训练】
　已知 cos x＝－ .
（1）当x∈[0，π]时，求x；
解： 因为 cos x＝－ 且x∈[0，π]，
所以x＝arc cos .
（2）当x∈R时，求x的取值集合.
解： 当x∈R时，先求出x在[0，2π]上的解.
因为 cos x＝－ ，故x是第二或第三象限角.
由（1）知x＝arc cos 是第二象限角，
又 cos ［2π－arc cos （－ ）］＝ cos ［arc cos ］＝－ ，
且2π－arc cos ∈ ，
所以由余弦函数的周期性知，当x＝arc cos ＋2kπ或x＝2π
－arc cos ＋2kπ（k∈Z）时， cos x＝－ ，
即所求x值的集合是{x｜x＝2kπ±arc cos ，k∈Z}.
题型三 已知正切函数值求角
【例3】　已知tan α＝－3.
（1）若α∈ ，求角α；
解： 由正切函数在开区间 上是增函数可知，符
合条件tan α＝－3的角只有一个，即α＝arctan（－3）.
（2）若α∈R，求角α.
解： α＝kπ＋arctan（－3）（k∈Z）.
通性通法
1. 已知角的正切值求角，可先求出 内的角，再由y＝tan x
的周期性表示所给范围内的角.
2. tan α＝a，α∈R的解集为{α｜α＝kπ＋arctan a，k∈Z}.
【跟踪训练】
　已知tan x＝－1，写出在区间[－2π，0]内满足条件的x.
解：因为tan x＝－1＜0，
所以x是第二或第四象限角.
由tan ＝－tan ＝－1可知，
所求符合条件的第四象限角为x＝－ .
又由tan ＝－tan ＝－1，得所求符合条件的第二象限角为x＝
－ π，
所以在[－2π，0]内满足条件的角是－ 与－ .
1. arc cos ＝（　　）
A. B. － C. D.
解析： 　由arc cos 的定义可得arc cos ＝π－arc cos ＝π
－ ＝ .故选C.
2. ＝（　　）
A. B. 0 C. 1 D. －
解析： 　因为arc sin ＝ ，arc cos ＝ ，arctan（－ ）
＝－ ，所以原式＝ ＝1.
3. 若3tan x－1＝0，0＜x＜2π，则x＝（　　）
A. arctan B. arctan 或π－arctan
C. arctan 或π＋arctan D. 2π－arctan
解析： 　由题意知tan x＝ ，x∈（0，2π），则x＝arctan 或x＝
π＋arctan ，故选C.
4. 已知 sin α＝ ，根据下列所给范围求α.
（1）α为锐角；
解： 因为 sin α＝ ，且α为锐角，即α∈ ，
所以α＝ .
（2）α为第二象限的角.
解： 因为 sin α＝ ，且α为第二象限的角，
所以在（0，2π）内满足条件的角为 .
所以符合条件的所有角为α＝2kπ＋ （k∈Z）.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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15
1. 已知 sin x＝ ，x∈ ，则x＝（　　）
A. arc sin B. ＋arc sin
C. π－arc sin D.
解析： 　因为arc sin ∈ ，所以π－arc sin ∈ ，
所以 sin x＝ ，x∈ ，x＝π－arc sin .
2. 已知 cos x＝－ ，x∈[0，π]，则x＝（　　）
A. arc cos B. π－arc cos
C. －arc cos D. π＋arc cos
解析： 　arc cos ∈（0， ），所以π－arc cos ∈ .所以
cos x＝－ ，x∈[0，π]，x＝π－arc cos .
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3. 函数y＝arctan － 的一个值域是（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　因为 ≥0，所以arctan ∈ ，则arctan －
∈ ，故选B.
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4. 若P（－1，2）是钝角α的终边上一点，则角α可以表示为
（　　）
A. arc sin B. arc cos
C. arctan（－2） D. 以上都不对
解析： 　由题意可得 sin α＝ ， cos α＝－ ，tan α＝－2，
又α∈ ，可知α＝π－arc sin ＝arc cos ＝π＋arctan
（－2）.故选B.
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5. 已知等腰三角形的顶角为arc cos ，则底角的正切值是
（　　）
A. B. － C. D.
解析： 　由题意得三角形顶角为arc cos ＝ ，底角为
＝ .故tan ＝ .
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6. （多选）以下为三角方程 sin x＝ （x∈[0，2π））的解的是
（　　）
A. arc sin B. π－arc sin
C. D.
解析： 　因为 sin x＝ ，x∈[0，2π），所以x＝arc sin ，或x
＝π－arc sin ，所以方程的解集为 .故选
A、B.
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7. arc cos ＝ 　 　.
解析：因为 cos ＝ ，且0＜ ＜1，所以arc cos ＝ .
　
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8. 若tan α＝ ，且α∈ ，则α＝ 　 　.
解析：因为tan ＝ ，又α∈ ，所以α＝π＋ ＝ .
　
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9. 已知函数f（x）＝ cos ωx，g（x）＝ sin （ωx－ ）（ω＞
0），且g（x）的最小正周期为π.若f（α）＝ ，α∈[－π，
π]，则α的取值集合为 .
　
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解析：因为g（x）＝ sin （ω＞0）的最小正周期为π，所
以 ＝π，解得ω＝2，所以f（x）＝ cos 2x.由f（α）＝ ，
得 cos 2α＝ ，即 cos 2α＝ ，所以2α＝2kπ± ，k∈Z.
则α＝kπ± ，k∈Z. 因为α∈[－π，π]，所以α∈
.
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10. 求值：（1） ；
解： ∵arc sin ＝ ，arc cos ＝ ，
arctan （－1）＝－
∴原式＝ ＝－1＋ ＝ .
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解： ∵arc sin ＝ ，∴ sin ＝ sin ＝ .
∵ sin ＝ ，∴arc sin ＝arc sin ＝ .
∵arc cos ＝ ，∴ cos ＝ cos ＝ ，
∵ cos ＝－ ，∴arc cos ＝arc cos ＝ ，
∴原式＝ ＋ ＋ ＋ ＝π＋1.
（2） sin （arc sin ）＋arc sin ＋ cos ＋arc cos
.
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11. （多选）下列式子，正确的有（　　）
A. arc sin ＝1 B. arc sin ＝－
C. arc sin ＝ D. sin ＝
解析： 　对于A，在arc sin x中－1≤x≤1，而 ＞1.故A式无
意义；对于B，在 上只有 sin ＝－ ，所以arc sin
＝－ ，故B正确；对于C、D，由定义知是正确的.故选B、
C、D.
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12. arc cos ＝ 　 　.
解析：∵ cos ＝ cos ，且 cos ＝ ∈[0，1]，∴arc cos
＝arc cos ＝ .
　
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13. 设函数f（x）＝tan .
（1）求函数f（x）的定义域、最小正周期、单调区间及对称
中心；
解： 由 － ≠kπ＋ ，得到函数的定义域为
；
周期T＝2π；
由kπ－ ＜ － ＜kπ＋ （k∈Z），解得f（x）的单调递
增区间为 （k∈Z），无减区间；
由 － ＝ 得x＝ ＋kπ（k∈Z），故f（x）的对称中
心为 （k∈Z）.
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（2）求不等式－1≤f（x）≤ 的解集.
解： 由题意，kπ－ ≤ － ≤kπ＋ （k∈Z），
解得 ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ（k∈Z），
可得不等式－1≤f（x）≤ 的解集为{x｜ ＋
2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z}.
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14. 已知 sin x＝ ，则当x∈ 时，x＝ 　 　，当x∈[0，
2π]时，x＝ .
解析：∵y＝ sin x在 上是增函数，且 sin ＝ ，∴x＝
.∵ sin x＝ ＞0，∴x为第一或第二象限的角，且 sin ＝ sin
＝ ，∴在[0，2π]上符合条件的角有x＝ 或x＝ π.
　
或 π　
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15. 求函数y＝arc sin （ sin x）的定义域、值域，判断它的奇偶性、
单调性、周期性.
解：对于函数y＝arc sin （ sin x），根据－1≤ sin x≤1，求得
x∈R，故函数的定义域为R.
根据反正弦函数的定义可得y∈ .
再根据y＝f（x）＝arc sin （ sin x）满足f（－x）＝arc sin [ sin
（－x）]＝arc sin [－ sin x]＝－arc sin （ sin x）＝－f（x），
故函数f（x）为奇函数.
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在R上，当x增大时，函数t＝ sin x不具备单调性，故函数y＝arc
sin （ sin x）在定义域R上不具备单调性.
再根据y＝f（x）＝arc sin （ sin x）满足f（x＋2π）＝arc sin
[ sin （x＋2π）]＝arc sin （ sin x）＝f（x），
可得函数y的一个周期为2π.
由于不存在T∈（0，2π），使f（x＋T）＝f（x）对于定义域内
的任意x都成立，故函数y的最小正周期为2π.
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