资源简介

8.1.1　向量数量积的概念
1.若e1，e2是两个互相平行的单位向量，则下列判断正确的是（　　）
A.e1·e2＝1　　　　　 B.e1·e2＝－1
C.e1·e2＝±1 D.｜e1·e2｜＜1
2.在△ABC中，·＜0，则△ABC是（　　）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
3.已知向量b的模为1，且b在a方向上的投影的数量为，则a与b的夹角为（　　）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
4.已知向量a，b满足｜a｜＝5，｜b｜＝6，a·b＝－6，则cos＜a，a＋b＞＝（　　）
A.－ B.－
C. D.
5.（多选）给出下列判断，其中正确的是（　　）
A.若a2＋b2＝0，则a＝b＝0
B.已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则｜a·c｜＝｜b·c｜
C.a，b共线 a·b＝｜a｜｜b｜
D.｜a｜｜b｜＜a·b
6.在边长为4的菱形ABCD中∠BAD＝120°，则在方向上的投影的数量为（　　）
A.2 B.－2
C.－2 D.2
7.已知长为4的向量a与单位向量e的夹角为，则向量a在向量e方向上的投影向量为　　　　.
8.已知△ABC的外接圆圆心为O，AB＝3，AC＝5，则·＝　　　　.
9.已知正方形ABCD的边长为1，E是边AB上的动点，则·的值为　　　　，·的最大值为　　　　.
10.已知a·b＝－9，a在b方向上投影的数量为－3，b在a方向上投影的数量为－，求a与b的夹角θ.
11.黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0.618，0.618被公认为最具有审美意义的比例数字.宽与长的比为≈0.618的矩形叫做黄金矩形，它广泛地出现在艺术、建筑、人体和自然界中，在黄金矩形ABCD中，BC＝－1，AB＞BC，那么·的值为（　　）
A.－1 B.＋1
C.4 D.2＋2
12.已知向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝4，且a·b＝4，则a与b的夹角为　　　　.若向量c，d满足c为单位向量，c·d＝4，＜c，d＞＝，则｜d｜＝　　　　.
13.已知｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61.
（1）求a·b的值；
（2）若a在b方向上的投影向量为c，求c·（a＋b）的值.
14.（多选）对于非零向量a，b，c，下列命题正确的是（　　）
A.若a·b＝b·c，则a＝b
B.若a⊥b，则a·b＝（a·b）2
C.若a∥b，则a在b上的投影的数量为｜a｜
D.若λ1a＋λ2b＝0（λ1，λ2∈R，且λ1·λ2≠0），则a∥b
15.如图，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝2DC＝4，E为腰BC上的动点.求·的取值范围.
8.1.1　向量数量积的概念
1.C　因为e1，e2是两个互相平行的单位向量，则当e1，e2方向相同时，e1·e2＝｜e1｜｜e2｜cos 0°＝1；当e1，e2方向相反时，e1·e2＝｜e1｜｜e2｜cos 180°＝－1.综上所述，e1·e2＝±1.
2.C　因为·＝｜｜｜｜cos A＜0，所以cos A＜0.所以角A是钝角.所以△ABC是钝角三角形.
3.A　由题意知｜b｜cos θ＝cos θ＝，∵θ∈[0，π]，∴θ＝30°.故选A.
4.D　由题意，得a·（a＋b）＝a2＋a·b＝25－6＝19，｜a＋b｜＝＝＝7，所以cos＜a，a＋b＞＝＝＝，故选D.
5.AB　由于a2≥0，b2≥0，所以若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故A正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以｜a·c｜＝｜b·c｜，故B正确；a，b共线 a·b＝±｜a｜｜b｜，所以C不正确；对于D应有｜a｜｜b｜≥a·b，所以D不正确.故选A、B.
6.C　由题意知向量和的夹角为120°，所以在方向上的投影的数量为｜｜cos 120°＝4×＝－2.故选C.
7.－2e　解析：向量a在向量e方向上的投影向量为｜a｜cos ·e＝4×e＝－2e.
8.8　解析：如图，取AC的中点D，AB的中点E，并连接OD，OE，则OD⊥AC，OE⊥AB.∴·＝，·＝，∴·＝·（－）＝·－·＝－＝×52－×32＝8.
9.1　1　解析：如图所示，根据平面向量的数量积的定义可得·＝·＝｜｜｜｜·cos θ.
由图可知，｜｜cos θ＝｜｜，因此·＝｜｜2＝1.
·＝｜｜｜｜cos α＝｜｜cos α，而｜｜cos α就是向量在上的投影的数量，
当在上的投影的数量最大，即投影的数量为｜｜时，·取得最大值，所以·的最大值为1.
10.解：∵∴
即∴
∴cos θ＝＝＝－.
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
11.C　由黄金矩形的定义，可得AB＝2.在矩形ABCD中，cos∠CAB＝，则·＝｜｜｜｜cos∠CAB＝｜｜2＝4.
12.　8　解析：设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.因为c为单位向量，所以｜c｜＝1，由向量数量积公式得c·d＝｜c｜·｜d｜·cos＜c，d＞，得4＝1×｜d｜×cos ，所以｜d｜＝8.
13.解：（1）∵（2a－3b）·（2a＋b）＝61，
∴4｜a｜2－4a·b－3｜b｜2＝61，又｜a｜＝4，｜b｜＝3，
∴64－4a·b－27＝61，则a·b＝－6.
（2）∵c＝×＝－.
∴c·（a＋b）＝－b·（a＋b）＝－（a·b＋b2）＝－×（－6＋9）＝－2.
14.BD　对于选项A，若a·b＝b·c，则（a－c）·b＝0，故A错误；对于选项B，若a⊥b，所以a·b＝0，则a·b＝（a·b）2，故B正确；对于选项C，若a∥b，则a在b上的投影的数量为±｜a｜，故C错误；对于选项D，若λ1a＋λ2b＝0（λ1，λ2∈R，且λ1·λ2≠0），推出a＝－b，由平行向量基本定理可知a∥b，故D正确.故选B、D.
15.解：如图，过E作EE'⊥AB，垂足为E'，过C作CC'⊥AB，垂足为C'.
则在上的投影为，
∴在上的投影的数量为｜｜，
由向量数量积的几何意义知·＝｜｜·｜｜＝4｜｜.
∵点E在腰BC上运动，
∴点E'在线段C'B上运动，
∴｜｜≤｜｜≤｜｜，
∴2≤｜｜≤4，
∴8≤4｜｜≤16，
∴·的取值范围是[8，16].
2 / 28.1.1　向量数量积的概念
新课程标准解读 核心素养
1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义 数学抽象
2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系 数学运算
3.会运用数量积表示两个向量的夹角，会运用数量积判断两个平面向量的垂直关系 逻辑推理
　　我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功.如图所示，如果作用在小车上的力F的大小为｜F｜ N，小车在水平面上位移s的大小为｜s｜ m，力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为W＝｜F｜｜s｜cos θ.
【问题】　（1）显然，功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之间有什么关系？
（2）给定任意两个向量a，b，能确定出一个类似的标量吗？如果能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由.
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　两个向量的夹角
定义 给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的　　　为向量a与向量b的夹角，记作　　　　
范围 　　　　　
特例 ＜a，b＞＝0 a与b　　
＜a，b＞＝π a与b　　
＜a，b＞＝　 a与b垂直，记作　　　，规定　　　　与任意向量垂直
【想一想】
　如果a，b是两个非零向量，那么＜a，b＞＝＜b，a＞成立吗？
如图，在△ABC中，，的夹角与，的夹角的关系为　　　　.
知识点二　向量的数量积
1.定义：当a与b都是非零向量时，称　　　　　为向量a与b的数量积（也称为内积），记作a·b，即a·b＝　　　　　　　.
2.两个非零向量a，b的数量积的性质
不等式 ｜a·b｜　　｜a｜｜b｜
恒等式 a·a＝　　＝　　　，即｜a｜＝　　　　
向量垂直 的充要条件 a⊥b 　　　　　　
3.投影向量及向量数量积的几何意义
（1）设非零向量＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A'，B'，则称向量为向量a在直线l上的　　　　　　或　　　　；
（2）如果a，b都是非零向量，则称　　　　　　为向量a在向量b上的投影的数量；
（3）两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的　　　　　　　与b的模的乘积.这就是两个向量数量积的几何意义.
【想一想】
1.向量的数量积a·b与向量加法、减法和数乘的区别是什么？
2.根据向量数量积的定义，如何求两个非零向量a与b的夹角？
3.一个向量在一个非零向量上的投影，与这个非零向量共线吗？若共线，它们的方向相同还是相反？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两向量的数量积是一个实数.（　　）
（2）向量a在b上的投影仍为向量.（　　）
（3）向量a在b方向上的投影的数量与向量b在a方向上的投影的数量相等.（　　）
2.已知平面向量｜a｜＝2，｜b｜＝3，＜a，b＞＝，则a·b＝（　　）
A.2　　　　　　　　 B.3
C.6 D.0
3.已知｜a｜＝3，向量a与b的夹角为，则a在b上的投影的数量为（　　）
A. B.
C. D.
4.已知｜m｜＝2，m·n＝8，m与n的夹角为60°，则｜n｜＝　　　　.
题型一 向量的数量积
【例1】　已知｜a｜＝3，｜b｜＝6，当①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
通性通法
　　求向量的数量积时，若已知向量的模及其夹角，则可直接利用公式a·b＝｜a｜｜b｜cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，两向量的夹角可以直接确定的条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.
【跟踪训练】
　（多选）已知a，b，c是三个非零向量，下列选项正确的是（　　）
A.a·b＝±｜a｜·｜b｜ a∥b
B.a，b反向 a·b＝－｜a｜｜b｜
C.a⊥b ｜a＋b｜＝｜a－b｜
D.｜a｜＝｜b｜ ｜a·c｜＝｜b·c｜
题型二 投影向量与投影的数量
【例2】　（1）（多选）已知非零单位向量a和b，若a·b＝－，向量b在向量a上的投影向量为c，向量a在向量b上的投影向量为d，则下列结论正确的是（　　）
A.｜c｜＝｜d｜　　　　 B.a·b＝a·c
C.d＝b D.c·d＝－
（2）已知｜a｜＝3，｜b｜＝5，且a·b＝－12，则a在b方向上投影的数量为　　　　，b在a方向上投影的数量为　　　　.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
通性通法
投影向量与投影向量的求法
（1）向量a在b所在直线上的投影是一个向量，向量a在b所在直线上的投影的数量是一个实数；
（2）向量a在向量b上的投影向量为｜a｜cos θ.向量b在向量a上的投影向量为｜b｜cos θ·；
（3）向量a在向量b上的投影的数量是｜a｜cos＜a，b＞，向量b在向量a上的投影的数量是｜b｜cos＜a，b＞，二者不能混为一谈.
【跟踪训练】
　已知｜a｜＝3，｜b｜＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求：
（1）a在b上的投影向量；
（2）b在a上的投影向量.
题型三 向量数量积的综合应用
【例3】　已知a，b是两个非零向量：
（1）若｜a｜＝3，｜b｜＝4，｜a·b｜＝6，求a与b的夹角；
（2）若｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，求a与a＋b的夹角.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【母题探究】
　（变条件、变设问）若将本例（2）条件“｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜”改为“｜a＋b｜＝｜a－b｜＝2｜a｜”，求向量a＋b与a－b的夹角.
通性通法
求向量夹角的基本步骤及注意事项
（1）基本步骤：
（2）注意事项：在个别含有｜a｜，｜b｜与a·b的等量关系式中常利用消元思想计算cos＜a，b＞的值.
【跟踪训练】
1.已知向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝1，a·b＝，则向量a，b的夹角为（　　）
A.　　　　　　　B.
C. D.－
2.已知a·b＝－12，｜a｜＝4，a，b的夹角为135°，则｜b｜＝（　　）
A.12 B.3
C.6 D.3
1.已知向量｜a｜＝1，｜b｜＝2，a，b的夹角为θ，若tan θ＝，则a·b的值为（　　）
A.1 B.2
C.3 D.－1
2.已知平面向量｜a｜＝1，｜b｜＝2，则a2＋b2＝（　　）
A.2 B.3
C.5 D.－5
3.已知｜a｜＝4，e为单位向量，当a，e的夹角为时，a在e上的投影的数量为（　　）
A.2 B.－2
C.2 D.－2
4.若四边形ABCD满足＋＝0，且·＝0，试判断四边形ABCD的形状.
8.1.1　向量数量积的概念
【基础知识·重落实】
知识点一
　∠AOB　＜a，b＞　0≤＜a，b＞≤π　同向　反向　　a⊥b　零向量　
想一想
　提示：成立.
自我诊断
　互补　解析：根据向量夹角定义可知向量，夹角为A，而向量，夹角为π－A，故二者互补.
知识点二
1.｜a｜｜b｜cos＜a，b＞　｜a｜｜b｜cos＜a，b＞　2.≤　a2　｜a｜2　　a·b＝0　3.（1）投影向量　投影　（2）｜a｜cos＜a，b＞
（3）投影的数量
想一想
1.提示：向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；向量加法、减法和数乘仍是向量，既有大小又有方向.
2.提示：先求cos＜a，b＞＝，再根据余弦值求＜a，b＞.
3.提示：一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们既有可能方向相同，也有可能方向相反.
自我诊断
1.（1）√　（2）√　（3）×
2.B　因为｜a｜＝2，｜b｜＝3，＜a，b＞＝，则a·b＝｜a｜｜b｜cos＝2×3×＝3.
3.D　向量a在b上的投影的数量为｜a｜cos θ＝3×cos ＝.故选D.
4.8　解析：∵m·n＝｜m｜｜n｜cos＜m，n＞，∴｜n｜＝＝8.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°，
∴a·b＝｜a｜｜b｜cos 0°＝3×6×1＝18.
若a与b反向，则它们的夹角为180°，
∴a·b＝｜a｜｜b｜cos 180°＝3×6×（－1）＝－18.
②当a⊥b时，它们的夹角为90°，∴a·b＝0.
③当a与b的夹角是60°时，
a·b＝｜a｜｜b｜cos 60°＝3×6×＝9.
跟踪训练
　ABC　因为a，b，c为三个非零向量，若｜a·b｜＝｜a｜·｜b｜·｜cos θ｜＝｜a｜·｜b｜ ｜cos θ｜＝1 cos θ＝±1 θ＝0或π a∥b，故A正确.a，b反向 θ＝π cos θ＝－1 a·b＝－｜a｜·｜b｜，故B正确.a⊥b a·b＝0 ｜a＋b｜2＝｜a－b｜2 ｜a＋b｜＝｜a－b｜，故C正确.若｜a｜＝｜b｜，＜a，c＞与＜b，c＞不一定相等，故｜a·c｜＝｜b·c｜不成立，当｜a·c｜＝｜b·c｜时，只能说明a，b在c上的投影相等，但｜a｜＝｜b｜不一定成立，故D错误.
【例2】　（1）ABD　（2）－　－4　解析：（1）∵a和b为单位向量，∴｜a｜＝｜b｜＝1，又a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝－，∴cos＜a，b＞＝－，∴向量b在向量a上的投影向量c＝｜b｜cos＜a，b＞a＝－a，向量a在向量b上的投影向量d＝｜a｜cos＜a，b＞b＝－b，∴｜d｜＝＝，｜c｜＝＝，A正确，C错误.a·c＝－a2＝－，B正确.c·d＝｜c｜·｜d｜cos＜c，d＞＝×cos＜a，b＞＝×＝－，D正确.故选A、B、D.
（2）a·b＝｜a｜·｜b｜cos＜a，b＞＝－12，所以向量a在向量b方向上投影的数量为｜a｜·cos＜a，b＞＝＝＝－；向量b在向量a方向上投影的数量为｜b｜·cos＜a，b＞＝＝＝－4.
跟踪训练
　解：（1）∵｜b｜＝1，∴b为单位向量.
∴a在b上的投影向量为｜a｜cos 120°·b＝3×b＝－b.
（2）∵｜a｜＝3，∴＝a，
∴b在a上的投影向量为｜b｜cos 120°＝1··a＝－a.
【例3】　解：（1）因为a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞，
所以｜a·b｜＝｜｜a｜｜b｜cos＜a，b＞｜＝｜a｜｜b｜｜cos＜a，b＞｜＝6.
又｜a｜＝3，｜b｜＝4，
所以｜cos＜a，b＞｜＝＝＝，
所以cos＜a，b＞＝±.
因为＜a，b＞∈[0，π]，
所以a与b的夹角为或.
（2）
如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，以，为邻边作 OACB，
因为｜a｜＝｜b｜，即｜｜＝｜｜，
所以四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，
这时＝a＋b，＝a－b，
因为｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，
即｜｜＝｜｜＝｜｜，
所以∠AOB＝，所以∠AOC＝，即a与a＋b的夹角为.
母题探究
　解：如图在以a和b为邻边的平行四边形ABCD中，
因为｜a＋b｜＝｜a－b｜，所以四边形ABCD为矩形.
在Rt△ABD中，｜a－b｜＝2｜a｜，
所以∠ABD＝.
所以a＋b和a－b的夹角为.
跟踪训练
1.C　设向量a，b的夹角为θ，则θ∈[0，π]，因为｜a｜＝2，｜b｜＝1，a·b＝，所以cos θ＝＝＝，所以向量a，b的夹角θ＝.
2.C　a·b＝｜a｜｜b｜cos 135°＝－12，又｜a｜＝4，所以｜b｜＝6.
随堂检测
1.A　因为向量｜a｜＝1，｜b｜＝2，＜a，b＞＝θ，tan θ＝，θ∈[0，π]，则θ＝，所以a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝1.
2.C　因为｜a｜＝1，｜b｜＝2，所以a2＋b2＝｜a｜2＋｜b｜2＝5.
3.B　a在e上的投影的数量为｜a｜cos＜a，e＞＝｜a｜＝＝4×1×cos ＝－2，故选B.
4.解：因为＋＝0，
所以＝，即AB∥DC，且AB＝DC，
所以四边形ABCD为平行四边形.
又因为·＝0，所以⊥，即AB⊥BC.
所以四边形ABCD为矩形.
3 / 4(共61张PPT)
8.1.1　
向量数量积的概念
新课程标准解读 核心素养
1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的
含义及其物理意义 数学抽象
2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系 数学运算
3.会运用数量积表示两个向量的夹角，会运用数量积
判断两个平面向量的垂直关系 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积
称为力对物体所做的功.如图所示，如果作用在小车上的力F的大
小为｜F｜ N，小车在水平面上位移s的大小为｜s｜ m，力的方向
与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为W＝｜
F｜｜s｜ cos θ.
【问题】　（1）显然，功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之
间有什么关系？
（2）给定任意两个向量a，b，能确定出一个类似的标量吗？如果
能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由.
知识点一　两个向量的夹角
定
义 给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作 ＝a，
＝b，则称[0，π]内的 为向量a与向量b的夹
角，记作
范
围
特
例 ＜a，b＞＝0 a与b
＜a，b＞＝π a与b
＜a，b＞＝ a与b垂直，记作 ，规定
与任意向量垂直
∠AOB　
＜a，b＞　
0≤＜a，b＞≤π
同向　
反向　
　
a⊥b　
零向
量　
【想一想】
　如果a，b是两个非零向量，那么＜a，b＞＝＜b，a＞成立吗？
提示：成立.
如图，在△ABC中， ， 的夹角与 ， 的夹角的关系为
.
解析：根据向量夹角定义可知向量 ， 夹角为A，而向量 ，
夹角为π－A，故二者互补.
互
补　
知识点二　向量的数量积
1. 定义：当a与b都是非零向量时，称
为向量a与b的数量积（也称为内积），记作a·b，即a·b
＝ .
2. 两个非零向量a，b的数量积的性质
不等式 ｜a·b｜ ｜a｜｜b｜
恒等式 a·a＝ ＝ ，即｜a｜
＝
向量垂直的充要条件 a⊥b
｜a｜｜b｜ cos ＜a，b
＞　
｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞　
≤　
a2　
｜a｜2　
　
a·b＝0　
3. 投影向量及向量数量积的几何意义
（1）设非零向量 ＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分
别为A'，B'，则称向量 为向量a在直线l上的
或 ；
（2）如果a，b都是非零向量，则称 为
向量a在向量b上的投影的数量；
（3）两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上
的 与b的模的乘积.这就是两个向量数量积
的几何意义.
投影向
量　
投影　
｜a｜ cos ＜a，b＞　
投影的数量　
【想一想】
1. 向量的数量积a·b与向量加法、减法和数乘的区别是什么？
提示：向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；向量加法、
减法和数乘仍是向量，既有大小又有方向.
2. 根据向量数量积的定义，如何求两个非零向量a与b的夹角？
提示：先求 cos ＜a，b＞＝ ，再根据余弦值求＜a，b
＞.
3. 一个向量在一个非零向量上的投影，与这个非零向量共线吗？若共
线，它们的方向相同还是相反？
提示：一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共
线，但它们既有可能方向相同，也有可能方向相反.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两向量的数量积是一个实数. （　√　）
（2）向量a在b上的投影仍为向量. （　√　）
（3）向量a在b方向上的投影的数量与向量b在a方向上的投影的
数量相等. （　×　）
√
√
×
2. 已知平面向量｜a｜＝2，｜b｜＝3，＜a，b＞＝ ，则a·b＝
（　　）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 0
解析： 　因为｜a｜＝2，｜b｜＝3，＜a，b＞＝ ，则a·b
＝｜a｜｜b｜ cos ＝2×3× ＝3.
3. 已知｜a｜＝3，向量a与b的夹角为 ，则a在b上的投影的数量为
（　　）
A. B. C. D.
解析： 　向量a在b上的投影的数量为｜a｜ cos θ＝3× cos ＝
.故选D.
4. 已知｜m｜＝2，m·n＝8，m与n的夹角为60°，则｜n｜
＝ .
解析：∵m·n＝｜m｜｜n｜ cos ＜m，n＞，∴｜n｜＝
＝8.
8　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
　　题型一 向量的数量积
【例1】　已知｜a｜＝3，｜b｜＝6，当①a∥b；②a⊥b；③a与
b的夹角是60°时，分别求a·b.
解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°，
∴a·b＝｜a｜｜b｜ cos 0°＝3×6×1＝18.
若a与b反向，则它们的夹角为180°，
∴a·b＝｜a｜｜b｜ cos 180°＝3×6×（－1）＝－18.
②当a⊥b时，它们的夹角为90°，∴a·b＝0.
③当a与b的夹角是60°时，
a·b＝｜a｜｜b｜ cos 60°＝3×6× ＝9.
通性通法
　　求向量的数量积时，若已知向量的模及其夹角，则可直接利用公
式a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两
个向量的夹角，两向量的夹角可以直接确定的条件是两向量的始点必
须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.
【跟踪训练】
　（多选）已知a，b，c是三个非零向量，下列选项正确的是
（　　）
A. a·b＝±｜a｜·｜b｜ a∥b
B. a，b反向 a·b＝－｜a｜｜b｜
C. a⊥b ｜a＋b｜＝｜a－b｜
D. ｜a｜＝｜b｜ ｜a·c｜＝｜b·c｜
解析： 因为a，b，c为三个非零向量，若｜a·b｜＝｜
a｜·｜b｜·｜ cos θ｜＝｜a｜·｜b｜ ｜ cos θ｜＝1 cos θ
＝±1 θ＝0或π a∥b，故A正确.a，b反向 θ＝π cos θ＝－
1 a·b＝－｜a｜｜b｜，故B正确.a⊥b a·b＝0 ｜a＋b｜2
＝｜a－b｜2 ｜a＋b｜＝｜a－b｜，故C正确.若｜a｜＝｜
b｜，＜a，c＞与＜b，c＞不一定相等，故｜a·c｜＝｜b·c｜
不成立，当｜a·c｜＝｜b·c｜时，只能说明a，b在c上的投影相
等，但｜a｜＝｜b｜不一定成立，故D错误.
题型二 投影向量与投影的数量
【例2】　（1）（多选）已知非零单位向量a和b，若a·b＝－ ，
向量b在向量a上的投影向量为c，向量a在向量b上的投影向量为
d，则下列结论正确的是（　ABD　）
A. ｜c｜＝｜d｜ B. a·b＝a·c
C. d＝ b D. c·d＝－
ABD
解析： ∵a和b为单位向量，∴｜a｜＝｜b｜＝1，又
a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞＝－ ，∴ cos ＜a，b＞＝
－ ，∴向量b在向量a上的投影向量c＝｜b｜ cos ＜a，b＞
a＝－ a，向量a在向量b上的投影向量d＝｜a｜ cos ＜a，b
＞b＝－ b，∴｜d｜＝ ＝ ，｜c｜＝ ＝
，A正确，C错误.a·c＝－ a2＝－ ，B正确.c·d＝｜
c｜·｜d｜ cos ＜c，d＞＝ × cos ＜a，b＞＝ ×
＝－ ，D正确.故选A、B、D.
（2）已知｜a｜＝3，｜b｜＝5，且a·b＝－12，则a在b方向上投
影的数量为 ，b在a方向上投影的数量为 　－4 　.
解析： a·b＝｜a｜·｜b｜ cos ＜a，b＞＝－12，所
以向量a在向量b方向上投影的数量为｜a｜· cos ＜a，b＞＝
＝ ＝－ ；向量b在向量a方向上投影的数量为｜
b｜· cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝－4.
－ 　
－4
通性通法
投影向量与投影向量的求法
（1）向量a在b所在直线上的投影是一个向量，向量a在b所在直线
上的投影的数量是一个实数；
（2）向量a在向量b上的投影向量为｜a｜ cos θ .向量b在向
量a上的投影向量为｜b｜ cos θ· ；
（3）向量a在向量b上的投影的数量是｜a｜ cos ＜a，b＞，向量b
在向量a上的投影的数量是｜b｜ cos ＜a，b＞，二者不能混
为一谈.
【跟踪训练】
　已知｜a｜＝3，｜b｜＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求：
（1）a在b上的投影向量；
解： ∵｜b｜＝1，∴b为单位向量.
∴a在b上的投影向量为｜a｜ cos 120°·b＝3× b＝－
b.
（2）b在a上的投影向量.
解： ∵｜a｜＝3，∴ ＝ a，
∴b在a上的投影向量为｜b｜ cos 120° ＝1· · a
＝－ a.
题型三 向量数量积的综合应用
【例3】　已知a，b是两个非零向量：
（1）若｜a｜＝3，｜b｜＝4，｜a·b｜＝6，求a与b的夹角；
解： 因为a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞，
所以｜a·b｜＝｜｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞｜＝｜a｜｜
b｜｜ cos ＜a，b＞｜＝6.
又｜a｜＝3，｜b｜＝4，
所以｜ cos ＜a，b＞｜＝ ＝ ＝ ，
所以 cos ＜a，b＞＝± .
因为＜a，b＞∈[0，π]，所以a与b的夹角为 或 .
（2）若｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，求a与a＋b的夹角.
解： 如图，在平面内任取一点O，作 ＝
a， ＝b，以 ， 为邻边作 OACB，
因为｜a｜＝｜b｜，即｜ ｜＝｜ ｜，
所以四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，
这时 ＝a＋b， ＝a－b，
因为｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，
即｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜，
所以∠AOB＝ ，所以∠AOC＝ ，即a与a＋b的夹角为 .
【母题探究】
　（变条件、变设问）若将本例（2）条件“｜a｜＝｜b｜＝｜a－
b｜”改为“｜a＋b｜＝｜a－b｜＝2｜a｜”，求向量a＋b与a－
b的夹角.
解：如图在以a和b为邻边的平行四边形ABCD中，
因为｜a＋b｜＝｜a－b｜，所以四边形ABCD为
矩形.
在Rt△ABD中，｜a－b｜＝2｜a｜，所以∠ABD＝ .
所以a＋b和a－b的夹角为 .
通性通法
求向量夹角的基本步骤及注意事项
（1）基本步骤：
（2）注意事项：在个别含有｜a｜，｜b｜与a·b的等量关系式中
常利用消元思想计算 cos ＜a，b＞的值.
【跟踪训练】
1. 已知向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝1，a·b＝ ，则向量
a，b的夹角为（　　）
A. B. C. D. －
解析： 　设向量a，b的夹角为θ，则θ∈[0，π]，因为｜a｜＝
2，｜b｜＝1，a·b＝ ，所以 cos θ＝ ＝ ＝
，所以向量a，b的夹角θ＝ .
2. 已知a·b＝－12 ，｜a｜＝4，a，b的夹角为135°，则｜b｜
＝（　　）
A. 12 B. 3 C. 6 D. 3
解析： 　a·b＝｜a｜｜b｜ cos 135°＝－12 ，又｜a｜＝
4，所以｜b｜＝6.
1. 已知向量｜a｜＝1，｜b｜＝2，a，b的夹角为θ，若tan θ＝
，则a·b的值为（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. －1
解析： 因为向量｜a｜＝1，｜b｜＝2，＜a，b＞＝θ，tan
θ＝ ，θ∈[0，π]，则θ＝ ，所以a·b＝｜a｜｜b｜ cos
＜a，b＞＝1.
2. 已知平面向量｜a｜＝1，｜b｜＝2，则a2＋b2＝（　　）
A. 2 B. 3
C. 5 D. －5
解析： 　因为｜a｜＝1，｜b｜＝2，所以a2＋b2＝｜a｜2＋｜
b｜2＝5.
3. 已知｜a｜＝4，e为单位向量，当a，e的夹角为 时，a在e上的
投影的数量为（　　）
A. 2 B. －2
C. 2 D. －2
解析： 　a在e上的投影的数量为｜a｜ cos ＜a，e＞＝｜a｜
＝ ＝4×1× cos ＝－2，故选B.
4. 若四边形ABCD满足 ＋ ＝0，且 · ＝0，试判断四边
形ABCD的形状.
解：因为 ＋ ＝0，
所以 ＝ ，即AB∥DC，且AB＝DC，
所以四边形ABCD为平行四边形.
又因为 · ＝0，所以 ⊥ ，即AB⊥BC.
所以四边形ABCD为矩形.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 若e1，e2是两个互相平行的单位向量，则下列判断正确的是
（　　）
A. e1·e2＝1 B. e1·e2＝－1
C. e1·e2＝±1 D. ｜e1·e2｜＜1
解析： 　因为e1，e2是两个互相平行的单位向量，则当e1，e2方
向相同时，e1·e2＝｜e1｜｜e2｜ cos 0°＝1；当e1，e2方向相反
时，e1·e2＝｜e1｜｜e2｜ cos 180°＝－1.综上所述，e1·e2＝
±1.
2. 在△ABC中， · ＜0，则△ABC是（　　）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等边三角形
解析： 　因为 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos A＜0，所以 cos A
＜0.所以角A是钝角.所以△ABC是钝角三角形.
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3. 已知向量b的模为1，且b在a方向上的投影的数量为 ，则a与b
的夹角为（　　）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析： 　由题意知｜b｜ cos θ＝ cos θ＝ ，∵θ∈[0，π]，
∴θ＝30°.故选A.
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4. 已知向量a，b满足｜a｜＝5，｜b｜＝6，a·b＝－6，则 cos ＜
a，a＋b＞＝（　　）
A. － B. －
C. D.
解析： 　由题意，得a·（a＋b）＝a2＋a·b＝25－6＝19，｜
a＋b｜＝ ＝ ＝7，所以 cos ＜a，
a＋b＞＝ ＝ ＝ ，故选D.
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5. （多选）给出下列判断，其中正确的是（　　）
A. 若a2＋b2＝0，则a＝b＝0
B. 已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则｜a·c｜＝｜
b·c｜
C. a，b共线 a·b＝｜a｜｜b｜
D. ｜a｜｜b｜＜a·b
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解析： 　由于a2≥0，b2≥0，所以若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，
故A正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向
量，所以a·c＝－b·c，所以｜a·c｜＝｜b·c｜，故B正
确；a，b共线 a·b＝±｜a｜｜b｜，所以C不正确；对于D应
有｜a｜｜b｜≥a·b，所以D不正确.故选A、B.
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6. 在边长为4的菱形ABCD中∠BAD＝120°，则 在 方向上的
投影的数量为（　　）
A. 2 B. －2 C. －2 D. 2
解析： 由题意知向量 和 的夹角为120°，所以 在
方向上的投影的数量为｜ ｜ cos 120°＝4× ＝－2.
故选C.
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7. 已知长为4的向量a与单位向量e的夹角为 ，则向量a在向量e方
向上的投影向量为 .
解析：向量a在向量e方向上的投影向量为｜a｜ cos ·e＝
4× e＝－2e.
－2e　
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8. 已知△ABC的外接圆圆心为O，AB＝3，AC＝5，则 ·
＝ .
解析：如图，取AC的中点D，AB的中点E，并连接
OD，OE，则OD⊥AC，OE⊥AB. ∴ · ＝
， · ＝ ，∴ · ＝ ·（
－ ）＝ · － · ＝ － ＝ ×52－ ×32＝8.
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9. 已知正方形ABCD的边长为1，E是边AB上的动点，则 · 的
值为 ， · 的最大值为 .
解析：如图所示，根据平面向量的数量积的定义可
得 · ＝ · ＝｜ ｜｜ ｜· cos
θ.
由图可知，｜ ｜ cos θ＝｜ ｜，因此
· ＝｜ ｜2＝1.
· ＝｜ ｜｜ ｜ cos α＝｜ ｜ cos
α，而｜ ｜ cos α就是向量 在 上的投影
的数量，
当 在 上的投影的数量最大，即投影的数量
为｜ ｜时， · 取得最大值，所以
· 的最大值为1.
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10. 已知a·b＝－9，a在b方向上投影的数量为－3，b在a方向上投
影的数量为－ ，求a与b的夹角θ.
解：∵∴
即∴
∴ cos θ＝ ＝ ＝－ .
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
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11. 黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即
将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分
之比，其比值约为1∶0.618，0.618被公认为最具有审美意义的比
例数字.宽与长的比为 ≈0.618的矩形叫做黄金矩形，它广泛
地出现在艺术、建筑、人体和自然界中，在黄金矩形ABCD中，
BC＝ －1，AB＞BC，那么 · 的值为（　　）
A. －1 B. ＋1
C. 4 D. 2 ＋2
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解析： 　由黄金矩形的定义，可得AB＝2.在矩形ABCD中，
cos ∠CAB＝ ，则 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ∠CAB＝｜
｜2＝4.
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12. 已知向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝4，且a·b＝4 ，则a
与b的夹角为 .若向量c，d满足c为单位向量，c·d＝4，
＜c，d＞＝ ，则｜d｜＝ .
解析：设向量a与b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ＝
，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝ .因为c为单位向量，所以｜
c｜＝1，由向量数量积公式得c·d＝｜c｜·｜d｜· cos ＜
c，d＞，得4＝1×｜d｜× cos ，所以｜d｜＝8.
　
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13. 已知｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61.
（1）求a·b的值；
解： ∵（2a－3b）·（2a＋b）＝61，
∴4｜a｜2－4a·b－3｜b｜2＝61，又｜a｜＝4，｜b｜
＝3，
∴64－4a·b－27＝61，则a·b＝－6.
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（2）若a在b方向上的投影向量为c，求c·（a＋b）的值.
解： ∵c＝ × ＝－ .
∴c·（a＋b）＝－ b·（a＋b）＝－ （a·b＋b2）
＝－ ×（－6＋9）＝－2.
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14. （多选）对于非零向量a，b，c，下列命题正确的是（　　）
A. 若a·b＝b·c，则a＝b
B. 若a⊥b，则a·b＝（a·b）2
C. 若a∥b，则a在b上的投影的数量为｜a｜
D. 若λ1a＋λ2b＝0（λ1，λ2∈R，且λ1·λ2≠0），则a∥b
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解析： 　对于选项A，若a·b＝b·c，则（a－c）·b＝
0，故A错误；对于选项B，若a⊥b，所以a·b＝0，则a·b＝
（a·b）2，故B正确；对于选项C，若a∥b，则a在b上的投影
的数量为±｜a｜，故C错误；对于选项D，若λ1a＋λ2b＝0
（λ1，λ2∈R，且λ1·λ2≠0），推出a＝－ b，由平行向量
基本定理可知a∥b，故D正确.故选B、D.
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15. 如图，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝
2DC＝4，E为腰BC上的动点.求 · 的取值范围.
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解：如图，过E作EE'⊥AB，垂足为E'，过C作
CC'⊥AB，垂足为C'.
则 在 上的投影为 ，
∴ 在 上的投影的数量为｜ ｜，
由向量数量积的几何意义知 · ＝
｜ ｜·｜ ｜＝4｜ ｜.
∵点E在腰BC上运动，
∴点E'在线段C'B上运动，
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∴｜ ｜≤｜ ｜≤｜ ｜，
∴2≤｜ ｜≤4，
∴8≤4｜ ｜≤16，
∴ · 的取值范围是[8，16].
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