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8.1.2　向量数量积的运算律
1.已知向量｜a｜＝2，｜b｜＝，且向量a与b的夹角为150°，则a·b的值为（　　）
A.－　　　　　　　B.
C.－3 D.3
2.在△ABC中，∠BAC＝，AB＝2，AC＝3，＝2，则·＝（　　）
A.－ B.－
C. D.
3.已知向量｜a｜＝2｜b｜＝2，a与b的夹角为120°，则｜a＋2b｜＝（　　）
A.2 B.3
C.4 D.6
4.若O是△ABC所在平面内一点，且满足｜－｜＝｜＋－2｜，则△ABC的形状为（　　）
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
5.（多选）设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，其中正确的是（　　）
A.a·c－b·c＝（a－b）·c
B.（b·c）·a－（c·a）·b不与c垂直
C.｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜
D.（3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2
6.若平面向量a，b，c两两所成的角相等，且｜a｜＝2，｜b｜＝2，｜c｜＝6，则｜a＋b＋c｜＝（　　）
A.4 B.10
C.4或10 D.2或
7.如图，在 ABCD中，｜｜＝4，｜｜＝3，∠DAB＝60°，则·＝　　　　.
8.已知向量a，b，其中｜a｜＝，｜b｜＝2，且（a－b）⊥a，则向量a和b的夹角是　　　　，a·（a＋b）＝　　　　.
9.已知平面向量a，b的夹角为，且｜a｜＝，｜b｜＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC中点，则｜｜＝　　　.
10.如图，圆的直径为AB，C为圆周上异于A，B的任意一点.用向量法求证：∠ACB＝90°.
11.若非零向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，（2a＋b）·b＝0，则a与b的夹角为（　　）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
12.（多选）已知不共线的两个非零向量a，b，满足｜a＋b｜＝｜2a－b｜，则（　　）
A.｜a｜＜｜2b｜ B.｜a｜＞｜2b｜
C.｜b｜＝｜a－b｜ D.｜a｜＝｜a－b｜
13.已知a，b是非零向量，当a＋tb（t∈R）的模取最小值时.
（1）求t的值；
（2）已知a与b共线同向，求证：b⊥（a＋tb）.
14.（多选）对任意的两个向量a，b，定义一种向量运算“*”：a*b＝（a，b是任意的两个向量）.对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论，其中正确的是（　　）
A.a*b＝b*a
B.λ（a*b）＝（λa）*b（λ∈R）
C.（a＋b）*c＝a*c＋b*c
D.若e是单位向量，则｜a*e｜≤｜a｜＋1
15.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，以点A为圆心，r为半径作圆，如图所示，其中PQ为圆A的直径，试判断P，Q在什么位置时，·有最大值.
8.1.2　向量数量积的运算律
1.C　向量｜a｜＝2，｜b｜＝，且向量a与b的夹角为150°，则a·b＝｜a｜｜b｜cos 150°＝2××＝－3.故选C.
2.C　因为＝＋＝＋＝＋（－）＝＋，所以·＝·（－）＝×32－×22＋·＝＋×2×3cos ＝.
3.A　因为向量｜a｜＝2｜b｜＝2，a与b的夹角为120°，则｜a＋2b｜2＝（a＋2b）2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4｜a｜｜b｜·cos 120°＋4＝4.所以｜a＋2b｜＝2.
4.B　＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，于是｜＋｜＝｜－｜，所以｜＋｜2＝｜－｜2，即·＝0，从而AB⊥AC.故△ABC为直角三角形.
5.ACD　根据向量数量积的分配律知A正确；因为[（b·c）·a－（c·a）·b]·c＝（b·c）·（a·c）－（c·a）·（b·c）＝0，所以（b·c）·a－（c·a）·b与c垂直，B错误；因为a，b不共线，所以｜a｜，｜b｜，｜a－b｜组成三角形三边，所以｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜成立，C正确；（3a＋2b）·（3a－2b）＝9a2－4b2＝9｜a｜2－4｜b｜2，D正确；故选A、C、D.
6.C　因为平面向量a，b，c两两所成的角相等，所以任意两个向量的夹角为0或.再由｜a｜＝2，｜b｜＝2，｜c｜＝6，可得①若任意两个向量的夹角为0，则｜a＋b＋c｜＝2＋2＋6＝10.
②若任意两个向量的夹角为，则a·b＝2×2×cos ＝－2，a·c＝b·c＝2×6×cos ＝－6，故｜a＋b＋c｜＝
＝＝4.所以｜a＋b＋c｜＝4或10.
7.－7　解析：因为＝＋，＝－，所以·＝（＋）·（－）＝－＝9－16＝－7.
8.　6　解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ.因为｜a｜＝，｜b｜＝2，且（a－b）⊥a，所以（a－b）·a＝｜a｜2－a·b＝｜a｜2－｜a｜｜b｜·cos θ＝3－2·cos θ＝0，解得cos θ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.则a·（a＋b）＝｜a｜2＋｜a｜｜b｜·cos θ＝3＋2×＝6.
9.2　解析：因为＝（＋）＝（2a＋2b＋2a－6b）＝2a－2b，所以｜｜2＝4（a－b）2＝4（a2－2a·b＋b2）＝4×＝4，则｜｜＝2.
10.证明：如图，设圆心为O，连接OC，则｜｜＝｜｜，＝（＋），所以｜｜2＝｜｜2，＝（＋）2，得｜｜2＝（＋）2，即（－）2＝（＋）2，得＋－2·＝＋＋2·，
所以4·＝0，·＝0，所以⊥，即∠ACB＝90°.
11.C　因为（2a＋b）·b＝2a·b＋b·b＝0，所以a·b＝－｜b｜2.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，而0°≤θ≤180°，故θ＝120°.
12.AC　设向量a，b的夹角为θ，由｜a＋b｜＝｜2a－b｜，得（a＋b）2＝（2a－b）2，即｜a｜2＋2｜a｜｜b｜ cos θ＋｜b｜2＝4｜a｜2－4｜a｜｜b｜cos θ＋｜b｜2，化简得｜a｜＝2｜b｜cos θ.因为向量a，b不共线，所以cos θ∈（0，1），所以｜a｜＜｜2b｜，故A正确，B错误；又｜a－b｜2＝｜a｜2－2｜a｜｜b｜cos θ＋｜b｜2＝｜a｜2－｜a｜2＋｜b｜2＝｜b｜2，所以｜a－b｜＝｜b｜，故C正确，D错误.
13.解：（1）｜a＋tb｜2＝a2＋2ta·b＋t2b2，
即｜a＋tb｜2＝b2t2＋2a·bt＋a2，
所以当t＝－时，｜a＋tb｜有最小值.
（2）证明：因为a与b共线同向，所以a·b＝｜a｜｜b｜，
所以t＝－＝－＝－，
所以b·（a＋tb）＝a·b＋t｜b｜2＝｜a｜｜b｜－｜a｜｜b｜＝0.
所以b⊥（a＋tb）.
14.AD　当a，b共线时，a*b＝｜a－b｜＝｜b－a｜＝b*a，当a，b不共线时，a*b＝a·b＝b·a＝b*a，故A是正确的；当λ＝0，b≠0时，λ（a*b）＝0，（λa）*b＝｜0－b｜≠0，故B是错误的；当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，（a＋b）*c＝｜a＋b－c｜，a*c＋b*c＝a·c＋b·c，显然｜a＋b－c｜≠a·c＋b·c，故C是错误的；当e与a不共线时，｜a*e｜＝｜a·e｜＜｜a｜·｜e｜＜｜a｜＋1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，｜a*e｜＝｜a－e｜＝｜ue－e｜＝｜u－1｜≤｜u｜＋1，故D是正确的.
15.解：∵＝－，＝－＝－－，
∴·＝（－）·（－－）
＝（－·）＋·－＋·
＝·－r2＋（－）
＝·－r2＋·
＝｜｜·｜｜cos∠BAC－r2＋·
＝bccos∠BAC－r2＋·.
当与同向时，·取得最大值，为ra，
即当与共线且同向时，
·有最大值bccos∠BAC＋ar－r2.
1 / 28.1.2　向量数量积的运算律
新课程标准解读 核心素养
1.通过向量数量积的定义给出向量数量积的运算律 逻辑推理
2.能利用运算律进行向量数量积的运算 数学运算
　　没有规矩不成方圆，国家法律保障每个公民的权利不受侵害，校规可为每个学生创造一个良好的学习生活环境……世间事物都要遵循一定的规律和法则才能生存.
【问题】　向量数量积的运算又遵循哪些“规律”和“法则”呢？
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　向量数量积的运算律
1.已知向量a，b，c与实数λ，则
交换律 a·b＝　　
数乘向量的 数量积 （λa）·b＝a·（λb）＝　　　
分配律 （a＋b）·c＝　　　　　
2.重要公式
平方差公式 （a＋b）（a－b）＝a2－b2
完全平方公式 （a±b）2＝a2±2a·b＋b2
提醒　向量的数量积与实数乘积运算性质的比较
实数a，b，c 向量a，b，c
a≠0，a·b＝0 b＝0 a≠0，a·b＝0 /b＝0
a·b＝b·c（b≠0） a＝c a·b＝b·c（b≠0） /a＝c
｜a·b｜＝｜a｜·｜b｜ ｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜
满足乘法结合律 不满足乘法结合律
【想一想】
　式子｜a｜2－｜b｜2＝（a＋b）·（a－b），正确吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）（a·b）·c＝a·（b·c）.（　　）
（2）（a·b）2＝a2·b2.（　　）
（3）a·[b（a·c）－c（a·b）]＝0.（　　）
2.已知｜a｜＝｜b｜＝2，a·b＝2，则｜a－b｜＝（　　）
A.1　　　　　　　　 B.
C.2 D.或2
3.已知非零向量m，n满足4｜m｜＝3｜n｜，cos＜m，n＞＝，若n⊥（tm＋n），则实数t的值为（　　）
A.4 B.－4
C. D.－
题型一 平面向量数量积的运算
【例1】　（1）已知｜a｜＝4，｜b｜＝7，且向量a与b的夹角为120°，求（2a＋3b）·（3a－2b）；
（2）在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，E是CD的中点，求·的值.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
通性通法
求两向量的数量积的两种常见题型
（1）类似向量线性运算之后再求数量积的题型，只需按照向量运算律展开即可求解；
（2）在平面图形中求两向量的数量积，一般先用已知向量线性表示出待求数量积的两个向量，然后根据运算律或运算公式求解.
【跟踪训练】
1.已知｜a｜＝5，｜b｜＝2，向量a与b的夹角θ＝60°，则（a＋2b）·（a－3b）＝　　　　.
2.如图，已知△ABC和△AED有一条边在同一条直线上，·＝·＝0，｜｜＝｜｜＝｜｜＝｜｜，｜－｜＝2，在边DE上有2个不同的点F，G，则·（＋）的值为　　　　.
题型二 向量的模
【例2】　（1）若向量a，b满足｜a｜＝3，｜a－b｜＝5，a·b＝1，则｜b｜＝　　　　；
（2）如图，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠C＝150°，且AB＝3，BC＝1，CD＝2，求AD的长.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
通性通法
向量模的常见求法
　　在求向量的模时可直接运用公式｜a｜＝，但计算两向量的和与差的长度时则用｜a±b｜＝＝.
【跟踪训练】
1.已知不共线的向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝3，a·（b－a）＝1，则｜b－a｜＝（　　）
A.　　　　　　 　B.2
C. D.2
2.已知a，b是单位向量，且｜a＋b｜＝｜a－b｜，向量e是与a－b同向的单位向量，则向量a在a－b上的投影向量为（　　）
A.e B.
C.e D.
题型三 利用平面向量的数量积证明几何问题
【例3】　（1）点O是△ABC所在平面上的一点，且满足·＝·＝·，则点O是△ABC的（　　）
A.重心 B.垂心
C.内心 D.外心
（2）如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
通性通法
利用向量法证明几何问题的技巧
（1）利用向量表示几何关系，如位置关系、长度关系、角度关系；
（2）进行向量计算，如向量的线性运算、数量积运算；
（3）将向量问题还原成几何问题，如向量共线与三点共线或者直线平行，向量的夹角与直线的夹角等.
【跟踪训练】
　已知O为△ABC所在平面内一点，且｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2.求证：点O是△ABC的垂心.
1.已知a，b是非零向量，且满足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，则a与b的夹角是（　　）
A. B.
C. D.
2.已知｜p｜＝2，｜q｜＝3，p，q的夹角为，则以a＝5p＋2q，b＝p－3q为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为（　　）
A.15 B.
C.14 D.16
3.已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a⊥b，则实数k的值为　　　　.
4.如图，已知△ABC中，C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.
8.1.2　向量数量积的运算律
【基础知识·重落实】
知识点
1.b·a　λ（a·b）　a·c＋b·c
想一想
　提示：正确.
自我诊断
1.（1）×　（2）×　（3）√
2.C　｜a－b｜2＝a2－2a·b＋b2＝4－2×2＋4＝4，则｜a－b｜＝2.
3.B　由题意知，cos＜m，n＞＝＝＝，所以m·n＝｜n｜2＝n2，因为n·（tm＋n）＝0，所以tm·n＋n2＝0，即tn2＋n2＝0，所以t＝－4.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）（2a＋3b）·（3a－2b）
＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2
＝6｜a｜2＋5a·b－6｜b｜2
＝6×42＋5×4×7·cos 120°－6×72
＝－268.
（2）·＝·（－）＝－·＝1－×4－×2×1×＝－.
跟踪训练
1.－4　解析：∵｜a｜＝5，｜b｜＝2，向量a与b的夹角θ＝60°，∴a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝5×2×＝5，∴（a＋2b）·（a－3b）＝a2－a·b－6b2＝25－5－24＝－4，故（a＋2b）·（a－3b）＝－4.
2.16　解析：由题意易知△ABC和△AED为全等的等腰直角三角形，斜边长为2，·（＋）＝·（＋）＝·＋·＝·（＋）＋·（＋）＝·2＋·2＝4·＝4×2×2×＝16.
【例2】　（1）3　解析：由｜a－b｜＝5得（a－b）2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，结合｜a｜＝3，a·b＝1，得32－2×1＋｜b｜2＝25，所以｜b｜＝3.
（2）解：由向量的性质，知＝＋＋，其中与的夹角为60°，与的夹角为30°，与的夹角为90°，
于是｜｜2＝｜＋＋｜2＝｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2·＋2·＋2·
＝9＋1＋4＋2×3×1×＋2×1×2×＋0
＝17＋2.
则AD的长为.
跟踪训练
1.A　∵a·（b－a）＝1，∴a·b－a2＝1，即a·b＝1＋a2＝5，∴｜b－a｜＝＝＝.
2.A　∵｜a＋b｜＝｜a－b｜，∴a2＋2a·b＋b2＝2（a2－2a·b＋b2），∴6a·b＝a2＋b2.∵a，b为单位向量，∴a·b＝.∵a·（a－b）＝a2－a·b＝1－＝，｜a－b｜＝＝＝，∴cos＜a，a－b＞＝＝，∴向量a在a－b上的投影向量为（｜a｜·cos＜a，a－b＞）e＝e.故选A.
【例3】　（1）B　因为·＝·，所以（－）＝·＝0，所以⊥，同理⊥，⊥，所以O是△ABC的垂心.
（2）证明：设＝a，＝b，则｜a｜＝｜b｜，a·b＝0，
又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，
所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－｜a｜2＋｜b｜2＝0.
故⊥，即AF⊥DE.
跟踪训练
　证明：设＝a，＝b，＝c，则＝c－b，＝c－a，＝b－a.
由｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2，
得a2＋（c－b）2＝b2＋（a－c）2＝c2＋（b－a）2，
即a2＋c2＋b2－2c·b＝b2＋a2＋c2－2a·c＝c2＋b2＋a2－2a·b，整理得c·b＝a· c＝b·a.
∴·＝（b－a）·c＝b·c－a·c＝0，·＝（c－b）·a＝c·a－b·a＝0，·＝（c－a）·b＝c·b－a·b＝0，
∴⊥，⊥，⊥，即OC⊥AB，OA⊥BC，OB⊥AC，
∴点O是△ABC的垂心.
随堂检测
1.B　由题意知a2＝2a·b，b2＝2a·b，所以｜a｜＝｜b｜，a·b＝｜a｜2，所以cos＜a，b＞＝＝，即＜a，b＞＝.
2.A　因为以a，b为邻边的平行四边形的对角线有两条，分别为a＋b，a－b，所以｜a＋b｜＝｜6p－q｜＝＝＝＝15，｜a－b｜＝｜4p＋5q｜＝＝＝.故选A.
3.　解析：由a·b＝0得（e1－2e2）·（ke1＋e2）＝0，整理得k－2＋（1－2k）cos ＝0，解得k＝.
4.证明：设此等腰直角三角形的直角边长为a，
则·＝·
＝·＋·＋·＋·
＝－a2＋0＋a·a·＋·a·
＝－a2＋a2＋a2＝0.所以AD⊥CE.
4 / 4(共61张PPT)
8.1.2　
向量数量积的运算律
新课程标准解读 核心素养
1.通过向量数量积的定义给出向量数量积
的运算律 逻辑推理
2.能利用运算律进行向量数量积的运算 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　没有规矩不成方圆，国家法律保障每个公民的权利不受侵害，校
规可为每个学生创造一个良好的学习生活环境……世间事物都要遵循
一定的规律和法则才能生存.
【问题】　向量数量积的运算又遵循哪些“规律”和“法则”呢？
知识点　向量数量积的运算律
1. 已知向量a，b，c与实数λ，则
交换律 a·b＝
数乘向量的数量积 （λa）·b＝a·（λb）＝

分配律 （a＋b）·c＝
b·a　
λ
（a·b）　
a·c＋b·c　
2. 重要公式
平方差公式 （a＋b）（a－b）＝a2－b2
完全平方公式 （a±b）2＝a2±2a·b＋b2
提醒　向量的数量积与实数乘积运算性质的比较
实数a，b，c 向量a，b，c
a≠0，a·b＝0 b＝0 a≠0，a·b＝0 /b＝0
a·b＝b·c（b≠0） a＝c a·b＝b·c（b≠0） /a＝c
｜a·b｜＝｜a｜·｜b｜ ｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜
满足乘法结合律 不满足乘法结合律
【想一想】
　式子｜a｜2－｜b｜2＝（a＋b）·（a－b），正确吗？
提示：正确.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）（a·b）·c＝a·（b·c）. （　×）
（2）（a·b）2＝a2·b2.（　×）
（3）a·[b（a·c）－c（a·b）]＝0.（　　）√
×
×
√
2. 已知｜a｜＝｜b｜＝2，a·b＝2，则｜a－b｜＝（　　）
A. 1
C. 2
解析： 　｜a－b｜2＝a2－2a·b＋b2＝4－2×2＋4＝4，则｜a
－b｜＝2.
3. 已知非零向量m，n满足4｜m｜＝3｜n｜， cos ＜m，n＞＝ ，
若n⊥（tm＋n），则实数t的值为（　　）
A. 4 B. －4
解析： 　由题意知， cos ＜m，n＞＝ ＝ ＝ ，
所以m·n＝ ｜n｜2＝ n2，因为n·（tm＋n）＝0，所以
tm·n＋n2＝0，即 tn2＋n2＝0，所以t＝－4.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
　　
题型一 平面向量数量积的运算
【例1】　（1）已知｜a｜＝4，｜b｜＝7，且向量a与b的夹角为
120°，求（2a＋3b）·（3a－2b）；
解： （2a＋3b）·（3a－2b）
＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2
＝6｜a｜2＋5a·b－6｜b｜2
＝6×42＋5×4×7· cos 120°－6×72＝－268.
（2）在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，E
是CD的中点，求 · 的值.
解： · ＝ ·（ － ）＝ －
－ · ＝1－ ×4－ ×2×1× ＝－ .
通性通法
求两向量的数量积的两种常见题型
（1）类似向量线性运算之后再求数量积的题型，只需按照向量运算
律展开即可求解；
（2）在平面图形中求两向量的数量积，一般先用已知向量线性表示
出待求数量积的两个向量，然后根据运算律或运算公式求解.
【跟踪训练】
1. 已知｜a｜＝5，｜b｜＝2，向量a与b的夹角θ＝60°，则（a＋
2b）·（a－3b）＝ .
解析：∵｜a｜＝5，｜b｜＝2，向量a与b的夹角θ＝60°，
∴a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞＝5×2× ＝5，∴（a＋
2b）·（a－3b）＝a2－a·b－6b2＝25－5－24＝－4，故（a＋
2b）·（a－3b）＝－4.
－4　
2. 如图，已知△ABC和△AED有一条边在同一条直线上， ·
＝ · ＝0，｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜，｜
－ ｜＝2 ，在边DE上有2个不同的点F，G，则 ·（
＋ ）的值为 .
16　
解析：由题意易知△ABC和△AED为全等的等腰直角三角形，斜边
长为2 ， ·（ ＋ ）＝ ·（ ＋ ）＝ ·
＋ · ＝ ·（ ＋ ）＋ ·（ ＋ ）＝
·2 ＋ ·2 ＝4 · ＝4×2×2 × ＝16.
题型二 向量的模

解析：由｜a－b｜＝5得（a－b）2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，
结合｜a｜＝3，a·b＝1，得32－2×1＋｜b｜2＝25，所以｜b｜＝
3 .
3 　
（2）如图，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠C＝150°，且AB
＝3，BC＝1，CD＝2，求AD的长.
解：由向量的性质，知 ＝ ＋ ＋ ，其中 与 的
夹角为60°， 与 的夹角为30°， 与 的夹角为
90°，
于是｜ ｜2＝｜ ＋ ＋ ｜2
＝｜ ｜2＋｜ ｜2＋｜ ｜2＋2 · ＋2 · ＋
2 · ＝9＋1＋4＋2×3×1× ＋2×1×2× ＋0＝17＋
2 .
则AD的长为 .
通性通法
向量模的常见求法
　　在求向量的模时可直接运用公式｜a｜＝ ，但计算两向量
的和与差的长度时则用｜a±b｜＝ ＝
.
【跟踪训练】
1. 已知不共线的向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝3，a·（b－
a）＝1，则｜b－a｜＝（　　）
解析： 　∵a·（b－a）＝1，∴a·b－a2＝1，即a·b＝1＋
a2＝5，∴｜b－a｜＝ ＝ ＝ .
2. 已知a，b是单位向量，且｜a＋b｜＝ ｜a－b｜，向量e是与
a－b同向的单位向量，则向量a在a－b上的投影向量为（　　）
解析： 　∵｜a＋b｜＝ ｜a－b｜，∴a2＋2a·b＋b2＝2
（a2－2a·b＋b2），∴6a·b＝a2＋b2.∵a，b为单位向量，
∴a·b＝ .∵a·（a－b）＝a2－a·b＝1－ ＝ ，｜a－b｜
＝ ＝ ＝ ，∴ cos ＜a，a－b＞
＝ ＝ ，∴向量a在a－b上的投影向量为（｜a｜ cos
＜a，a－b＞）e＝ e.故选A.
题型三 利用平面向量的数量积证明几何问题
【例3】　（1）点O是△ABC所在平面上的一点，且满足 · ＝
· ＝ · ，则点O是△ABC的（　　）
A. 重心 B. 垂心 C. 内心 D. 外心
解析： 　因为 · ＝ · ，所以
（ － ）＝ · ＝0，所以
⊥ ，同理 ⊥ ， ⊥ ，所以O是
△ABC的垂心.
（2）如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，
求证：AF⊥DE.
证明：设 ＝a， ＝b，则｜a｜＝｜b｜，a·b＝0，
又 ＝ ＋ ＝－a＋ ， ＝ ＋ ＝b＋ ，
所以 · ＝ · ＝－ a2－
a·b＋ b2＝－ ｜a｜2＋ ｜b｜2＝0.
故 ⊥ ，即AF⊥DE.
通性通法
利用向量法证明几何问题的技巧
（1）利用向量表示几何关系，如位置关系、长度关系、角度关系；
（2）进行向量计算，如向量的线性运算、数量积运算；
（3）将向量问题还原成几何问题，如向量共线与三点共线或者直线
平行，向量的夹角与直线的夹角等.
【跟踪训练】
　已知O为△ABC所在平面内一点，且｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜
｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2.求证：点O是△ABC的
垂心.
证明：设 ＝a， ＝b， ＝c，则 ＝c－b， ＝c－a，
＝b－a.
由｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2，
得a2＋（c－b）2＝b2＋（a－c）2＝c2＋（b－a）2，
即a2＋c2＋b2－2c·b＝b2＋a2＋c2－2a·c＝c2＋b2＋a2－2a·b，
整理得c·b＝a· c＝b·a.
∴ · ＝（b－a）·c＝b·c－a·c＝0， · ＝（c－
b）·a＝c·a－b·a＝0， · ＝（c－a）·b＝c·b－a·b
＝0，
∴ ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，即OC⊥AB，OA⊥BC，
OB⊥AC，
∴点O是△ABC的垂心.
1. 已知a，b是非零向量，且满足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，
则a与b的夹角是（　　）
解析： 　由题意知a2＝2a·b，b2＝2a·b，所以｜a｜＝｜
b｜，a·b＝ ｜a｜2，所以 cos ＜a，b＞＝ ＝ ，即＜
a，b＞＝ .
2. 已知｜p｜＝2 ，｜q｜＝3，p，q的夹角为 ，则以a＝5p＋
2q，b＝p－3q为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为
（　　）
A. 15
C. 14 D. 16
解析： 　因为以a，b为邻边的平行四边形的对角线有两条，
分别为a＋b，a－b，所以｜a＋b｜＝｜6p－q｜＝
＝ ＝
＝15，
｜a－b｜＝｜4p＋5q｜＝ ＝
＝ .故
选A.
3. 已知e1，e2是夹角为 的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋
e2，若a⊥b，则实数k的值为 .
解析：由a·b＝0得（e1－2e2）·（ke1＋e2）＝0，整理得k－2
＋（1－2k） cos ＝0，解得k＝ .
　
4. 如图，已知△ABC中，C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E
是AB上的一点，且AE＝2EB. 求证：AD⊥CE.
证明：设此等腰直角三角形的直角边长为a，
则 · ＝ ·
＝ · ＋ · ＋ · ＋ ·
＝－a2＋0＋a· a· ＋ · a·
＝－a2＋ a2＋ a2＝0.所以AD⊥CE.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 已知向量｜a｜＝2，｜b｜＝ ，且向量a与b的夹角为150°，
则a·b的值为（　　）
C. －3 D. 3
解析： 　向量｜a｜＝2，｜b｜＝ ，且向量a与b的夹角为
150°，则a·b＝｜a｜｜b｜ cos 150°＝2× × ＝－3.
故选C.
2. 在△ABC中，∠BAC＝ ，AB＝2，AC＝3， ＝2 ，则
· ＝（　　）
解析： 　因为 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ －
）＝ ＋ ，所以 · ＝ ·（ －
）＝ ×32－ ×22＋ · ＝ ＋ ×2×3 cos ＝ .
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3. 已知向量｜a｜＝2｜b｜＝2，a与b的夹角为120°，则｜a＋
2b｜＝（　　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 6
解析： 　因为向量｜a｜＝2｜b｜＝2，a与b的夹角为120°，
则｜a＋2b｜2＝（a＋2b）2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4｜a｜｜
b｜· cos 120°＋4＝4.所以｜a＋2b｜＝2.
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4. 若O是△ABC所在平面内一点，且满足｜ － ｜＝｜ ＋
－2 ｜，则△ABC的形状为（　　）
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
解析： 　 ＋ －2 ＝ － ＋ － ＝ ＋ ，
－ ＝ ＝ － ，于是｜ ＋ ｜＝｜ － ｜，
所以｜ ＋ ｜2＝｜ － ｜2，即 · ＝0，从而
AB⊥AC. 故△ABC为直角三角形.
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5. （多选）设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给
出下列结论，其中正确的是（　　）
A. a·c－b·c＝（a－b）·c
B. （b·c）·a－（c·a）·b不与c垂直
C. ｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜
D. （3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2
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解析： 　根据向量数量积的分配律知A正确；因为
[（b·c）·a－（c·a）·b]·c＝（b·c）·（a·c）－
（c·a）·（b·c）＝0，所以（b·c）·a－（c·a）·b与
c垂直，B错误；因为a，b不共线，所以｜a｜，｜b｜，｜a－
b｜组成三角形三边，所以｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜成立，C正
确；（3a＋2b）·（3a－2b）＝9a2－4b2＝9｜a｜2－4｜b｜
2，D正确；故选A、C、D.
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6. 若平面向量a，b，c两两所成的角相等，且｜a｜＝2，｜b｜＝
2，｜c｜＝6，则｜a＋b＋c｜＝（　　）
A. 4 B. 10
C. 4或10
解析： 　因为平面向量a，b，c两两所成的角相等，所以任意两
个向量的夹角为0或 .再由｜a｜＝2，｜b｜＝2，｜c｜＝6，可
得①若任意两个向量的夹角为0，则｜a＋b＋c｜＝2＋2＋6＝10.
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②若任意两个向量的夹角为 ，则a·b＝2×2× cos ＝－2，
a·c＝b·c＝2×6× cos ＝－6，故｜a＋b＋c｜＝
＝
＝4.所以｜a＋b＋c｜＝4或10.
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7. 如图，在 ABCD中，｜ ｜＝4，｜ ｜＝3，∠DAB＝
60°，则 · ＝ .
解析：因为 ＝ ＋ ， ＝ － ，所以 · ＝
（ ＋ ）·（ － ）＝ － ＝9－16＝－7.
－7　
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8. 已知向量a，b，其中｜a｜＝ ，｜b｜＝2，且（a－b）
⊥a，则向量a和b的夹角是 ，a·（a＋b）＝ .
解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ.因为｜a｜＝ ，｜b｜
＝2，且（a－b）⊥a，所以（a－b）·a＝｜a｜2－a·b＝｜
a｜2－｜a｜｜b｜· cos θ＝3－2 · cos θ＝0，解得 cos θ＝
.又因为0≤θ≤π，所以θ＝ .则a·（a＋b）＝｜a｜2＋｜
a｜｜b｜· cos θ＝3＋2 × ＝6.
　
6　
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9. 已知平面向量a，b的夹角为 ，且｜a｜＝ ，｜b｜＝2，在
△ABC中， ＝2a＋2b， ＝2a－6b，D为BC中点，则｜
｜＝ .
解析：因为 ＝ （ ＋ ）＝ （2a＋2b＋2a－6b）＝2a
－2b，所以｜ ｜2＝4（a－b）2＝4（a2－2a·b＋b2）＝4×
（3－2×2× × cos ＋4）＝4，则｜ ｜＝2.
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10. 如图，圆的直径为AB，C为圆周上异于A，B的任意一点.用向
量法求证：∠ACB＝90°.
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证明：如图，设圆心为O，连接OC，则｜
｜＝ ｜ ｜， ＝ （ ＋ ），所
以｜ ｜2＝ ｜ ｜2， ＝ （ ＋
）2，得｜ ｜2＝（ ＋ ）2，即（ － ）2＝（ ＋ ）2，得 ＋ －2 · ＝ ＋ ＋2 · ，
所以4 · ＝0， · ＝0，所以 ⊥ ，即∠ACB＝90°.
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11. 若非零向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，（2a＋b）·b＝0，则a
与b的夹角为（　　）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析： 　因为（2a＋b）·b＝2a·b＋b·b＝0，所以a·b
＝－ ｜b｜2.设a与b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝
＝－ ，而0°≤θ≤180°，故θ＝120°.
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12. （多选）已知不共线的两个非零向量a，b，满足｜a＋b｜＝｜
2a－b｜，则（　　）
A. ｜a｜＜｜2b｜ B. ｜a｜＞｜2b｜
C. ｜b｜＝｜a－b｜ D. ｜a｜＝｜a－b｜
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解析： 　设向量a，b的夹角为θ，由｜a＋b｜＝｜2a－
b｜，得（a＋b）2＝（2a－b）2，即｜a｜2＋2｜a｜｜b｜ cos
θ＋｜b｜2＝4｜a｜2－4｜a｜｜b｜ cos θ＋｜b｜2，化简
得｜a｜＝2｜b｜ cos θ.因为向量a，b不共线，所以 cos θ∈
（0，1），所以｜a｜＜｜2b｜，故A正确，B错误；又｜a－
b｜2＝｜a｜2－2｜a｜｜b｜ cos θ＋｜b｜2＝｜a｜2－｜a｜2
＋｜b｜2＝｜b｜2，所以｜a－b｜＝｜b｜，故C正确，D错误.
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13. 已知a，b是非零向量，当a＋tb（t∈R）的模取最小值时.
（1）求t的值；
解： ｜a＋tb｜2＝a2＋2ta·b＋t2b2，
即｜a＋tb｜2＝b2t2＋2a·bt＋a2，
所以当t＝－ 时，｜a＋tb｜有最小值.
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（2）已知a与b共线同向，求证：b⊥（a＋tb）.
解： 证明：因为a与b共线同向，所以a·b＝｜
a｜｜b｜，
所以t＝－ ＝－ ＝－ ，
所以b·（a＋tb）＝a·b＋t｜b｜2＝｜a｜｜b｜－｜
a｜｜b｜＝0.
所以b⊥（a＋tb）.
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14. （多选）对任意的两个向量a，b，定义一种向量运算“*”：
a*b＝（a，b是任意的两个向量）.
对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论，其中正确
的是（　　）
A. a*b＝b*a
B. λ（a*b）＝（λa）*b（λ∈R）
C. （a＋b）*c＝a*c＋b*c
D. 若e是单位向量，则｜a*e｜≤｜a｜＋1
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解析： 　当a，b共线时，a*b＝｜a－b｜＝｜b－a｜＝
b*a，当a，b不共线时，a*b＝a·b＝b·a＝b*a，故A是正
确的；当λ＝0，b≠0时，λ（a*b）＝0，（λa）*b＝｜0－
b｜≠0，故B是错误的；当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不
共线，（a＋b）*c＝｜a＋b－c｜，a*c＋b*c＝a·c＋
b·c，显然｜a＋b－c｜≠a·c＋b·c，故C是错误的；当e
与a不共线时，｜a*e｜＝｜a·e｜＜｜a｜·｜e｜＜｜a｜＋
1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，｜a*e｜＝｜a－e｜
＝｜ue－e｜＝｜u－1｜≤｜u｜＋1，故D是正确的.
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15. 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，以点A
为圆心，r为半径作圆，如图所示，其中PQ为圆A的直径，试判
断P，Q在什么位置时， · 有最大值.
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解：∵ ＝ － ， ＝ － ＝－ － ，
∴ · ＝（ － ）·（－ － ）
＝（－ · ）＋ · － ＋ ·
＝ · －r2＋ （ － ）
＝ · －r2＋ ·
＝｜ ｜·｜ ｜ cos ∠BAC－r2＋ ·
＝bc cos ∠BAC－r2＋ · .
当 与 同向时， · 取得最大值，为ra，
即当 与 共线且同向时，
· 有最大值bc cos ∠BAC＋ar－r2.
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