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第二课时　两角和与差的正切
1.已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（－3，－4），则tan＝（　　）
A.－ B.－7
C. D.
2.已知2tan θ－tan（θ＋）＝7，则tan θ＝（　　）
A.－2 B.－1
C.1 D.2
3.若tan 28°tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°＝（　　）
A.m B.（1－m）
C.（m－1） D.（m＋1）
4.已知tan＝，tan＝－，则tan的值为（　　）
A. B.
C. D.1
5.（多选）下列结果为的是（　　）
A.tan 25°＋tan 35°＋tan 25°·tan 35°
B.（1＋tan 20°）（1＋tan 40°）
C.
D.
6.已知tan（α＋β）＝，tan＝，则的值为（　　）
A. B.
C. D.
7.已知α，β均为锐角，且tan β＝，则tan（α＋β）＝　　　　.
8.若tan＝－，则tan＝　　　　，tan α＝　　　　.
9.如图所示，三个相同的正方形相接，则α＋β的大小为　　　　.
10.已知tan＝2，tan β＝.
（1）求tan α的值；
（2）求的值.
11.（1＋tan 20°）（1＋tan 21°）（1＋tan 24°）（1＋tan 25°）等于（　　 ）
A.2 B.4
C.8 D.16
12.已知tan（α＋β）＝，tan＝－2，则tan＝　　　　，tan（α＋2β）＝　　　　.
13.在①角α的终边经过点P（1，2）；②α∈，sin α＝；③α∈，sin α＋2cos α＝，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.
问题：已知　　　　，且tan（α＋β）＝4，求tan β的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
14.（多选）已知tan α＝lg（10a），tan β＝lg ，且α＋β＝，则实数a的值可以为（　　）
A. B.1
C. D.
15.已知α，β∈，sin α＝，sin β＝.
（1）求cos（α＋β）的值；
（2）是否存在x，y∈，使得下列两个式子：
①＋y＝α＋β；②tan ·tan y＝2－同时成立？若存在，求出x，y的值；若不存在，请说明理由.
第二课时　两角和与差的正切
1.B　由三角函数的定义可得tan α＝＝，所以tan（α＋）＝＝＝－7.故选B.
2.D　由已知得2tan θ－＝7，得tan θ＝2.
3.B　由公式变形tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan α·tan β）可得，tan 28°＋tan 32°＝tan 60°（1－tan 28°tan 32°）＝（1－m）.
4.D　tan＝tan＝＝1.
5.AC　对选项A，因为tan 25°＋tan 35°＝tan（25°＋35°）·（1－tan 25°·tan 35°）＝－tan 25°tan 35°，所以原式＝－tan 25°tan 35°＋tan 25°tan 35°＝.对选项B，（1＋tan 20°）（1＋tan 40°）＝1＋tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝1＋（1－tan 20°tan 40°）＋tan 20°·tan 40°＝1＋－（－1）tan 20°tan 40°≠.对选项C，原式＝＝tan 60°＝.对选项D，原式＝＝.
6.B　＝tan＝tan［（α＋β）－］＝＝＝＝，故选B.
7.1　解析：tan β＝＝＝tan，∵－α，β∈且y＝tan x在上是单调函数，∴β＝－α，∴α＋β＝，∴tan（α＋β）＝tan ＝1.
8.　－4　解析：tan＝＝＝－，解得tan α＝－4，tan＝＝＝.
9.　解析：由题图可知tan α＝，tan β＝，且α，β均为锐角，所以tan（α＋β）＝＝＝1.因为α＋β∈（0，π），所以α＋β＝.
10.解：（1）因为tan＝2，所以＝2，所以＝2，解得tan α＝.
（2）原式＝
＝＝＝tan（β－α）＝＝＝.
11.B　由tan（20°＋25°）＝1得tan 20°＋tan 25°＝1－tan 20°tan 25°，∴（1＋tan 20°）（1＋tan 25°）＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.同理（1＋tan 21°）·（1＋tan 24°）＝2.故原式等于4.
12.－8　　解析：tan＝tan
＝＝＝－8.
tan＝＝－2，tan β＝－，tan（α＋2β）＝＝.
13.解：选择条件①，∵角α的终边经过点P（1，2），
∴tan α＝2，则tan（α＋β）＝＝＝4，解得tan β＝.
选择条件②，∵α∈，sin α＝，∴cos α＝＝，∴tan α＝＝，
则tan （α＋β）＝＝＝4，解得tan β＝.
选择条件③，∵α∈，sin α＋2cos α＝，
由sin2α＋cos2α＝1，则可得sin α＝，cos α＝，
∴tan α＝＝3，
则tan（α＋β）＝＝＝4，解得tan β＝.
14.BD　因为α＋β＝，所以tan（α＋β）＝＝1，tan α＋tan β＝1－tan αtan β，即lg（10a）＋lg ＝1－lg（10a）lg ，即1＝1－lg（10a）lg，所以lg（10a）lg＝0.lg（10a）＝0或lg＝0.得a＝或a＝1.
15.解：（1）∵α，β∈，sin α＝，sin β＝，
∴cos α＝，cos β＝ .
∴cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝.
（2）∵α＋β∈（0，π），cos（α＋β）＝，∴α＋β＝，∴＋y＝α＋β＝.∴tan＝＝.
∵tan ·tan y＝2－，∴tan ＋tan y＝3－.
∴tan ，tan y是方程t2－（3－）t＋2－＝0的两个根.
∵x，y∈，∴0＜tan ＜1，∴tan ＝2－，tan y＝1.
∴＝，y＝，即存在x＝，y＝满足条件.
2 / 2第二课时　两角和与差的正切
　　如图所示，每个小正方形的边长为1，tan α＝，tan β＝，∠COD＝α－β.
【问题】　能否求出tan（α－β）和tan（α＋β）的值？
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　两角和与差的正切
名称 公式 简记符号 使用条件
两角和 的正切 tan（α＋β）＝　　　　　 Tα＋β α，β，α＋β≠kπ＋，k∈Z，且tan α·tan β≠1
两角差 的正切 tan（α－β）＝　　　　　 Tα－β α，β，α－β≠kπ＋，k∈Z，且tan α·tan β≠－1
提醒　两角和与差的正切公式的变形：①tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β）；②tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan αtan β）；③tan αtan β＝1－.
【想一想】
　两角和与差的正切公式的有哪些结构特征？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）存在α，β∈R，使tan（α＋β）＝tan α＋tan β成立.（　　）
（2）对任意的α，β∈R，tan（α＋β）＝都成立.（　　）
（3）tan能根据公式tan（α＋β）直接展开.（　　）
2.已知tan α＝3，tan β＝，则tan（α＋β）＝（　　）
A.－　　　　　　 B.－
C. D.
3.设角θ的终边过点（2，3），则tan＝　　　　.
题型一 利用公式化简求值
【例1】　求下列各式的值：
（1）tan 15°；
（2）；
（3）tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
通性通法
1.公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β（或tan α－tan β），tan（α＋β）（或tan（α－β））.三者知二可表示或求出第三个.
2.一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.
【跟踪训练】
　求下列各式的值：
（1）；
（2）tan 36°＋tan 84°－tan 36°tan 84°.
题型二 根据条件求值或角
【例2】　如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
（1）求tan（α＋β）的值；
（2）求α＋2β的值.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
通性通法
1.通过先求角的某个三角函数值来求角.
2.选取函数时，应遵照以下原则：
（1）已知正切函数值，选正切函数；
（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是（0，π），选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.
3.给值求角的一般步骤：
（1）求角的某一三角函数值；
（2）确定角的范围；
（3）根据角的范围写出所求的角.
【跟踪训练】
1.已知sin α＝，α为第二象限的角，且tan（α＋β）＝－，则tan β的值为（　　）
A.－　　　　　　 B.
C.－ D.
2.已知tan（α－β）＝，tan β＝－，α，β∈（0，π），求2α－β的值.
题型三 判定三角形形状
【例3】　已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，判断△ABC的形状.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【母题探究】
　（变条件）本例中把条件改为“tan B＋tan C－tan B·tan C＝－，且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B”，结果如何？
通性通法
公式Tα＋β的逆用及变形应用的解题策略
（1）“1”的代换：在Tα＋β中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan 来代换，以达到化简求值的目的，如＝tan；＝tan；
（2）整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan（α±β）的变形公式.
1.已知α∈，sin α＝，则tan＝（　　）
A.　　　　　　　　　B.－
C. D.－
2.已知α＋β＝－，则（1＋tan α）（1＋tan β）的值是（　　）
A.－1 B.1
C.2 D.4
3.tan ＝　　　　.
4.已知α，β均为锐角，tan α＝，tan β＝，则α＋β＝　　　　.
5.已知tan（α＋β）＝，tan＝，求tan的值.
第二课时　两角和与差的正切
【基础知识·重落实】
知识点
　　
想一想
　提示：公式Tα±β的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和，符号间的关系为：
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.
自我诊断
1.（1）√　（2）×　（3）×
2.A　∵tan α＝3，tan β＝，∴tan（α＋β）＝＝＝－.
3.　解析：由于角θ的终边过点（2，3），因此tan θ＝，故tan＝＝＝.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）tan 15°＝tan（45°－30°）＝＝＝＝2－.
（2）＝＝
＝tan（30°－75°）＝tan（－45°）＝－tan 45°＝－1.
（3）因为tan（23°＋37°）＝tan 60°＝＝，
所以tan 23°＋tan 37°＝（1－tan 23°tan 37°），
所以原式＝（1－tan 23°tan 37°）＋tan 23°tan 37°＝.
跟踪训练
　解：（1）原式＝＝
＝tan（45°－75°）＝tan（－30°）
＝－tan 30°＝－.
（2）原式＝tan 120°（1－tan 36°tan 84°）－tan 36°tan 84°
＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－tan 36°tan 84°＝tan 120°＝－.
【例2】　解：由条件得cos α＝，cos β＝，
因为α，β为锐角，
所以sin α＝，sin β＝，
所以tan α＝7，tan β＝.
（1）tan（α＋β）＝＝＝－3.
（2）tan（α＋2β）＝tan[（α＋β）＋β]
＝＝＝－1，
因为α，β为锐角，所以0＜α＋2β＜，
所以α＋2β＝.
跟踪训练
1.C　因为α为第二象限角，所以cos α＜0，解得cos α＝－，所以tan α＝－.tan β＝tan[（α＋β）－α]＝＝＝－.
2.解：因为tan β＝－，tan（α－β）＝，
所以tan α＝tan[（α－β）＋β]
＝
＝＝，
tan（2α－β）＝tan[（α－β）＋α]
＝
＝＝1.
因为tan α＝＞0，tan β＝－＜0，
所以α∈，β∈.
所以α－β∈（－π，0）.
又因为tan（α－β）＝＞0，
所以α－β∈，2α－β＝α＋（α－β）∈（－π，0）.
而tan（2α－β）＝1，所以2α－β＝－.
【例3】　解：由tan A＝tan[π－（B＋C）]＝－tan（B＋C）
＝＝＝－.
又0°＜A＜180°，所以A＝120°.
由tan C＝tan[π－（A＋B）]＝
＝＝，
又0°＜C＜180°，所以C＝30°，所以B＝30°.
所以△ABC是顶角为120°的等腰三角形.
母题探究
　解：由tan A＝tan [π－（B＋C）]
＝－tan（B＋C）＝
＝＝.
又0°＜A＜180°，所以A＝60°.
由tan C＝tan [π－（A＋B）]
＝＝＝.
又0°＜C＜180°，
所以C＝60°，所以B＝60°.
所以△ABC是等边三角形.
随堂检测
1.B　因为α∈，sin α＝，所以cos α＝＝，所以tan α＝，所以tan＝＝－.
2.C　（1＋tan α）（1＋tan β）＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β）＋1＋tan αtan β＝1－tan αtan β＋1＋tan αtan β＝2.
3.－2＋　解析：tan ＝－tan ＝－tan＝－＝－2＋.
4.　解析：因为tan α＝，tan β＝，所以tan（α＋β）＝＝＝1.因为α，β均为锐角，所以α＋β∈（0，π），所以α＋β＝.
5.解：因为α＋＝（α＋β）－，
所以tan＝tan
＝
＝＝.
3 / 3(共60张PPT)
第二课时　
两角和与差的正切
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　如图所示，每个小正方形的边长为1，tan α＝ ，tan β＝ ，
∠COD＝α－β.
【问题】　能否求出tan（α－β）和tan（α＋β）的值？
知识点　两角和与差的正切
名称 公式 简记符号 使用条件
两角和 的正切 tan（α＋β）
＝ Tα＋β
两角差 的正切 tan（α－β）
＝ Tα－β
　
　
提醒　两角和与差的正切公式的变形：①tan α＋tan β＝tan（α＋
β）（1－tan αtan β）；②tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan
αtan β）；③tan αtan β＝1－ .
【想一想】
　两角和与差的正切公式的有哪些结构特征？
提示：公式Tα±β的
右侧为分式形式，其
中分子为tan α与tan
β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和，符号间的关系为：
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）存在α，β∈R，使tan（α＋β）＝tan α＋tan β成立.
（　√　）
（2）对任意的α，β∈R，tan（α＋β）＝ 都成立.
（　×　）
（3）tan 能根据公式tan（α＋β）直接展开. （　×　）
√
×
×
2. 已知tan α＝3，tan β＝ ，则tan（α＋β）＝（　　）
解析： 　∵tan α＝3，tan β＝ ，∴tan（α＋β）＝
＝ ＝－ .
3. 设角θ的终边过点（2，3），则tan ＝ 　 　.
解析：由于角θ的终边过点（2，3），因此tan θ＝ ，故
tan ＝ ＝ ＝ .
　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用公式化简求值
【例1】　求下列各式的值：
（1）tan 15°；
解： tan 15°＝tan（45°－30°）＝ ＝
＝ ＝2－ .
（2） ；
解： ＝ ＝
＝tan（30°－75°）＝tan（－45°）＝－tan 45°＝－1.
（3）tan 23°＋tan 37°＋ tan 23°tan 37°.
解：因为tan（23°＋37°）＝tan 60°＝ ＝
，
所以tan 23°＋tan 37°＝ （1－tan 23°tan 37°），
所以原式＝ （1－tan 23°tan 37°）＋ tan 23°tan 37°＝
.
通性通法
1. 公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan
β，tan α＋tan β（或tan α－tan β），tan（α＋β）（或tan
（α－β））.三者知二可表示或求出第三个.
2. 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.
【跟踪训练】
　求下列各式的值：
（1） ；
解： 原式＝ ＝
＝tan（45°－75°）＝tan（－30°）＝－tan 30°＝－ .
（2）tan 36°＋tan 84°－ tan 36°tan 84°.
解： 原式＝tan 120°（1－tan 36°tan 84°）－ tan
36°tan 84°
＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－ tan 36°tan 84°＝
tan 120°＝－ .
题型二 根据条件求值或角
【例2】　如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐
角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B
的横坐标分别为 ， .
（1）求tan（α＋β）的值；
（1）tan（α＋β）＝ ＝ ＝－3.
解：由条件得 cos α＝ ， cos β＝ ，
因为α，β为锐角，
所以 sin α＝ ， sin β＝ ，
所以tan α＝7，tan β＝ .
（2）求α＋2β的值.
解： tan（α＋2β）＝tan[（α＋β）＋β]
＝ ＝ ＝－1，
因为α，β为锐角，所以0＜α＋2β＜ ，
所以α＋2β＝ .
通性通法
1. 通过先求角的某个三角函数值来求角.
2. 选取函数时，应遵照以下原则：
（1）已知正切函数值，选正切函数；
（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是
，选正、余弦皆可；若角的范围是（0，π），选余弦
较好；若角的范围为 ，选正弦较好.
3. 给值求角的一般步骤：
（1）求角的某一三角函数值；
（2）确定角的范围；
（3）根据角的范围写出所求的角.
【跟踪训练】
1. 已知 sin α＝ ，α为第二象限的角，且tan（α＋β）＝－ ，则
tan β的值为（　　）
解析： 因为α为第二象限角，所以 cos α＜0，解得 cos α＝－
，所以tan α＝－ .tan β＝tan[（α＋β）－α]＝
＝ ＝－ .
2. 已知tan（α－β）＝ ，tan β＝－ ，α，β∈（0，π），求2α
－β的值.
解：因为tan β＝－ ，tan（α－β）＝ ，
所以tan α＝tan[（α－β）＋β]＝ ＝
＝ ，
tan（2α－β）＝tan[（α－β）＋α]＝ ＝
＝1.因为tan α＝ ＞0，tan β＝－ ＜0，
所以α∈ ，β∈ .
所以α－β∈（－π，0）.
又因为tan（α－β）＝ ＞0，
所以α－β∈ ，2α－β＝α＋（α－β）∈（－π，
0）.
而tan（2α－β）＝1，所以2α－β＝－ .
题型三 判定三角形形状
【例3】　已知△ABC中，tan B＋tan C＋ tan Btan C＝ ，且
tan A＋ tan B＋1＝tan Atan B，判断△ABC的形状.
解：由tan A＝tan[π－（B＋C）]＝－tan（B＋C）
＝ ＝ ＝－ .
又0°＜A＜180°，所以A＝120°.
由tan C＝tan[π－（A＋B）]＝
＝ ＝ ，
又0°＜C＜180°，所以C＝30°，所以B＝30°.
所以△ABC是顶角为120°的等腰三角形.
【母题探究】
　（变条件）本例中把条件改为“tan B＋tan C－ tan B·tan C＝－
，且 tan A＋ tan B＋1＝tan Atan B”，结果如何？
解：由tan A＝tan [π－（B＋C）]
＝－tan（B＋C）＝
＝ ＝ .
又0°＜A＜180°，所以A＝60°.
由tan C＝tan [π－（A＋B）]
＝ ＝ ＝ .
又0°＜C＜180°，
所以C＝60°，所以B＝60°.
所以△ABC是等边三角形.
通性通法
公式Tα＋β的逆用及变形应用的解题策略
（1）“1”的代换：在Tα＋β中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan
来代换，以达到化简求值的目的，如 ＝tan ；
＝ tan ；
（2）整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan
α·tan β”两个整体，常考虑tan（α±β）的变形公式.
1. 已知α∈ ， sin α＝ ，则tan ＝（　　）
解析： 　因为α∈ ， sin α＝ ，所以 cos α＝
＝ ，所以tan α＝ ，所以tan ＝ ＝
－ .
2. 已知α＋β＝－ ，则（1＋tan α）（1＋tan β）的值是
（　　）
A. －1 B. 1
C. 2 D. 4
解析： 　（1＋tan α）（1＋tan β）＝1＋tan α＋tan β＋tan
αtan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β）＋1＋tan αtan β＝1
－tan αtan β＋1＋tan αtan β＝2.
3. tan ＝ 　－2＋ 　.
解析：tan ＝－tan ＝－tan ＝－ ＝－2＋ .
－2＋ 　
4. 已知α，β均为锐角，tan α＝ ，tan β＝ ，则α＋β＝ 　 　.
解析：因为tan α＝ ，tan β＝ ，所以tan（α＋β）＝
＝ ＝1.因为α，β均为锐角，所以α＋β∈（0，π），所以
α＋β＝ .
　
5. 已知tan（α＋β）＝ ，tan ＝ ，求tan 的值.
解：因为α＋ ＝（α＋β）－ ，
所以tan ＝tan
＝ ＝ ＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1. 已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，
它的终边过点P（－3，－4），则tan ＝（　　）
B. －7
解析： 　由三角函数的定义可得tan α＝ ＝ ，所以tan
＝ ＝ ＝－7.故选B.
2. 已知2tan θ－tan ＝7，则tan θ＝（　　）
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
解析： 　由已知得2tan θ－ ＝7，得tan θ＝2.
1
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3
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5
6
7
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3. 若tan 28°tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°＝（　　）
解析： 　由公式变形tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan
α·tan β）可得，tan 28°＋tan 32°＝tan 60°（1－tan 28°tan
32°）＝ （1－m）.
1
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6
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9
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13
14
15
4. 已知tan ＝ ，tan ＝－ ，则tan 的值为
（　　）
D. 1
解析： 　tan（α＋ ）＝tan［ － ］＝
＝1.
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5. （多选）下列结果为 的是（　　）
B. （1＋tan 20°）（1＋tan 40°）
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解析： 　对选项A，因为tan 25°＋tan 35°＝tan（25°＋
35°）·（1－tan 25°·tan 35°）＝ － tan 25°tan 35°，
所以原式＝ － tan 25°tan 35°＋ tan 25°tan 35°＝ .
对选项B，（1＋tan 20°）（1＋tan 40°）＝1＋tan 20°＋tan
40°＋tan 20°·tan 40°＝1＋ （1－tan 20°tan 40°）＋tan
20°·tan 40°＝1＋ －（ －1）tan 20°tan 40°≠ .对选
项C，原式＝ ＝tan 60°＝ .对选项D，原式＝
＝ .
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6. 已知tan（α＋β）＝ ，tan ＝ ，则 的值为
（　　）
解析： 　 ＝tan ＝tan［（α＋β）－ ］＝
＝ ＝ ＝ ，故选B.
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7. 已知α，β均为锐角，且tan β＝ ，则tan（α＋β）
＝ .
解析：tan β＝ ＝ ＝tan ，∵ －α，
β∈ 且y＝tan x在（－ ， ）上是单调函数，∴β＝
－α，∴α＋β＝ ，∴tan（α＋β）＝tan ＝1.
1　
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8. 若tan ＝－ ，则tan ＝ 　 　　，tan α＝ .
解析：tan ＝ ＝ ＝－ ，解得tan α＝－
4，tan ＝ ＝ ＝ .
　　
－4　
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解析：由题图可知tan α＝ ，tan β＝ ，且α，β均为锐角，所
以tan（α＋β）＝ ＝ ＝1.因为α＋β∈（0，
π），所以α＋β＝ .
　
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10. 已知tan ＝2，tan β＝ .
（1）求tan α的值；
解： 因为tan ＝2，所以 ＝2，所以
＝2，解得tan α＝ .
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（2）求 的值.
解： 原式＝ ＝
＝ ＝tan（β－α）＝
＝ ＝ .
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11. （1＋tan 20°）（1＋tan 21°）（1＋tan 24°）（1＋tan 25°）
等于（　　 ）
A. 2 B. 4
C. 8 D. 16
解析： 　由tan（20°＋25°）＝1得tan 20°＋tan 25°＝1－tan
20°tan 25°，∴（1＋tan 20°）（1＋tan 25°）＝1＋tan 20°＋
tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.同理（1＋tan 21°）·（1＋tan
24°）＝2.故原式等于4.
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12. 已知tan（α＋β）＝ ，tan ＝－2，则tan ＝
，tan（α＋2β）＝ .
解析：tan ＝tan ＝
＝ ＝－8.tan ＝ ＝－
2，tan β＝－ ，tan（α＋2β）＝ ＝ .
－
8　
　
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13. 在①角α的终边经过点P（1，2）；②α∈ ， sin α＝
；③α∈ ， sin α＋2 cos α＝ ，这三个条件中任选
一个，补充在下面的问题中并解答.
问题：已知 　　，且tan（α＋β）＝4，求tan β的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
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解：选择条件①，∵角α的终边经过点P（1，2），
∴tan α＝2，则tan（α＋β）＝ ＝ ＝4，解得
tan β＝ .
选择条件②，∵α∈ ， sin α＝ ，∴ cos α＝
＝ ，∴tan α＝ ＝ ，
则tan （α＋β）＝ ＝ ＝4，
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解得tan β＝ .
选择条件③，∵α∈ ， sin α＋2 cos α＝ ，
由 sin 2α＋ cos 2α＝1，则可得 sin α＝ ， cos α＝ ，
∴tan α＝ ＝3，
则tan（α＋β）＝ ＝ ＝4，解得tan β＝ .
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14. （多选）已知tan α＝lg（10a），tan β＝lg ，且α＋β＝ ，
则实数a的值可以为（　　）
B. 1
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解析： 　因为α＋β＝ ，所以tan（α＋β）＝ ＝
1，tan α＋tan β＝1－tan αtan β，即lg（10a）＋lg ＝1－lg
（10a）lg ，即1＝1－lg（10a）lg ，所以lg（10a）lg ＝0.lg
（10a）＝0或lg ＝0.得a＝ 或a＝1.
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15. 已知α，β∈ ， sin α＝ ， sin β＝ .
（1）求 cos （α＋β）的值；
解： ∵α，β∈ ， sin α＝ ， sin β＝ ，
∴ cos α＝ ， cos β＝ .
∴ cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝ .
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（2）是否存在x，y∈ ，使得下列两个式子：
① ＋y＝α＋β；②tan ·tan y＝2－ 同时成立？若存
在，求出x，y的值；若不存在，请说明理由.
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解： ∵α＋β∈（0，π）， cos （α＋β）＝ ，
∴α＋β＝ ，
∴ ＋y＝α＋β＝ .∴tan ＝ ＝ .
∵tan ·tan y＝2－ ，∴tan ＋tan y＝3－ .
∴tan ，tan y是方程t2－（3－ ）t＋2－ ＝0的两个根.
∵x，y∈ ，∴0＜tan ＜1，∴tan ＝2－ ，tan y
＝1.
∴ ＝ ，y＝ ，即存在x＝ ，y＝ 满足条件.
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