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8.2.2　两角和与差的正弦、正切
第一课时　两角和与差的正弦
1.sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝（　　）
A.　　　　　　　　 B.
C.－ D.－
2.（多选）下列四个选项，化简正确的是（　　）
A.cos（－15°）＝
B.cos 15°sin 105°－sin 15°cos 105°＝sin（15°－105°）＝－1
C.cos（α－35°）cos（α＋25°）＋sin（α－35°）·sin（α＋25°）＝cos[（α－35°）－（α＋25°）]＝cos（－60°）＝cos 60°＝
D.sin（x＋y）sin（y－x）－cos（x＋y）cos（x－y）＝－[cos（x＋y）cos（x－y）＋sin（x＋y）·sin（x－y）]＝－cos[（x＋y）－（x－y）]
3.sin θ＋sin＋sin的值为（　　）
A.0 B.
C.1 D.2
4.已知f（x）＝sin（3x＋θ）－cos（3x＋θ）是奇函数，且在上是减函数，则θ的一个值是（　　）
A. B.π
C.π D.π
5.若0＜α＜＜β＜π，且cos β＝－，sin（α＋β）＝，则sin α的值是（　　）
A. B.
C. D.
6.在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6，3cos A＋4sin B＝1，则C的大小为（　　）
A. B.
C.或 D.或
7.已知cos θ＝，则sin的值为　　　　，sin的值为　　　　.
8.若sin x＋cos x＝4－m，则实数m的取值范围为　　　　.
9.已知△ABC的内角为A，B，C.若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是　　　　.
10.已知cos（α－β）＝－，sin（α＋β）＝－，＜α－β＜π，＜α＋β＜2π，求β的值.
11.（多选）已知θ为锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ可能取的值是（　　）
A. B. C. D.
12.函数f（x）＝sin（x＋2φ）－2sin φ cos（x＋φ）的最大值为　　　　，最小值为　　　　.
13.已知函数f（x）＝Asin，x∈R，且f＝.
（1）求A的值；
（2）若f（θ）－f（－θ）＝，θ∈，求f.
14.已知cos α＝，cos（α－β）＝，且0＜β＜α＜，那么β＝（　　）
A. B.
C. D.
15.已知向量a＝（sin x，cos x－1），b＝（，－1），设f（x）＝a·b.
（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；
（2）已知α为锐角，β∈（0，π），f＝，sin（α＋β）＝－，求sin（2α＋β）的值.
第一课时　两角和与差的正弦
1.B　原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14sin 16°＝sin（14°＋16°）＝sin 30°＝.
2.CD　∵cos（－15°）＝cos 15°＝cos（45°－30°）＝cos 45°cos 30°＋sin 45°·sin 30°＝，故A错.∵cos 15°sin 105°－sin 15°cos 105°＝sin 105°cos 15°－cos 105°sin 15°＝sin（105°－15°）＝sin 90°＝1，故B错.C、D正确.
3.A　原式＝sin θ＋sin θcos ＋cos θsin ＋sin θcos ＋cos θsin ＝sin θ－sin θ＋cos θ－sin θ－cos θ＝0.
4.D　f（x）＝sin，∵f（x）是奇函数，∴f（0）＝sin＝0，∴θ＝kπ＋，k∈Z.∵f（x）在上是减函数，∴k为奇数.当k＝1时，θ＝π.
5.C　由＜β＜π，cos β＝－得sin β＝.又0＜α＜＜β＜π，所以＜α＋β ＜，所以cos（α＋β）＝－＝－＝－.所以sin α＝sin[（α＋β）－β]＝sin（α＋β）cos β－cos（α＋β）sin β＝×＋×＝，故选C.
6.A　由已知可得（3sin A＋4cos B）2＋（3cos A＋4sin B）2＝62＋12，即9＋16＋24sin（A＋B）＝37，所以sin（A＋B）＝.所以在△ABC中，sin C＝，所以C＝或C＝.又1－3cos A＝4sin B＞0，所以cos A＜.又＜，所以A＞，所以C＜，所以C＝不符合题意，所以C＝.
7.　　解析：因为cos θ＝，所以sin θ＝＝，所以sin＝sin θcos＋cos θsin＝×＝；sin＝sin θcos－cos θsin＝×－×＝.
8.[2，6]　解析：∵sin x＋cos x＝4－m，∴sin x＋cos x＝，∴sin sin x＋cos cos x＝，∴cos＝，∵≤1，∴｜｜≤1，∴2≤m≤6.
9.等腰三角形　解析：因为2cos Bsin A＝sin C，所以2cos Bsin A＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋cos Asin B，所以cos Bsin A－cos Asin B＝0 sin（A－B）＝0.因为角A，B，C为△ABC的内角，所以A＝B.
10.解：因为 ＜α－β＜π，cos（α－β）＝－，
所以sin（α－β）＝.
因为＜α＋β＜2π，sin（α＋β）＝－，
所以cos（α＋β）＝.
所以cos 2β＝cos [（α＋β）－（α－β）]＝cos（α＋β）cos（α－β）＋sin（α＋β）sin（α－β）＝×＋×＝－1.
因为＜α－β＜π，＜α＋β＜2π，
所以＜2β＜，2β＝π，
所以β＝.
11.AD　sin θ＋cos θ＝sin（θ＋），∵0＜θ＜，∴＜θ＋＜，∴＜sin≤1，∴1＜sin θ＋cos θ≤，∴sin θ＋cos θ可能取的值是和，故选A、D.
12.1　－1　解析：因为f（x）＝sin（x＋2φ）－2sin φcos（x＋φ）＝sin[（x＋φ）＋φ]－2sin φcos（x＋φ）＝sin（x＋φ）cos φ－sin φ·cos（x＋φ）＝sin x，所以函数f（x）的最大值为1，最小值为－1.
13.解：（1）由f＝Asin＝Asin ＝A＝，可得A＝3.
（2）f（θ）－f（－θ）＝，
则3sin－3sin＝，
3－3＝，得sin θ＝.
因为θ∈，所以cos θ＝，f＝3sin＝3sin＝3cos θ＝.
14.C　sin β＝sin[α－（α－β）]＝sin αcos（α－β）－cos αsin（α－β），由已知cos α＝，cos（α－β）＝，0＜β＜α＜，可知sin α＝，sin（α－β）＝，代入上式得sin β＝×－×＝＝，所以β＝.
15.解：由题意得f（x）＝a·b＝sin x－cos x＋1＝2sin＋1.
（1）f（x）的最小正周期T＝2π，
令x－＝kπ（k∈Z），则x＝kπ＋（k∈Z），
又f＝2sin（kπ）＋1＝1，
因此函数f（x）的对称中心为，k∈Z.
（2）f＝2sin＋1＝2sin α＋1＝ sin α＝.
∵α∈，∴cos α＝.
∵α∈，β∈（0，π），∴α＋β∈.
又sin（α＋β）＝－＜0，∴α＋β∈，
∴cos（α＋β）＝－，
∴sin（2α＋β）＝sin[（α＋β）＋α]＝sin（α＋β）cos α＋cos（α＋β）sin α＝－×＋×＝－.
2 / 28.2.2　两角和与差的正弦、正切
新课程标准解读 核心素养
1.理解两角和与差的正弦、正切公式的推导过程 逻辑推理
2.能够运用两角和与差的正弦、正切公式解决求值、化简等问题 数学运算
第一课时　两角和与差的正弦
乔布斯描述苹果电脑是“思想的自行车”——一种能够使人们的思想达到想象中任何角落的工具，并且功能多样，他用类比介绍了这一引领信息时代的创新发明.我们一旦开始给予类比密切的关注，就会发现它在生活中随处可见，类比可以推动创新.
【问题】　（1）类比两角和与差的余弦公式如何推导两角和的正弦公式？
（2）由sin（α＋β）能推导出sin（α－β）吗？
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　两角和与差的正弦
1.两角和与差的正弦公式
名称 公式 简记符号 使用条件
两角和 的正弦 sin（α＋β）＝　　　　　　　 Sα＋β α，β∈R
两角差 的正弦 sin（α－β）＝　　　　　　　 Sα－β α，β∈R
2.辅助角公式
asin x＋bcos x＝·sin（x＋φ）（或asin x＋bcos x＝·cos（x－φ）），其中sin φ＝　　　　，cos φ＝　　　.
提醒　两角和与差的正弦公式的结构特征：①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦，余弦乘正弦；②“符号相同”是指展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和用“＋”，两角差用“－”；③两角和与差的正弦公式只有中间的连接符号不同.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）sin（α－β）＝sin αcos α－cos βsin β.（　　）
（2）sin α＋sin β＝sin（α＋β）.（　　）
（3）sin（α＋β－15°）＝sin（α－15°）cos β＋cos（α－15°）sin β.（　　）
（4）sin 15°＋cos 15°＝sin 60°.（　　）
2.sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 140°＝（　　）
A.－　　　　　　 　 B.
C.－ D.
3.已知θ为锐角，且sin θ＝，则sin（θ－45°）＝（　　）
A. B.－
C. D.－
4.函数y＝sin x－cos x的最小正周期是（　　）
A. B.π
C.2π D.4π
题型一 利用公式化简求值
【例1】　（1）＝（　　）
A.－　　　　　　 B.－
C. D.
（2）求sin 157°cos 67°＋cos 23°sin 67°的值；
（3）求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
通性通法
1.解给角求值问题的基本思路
（1）逆用公式或运用公式变形，化为特殊角的三角函数值；
（2）化为正、负相消的项，消去求值；
（3）分子、分母出现公约数时进行约分求值.
2.对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：
（1）化为特殊角的三角函数值；
（2）化为正负相消的项，消去，求值；
（3）化为分子、分母形式，进行约分再求值.
【跟踪训练】
　求下列各式的值：
（1）sin；
（2）－2cos（α＋β）.
题型二 给值（式）求值
【例2】　设α∈，β∈，若cos α＝－，sin β＝－，求sin（α＋β）的值.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【母题探究】
1.（变条件）若将角β的条件改为第三象限，其他条件不变，则结果如何？
2.（变设问）若条件不变，试求sin（α－β）＋cos（α－β）的值.
通性通法
解给值（式）求值的策略
（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
【跟踪训练】
　已知0＜α＜＜β＜π，sin α＝，sin（α＋β）＝，则sin β＝　　　　.
题型三 辅助角公式的应用
【例3】　设函数f（x）＝sin x＋sin.
（1）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合；
（2）求函数f（x）的单调区间.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
通性通法
辅助角公式及其应用
（1）公式形式：公式asin α＋bcos α＝sin（α＋φ）（或asin α＋bcos α＝cos（α－φ））将形如asin α＋bcos α（a，b不同时为零）的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式；
（2）形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.
【跟踪训练】
1.已知sin θ＋sin＝1，则sin＝（　　）
A.　　　B. C.　　　D.
2.函数y＝sin（x＋10°）＋cos（x＋40°）（x∈R）的最大值是　　　　.
两角和与差的三角函数公式在三角形中的应用
　在钝角三角形ABC中，已知C为钝角，A，B都是锐角，试探究P＝sin（A＋B），Q＝sin A＋sin B，R＝cos A＋cos B的大小，并把P，Q，R按从小到大的顺序排列起来.
【问题探究】
1.当A＝30°，B＝30°时，求P，Q，R的值，并比较它们的大小.
提示：当A＝30°，B＝30°时，P＝sin（30°＋30°）＝sin 60°＝，Q＝sin 30°＋sin 30°＝2sin 30°＝1，R＝cos 30°＋cos 30°＝2cos 30°＝，∴P＜Q＜R.
2.当A＝30°，B＝45°时，求P，Q，R的值，并比较它们的大小.
提示：当A＝30°，B＝45°时，
P＝sin（30°＋45°）＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝×＋×＝，
Q＝sin 30°＋sin 45°＝＋＝，
R＝cos 30°＋cos 45°＝＋＝，
∵P－Q＝－＝＜0，
∴P＜Q，∵Q－R＝－＝＜0，∴Q＜R，∴P＜Q＜R.
3.由问题1，2你能得到什么结论，并证明你的结论.
提示：由问题1，2猜想P＜Q＜R.
证明：∵C为钝角，∴0＜A＋B＜，
∴A＜－B，B＜－A，∴cos A＞cos（－B）＝sin B，cos B＞cos＝sin A，
∴R－Q＝cos A＋cos B－sin A－sin B＞sin B＋sin A－sin A－sin B＝0，即R＞Q.
∵P－Q＝sin（A＋B）－sin A－sin B
＝sin Acos B＋cos Asin B－sin A－sin B
＝sin A（cos B－1）＋sin B（cos A－1）＜0，
∴P＜Q.综上可得P＜Q＜R.
4.若将钝角三角形改为锐角三角形，P，Q，R的大小又如何？
提示：∵P－R＝sin（A＋B）－cos A－cos B
＝sin Acos B＋cos Asin B－cos A－cos B
＝（sin A－1）cos B＋（sin B－1）cos A＜0，
∴P＜R.∵△ABC为锐角三角形，
∴0＜A＜，0＜B＜，A＋B＞，
∴－B＜A＜，－A＜B＜，
∴sin＜sin A，sin＜sin B，
∴R－Q＝cos A＋cos B－sin A－sin B＜cos A＋cos B－sin－sin
＝cos A＋cos B－cos B－cos A＝0，
∴R＜Q，综上，P＜R＜Q.
【迁移应用】
已知A，B，C是△ABC的三个内角，y＝tan＋，若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？证明你的结论.
1.的值是（　　）
A.　　　 B.　　　 C.1　　　 D.
2.已知α∈（0，π），cos＝－，则sin（－α）＝（　　）
A. B.－
C.－ D.
3.sin 15°＋sin 75°＝（　　）
A. B.1 C. D.
4.sin 155°cos 35°－cos 25°cos 235°＝　　　　.
5.设△ABC的三个内角分别为A，B，C，向量m＝（sin A，sin B），n＝（cos B，cos A），若m·n＝1＋cos（A＋B），求C.
第一课时　两角和与差的正弦
【基础知识·重落实】
知识点
1.sin α·cos β＋cos αsin β　sin α·cos β－cos αsin β
2.　　
自我诊断
1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）√
2.B　sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 140°＝sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°＝sin 60°＝.
3.D　∵θ为锐角，且sin θ＝，∴cos θ＝＝，∴sin（θ－45°）＝（sin θ－cos θ）＝×＝－.
4.C　y＝sin x－cos x＝＝sin，所以函数的最小正周期为T＝2π.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）C　
＝
＝
＝＝sin 30°＝.
（2）解：原式＝sin（180°－23°）cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin 23°cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin（23°＋67°）＝sin 90°＝1.
（3）解：sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）
＝sin（θ＋15°＋60°）＋cos（θ＋15°＋30°）－cos（θ＋15°）
＝sin（θ＋15°）cos 60°＋cos（θ＋15°）sin 60°＋cos（θ＋15°）·cos 30°－sin（θ＋15°）sin 30°－cos（θ＋15°）
＝sin（θ＋15°）＋cos（θ＋15°）＋cos（θ＋15°）－sin（θ＋15°）－cos（θ＋15°）＝0.
跟踪训练
　解：（1）sin＝－sin π＝－sin
＝sin ＝sin
＝sin cos －cos sin ＝.
（2）原式＝
＝
＝＝.
【例2】　解：因为α∈，cos α＝－，所以sin α＝，
因为β∈，sin β＝－，所以cos β＝.
所以sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝.
母题探究
1.解：因为β为第三象限角，所以cos β＝－.
所以sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝－＋＝0.
2.解：sin（α－β）＋cos（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝×－×＋×＋×＝－－－＝－1.
跟踪训练
　　解析：由0＜α＜＜β＜π，得＜α＋β＜.又sin α＝，sin（α＋β）＝，∴cos α＝，cos（α＋β）＝－.∴sin β＝sin[（α＋β）－α]＝sin（α＋β）cos α－cos（α＋β）·sin α＝×－×＝.
【例3】　解：（1）f（x）＝sin x＋sin xcos ＋cos xsin
＝sin x＋sin x＋cos x＝sin x＋cos x
＝（ sin xcos ＋cos xsin ）
＝sin，
当sin＝－1时，f（x）min＝－，
此时x＋＝＋2kπ（k∈Z），
所以x＝＋2kπ（k∈Z）.
所以f（x）的最小值为－，x的集合为{x｜x＝＋2kπ，k∈Z}.
（2）当2kπ－≤x＋≤2kπ＋（k∈Z），
即2kπ－≤x≤2kπ＋（k∈Z）时，函数f（x）为增函数；
当2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋（k∈Z）时，函数f（x）为减函数.
所以函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z），
函数f（x）的单调递减区间为（k∈Z）.
跟踪训练
1.B　∵sin θ＋sin＝sin θ＋cos θ＝sin＝1，∴sin＝，故选B.
2.1　解析：令x＋10°＝α，则x＋40°＝α＋30°，∴y＝sin α＋cos（α＋30°）＝sin α＋cos α－sin α＝sin α＋cos α＝sin（α＋60°），∴ymax＝1.
拓视野　两角和与差的三角函数公式在三角形中的应用
迁移应用
　解：任意交换两个角的位置，y的值不变.
证明如下：
∵A，B，C是△ABC的三个内角，A＋B＋C＝π，
∴＝－.
y＝tan＋
＝tan＋
＝tan＋
＝tan＋tan＋tan，
因此任意交换两个角的位置，y的值不变.
随堂检测
1.A　原式＝
＝
＝
＝＝.
2.B　由于α∈（0，π），α＋∈，而cos＝－＞－＝cos ，所以＜α＋＜，所以sin＝＝.所以sin（－α）＝sin cos－cos sin＝×－×＝－.
3.C　sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin（15°＋30°）＝2sin 45°＝.故选C.
4.　解析：原式＝sin 25°cos 35°＋cos 25°sin 35°＝sin（25°＋35°）＝sin 60°＝.
5.解：因为m·n＝1＋cos（A＋B）＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin（A＋B）＝1＋cos（A＋B）.
又A＋B＝π－C，整理得sin＝，
因为0＜C＜π，所以＜C＋＜，
所以C＋＝，所以C＝.
4 / 5(共74张PPT)
8.2.2　
两角和与差的正弦、正切
新课程标准解读 核心素养
1.理解两角和与差的正弦、正切公式的推导过程 逻辑推理
2.能够运用两角和与差的正弦、正切公式解决求
值、化简等问题 数学运算
第一课时　
两角和与差的正弦
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
乔布斯描述苹果电脑是“思想的自行车”——一种能够使人们的
思想达到想象中任何角落的工具，并且功能多样，他用类比介绍了这
一引领信息时代的创新发明.我们一旦开始给予类比密切的关注，就
会发现它在生活中随处可见，类比可以推动创新.
【问题】　（1）类比两角和与差的余弦公式如何推导两角和的正弦
公式？
（2）由 sin （α＋β）能推导出 sin （α－β）吗？
知识点　两角和与差的正弦
1. 两角和与差的正弦公式
名称 公式 简记符号 使用条件
两角和的
正弦 sin （α＋β）＝ Sα＋β α，β∈R
两角差的
正弦 sin （α－β）＝ Sα－β α，β∈R
sin α· cos
β＋ cos α sin β
sin α· cos
β－ cos α sin β
2. 辅助角公式
a sin x＋b cos x＝ · sin （x＋φ）（或a sin x＋b cos x＝
· cos （x－φ）），其中 sin φ＝ 　 　， cos φ
＝ 　 　（或 cos φ＝ ， sin φ＝ ）.
　
　
提醒　两角和与差的正弦公式的结构特征：①“正余余正”表示展
开后的两项分别为两角的正弦乘余弦，余弦乘正弦；②“符号相
同”是指展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号
相同，即两角和用“＋”，两角差用“－”；③两角和与差的正弦
公式只有中间的连接符号不同.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1） sin （α－β）＝ sin α cos α－ cos β sin β. （　×　）
（2） sin α＋ sin β＝ sin （α＋β）. （　×　）
（3） sin （α＋β－15°）＝ sin （α－15°） cos β＋ cos （α
－15°） sin β. （　√　）
（4） sin 15°＋ cos 15°＝ sin 60°. （　√　）
×
×
√
√
2. sin 20° cos 40°＋ cos 20° sin 140°＝（　　）
解析： 　 sin 20° cos 40°＋ cos 20° sin 140°＝ sin 20° cos
40°＋ cos 20° sin 40°＝ sin 60°＝ .
3. 已知θ为锐角，且 sin θ＝ ，则 sin （θ－45°）＝（　　）
解析： 　∵θ为锐角，且 sin θ＝ ，∴ cos θ＝ ＝
，∴ sin （θ－45°）＝ （ sin θ－ cos θ）＝ × ＝
－ .
4. 函数y＝ sin x－ cos x的最小正周期是（　　）
B. π
C. 2π D. 4π
解析： 　y＝ sin x－ cos x＝ （ sin x－ cos x）＝ sin
，所以函数的最小正周期为T＝2π.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
　　
题型一 利用公式化简求值
【例1】　（1） ＝（　　）
解析：
＝
＝
＝ ＝ sin 30°＝ .
（2）求 sin 157° cos 67°＋ cos 23° sin 67°的值；
解：原式＝ sin （180°－23°） cos 67°＋ cos 23° sin
67°＝ sin 23° cos 67°＋ cos 23° sin 67°＝ sin （23°＋
67°）＝ sin 90°＝1.
（3）求 sin （θ＋75°）＋ cos （θ＋45°）－ cos （θ＋15°）
的值.
解： sin （θ＋75°）＋ cos （θ＋45°）－ cos （θ
＋15°）
＝ sin （θ＋15°＋60°）＋ cos （θ＋15°＋30°）－ cos
（θ＋15°）
＝ sin （θ＋15°） cos 60°＋ cos （θ＋15°） sin 60°＋ cos
（θ＋15°）· cos 30°－ sin （θ＋15°） sin 30°－ cos
（θ＋15°）
＝ sin （θ＋15°）＋ cos （θ＋15°）＋ cos （θ＋15°）－
sin （θ＋15°）－ cos （θ＋15°）＝0.
通性通法
1. 解给角求值问题的基本思路
（1）逆用公式或运用公式变形，化为特殊角的三角函数值；
（2）化为正、负相消的项，消去求值；
（3）分子、分母出现公约数时进行约分求值.
2. 对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公
式求出具体数值，一般有以下三种途径：
（1）化为特殊角的三角函数值；
（2）化为正负相消的项，消去，求值；
（3）化为分子、分母形式，进行约分再求值.
【跟踪训练】
　求下列各式的值：
（1） sin ；
解： sin ＝－ sin π＝－ sin ＝ sin ＝
sin ＝ sin cos － cos sin ＝ .
（2） －2 cos （α＋β）.
解： 原式＝
＝
＝ ＝ .
题型二 给值（式）求值
【例2】　设α∈ ，β∈ ，若 cos α＝－ ， sin β
＝－ ，求 sin （α＋β）的值.
解：因为α∈ ， cos α＝－ ，所以 sin α＝ ，
因为β∈ ， sin β＝－ ，所以 cos β＝ .
所以 sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β＝ × ＋
× ＝ .
【母题探究】
1. （变条件）若将角β的条件改为第三象限，其他条件不变，则结果
如何？
解：因为β为第三象限角，所以 cos β＝－ .
所以 sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β＝ × ＋
× ＝－ ＋ ＝0.
2. （变设问）若条件不变，试求 sin （α－β）＋ cos （α－
β）的值.
解： sin （α－β）＋ cos （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin
β＋ cos α cos β＋ sin α sin β＝ × － × ＋
× ＋ × ＝ － － － ＝－1.
通性通法
解给值（式）求值的策略
（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知
角”的和或差的形式；
（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知
角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成
“已知角”.
【跟踪训练】
　已知0＜α＜ ＜β＜π， sin α＝ ， sin （α＋β）＝ ，则 sin β
＝ .
解析：由0＜α＜ ＜β＜π，得 ＜α＋β＜ .又 sin α＝ ， sin
（α＋β）＝ ，∴ cos α＝ ， cos （α＋β）＝－ .∴ sin β＝ sin
[（α＋β）－α]＝ sin （α＋β） cos α－ cos （α＋β）· sin α
＝ × － × ＝ .
　
题型三 辅助角公式的应用
【例3】　设函数f（x）＝ sin x＋ sin .
（1）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合；
解： f（x）＝ sin x＋ sin x cos ＋ cos x sin ＝ sin x＋ sin
x＋ cos x＝ sin x＋ cos x＝ （ sin x cos ＋ cos x sin ）＝
sin ，当 sin ＝－1时，f（x）min＝－ ，
此时x＋ ＝ ＋2kπ（k∈Z），所以x＝ ＋2kπ（k∈Z）.
所以f（x）的最小值为－ ，x的集合为{x｜x＝ ＋2kπ，
k∈Z}.
（2）求函数f（x）的单调区间.
解： 当2kπ－ ≤x＋ ≤2kπ＋ （k∈Z），
即2kπ－ ≤x≤2kπ＋ （k∈Z）时，函数f（x）为增函数；
当2kπ＋ ≤x＋ ≤2kπ＋ ，
即2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ （k∈Z）时，函数f（x）为减函数.
所以函数f（x）的单调递增区间为［2kπ－ ，2kπ＋ ］
（k∈Z），
函数f（x）的单调递减区间为［2kπ＋ ，2kπ＋ ］（k∈Z）.
通性通法
辅助角公式及其应用
（1）公式形式：公式a sin α＋b cos α＝ sin （α＋φ）（或
a sin α＋b cos α＝ cos （α－φ））将形如a sin α＋b
cos α（a，b不同时为零）的三角函数式收缩为同一个角的一
种三角函数式；
（2）形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求
变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.
【跟踪训练】
1. 已知 sin θ＋ sin ＝1，则 sin ＝（　　）
解析： 　∵ sin θ＋ sin ＝ sin θ＋ cos θ＝ sin
＝1，∴ sin ＝ ，故选B.
2. 函数y＝ sin （x＋10°）＋ cos （x＋40°）（x∈R）的最大值
是 .
解析：令x＋10°＝α，则x＋40°＝α＋30°，∴y＝ sin α＋
cos （α＋30°）＝ sin α＋ cos α－ sin α＝ sin α＋ cos α
＝ sin （α＋60°），∴ymax＝1.
1　
　两角和与差的三角函数公式在三角形中的应用
　　
　在钝角三角形ABC中，已知C为钝角，A，B都是锐角，试探究P
＝ sin （A＋B），Q＝ sin A＋ sin B，R＝ cos A＋ cos B的大小，并
把P，Q，R按从小到大的顺序排列起来.
【问题探究】
1. 当A＝30°，B＝30°时，求P，Q，R的值，并比较它们的大小.
提示：当A＝30°，B＝30°时，
P＝ sin （30°＋30°）＝ sin 60°＝ ，
Q＝ sin 30°＋ sin 30°＝2 sin 30°＝1，
R＝ cos 30°＋ cos 30°＝2 cos 30°＝ ，
∴P＜Q＜R.
2. 当A＝30°，B＝45°时，求P，Q，R的值，并比较它们的大小.
提示：当A＝30°，B＝45°时，
P＝ sin （30°＋45°）＝ sin 30° cos 45°＋ cos 30° sin 45°
＝ × ＋ × ＝ ，
Q＝ sin 30°＋ sin 45°＝ ＋ ＝ ，
R＝ cos 30°＋ cos 45°＝ ＋ ＝ ，
∵P－Q＝ － ＝ ＜0，
∴P＜Q，
∵Q－R＝ － ＝ ＜0，
∴Q＜R，∴P＜Q＜R.
3. 由问题1，2你能得到什么结论，并证明你的结论.
提示：由问题1，2猜想P＜Q＜R.
证明：∵C为钝角，∴0＜A＋B＜ ，
∴A＜ －B，B＜ －A，
∴ cos A＞ cos ＝ sin B，
cos B＞ cos ＝ sin A，
∴R－Q＝ cos A＋ cos B－ sin A－ sin B＞ sin B＋ sin A－ sin A－
sin B＝0，即R＞Q.
∵P－Q＝ sin （A＋B）－ sin A－ sin B
＝ sin A cos B＋ cos A sin B－ sin A－ sin B
＝ sin A（ cos B－1）＋ sin B（ cos A－1）＜0，
∴P＜Q.
综上可得P＜Q＜R.
4. 若将钝角三角形改为锐角三角形，P，Q，R的大小又如何？
提示：∵P－R＝ sin （A＋B）－ cos A－ cos B
＝ sin A cos B＋ cos A sin B－ cos A－ cos B
＝（ sin A－1） cos B＋（ sin B－1） cos A＜0，
∴P＜R.
∵△ABC为锐角三角形，
∴0＜A＜ ，0＜B＜ ，A＋B＞ ，
∴ －B＜A＜ ， －A＜B＜ ，
∴ sin ＜ sin A， sin ＜ sin B，
∴R－Q＝ cos A＋ cos B－ sin A－ sin B＜ cos A＋ cos B－ sin － sin
＝ cos A＋ cos B－ cos B－ cos A＝0，
∴R＜Q，综上，P＜R＜Q.
【迁移应用】
已知A，B，C是△ABC的三个内角，y＝tan ＋ ，若任
意交换两个角的位置，y的值是否变化？证明你的结论.
解：任意交换两个角的位置，y的值不变.
证明如下：
∵A，B，C是△ABC的三个内角，A＋B＋C＝π，
∴ ＝ － .
y＝tan ＋
＝tan ＋
＝tan ＋
＝tan ＋tan ＋tan ，
因此任意交换两个角的位置，y的值不变.
1. 的值是（　　）
C. 1
解析： 　原式＝
＝
＝
＝ ＝ .
2. 已知α∈（0，π）， cos ＝－ ，则 sin （－α）＝
（　　）
解析： 　由于α∈（0，π），α＋ ∈ ，而 cos
＝－ ＞－ ＝ cos ，所以 ＜α＋ ＜ ，所以 sin ＝
＝ .所以 sin （－α）＝ sin ＝ sin
cos － cos sin ＝ × － × ＝－ .
3. sin 15°＋ sin 75°＝（　　）
B. 1
解析： 　 sin 15°＋ sin 75°＝ sin 15°＋ cos 15°＝2 sin
（15°＋30°）＝2 sin 45°＝ .故选C.
4. sin 155° cos 35°－ cos 25° cos 235°＝ .
解析：原式＝ sin 25° cos 35°＋ cos 25° sin 35°＝ sin （25°＋
35°）＝ sin 60°＝ .
　
5. 设△ABC的三个内角分别为A，B，C，向量m＝（ sin A， sin
B），n＝（ cos B， cos A），若m·n＝1＋ cos （A＋B），
求C.
解：因为m·n＝1＋ cos （A＋B）＝ sin A cos B＋ cos A
sin B，
所以 sin （A＋B）＝1＋ cos （A＋B）.
又A＋B＝π－C，整理得 sin ＝ ，
因为0＜C＜π，所以 ＜C＋ ＜ ，所以C＋ ＝ ，所以C＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. sin 14° cos 16°＋ sin 76° cos 74°＝（　　）
解析： 　原式＝ sin 14° cos 16°＋ cos 14 sin 16°＝ sin （14°
＋16°）＝ sin 30°＝ .
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2. （多选）下列四个选项，化简正确的是（　　）
B. cos 15° sin 105°－ sin 15° cos 105°＝ sin （15°－105°）＝
－1
D. sin （x＋y） sin （y－x）－ cos （x＋y） cos （x－y）＝－
[ cos （x＋y） cos （x－y）＋ sin （x＋y） sin （x－y）]＝－
cos [（x＋y）－（x－y）]
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解析： 　∵ cos （－15°）＝ cos 15°＝ cos （45°－30°）＝
cos 45°· cos 30°＋ sin 45°· sin 30°＝ ，故A错.∵ cos
15° sin 105°－ sin 15° cos 105°＝ sin 105° cos 15°－ cos
105°· sin 15°＝ sin （105°－15°）＝ sin 90°＝1，故B
错.C、D正确.
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3. sin θ＋ sin ＋ sin 的值为（　　）
A. 0
C. 1 D. 2
解析： 　原式＝ sin θ＋ sin θ cos ＋ cos θ sin ＋ sin θ cos
＋ cos θ sin ＝ sin θ－ sin θ＋ cos θ－ sin θ－ cos θ
＝0.
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4. 已知f（x）＝ sin （3x＋θ）－ cos （3x＋θ）是奇函数，且在
上是减函数，则θ的一个值是（　　）
B. π
解析： 　f（x）＝ sin ，∵f（x）是奇函数，∴f
（0）＝ sin ＝0，∴θ＝kπ＋ ，k∈Z. ∵f（x）在
上是减函数，∴k为奇数.当k＝1时，θ＝ π.
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5. 若0＜α＜ ＜β＜π，且 cos β＝－ ， sin （α＋β）＝ ，则 sin
α的值是（　　）
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解析： 　由 ＜β＜π， cos β＝－ 得 sin β＝ .又0＜α＜
＜β＜π，所以 ＜α＋β ＜ ，所以 cos （α＋β）＝－
＝－ ＝－ .所以 sin α＝ sin [（α
＋β）－β]＝ sin （α＋β） cos β－ cos （α＋β） sin β＝
× ＋ × ＝ ，故选C.
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6. 在△ABC中，3 sin A＋4 cos B＝6，3 cos A＋4 sin B＝1，则C的大
小为（　　）
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解析： 　由已知可得（3 sin A＋4 cos B）2＋（3 cos A＋4 sin B）2
＝62＋12，即9＋16＋24 sin （A＋B）＝37，所以 sin （A＋B）
＝ .所以在△ABC中， sin C＝ ，所以C＝ 或C＝ .又1－3 cos
A＝4 sin B＞0，所以 cos A＜ .又 ＜ ，所以A＞ ，所以C＜
，所以C＝ 不符合题意，所以C＝ .
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7. 已知 cos θ＝ ，则 sin 的值为 　 　， sin
的值为 　 　.
解析：因为 cos θ＝ ，所以 sin θ＝ ＝
，所以 sin ＝ sin θ cos ＋ cos θ sin ＝ ×
＝ ； sin （θ－ ）＝ sin θ cos － cos θ sin ＝ × －
× ＝ .
　
　
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8. 若 sin x＋ cos x＝4－m，则实数m的取值范围为 .
解析：∵ sin x＋ cos x＝4－m，∴ sin x＋ cos x＝ ，
∴ sin sin x＋ cos cos x＝ ，∴ cos ＝ ，
∵ ≤1，∴ ≤1，∴2≤m≤6.
[2，6]　
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9. 已知△ABC的内角为A，B，C. 若2 cos B sin A＝ sin C，则△ABC
的形状一定是 .
解析：因为2 cos B sin A＝ sin C，所以2 cos B sin A＝ sin （A＋B）
＝ sin A cos B＋ cos A sin B，所以 cos B sin A－ cos A sin B＝0 sin
（A－B）＝0.因为角A，B，C为△ABC的内角，所以A＝B.
等腰三角形　
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解：因为 ＜α－β＜π， cos （α－β）＝－ ，
所以 sin （α－β）＝ .
因为 ＜α＋β＜2π， sin （α＋β）＝－ ，
所以 cos （α＋β）＝ .
10. 已知 cos （α－β）＝－ ， sin （α＋β）＝－ ， ＜α－β
＜π， ＜α＋β＜2π，求β的值.
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因为 ＜α－β＜π， ＜α＋β＜2π，
所以 ＜2β＜ ，2β＝π，所以β＝ .
所以 cos 2β＝ cos [（α＋β）－（α－β）]＝ cos （α＋β）
cos （α－β）＋ sin （α＋β） sin （α－β）＝ × ＋
× ＝－1.
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11. （多选）已知θ为锐角，那么下列各值中， sin θ＋ cos θ可能取
的值是（　　）
解析： 　 sin θ＋ cos θ＝ sin （θ＋ ），∵0＜θ＜ ，
∴ ＜θ＋ ＜ ，∴ ＜ sin ≤1，∴1＜ sin θ＋ cos
θ≤ ，∴ sin θ＋ cos θ可能取的值是 和 ，故选A、D.
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12. 函数f（x）＝ sin （x＋2φ）－2 sin φ cos （x＋φ）的最大值
为 ，最小值为 .
解析：因为f（x）＝ sin （x＋2φ）－2 sin φ cos （x＋φ）＝ sin
[（x＋φ）＋φ]－2 sin φ cos （x＋φ）＝ sin （x＋φ） cos φ－ sin
φ· cos （x＋φ）＝ sin x，所以函数f（x）的最大值为1，最小值
为－1.
1　
－1　
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13. 已知函数f（x）＝A sin ，x∈R，且f（ ）＝ .
（1）求A的值；
解： 由f ＝A sin ＝A sin ＝ A＝ ，
可得A＝3.
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（2）若f（θ）－f（－θ）＝ ，θ∈ ，求f .
解： f（θ）－f（－θ）＝ ，
则3 sin －3 sin ＝ ，
3 －3 ＝ ，得 sin θ＝
.
因为θ∈ ，所以 cos θ＝ ，f ＝3 sin
＝3 sin ＝3 cos θ＝ .
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14. 已知 cos α＝ ， cos （α－β）＝ ，且0＜β＜α＜ ，那么
β＝（　　）
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解析： 　 sin β＝ sin [α－（α－β）]＝ sin α cos （α－β）
－ cos α sin （α－β），由已知 cos α＝ ， cos （α－β）＝
，0＜β＜α＜ ，可知 sin α＝ ， sin （α－β）＝ ，代
入上式得 sin β＝ × － × ＝ ＝ ，所以β＝ .
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15. 已知向量a＝（ sin x， cos x－1），b＝（ ，－1），设f
（x）＝a·b.
（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；
（1）f（x）的最小正周期T＝2π，
令x－ ＝kπ（k∈Z），则x＝kπ＋ （k∈Z），
又f ＝2 sin （kπ）＋1＝1，
因此函数f（x）的对称中心为 ，k∈Z.
解：由题意得f（x）＝a·b＝ sin x－ cos x＋1＝2 sin
＋1.
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（2）已知α为锐角，β∈（0，π），f ＝ ， sin （α＋
β）＝－ ，求 sin （2α＋β）的值.
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解： f ＝2 sin ＋1＝2 sin α＋1＝ sin
α＝ .
∵α∈ ，∴ cos α＝ .
∵α∈ ，β∈（0，π），∴α＋β∈ .
又 sin （α＋β）＝－ ＜0，∴α＋β∈ ，
∴ cos （α＋β）＝－ ，
∴ sin （2α＋β）＝ sin [（α＋β）＋α]＝ sin （α＋β） cos α
＋ cos （α＋β） sin α＝－ × ＋ × ＝－ .
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