资源简介

8.2.3　倍角公式
1.＝（　　）
A. B.
C.1 D.－1
2.若tan α＝3，则＝（　　）
A.2 B.3
C.4 D.6
3.设f（tan x）＝tan 2x，则f（2）的值等于（　　）
A. B.－
C.－ D.4
4.（多选）已知sin＝，则的值可以为（　　）
A. B.
C.－ D.－
5.在△ABC中，若sin Bsin C＝cos2，则△ABC是（　　）
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
6.已知sin＝cos，则cos 2α＝（　　）
A.1 B.
C.0 D.－1
7.若sin x＝－，则cos 2x＝　　　　.
8.已知sin ＋cos ＝，那么sin θ＝　　　　，cos 2θ＝　　　　.
9.已知α是第二象限的角，tan（π＋2α）＝－，则tan α＝　　　　.
10.已知cos＝，α∈.
求：（1）cos α－sin α的值；
（2）cos的值.
11.（多选）已知函数f（x）＝是奇函数，则有（　　）
A.函数f（x）的图象关于直线x＝对称
B.函数f（x）的图象关于点对称
C.函数f（x）是奇函数
D.函数f（x）的最小正周期为π
12.已知α，β为锐角，且1－cos 2α＝sin αcos α，tan（β－α）＝，则tan α＝　　　　，β＝　　　　.
13.已知函数f（x）＝cos＋sin2x－cos2x＋2sin xcos x.　
（1）化简f（x）；
（2）若f（α）＝，2α是第一象限角，求sin 2α.
14.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.如图所示，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在其中一个黄金三角形ABC中，＝.根据这些信息，可得cos 324°＝　　　　.
15.某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数.
cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15°；
cos280°＋cos2（－50°）－sin 80°sin（－50°）；
cos2170°＋cos2（－140°）－sin 170°sin（－140°）.
（1）求出这个常数；
（2）结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论.
8.2.3　倍角公式
1.A　原式＝＝＝.
2.D　＝＝＝2tan α＝6.
3.B　因为f（tan x）＝，所以f（2）＝＝－.故选B.
4.BD　因为＝＝，由sin＝，得（sin θ－cos θ）＝，两边平方得sin 2θ＝，所以cos 2θ＝±.所以原式＝＝±，故选B、D.
5.B　由sin B sin C＝cos2得sin Bsin C＝，
∴2sin Bsin C＝1＋cos A，
∴2sin Bsin C＝1＋cos[π－（B＋C）]＝1－cos（B＋C），
∴2sin Bsin C＝1－cos Bcos C＋sin Bsin C，
∴cos Bcos C＋sin Bsin C＝1，∴cos（B－C）＝1.
又∵－180°＜B－C＜180°，∴B－C＝0°，
∴B＝C，∴△ABC是等腰三角形.
6.C　由sin＝cos，可得cos α＋sin α＝cos α＋sin α sin α＝cos α tan α＝1，cos 2α＝＝＝0，故选C.
7.　解析：因为sin x＝－，所以由二倍角公式，得cos 2x＝1－2sin2x＝1－2×＝.
8.　　解析：∵sin ＋cos ＝，∴（sin ＋cos ）2＝，即1＋2sin cos ＝，∴sin θ＝，∴cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝.
9.－　解析：由tan（π＋2α）＝－，得tan 2α＝－，又tan 2α＝＝－，解得tan α＝－或tan α＝2，又α是第二象限的角，所以tan α＝－.
10.解：（1）因为cos＝，α∈，
所以＝，
cos α＋sin α＝，平方化简可得sin 2α＝－，
又α∈，
所以sin α＞0，cos α＜0，cos α－sin α＝－＝－＝－.
（2）cos＝cos 2α－sin 2α
＝（cos α＋sin α）（cos α－sin α）－sin 2α＝.
11.BCD　因为f（x）＝＝＝－tan x，所以函数f（x）是周期为π的奇函数，图象关于点对称，故选B、C、D.
12.　　解析：由1－cos 2α＝sin αcos α，得1－（1－2sin2α）＝sin αcos α，即2sin2α＝sin αcos α.∵α为锐角，∴sin α≠0，∴2sin α＝cos α，即tan α＝.
法一　由tan（β－α）＝＝＝，得tan β＝1.∵β为锐角，∴β＝.
法二　tan β＝tan（β－α＋α）＝＝＝1.∵β为锐角，∴β＝.
13.解：（1）f（x）＝cos 2x－sin 2x－cos 2x＋sin 2x
＝sin 2x－cos 2x＝sin.
（2）f（α）＝sin＝，2α是第一象限角，
即2kπ＜2α＜＋2kπ（k∈Z），
∴2kπ－＜2α－＜＋2kπ（k∈Z），
∴cos＝，
∴sin 2α＝sin
＝sincos ＋cossin
＝×＋×＝.
14.　解析：由题图知，A＝36°，则A＝18°，sin 18°＝×＝×＝，∴cos 36°＝1－2sin218＝1－2×＝，∴cos 324°＝cos（360°－36°）＝cos 36°＝.
15.解：（1）cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15°
＝2cos215°－sin215°
＝1＋cos 30°－（1－cos 30°）
＝1＋－×＝.
同理，其他两式的值是.
（2）推广：当α＋β＝30°时，cos2α＋cos2β－sin αsin β＝.
证明：cos2α＋cos2β－sin αsin β
＝cos2α＋cos2（30°－α）－sin αsin（30°－α）
＝cos2α＋－sin α（cos α－sin α）
＝cos2α＋cos2α＋cos αsin α＋sin2α－cos α sin α＋sin2α
＝cos2α＋sin2α＝.
2 / 28.2.3　倍角公式
新课程标准解读 核心素养
1.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式 逻辑推理
2.能够灵活运用二倍角公式解决求值、化简和证明等问题 数学运算
　　金刚石晶体的碳—碳键键角约为55°，大雁南迁排成的“人”字形队列的每边与前进方向的夹角也约为55°，这是巧合还是大自然的“默契”？
　　研究表明，金刚石碳—碳键键角约为55°时，是最稳定的结构；大雁“人”字形队列夹角为55°时，后面的大雁可以利用前面的翼尖涡流，提高升力，以达到省力的作用.
【问题】　（1）“人”字形角度的2倍即110度，这其中蕴含着什么样的数学关系？
（2）我们能否利用两角和与差的三角函数公式，推导出二倍角的三角函数公式？如何推导？
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　二倍角公式
函数 公式 简记符号 β＝α
正弦 sin 2α＝　　　　　 Sα＋β S2α
余弦 cos 2α＝　　　　　 ＝　　　　　 ＝　　　　　 Cα＋β C2α
正切 tan 2α＝　　　　 Tα＋β T2α
【想一想】
1.你是怎样理解倍角公式中的“倍角”二字的？
2.二倍角公式有哪些形式的变形？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.（　　）
（2）3α是α的2倍角，6α是3α的2倍角.（　　）
（3） α∈R，使得sin 2α＝2sin α成立.（　　）
（4） α∈R，总有tan 2α＝.（　　）
2.已知cos α＝，则cos 2α等于　　　　.
3.sin 15°sin 75°的值为　　　　.
4.设tan α＝－，则tan 2α的值是　　　　.
题型一 给角求值问题
【例1】　求下列各式的值：
（1）－cos2；
（2）2tan 15°＋tan215°；
（3）tan 15°＋.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
通性通法
给角求值问题的解题策略
（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角；
（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
【跟踪训练】
1.求下列各式的值：
（1）；
（2）.
2.计算：.
题型二 给值求值问题
【例2】　已知cos α＝－，sin β＝，α是第三象限角，β∈.
（1）求sin 2α的值；
（2）求cos（2α＋β）的值.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
通性通法
直接应用二倍角公式求值的三种类型
（1）sin α（或cos α）cos α（或sin α）sin 2α（或cos 2α）；
（2）sin α（或cos α）cos 2α＝1－2sin2α（或2cos2α－1）；
（3）sin α（或cos α）
【跟踪训练】
1.已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为（　　）
A.2　　　　　　 B.－2
C. D.－
2.已知α∈（0，π），且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝（　　）
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
3.已知α为第一象限角且cos α＝，求的值.
题型三 利用二倍角公式化简与证明
【例3】　求证：＝sin 2α.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
通性通法
证明三角恒等式问题的原则及一般步骤
（1）观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想；
（2）证明的一般步骤：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.
【跟踪训练】
1.化简求值：.
2.求证：cos2（A＋B）－sin2（A－B）＝cos 2A·cos 2B.
题型四 倍角公式与三角函数性质的综合
【例4】　求函数f（x）＝5cos2x＋sin2x－4sin xcos x，x∈的最小值，并判断其单调性.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
通性通法
求解三角函数综合问题的一般步骤
【跟踪训练】
1.已知函数f（x）＝（1－cos 2x）cos2x，x∈R，则f（x）是（　　）
A.最小正周期为的奇函数
B.最小正周期为的偶函数
C.最小正周期为π的奇函数
D.最小正周期为π的偶函数
2.函数f（x）＝sin2x＋sin xcos x在区间上的最大值是（　　）
A. B.1 C. D.1＋
1.（多选）下列各式中，值为的是（　　）
A.2sin 15°cos 15°
B.cos215°－sin215°
C.1－2sin215°
D.sin215°＋cos215°
2.已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α＝（　　）
A.30°或60°　　　　　　 B.45°
C.60° D.30°
3.若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ＝　　　　.
4.函数f（x）＝2cos2－1的最小正周期为　　　　.
5.求下列各式的值：
（1）cos cos ；
（2）－cos2；
（3）已知＝，求tan 2α.
8.2.3　倍角公式
【基础知识·重落实】
知识点
　2sin αcos α　cos2α－sin2α　2cos2α－1　1－2sin2α　
想一想
1.提示：倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如2α是α的二倍角，8α是4α的二倍角，是的二倍角等.
2.提示：（1）1＋cos 2α＝2cos2α；
（2）1－cos 2α＝2sin2α；
（3）cos2α＝；
（4）sin2α＝；
（5）（sin α±cos α）2＝1±sin 2α.
自我诊断
1.（1）×　（2）√　（3）√　（4）×
2.－　解析：由cos α＝，得cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－.
3.　解析：原式＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.
4.　解析：∵tan α＝－，∴tan 2α＝＝＝.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）原式＝－＝－－＝－.
（2）原式＝tan 30°（1－tan215°）＋tan215°＝×（1－tan215°）＋tan215°＝1.
（3）原式＝＋＝＝＝＝＝4.
跟踪训练
1.解：（1）原式＝＝＝2.
（2）原式＝＝＝＝tan 60°＝.
2.解：原式＝＝＝.
【例2】　解：（1）因为α是第三象限角，cos α＝－，
所以sin α＝－＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××（－）＝.
（2）因为β∈，sin β＝，
所以cos β＝－＝－，
cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝，
所以cos（2α＋β）＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝×－×＝－.
跟踪训练
1.D　因为sin α＝3cos α，所以tan α＝3，所以tan 2α＝＝＝－.
2.A　∵3cos 2α－8cos α＝5，∴3（2cos2α－1）－8cos α＝5，∴6cos2α－8cos α－8＝0，∴3cos2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝2（舍去）或cos α＝－.∵α∈（0，π），∴sin α＝＝.故选A.
3.解：∵cos α＝且α为第一象限角，∴sin α＝.
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝.
∴原式＝
＝＝.
【例3】　证明：法一　左边＝
＝＝
＝＝sin cos cos α
＝sin αcos α＝sin 2α＝右边.
∴原式成立.
法二　左边＝＝cos2α·＝
cos2α·tan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边.
跟踪训练
1.解：
＝
＝
＝＝＝1.
2.证明：左边＝－
＝
＝（cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B）＝cos 2Acos 2B＝右边，∴等式成立.
【例4】　解：f（x）＝5·＋·－2sin 2x
＝3＋2cos 2x－2sin 2x
＝3＋4
＝3＋4
＝3＋4sin＝3－4sin，
∵≤x≤，∴≤2x－≤，
∴sin∈，
∴当2x－＝，即x＝时，f（x）取最小值为3－2.
∵y＝sin在上单调递增，
∴f（x）在上单调递减.
跟踪训练
1.B　因为f（x）＝（1－cos 2x）cos2x＝2sin2xcos2xsin22x＝·＝－cos 4x，所以函数f（x）为偶函数，且最小正周期为＝.
2.A　由题意得f（x）＝＋sin 2x＝＋sin.∵≤x≤，∴≤2x－≤，∴f（x）max＝＋1＝.
随堂检测
1.BC　对A，2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故A错误；对B，cos215°－sin215°＝cos 30°＝，故B正确；对C，1－2sin215°＝cos 30°＝，故C正确；对D，sin215°＋cos215°＝1，故D错误.故选B、C.
2.D　因为cos 2α＝1－2sin2α，故由题意，知2sin2α＋sin α－1＝0，即（sin α＋1）·（2sin α－1）＝0.因为α为锐角，所以sin α＝，所以α＝30°.
3.　解析：由θ∈，得2θ∈，
∴cos 2θ＝－＝－＝－.
∵cos 2θ＝1－2sin2θ，sin θ＞0，
∴sin θ＝＝.
4.π　解析：f（x）＝cos＝sin 2x，故f（x）的最小正周期为π.
5.解：（1）原式＝
＝＝＝＝.
（2）原式＝＝－＝－cos ＝－.
（3）因为＝，所以＝.
故tan α＝－3，
所以tan 2α＝＝＝.
1 / 3(共71张PPT)
8.2.3　倍角公式
新课程标准解读 核心素养
1.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式 逻辑推理
2.能够灵活运用二倍角公式解决求值、化简和
证明等问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　金刚石晶体的碳—碳键键角约为55°，大雁南迁排成的“人”字
形队列的每边与前进方向的夹角也约为55°，这是巧合还是大自然的
“默契”？
　　研究表明，金刚石碳—碳键键角约为55°时，是最稳定的结构；
大雁“人”字形队列夹角为55°时，后面的大雁可以利用前面的翼尖
涡流，提高升力，以达到省力的作用.
【问题】　（1）“人”字形角度的2倍即110度，这其中蕴含着什么
样的数学关系？
（2）我们能否利用两角和与差的三角函数公式，推导出二倍角的三
角函数公式？如何推导？
知识点　二倍角公式
函数 公式 简记符号 β＝α
正弦 sin 2α＝
Sα＋β S2α
余弦 cos 2α＝
＝ ＝ Cα＋β C2α
正切 tan 2α＝ Tα＋β T2α
2 sin α cos
α　
cos 2α－
sin 2α　
2 cos 2α－1　
1－2 sin 2α　
【想一想】
1. 你是怎样理解倍角公式中的“倍角”二字的？
提示：倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2
的情况都成立，如2α是α的二倍角，8α是4α的二倍角， 是 的
二倍角等.
2. 二倍角公式有哪些形式的变形？
提示：（1）1＋ cos 2α＝2 cos 2α；
（2）1－ cos 2α＝2 sin 2α；
（3） cos 2α＝ ；
（4） sin 2α＝ ；
（5）（ sin α± cos α）2＝1± sin 2α.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.
（　×　）
（2）3α是 α的2倍角，6α是3α的2倍角. （　√　）
（3） α∈R，使得 sin 2α＝2 sin α成立. （　√　）
（4） α∈R，总有tan 2α＝ . （　×　）
×
√
√
×
2. 已知 cos α＝ ，则 cos 2α等于 　－ 　.
解析：由 cos α＝ ，得 cos 2α＝2 cos 2α－1＝2× －1＝－
.
3. sin 15° sin 75°的值为 .
解析：原式＝ sin 15° cos 15°＝ sin 30°＝ .
4. 设tan α＝－ ，则tan 2α的值是 　 .
解析：∵tan α＝－ ，∴tan 2α＝ ＝ ＝ .
－ 　
　
　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
　　题型一 给角求值问题
【例1】　求下列各式的值：
（1） － cos 2 ；
解： 原式＝ － ＝ － － ＝－ .
（2）2 tan 15°＋tan215°；
解： 原式＝ tan 30°（1－tan215°）＋tan215°＝
× （1－tan215°）＋tan215°＝1.
（3）tan 15°＋ .
解： 原式＝ ＋ ＝ ＝
＝ ＝ ＝4.
通性通法
给角求值问题的解题策略
（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的
基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角；
（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍
角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用
二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公
式的形式.
【跟踪训练】
1. 求下列各式的值：
（1） ；（2） .
解：（1）原式＝ ＝ ＝2.
（2）原式＝
＝ ＝ ＝tan 60°＝ .
2. 计算： .
解：原式＝ ＝ ＝ .
题型二 给值求值问题
【例2】　已知 cos α＝－ ， sin β＝ ，α是第三象限角，
β∈ .
（1）求 sin 2α的值；
解： 因为α是第三象限角， cos α＝－ ，
所以 sin α＝－ ＝－ ，
所以 sin 2α＝2 sin α cos α＝2× ×（－ ）＝ .
（2）求 cos （2α＋β）的值.
解： 因为β∈ ， sin β＝ ，
所以 cos β＝－ ＝－ ，
cos 2α＝2 cos 2α－1＝2× －1＝ ，
所以 cos （2α＋β）＝ cos 2α cos β－ sin 2α sin β＝
× － × ＝－ .
通性通法
直接应用二倍角公式求值的三种类型
【跟踪训练】
1. 已知 sin α＝3 cos α，那么tan 2α的值为（　　）
A. 2 B. －2
C. D. －
解析： 　因为 sin α＝3 cos α，所以tan α＝3，所以tan 2α＝
＝ ＝－ .
2. 已知α∈（0，π），且3 cos 2α－8 cos α＝5，则 sin α＝
（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　∵3 cos 2α－8 cos α＝5，∴3（2 cos 2α－1）－8 cos
α＝5，∴6 cos 2α－8 cos α－8＝0，∴3 cos 2α－4 cos α－4＝
0，解得 cos α＝2（舍去）或 cos α＝－ .∵α∈（0，π），
∴ sin α＝ ＝ .故选A.
3. 已知α为第一象限角且 cos α＝ ，求 的值.
解：∵ cos α＝ 且α为第一象限角，∴ sin α＝ .
∴ cos 2α＝ cos 2α－ sin 2α＝－ ， sin 2α＝2 sin α cos α＝
.∴原式＝
＝ ＝ .
题型三 利用二倍角公式化简与证明
【例3】　求证： ＝ sin 2α.
证明：法一　左边＝ ＝
＝ ＝
＝ sin cos cos α＝ sin α cos α＝ sin 2α＝右边.
∴原式成立.
法二　左边＝ ＝ cos 2α· ＝
cos 2α·tan α＝ cos α sin α＝ sin 2α＝右边.
通性通法
证明三角恒等式问题的原则及一般步骤
（1）观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都
比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想；
（2）证明的一般步骤：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方
面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集
中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.
【跟踪训练】
1. 化简求值： .
解：
＝
＝
＝ ＝ ＝1.
2. 求证： cos 2（A＋B）－ sin 2（A－B）＝ cos 2A cos 2B.
证明：左边＝ －
＝
＝ （ cos 2A cos 2B－ sin 2A sin 2B＋ cos 2A cos 2B＋ sin 2A sin
2B）＝ cos 2A cos 2B＝右边，∴等式成立.
题型四 倍角公式与三角函数性质的综合
【例4】　求函数f（x）＝5 cos 2x＋ sin 2x－4 sin x cos x，
x∈ 的最小值，并判断其单调性.
解：f（x）＝5 · ＋ · －2 sin 2x
＝3 ＋2 cos 2x－2 sin 2x
＝3 ＋4
＝3 ＋4
＝3 ＋4 sin ＝3 －4 sin ，
∵ ≤x≤ ，∴ ≤2x－ ≤ ，
∴ sin ∈ ，
∴当2x－ ＝ ，即x＝ 时，f（x）取最小值为3 －2 .
∵y＝ sin 在 上单调递增，
∴f（x）在 上单调递减.
通性通法
求解三角函数综合问题的一般步骤
【跟踪训练】
1. 已知函数f（x）＝（1－ cos 2x） cos 2x，x∈R，则f（x）是
（　　）
A. 最小正周期为 的奇函数
B. 最小正周期为 的偶函数
C. 最小正周期为π的奇函数
D. 最小正周期为π的偶函数
解析： 　因为f（x）＝（1－ cos 2x） cos 2x＝2 sin 2x cos 2x＝
sin 22x＝ · ＝ － cos 4x，所以函数f（x）为偶函数，
且最小正周期为 ＝ .
2. 函数f（x）＝ sin 2x＋ sin x cos x在区间 上的最大值是
（　　）
A. B. 1
C. D. 1＋
解析： 　由题意得f（x）＝ ＋ sin 2x＝ ＋ sin
.∵ ≤x≤ ，∴ ≤2x－ ≤ ，∴f（x）max＝ ＋1＝ .
1. （多选）下列各式中，值为 的是（　　）
A. 2 sin 15° cos 15° B. cos 215°－ sin 215°
C. 1－2 sin 215° D. sin 215°＋ cos 215°
解析： 　对A，2 sin 15° cos 15°＝ sin 30°＝ ，故A错误；
对B， cos 215°－ sin 215°＝ cos 30°＝ ，故B正确；对C，1－
2 sin 215°＝ cos 30°＝ ，故C正确；对D， sin 215°＋ cos 215°
＝1，故D错误.故选B、C.
2. 已知α为锐角，且满足 cos 2α＝ sin α，则α＝（　　）
A. 30°或60° B. 45°
C. 60° D. 30°
解析： 　因为 cos 2α＝1－2 sin 2α，故由题意，知2 sin 2α＋ sin
α－1＝0，即（ sin α＋1）·（2 sin α－1）＝0.因为α为锐角，
所以 sin α＝ ，所以α＝30°.
3. 若θ∈ ， sin 2θ＝ ，则 sin θ＝ 　 　.
解析：由θ∈ ，得2θ∈ ，∴ cos 2θ＝－
＝－ ＝－ .∵ cos 2θ＝1－2 sin 2θ， sin θ
＞0，∴ sin θ＝ ＝ .
　
4. 函数f（x）＝2 cos 2 －1的最小正周期为 .
解析：f（x）＝ cos ＝ sin 2x，故f（x）的最小正周期
为π.
π　
5. 求下列各式的值：
（1） cos cos ；（2） － cos 2 ；
解：（1）原式＝
＝ ＝ ＝ ＝ .
（2）原式＝ ＝－ ＝－ cos ＝－ .
解：因为 ＝ ，
所以 ＝ .
故tan α＝－3，所以tan 2α＝ ＝ ＝ .
（3）已知 ＝ ，求tan 2α.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. ＝（　　）
A. B.
C. 1 D. －1
解析： 　原式＝ ＝ ＝ .
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2. 若tan α＝3，则 ＝（　　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 6
解析： 　 ＝ ＝ ＝2tan α＝6.
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3. 设f（tan x）＝tan 2x，则f（2）的值等于（　　）
A. B. －
C. － D. 4
解析： 　因为f（tan x）＝ ，所以f（2）＝ ＝－ .故
选B.
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4. （多选）已知 sin ＝ ，则 的值可以为（　　）
A. B.
C. － D. －
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解析： 　因为 ＝ ＝ ，由 sin ＝
，得 （ sin θ－ cos θ）＝ ，两边平方得 sin 2θ＝ ，所以
cos 2θ＝± .所以原式＝ ＝± ，故选B、D.
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5. 在△ABC中，若 sin B sin C＝ cos 2 ，则△ABC是（　　）
A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
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解析： 　由 sin B sin C＝ cos 2 得 sin B sin C＝ ，
∴2 sin B sin C＝1＋ cos A，
∴2 sin B sin C＝1＋ cos [π－（B＋C）]＝1－ cos （B＋C），
∴2 sin B sin C＝1－ cos B cos C＋ sin B sin C，
∴ cos B cos C＋ sin B sin C＝1，∴ cos （B－C）＝1.
又∵－180°＜B－C＜180°，∴B－C＝0°，
∴B＝C，∴△ABC是等腰三角形.
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6. 已知 sin ＝ cos ，则 cos 2α＝（　　）
A. 1 B.
C. 0 D. －1
解析： 　由 sin ＝ cos ，可得 cos α＋ sin α＝
cos α＋ sin α sin α＝ cos α tan α＝1，
cos 2α＝ ＝ ＝0，故选C.
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7. 若 sin x＝－ ，则 cos 2x＝ 　 　.
解析：因为 sin x＝－ ，所以由二倍角公式，得 cos 2x＝1－2 sin
2x＝1－2× ＝ .
　
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8. 已知 sin ＋ cos ＝ ，那么 sin θ＝ 　 　， cos 2θ＝ 　 　.
解析：∵ sin ＋ cos ＝ ，∴ ＝ ，即1＋2 sin
cos ＝ ，∴ sin θ＝ ，∴ cos 2θ＝1－2 sin 2θ＝1－2× ＝
.
　
　
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9. 已知α是第二象限的角，tan（π＋2α）＝－ ，则tan α＝
.
解析：由tan（π＋2α）＝－ ，得tan 2α＝－ ，又tan 2α＝
＝－ ，解得tan α＝－ 或tan α＝2，又α是第二象限的
角，所以tan α＝－ .
－
　
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解： 因为 cos ＝ ，α∈ ，
所以 ＝ ， cos α＋ sin α＝ ，平方化简可得
sin 2α＝－ ，又α∈ ，
所以 sin α＞0， cos α＜0， cos α－ sin α＝－
＝－ ＝－ .
10. 已知 cos ＝ ，α∈ .
求：（1） cos α－ sin α的值；
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解： cos ＝ cos 2α－ sin 2α
＝ （ cos α＋ sin α）（ cos α－ sin α）－ sin 2α＝ .
（2） cos 的值.
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11. （多选）已知函数f（x）＝ 是奇函数，则有（　　）
A. 函数f（x）的图象关于直线x＝ 对称
B. 函数f（x）的图象关于点 对称
C. 函数f（x）是奇函数
D. 函数f（x）的最小正周期为π
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解析： 　因为f（x）＝ ＝ ＝－tan x ，所以函数f（x）是周期为π的奇函数，图象关于点
对称，故选B、C、D.
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12. 已知α，β为锐角，且1－ cos 2α＝ sin α cos α，tan（β－
α）＝ ，则tan α＝ 　 　，β＝ 　 　.
解析：由1－ cos 2α＝ sin α cos α，得1－（1－2 sin 2α）＝ sin
α cos α，即2 sin 2α＝ sin α cos α.∵α为锐角，∴ sin α≠0，
∴2 sin α＝ cos α，即tan α＝ .
　
　
法一　由tan（β－α）＝ ＝ ＝ ，得tan β＝1.∵β为锐角，∴β＝ .
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法二　tan β＝tan（β－α＋α）＝ ＝ ＝
1.∵β为锐角，∴β＝ .
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13. 已知函数f（x）＝ cos ＋ sin 2x－ cos 2x＋2 sin x
cos x.　
（1）化简f（x）；
解： f（x）＝ cos 2x－ sin 2x－ cos 2x＋ sin 2x
＝ sin 2x－ cos 2x＝ sin .
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（2）若f（α）＝ ，2α是第一象限角，求 sin 2α.
解： f（α）＝ sin ＝ ，2α是第一象限角，
即2kπ＜2α＜ ＋2kπ（k∈Z），
∴2kπ－ ＜2α－ ＜ ＋2kπ（k∈Z），
∴ cos ＝ ，
∴ sin 2α＝ sin
＝ sin cos ＋ cos sin
＝ × ＋ × ＝ .
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14.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：
“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个
是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那
么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有
两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美
的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为
108°的等腰三角形）.如图所示，五角星由五个黄金三角形与一
个正五边形组成，在其中一个黄金三角形ABC中， ＝ .根
据这些信息，可得 cos 324°＝ .
　
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解析：由题图知，A＝36°，则 A＝18°， sin 18°＝ × ＝
× ＝ ，∴ cos 36°＝1－2 sin 218＝1－2× ＝
，∴ cos 324°＝ cos （360°－36°）＝ cos 36°＝ .
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15. 某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于
同一个常数.
cos 215°＋ cos 215°－ sin 15° sin 15°；
cos 280°＋ cos 2（－50°）－ sin 80° sin （－50°）；
cos 2170°＋ cos 2（－140°）－ sin 170° sin （－140°）.
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（1）求出这个常数；
解： cos 215°＋ cos 215°－ sin 15° sin 15°
＝2 cos 215°－ sin 215°＝1＋ cos 30°－ （1－ cos
30°）＝1＋ － × ＝ .
同理，其他两式的值是 .
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（2）结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等
式，并证明你的结论.
解： 推广：当α＋β＝30°时， cos 2α＋ cos 2β
－ sin α sin β＝ .
证明： cos 2α＋ cos 2β－ sin α sin β
＝ cos 2α＋ cos 2（30°－α）－ sin α sin （30°－
α）
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＝ cos 2α＋ － sin α（ cos α－
sin α）
＝ cos 2α＋ cos 2α＋ cos α sin α＋ sin 2α－ cos
α sin α＋ sin 2α＝ cos 2α＋ sin 2α＝ .
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谢 谢 观 看！

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