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8.2.4　三角恒等变换的应用
1.设5π＜θ＜6π，cos ＝a，则sin ＝（　　）
A.－ B.－
C.－ D.－
2.cos 37.5°·cos 22.5°的值是（　　）
A.＋
B.
C.
D.
3.（多选）下列命题是真命题的有（　　）
A. x∈R，sin2＋cos2＝
B. x，y∈R，sin（x－y）＝sin x－sin y
C. x∈[0，π]，＝sin x
D.sin x＝cos y x＋y＝
4.若cos（α＋β）cos（α－β）＝，则cos2α－sin2β＝（　　）
A.－ B.－
C. D.
5.在△ABC中，sin C＝，则此三角形的形状是（　　）
A.等边三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
6.若x＋y＝1，则sin x＋sin y与1的大小关系是（　　）
A.sin x＋sin y＞1 B.sin x＋sin y＝1
C.sin x＋sin y＜1 D.不确定
7.已知cos α＋cos β＝.则cos cos的值为　　　　.
8.求值：cos 47°－cos 61°－cos 11°＋cos 25°－sin 7°＝　　　　.
9.设a，b是非零实数，且满足＝tan ，则＝　　　　.
10.已知函数f（x）＝－＋，x∈（0，π）.
（1）将f（x）表示成cos x的多项式；
（2）求f（x）的最小值.
11.在△ABC中，若B＝45°，则cos Asin C的取值范围是（　　）
A.[－1，1] B.
C. D.
12.已知A＋B＝，那么cos2A＋cos2B的最大值是　　　　，最小值是　　　　.
13.已知函数f（x）＝2sin xcos x－2cos（x＋）·cos.
（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）求函数f（x）在区间上的值域.
14.（多选）下列各式与tan α相等的是（　　）
A.
B.
C.·（α∈（0，π））
D.
15.在△ABC中，求证：
（1）tan nA＋tan nB＋tan nC＝tan nA·tan nBtan nC，其中n∈Z；
（2）tan tan ＋tan tan ＋tan tan 为定值.
8.2.4　三角恒等变换的应用
1.B　由于5π＜θ＜6π，所以＜＜.所以sin ＝－＝－.
2.D　原式＝（cos 60°＋cos 15°）＝.
3.BC　因为sin2＋cos2＝1≠，所以A为假命题；当x＝y＝0时，sin（x－y）＝sin x－sin y，所以B为真命题；因为＝＝｜sin x｜＝sin x，x∈[0，π]，所以C为真命题；当x＝，y＝2π时，sin x＝cos y，但x＋y≠，所以D为假命题.故选B、C.
4.C　因为cos（α＋β）cos（α－β）＝（cos 2α＋cos 2β）＝[（2cos2α－1）＋（1－2sin2β）]＝cos2α－sin2β，所以cos2α－sin2β＝.
5.C　∵C＝π－（A＋B），∴sin C＝sin（A＋B）＝，∴2sin cos ＝，∴2cos2＝1，即cos（A＋B）＝0，∴A＋B＝，∴C＝.故此三角形为直角三角形.
6.C　∵sin x＋sin y＝2sin ·cos ＝2sin ·cos ，又0＜＜＜，∴sin ＜sin .∴2sin ＜2sin ＝1.∴sin x＋sin y＝2sin ·cos ＜cos ≤1.∴sin x＋sin y＜1.
7.　解析：∵cos α＋cos β＝，∴cos cos ＝＝＝×＝.
8.0　解析：原式＝（cos 47°－cos 61°）－（cos 11°－cos 25°）－sin 7°＝2sin 54°sin 7°－2sin 18°sin 7°－sin 7°＝2sin 7°·（sin 54°－sin 18°）－sin 7°＝2sin 7°·2cos 36°sin 18°－sin 7°＝sin 7°·－sin 7°＝sin 7°·－sin 7°＝sin 7°－sin 7°＝0.
9.　解析：∵tan ＝＝tan，tan θ＝，∴＋θ＝kπ＋，k∈Z，解得θ＝kπ＋.∴tan θ＝tan＝.∴＝.
10.解：（1）f（x）＝＝
＝2cos cos ＝cos 2x＋cos x
＝2cos2x＋cos x－1.
（2）∵f（x）＝2－且－1＜cos x＜1，
∴当cos x＝－时，f（x）取最小值－.
11.B　在△ABC中，B＝45°，所以cos Asin C＝[sin（A＋C）－sin（A－C）]＝[sin B－sin（A－C）]＝－sin（A－C），因为B＝45°，所以－135°＜A－C＜135°，所以－1≤sin（A－C）≤1，所以≤cos Asin C≤，故选B.
12.　　解析：∵A＋B＝，∴cos2A＋cos2B＝（1＋cos 2A＋1＋cos 2B）＝1＋（cos 2A＋cos 2B）＝1＋cos（A＋B）·cos（A－B）＝1＋coscos（A－B）＝1－cos（A－B），∴当cos（A－B）＝－1时，原式取得最大值；当cos（A－B）＝1时，原式取得最小值.
13.解：f（x）＝sin 2x＋2sincos＝sin 2x＋sin＝sin 2x－cos 2x＝2sin（2x－）.
（1）函数f（x）的最小正周期T＝＝π，
由2x－＝kπ＋，k∈Z，得对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
（2）因为－≤x≤，所以－≤2x－≤，
所以当2x－＝，即x＝时，f（x）max＝2，
当2x－＝－，即x＝－时，f（x）min＝2×＝－，
所以f（x）的值域是[－，2].
14.CD　A项，＝＝＝｜tan α｜，不符合；B项，＝＝tan ，不符合；C项，因为α∈（0，π），所以原式＝·＝＝tan α，符合；D项，＝＝tan α，符合；故选C、D.
15.证明：（1）∵A＋B＝π－C，
∴tan（nA＋nB）＝tan（nπ－nC）＝－tan nC，
∴＝－tan nC，
∴tan nA＋tan nB＝－tan nC＋tan nAtan nBtan nC，
∴tan nA＋tan nB＋tan nC＝tan nAtan nBtan nC.
（2）原式＝tan ＋tan tan
＝tan tan＋tan tan .
∵＋＝，
∴sin ＝cos ，cos ＝sin ，
∴tan tan ＝·＝·＝1，
∴原式＝1－tan tan ＋tan tan ＝1（定值）.
2 / 28.2.4　三角恒等变换的应用
新课程标准解读 核心素养
1.了解半角公式及其推导过程，并能推导出积化和差与和差化积公式 逻辑推理
2.灵活运用和、差、倍角公式、积化和差与和差化积公式进行相关计算及化简、证明 数学运算
　　同学们知道电脑输入法中的“半角”和“全角”的区别吗？半角、全角主要是针对标点符号来说的，全角标点占两个字节，半角占一个字节，但不管是半角还是全角，汉字都要占两个字节.事实上，汉字字符规定了全角的英文字符、图形符号和特殊字符都是全角字符，而通常的英文字母、数字键、符号键都是半角字符.
【问题】　任意角中是否也有“全角”与“半角”之分，二者有何数量关系？
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　半角公式
　：sin ＝　　　　　　；
：cos ＝　　　　　　；
：tan ＝　　　　　　＝　　　　　＝　　　　　.
【想一想】
　如何确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）cos ＝ .（　　）
（2）存在α∈R，使得cos ＝cos α.（　　）
（3）对于任意α∈R，sin ＝sin α都不成立.（　　）
（4）若α是第一象限角，则tan ＝.（　　）
2.若cos α＝，α∈（0，π），则cos ＝（　　）
A.　　　　　　　B.－
C. D.－
3.已知sin θ＝－，3π＜θ＜π，则tan 的值为（　　）
A.3 B.－3
C. D.－
知识点二　积化和差、和差化积公式
1.积化和差公式
cos αcos β＝　　　　　　　　　　；
sin αsin β＝　　　　　　　　　　；
sin αcos β＝　　　　　　　　　　；
cos αsin β＝　　　　　　　　　　.
2.和差化积公式
cos x＋cos y＝　　　　　　　　；
cos x－cos y＝　　　　　　　　；
sin x＋sin y＝　　　　　　　　；
sin x－sin y＝　　　　　　　　.
【想一想】
　和差化积公式的适用条件是什么？
1.计算sin 105°cos 75°＝（　　）
A. B.
C.－ D.－
2.sincos化成和差的形式为（　　）
A.sin（α＋β）＋cos（α－β）
B.cos（α＋β）＋sin（α－β）
C.sin（α＋β）＋sin（α－β）
D.cos（α＋β）＋cos（α－β）
3.cos 2α－cos 3α化为积的形式为　　　　.
题型一 应用半角公式求值
【例1】　已知sin α＝－，π＜α＜，求sin，cos，tan的值.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【母题探究】
　（变条件）本例条件变为“已知cos α＝，α为第四象限角”，问题不变.
通性通法
利用半角公式求值的思路
（1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解；
（2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围.
注意　已知cos α的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号.
【跟踪训练】
1.求值sin ＝　　　　.
2.已知cos 2θ＝－，＜θ＜π，求tan的值.
题型二 积化和差、和差化积问题
【例2】　（1）已知α满足cos 2α＝，则cos（ ＋α）·cos＝（　　）
A.　　　　　　　 B.
C.－ D.－
（2）sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，则tan（α＋β）的值为　　　　.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
通性通法
积化和差、和差化积公式应用时的注意事项
（1）关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数；
（2）根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：
①运用公式之后，能否出现特殊角；
②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项.
【跟踪训练】
　求下列各式的值：
（1）cos ＋cos －2sin cos ；
（2）sin 138°－cos 12°＋sin 54°.
题型三 积化和差、和差化积公式的应用
【例3】　已知函数f（x）＝sincos.
（1）求f（x）的值域；
（2）若x∈[0，2π]，求f（x）的零点.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
通性通法
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤
【跟踪训练】
1.函数y＝coscos的最大值是　　　　.
2.已知在△ABC中，cos A＋cos B＝sin C，求证：△ABC是直角三角形.
1.已知cos α＝，α∈，则sin ＝（　　）
A. B.－
C. D.
2.已知sin 2α＝，则cos2＝（　　）
A.－ B.－
C. D.
3.sin 75°－sin 15°的值为（　　）
A. B.
C. D.－
4.若cos2α－cos2β＝m，则sin（α＋β）sin（α－β）＝　　　　.
5.证明：tan －tan ＝.
8.2.4　三角恒等变换的应用
【基础知识·重落实】
知识点一
　±　±　±　　
想一想
　提示：（1）如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号；
（2）若给出角α的具体范围（即某一区间）时，则先求角所在范围，然后再根据角所在象限确定符号.
自我诊断
1.（1）×　（2）√　（3）×　（4）√
2.C　由题意知∈，所以cos ＞0，cos ＝ ＝.
3.B　∵3π＜θ＜，sin θ＝－，∴cos θ＝－，tan ＝＝－3.
知识点二
1.[cos（α＋β）＋cos（α－β）]　－[cos（α＋β）－cos（α－β）]　[sin（α＋β）＋sin（α－β）]　[sin（α＋β）－sin（α－β）]
2.2cos cos　－2sin·sin　2sin·cos　2cos·sin
想一想
　提示：只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式.
自我诊断
1.B　sin 105°cos 75°＝（sin 180°＋sin 30°）＝.
2.B　sincos＝［sin（＋α＋＋β）＋sin（＋α－－β）］＝［sin（＋α＋β）＋sin（α－β）］＝cos（α＋β）＋sin（α－β）.故选B.
3.2sin sin 　解析：cos 2α－cos 3α＝－2sinsin ＝－2sin sin＝2sin sin .
【典型例题·精研析】
【例1】　解：∵π＜α＜，sin α＝－，
∴cos α＝－，且＜＜，
∴sin ＝ ＝，
cos ＝ －＝－，
tan＝＝－2.
母题探究
　解：∵α为第四象限角，∴为第二、四象限角.
当为第二象限角时，sin ＝＝，cos ＝－＝－，
tan ＝－＝－；
当为第四象限角时，
sin ＝－＝－，
cos ＝＝，
tan ＝－＝－.
跟踪训练
1.　解析：sin＝＝＝.
2.解：因为cos 2θ＝－，＜θ＜π，依半角公式得
sin θ＝＝＝，
cos θ＝－＝－＝－，
所以tan＝＝＝.
【例2】　（1）A　（2）　解析：（1）法一　∵cos 2α＝，
∴coscos（ －α）
＝coscos［－］
＝cos·sin
＝sin＝cos 2α＝.
法二　coscos＝［cos＋cos］＝cos 2α＝.
（2）由sin α＋sin β＝，得2sin cos ＝， ①
由cos α＋cos β＝，得2cos cos ＝， ②
由①②两式相除得tan ＝，
则tan（α＋β）＝＝＝.
跟踪训练
　解：（1）cos ＋cos －2sin cos ＝2cos ·cos －cos ＝2cos cos －cos ＝cos －cos ＝0.
（2）sin 138°－ cos 12°＋sin 54°＝sin 42°－cos 12°＋sin 54°＝sin 42°－sin 78°＋sin 54°＝－2cos 60°sin 18°＋sin 54°＝sin 54°－sin 18°＝2cos 36°sin 18°＝＝＝＝＝＝.
【例3】　解：（1）由积化和差公式可知
f（x）＝
＝
＝sin－，
∵sin∈[－1，1]，
∴f（x）的值域为[－1，0].
（2）令f（x）＝0，∴sin＝1，
∴2x－＝＋2kπ，k∈Z，
∴x＝＋kπ，k∈Z，
∵x∈[0，2π]，∴x＝或x＝，
∴f（x）的零点为，.
跟踪训练
1.　解析：由题意知，y＝＝＝－cos 2x.因为－1≤cos 2x≤1，所以ymax＝.
2.证明：在△ABC中，A＋B＋C＝π，
∴sin C＝sin（A＋B）＝cos A＋cos B，
由和差化积公式，得
cos A＋cos B＝2cos cos ，
∴2sin cos ＝2cos cos .
显然cos ≠0，∴sin ＝cos .
两边平方，得sin2＝cos2，
∴＝，
∴cos（A＋B）＋cos（A－B）＝0，
∴2cos Acos B＝0，∴cos A＝0或cos B＝0.
∵A，B为△ABC的内角，∴A，B中必有一个是直角.
∴△ABC是直角三角形.
随堂检测
1.A　∵α∈，∴∈，sin ＝＝.
2.D　cos2＝＝＝.
3.B　sin 75°－sin 15°＝2cos ·sin ＝2××＝.故选B.
4.－m　解析：sin（α＋β）sin（α－β）＝－（cos 2α－cos 2β）＝－[（2cos2α－1）－（2cos2β－1）]＝cos2β－cos2α＝－m.
5.证明：法一　tan －tan ＝－
＝
＝＝
＝.
法二　＝
＝＝
＝－
＝tan －tan .
1 / 4(共66张PPT)
8.2.4　
三角恒等变换的应用
新课程标准解读 核心素养
1.了解半角公式及其推导过程，并能推导出积化和差与
和差化积公式 逻辑推理
2.灵活运用和、差、倍角公式、积化和差与和差化积公
式进行相关计算及化简、证明 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　同学们知道电脑输入法中的“半角”和“全角”的区别吗？半
角、全角主要是针对标点符号来说的，全角标点占两个字节，半角占
一个字节，但不管是半角还是全角，汉字都要占两个字节.事实上，
汉字字符规定了全角的英文字符、图形符号和特殊字符都是全角字
符，而通常的英文字母、数字键、符号键都是半角字符.
【问题】　任意角中是否也有“全角”与“半角”之分，二者有何数
量关系？
知识点一　半角公式
： sin ＝ 　± 　；
： cos ＝ 　± 　；
：tan ＝ 　± 　＝ 　 　＝ 　 　.
± 　
± 　
± 　
　
　
【想一想】
　如何确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号？
提示：（1）如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两
个符号；
（2）若给出角α的具体范围（即某一区间）时，则先求角 所在范
围，然后再根据角 所在象限确定符号.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1） cos ＝ . （　×　）
（2）存在α∈R，使得 cos ＝ cos α. （　√　）
（3）对于任意α∈R， sin ＝ sin α都不成立. （　×　）
（4）若α是第一象限角，则tan ＝ . （　√　）
×
√
×
√
2. 若 cos α＝ ，α∈（0，π），则 cos ＝（　　）
解析： 　由题意知 ∈ ，所以 cos ＞0， cos ＝
＝ .
3. 已知 sin θ＝－ ，3π＜θ＜ π，则tan 的值为（　　）
A. 3 B. －3
解析： 　∵3π＜θ＜ ， sin θ＝－ ，∴ cos θ＝－ ，tan ＝
＝－3.

[ cos （α＋β）＋ cos （α－β）]　
－ [ cos （α＋β）－ cos （α－β）]　
[ sin （α＋β）＋ sin （α－β）]　
[ sin （α＋β）－ sin （α－β）]　

2 cos cos 　
－2 sin · sin 　
2 sin cos 　
2 cos · sin 　
【想一想】
　和差化积公式的适用条件是什么？
提示：只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式
化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导
公式化成同名函数后再运用公式.
1. 计算 sin 105° cos 75°＝（　　）
解析： 　 sin 105° cos 75°＝ （ sin 180°＋ sin 30°）＝ .
2. sin cos 化成和差的形式为（　　）
解析： 　 sin cos ＝ ［ sin （ ＋α＋ ＋β）＋
sin （ ＋α－ －β）］＝ ［ sin （ ＋α＋β）＋ sin （α－
β）］＝ cos （α＋β）＋ sin （α－β）.故选B.

解析： cos 2α－ cos 3α＝－2 sin sin ＝－2 sin sin
＝2 sin sin .
2 sin sin 　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 应用半角公式求值
【例1】　已知 sin α＝－ ，π＜α＜ ，求 sin ， cos ，tan
的值.
解：∵π＜α＜ ， sin α＝－ ，
∴ cos α＝－ ，且 ＜ ＜ ，
∴ sin ＝ ＝ ，
cos ＝ － ＝－ ，
tan ＝ ＝－2.
【母题探究】
　（变条件）本例条件变为“已知 cos α＝ ，α为第四象限角”，
问题不变.
解：∵α为第四象限角，∴ 为第二、四象限角.
当 为第二象限角时， sin ＝ ＝ ， cos ＝－ ＝－
，tan ＝－ ＝－ ；
当 为第四象限角时，
sin ＝－ ＝－ ，
cos ＝ ＝ ，
tan ＝－ ＝－ .
通性通法
利用半角公式求值的思路
（1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两
倍，则求解时常常借助半角公式求解；
（2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必
依据角的范围，求出相应半角的范围.
注意　已知 cos α的值可求 的正弦、余弦、正切值，要注意确
定其符号.
【跟踪训练】
1. 求值 sin ＝ 　 　.
解析： sin ＝ ＝ ＝ .
　
2. 已知 cos 2θ＝－ ， ＜θ＜π，求tan 的值.
解：因为 cos 2θ＝－ ， ＜θ＜π，依半角公式得
sin θ＝ ＝ ＝ ，
cos θ＝－ ＝－ ＝－ ，
所以tan ＝ ＝ ＝ .
题型二 积化和差、和差化积问题
【例2】　（1）已知α满足 cos 2α＝ ，则 cos · cos
＝（　A　）
A
解析： 法一　∵ cos 2α＝ ，∴ cos cos （ －
α）＝ cos cos ［ － ］＝ cos · sin
＝ sin ＝ cos 2α＝ .
法二　 cos cos ＝ ［ cos （ ＋α＋ －α）＋ cos
］＝ cos 2α＝ .
（2） sin α＋ sin β＝ ， cos α＋ cos β＝ ，则tan（α＋β）的值
为 .
　
解析：由 sin α＋ sin β＝ ，得2 sin cos ＝ ，
①
由 cos α＋ cos β＝ ，得2 cos cos ＝ ，
②
由①②两式相除得tan ＝ ，
则tan（α＋β）＝ ＝ ＝ .
通性通法
积化和差、和差化积公式应用时的注意事项
（1）关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相
消，从而化为特殊角的三角函数；
（2）根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：
①运用公式之后，能否出现特殊角；
②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或
消项.
【跟踪训练】
　求下列各式的值：
（1） cos ＋ cos －2 sin cos ；
解： cos ＋ cos －2 sin cos ＝2 cos · cos
－ cos ＝2 cos cos － cos ＝ cos － cos ＝0.
（2） sin 138°－ cos 12°＋ sin 54°.
解： sin 138°－ cos 12°＋ sin 54°＝ sin 42°－ cos
12°＋ sin 54°＝ sin 42°－ sin 78°＋ sin 54°＝－2 cos 60°
sin 18°＋ sin 54°＝ sin 54°－ sin 18°＝2 cos 36° sin 18°＝
＝ ＝ ＝
＝ ＝ .
题型三 积化和差、和差化积公式的应用
【例3】　已知函数f（x）＝ sin cos .
（1）求f（x）的值域；
解： 由积化和差公式可知
f（x）＝ ［ sin ＋ sin （x－ －x－ ）］
＝
＝ sin － ，
∵ sin ∈[－1，1]，∴f（x）的值域为[－1，0].
（2）若x∈[0，2π]，求f（x）的零点.
解： 令f（x）＝0，∴ sin ＝1，
∴2x－ ＝ ＋2kπ，k∈Z，
∴x＝ ＋kπ，k∈Z，
∵x∈[0，2π]，∴x＝ 或x＝ ，
∴f（x）的零点为 ， .
通性通法
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤
【跟踪训练】
1. 函数y＝ cos cos 的最大值是 　 　.
解析：由题意知，y＝ ［ cos （2x＋π）＋ cos （－ ）］＝
＝ － cos 2x.因为－1≤ cos 2x≤1，所以ymax
＝ .
　
2. 已知在△ABC中， cos A＋ cos B＝ sin C，求证：△ABC是直角三
角形.
证明：在△ABC中，A＋B＋C＝π，
∴ sin C＝ sin （A＋B）＝ cos A＋ cos B，
由和差化积公式，得
cos A＋ cos B＝2 cos cos ，
∴2 sin cos ＝2 cos cos .
显然 cos ≠0，∴ sin ＝ cos .
两边平方，得 sin 2 ＝ cos 2 ，
∴ ＝ ，
∴ cos （A＋B）＋ cos （A－B）＝0，
∴2 cos A cos B＝0，∴ cos A＝0或 cos B＝0.
∵A，B为△ABC的内角，∴A，B中必有一个是直角.
∴△ABC是直角三角形.
1. 已知 cos α＝ ，α∈ ，则 sin ＝（　　）
解析：∵α∈ ，∴ ∈ ， sin ＝ ＝ .
2. 已知 sin 2α＝ ，则 cos 2 ＝（　　）
解析： 　 cos 2 ＝ ＝ ＝ .
3. sin 75°－ sin 15°的值为（　　）
解析： 　 sin 75°－ sin 15°＝2 cos · sin ＝
2× × ＝ .故选B.
4. 若 cos 2α－ cos 2β＝m，则 sin （α＋β） sin （α－β）＝
.
解析： sin （α＋β） sin （α－β）＝－ （ cos 2α－ cos 2β）
＝－ [（2 cos 2α－1）－（2 cos 2β－1）]＝ cos 2β－ cos 2α＝
－m.
－
m　
5. 证明：tan －tan ＝ .
证明：法一　tan －tan ＝ －
＝ ＝
＝ ＝ .
法二　 ＝
＝ ＝
＝ － ＝tan －tan .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设5π＜θ＜6π， cos ＝a，则 sin ＝（　　）
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解析： 由于5π＜θ＜6π，所以 ＜ ＜ .所以 sin ＝－
＝－ .
2. cos 37.5°· cos 22.5°的值是（　　）
解析： 　原式＝ （ cos 60°＋ cos 15°）＝ （ ＋ ）.
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3. （多选）下列命题是真命题的有（　　）
B. x，y∈R， sin （x－y）＝ sin x－ sin y
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解析： 因为 sin 2 ＋ cos 2 ＝1≠ ，所以A为假命题；当x＝
y＝0时， sin （x－y）＝ sin x－ sin y，所以B为真命题；因为
＝ ＝｜ sin x｜＝ sin x，x∈[0，π]，所以C
为真命题；当x＝ ，y＝2π时， sin x＝ cos y，但x＋y≠ ，所以
D为假命题.故选B、C.
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4. 若 cos （α＋β） cos （α－β）＝ ，则 cos 2α－ sin 2β＝
（　　）
解析： 　因为 cos （α＋β） cos （α－β）＝ （ cos 2α＋ cos
2β）＝ [（2 cos 2α－1）＋（1－2 sin 2β）]＝ cos 2α－ sin
2β，所以 cos 2α－ sin 2β＝ .
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5. 在△ABC中， sin C＝ ，则此三角形的形状是（　　）
A. 等边三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
解析： 　∵C＝π－（A＋B），∴ sin C＝ sin （A＋B）＝
，∴2 sin cos ＝ ，∴2 cos 2
＝1，即 cos （A＋B）＝0，∴A＋B＝ ，∴C＝ .故此三角形
为直角三角形.
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6. 若x＋y＝1，则 sin x＋ sin y与1的大小关系是（　　）
A. sin x＋ sin y＞1 B. sin x＋ sin y＝1
C. sin x＋ sin y＜1 D. 不确定
解析： 　∵ sin x＋ sin y＝2 sin · cos ＝2 sin · cos
，又0＜ ＜ ＜ ，∴ sin ＜ sin .∴2 sin ＜2 sin ＝1.∴ sin
x＋ sin y＝2 sin · cos ＜ cos ≤1.∴ sin x＋ sin y＜1.
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7. 已知 cos α＋ cos β＝ .则 cos cos 的值为 　 　.
解析：∵ cos α＋ cos β＝ ，∴ cos cos ＝
＝ （ cos α＋ cos β）＝ × ＝ .
　
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8. 求值： cos 47°－ cos 61°－ cos 11°＋ cos 25°－ sin 7°
＝ .
解析：原式＝（ cos 47°－ cos 61°）－（ cos 11°－ cos 25°）
－ sin 7°＝2 sin 54° sin 7°－2 sin 18° sin 7°－ sin 7°＝2 sin
7°·（ sin 54°－ sin 18°）－ sin 7°＝2 sin 7°·2 cos 36° sin
18°－ sin 7°＝ sin 7°· － sin 7°＝ sin
7°· － sin 7°＝ sin 7°－ sin 7°＝0.
0　
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9. 设a，b是非零实数，且满足 ＝tan ，则
＝ .
解析：∵tan ＝ ＝tan ，tan θ＝ ，∴ ＋θ＝
kπ＋ ，k∈Z，解得θ＝kπ＋ .∴tan θ＝tan ＝
.∴ ＝ .
　
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10. 已知函数f（x）＝－ ＋ ，x∈（0，π）.
（1）将f（x）表示成 cos x的多项式；
解： f（x）＝ ＝
＝2 cos cos ＝ cos 2x＋ cos x
＝2 cos 2x＋ cos x－1.
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（2）求f（x）的最小值.
解： ∵f（x）＝2 － 且－1＜ cos x＜1，
∴当 cos x＝－ 时，f（x）取最小值－ .
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11. 在△ABC中，若B＝45°，则 cos A sin C的取值范围是（　　）
A. [－1，1]
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解析： 　在△ABC中，B＝45°，所以 cos A sin C＝ [ sin （A
＋C）－ sin （A－C）]＝ [ sin B－ sin （A－C）]＝ － sin
（A－C），因为B＝45°，所以－135°＜A－C＜135°，所以
－1≤ sin （A－C）≤1，所以 ≤ cos A sin C≤ ，故选B.
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12. 已知A＋B＝ ，那么 cos 2A＋ cos 2B的最大值是 　 　，最小值
是 .
解析：∵A＋B＝ ，∴ cos 2A＋ cos 2B＝ （1＋ cos 2A＋1＋
cos 2B）＝1＋ （ cos 2A＋ cos 2B）＝1＋ cos （A＋B）· cos
（A－B）＝1＋ cos cos （A－B）＝1－ cos （A－B），
∴当 cos （A－B）＝－1时，原式取得最大值 ；当 cos （A－
B）＝1时，原式取得最小值 .
　
　
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13. 已知函数f（x）＝2 sin x cos x－2 cos · cos .
（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（1）函数f（x）的最小正周期T＝ ＝π，
由2x－ ＝kπ＋ ，k∈Z，得对称轴方程为x＝ ＋ ，
k∈Z.
解：f（x）＝ sin 2x＋2 sin cos ＝ sin
2x＋ sin ＝ sin 2x－ cos 2x＝2 sin .
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（2）求函数f（x）在区间 上的值域.
解：因为－ ≤x≤ ，所以－ ≤2x－ ≤ ，
所以当2x－ ＝ ，即x＝ 时，f（x）max＝2，
当2x－ ＝－ ，即x＝－ 时，f（x）min＝2× ＝
－ ，
所以f（x）的值域是[－ ，2].
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14. （多选）下列各式与tan α相等的是（　　）
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解析： 　A项， ＝ ＝ ＝｜tan α｜，
不符合；B项， ＝ ＝tan ，不符合；C项，因为
α∈（0，π），所以原式＝ · ＝ ＝tan α，符
合；D项， ＝ ＝tan α，符合；故选C、D.
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15. 在△ABC中，求证：
（1）tan nA＋tan nB＋tan nC＝tan nAtan nBtan nC，其中n∈Z；
证明： ∵A＋B＝π－C，
∴tan（nA＋nB）＝tan（nπ－nC）＝－tan nC，
∴ ＝－tan nC，
∴tan nA＋tan nB＝－tan nC＋tan nAtan nBtan nC，
∴tan nA＋tan nB＋tan nC＝tan nAtan nBtan nC.
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（2）tan tan ＋tan tan ＋tan tan 为定值.
证明： 原式＝tan ＋tan tan
＝tan tan ＋tan ·tan .
∵ ＋ ＝ ，
∴ sin ＝ cos ， cos ＝ sin ，
∴tan tan ＝ · ＝ · ＝1，
∴原式＝1－tan tan ＋tan tan ＝1（定值）.
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