资源简介

一、数学运算
　　数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.本章中向量数量积的运算、最值，三角函数式的求值都彰显核心素养中的数学运算.
培优一 平面向量的数量积
【例1】　（1）（2024·新高考Ⅰ卷3题）已知向量a＝（0，1），b＝（2，x），若b⊥（b－4a），则x＝（　　）
A.－2　　　　　　　 B.－1
C.1 D.2
（2）已知向量a与b的夹角为120°，且｜a｜＝｜b｜＝2，则a在a－b方向上的投影的数量为（　　）
A.1　　　　　　　　　 B.
C. D.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
培优二 平面向量中的最值问题
【例2】　已知平面单位向量e1，e2满足｜2e1－e2｜≤.设a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，向量a，b的夹角为θ，则cos2θ的最小值是　　　　.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
培优三 三角函数式的求值
【例3】　（1）（2024·全国甲卷理8题）已知＝，则tan（α＋）＝（　　）
A.2＋1 B.2－1
C. D.1－
（2）（2024·新高考Ⅰ卷4题）已知cos（α＋β）＝m，tan αtan β＝2，则cos（α－β）＝（　　）
A.－3m B.－
C. D.3m
（3）（2024·新高考Ⅱ卷13题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin（α＋β）＝　　　　.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、逻辑推理
　　在逻辑推理核心素养的形成过程中，学生能够发现问题和提出问题；能掌握推理的基本形式，表述论证的过程；能理解数学知识之间的联系，构建知识框架；形成论据充分、条理清楚、合乎逻辑的思维品质，在本章中向量数量积的应用、三角函数式的化简与证明、三角恒等变换与三角函数的综合应用都是提升学生的逻辑推理能力.
培优四 向量数量积的应用
【例4】　若三个不共线的向量，，，满足·＝·（＋）＝·＝0，则点O为△ABC的（　　）
A.内心 B.外心
C.重心 D.垂心
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
培优五 三角函数式的化简与证明
【例5】　证明：＝tan θ.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
培优六 三角恒等变换与三角函数的综合问题
【例6】　已知函数f（x）＝cos x·sin－cos2x＋，x∈R.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在上的最小值和最大值.
尝试解答　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
章末复习与总结
【例1】　（1）D　（2）B　解析：（1）法一　因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以b2－4a·b＝0即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故选D.
法二　因为a＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－4（0，1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以（x－2）2＝0，解得x＝2，故选D.
（2）由向量的数量积公式可得a·（a－b）＝｜a｜｜a－b｜·cos＜a，a－b＞，∴a在a－b方向上的投影的数量为｜a｜cos＜a，a－b＞＝＝ .又a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝2×2×cos 120°＝－2，｜a｜＝｜b｜＝2，∴｜a｜cos＜a，a－b＞＝＝，故选B.
【例2】　　解析：法一　因为单位向量e1，e2满足｜2e1－e2｜≤，
所以｜2e1－e2｜2＝5－4e1·e2≤2，
即e1·e2≥.
因为a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，a，b的夹角为θ，
所以cos2 θ＝＝
＝＝.
不妨设t＝e1·e2，则t≥，cos2 θ＝，
又y＝在上单调递增，
所以cos2 θ≥＝，
所以cos2 θ的最小值为.
法二　由题意，不妨设e1＝（1，0），e2＝（cos x，sin x）.
因为｜2e1－e2｜≤，所以≤，
得5－4cos x≤2，即cos x≥.
易知a＝（1＋cos x，sin x），b＝（3＋cos x，sin x），
所以a·b＝（1＋cos x）（3＋cos x）＋sin2 x＝4＋4cos x，
｜a｜2＝（1＋cos x）2＋sin2 x＝2＋2cos x，｜b｜2＝（3＋cos x）2＋sin2 x＝10＋6cos x，
所以cos2θ＝＝＝.
不妨设m＝cos x，则m≥，cos2 θ＝，
又y＝在上单调递增，
所以cos2 θ≥＝，
所以cos2 θ的最小值为.
【例3】　（1）B　（2）A　（3）－　解析：（1）根据题意有＝，即1－tan α＝，所以tan α＝1－，所以tan（α＋）＝＝＝2－1，故选B.
（2）因为cos（α＋β）＝m，所以cos αcos β－sin αsin β＝m，而tan αtan β＝2，即＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β，故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m，从而cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝3cos αcos β＝－3m.故选A.
（3）法一　由题意得tan（α＋β）＝＝＝－2，因为α∈（2kπ，2kπ＋），β∈（2mπ＋π，2mπ＋），k，m∈Z，则α＋β∈（（2m＋2k）π＋π，（2m＋2k）π＋2π），k，m∈Z，又因为tan（α＋β）＝－2＜0，则α＋β∈（（2m＋2k）π＋，（2m＋2k）π＋2π），k，m∈Z，则sin（α＋β）＜0，则＝－2，联立sin2（α＋β）＋cos2（α＋β）＝1，解得sin（α＋β）＝－.
法二　由法一得tan（α＋β）＜0，sin（α＋β）＜0，故α＋β为第四象限角.不妨在角α＋β的终边上选取一点P（1，－2），则r＝｜OP｜＝＝3，所以sin（α＋β）＝－.
法三　易得tan（α＋β）＝＝＝－2.又tan α＋tan β＝＋＝＝4，所以sin（α＋β）＝4cos αcos β.由α为第一象限角，β为第三象限角，得cos α＞0，cos β＜0，所以sin（α＋β）＝4cos αcos β＜0.由tan（α＋β）＝－2，结合sin2（α＋β）＋cos2（α＋β）＝1，得sin（α＋β）＝－.
【例4】　A　由题意知与＋＝（E在∠BAC的外角平分线上）垂直，所以点O在∠BAC的平分线上.同理，点O在∠ABC的平分线上.故点O为△ABC的内心.
【例5】　证明：法一　左边＝
＝＝
＝tan θ＝右边.
法二　左边＝
＝＝＝tan θ＝右边.
【例6】　解：（1）由已知，有f（x）＝cos x·（sin x＋cos x）－cos2x＋
＝sin x·cos x－cos2x＋
＝sin 2x－（1＋cos 2x）＋
＝sin 2x－cos 2x
＝sin，
f（x）的最小正周期T＝＝π.
（2）∵f（x）在区间上是减函数，
在区间上是增函数，
f＝－，f＝－，f＝，
∴函数f（x）在闭区间上的最大值为，最小值为－.
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章末复习与总结
　　
一、数学运算
　　数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学
问题的过程.本章中向量数量积的运算、最值，三角函数式的求值都
彰显核心素养中的数学运算.
培优一 平面向量的数量积
【例1】　（1）（2024·新高考Ⅰ卷3题）已知向量a＝（0，1），b
＝（2，x），若b⊥（b－4a），则x＝（　　）
A. －2 B. －1
解析： 法一　因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）
＝0，所以b2－4a·b＝0即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故选D.
C. 1 D. 2
法二　因为a＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－
4（0，1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因为b⊥（b－
4a），所以b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以
（x－2）2＝0，解得x＝2，故选D.
（2）已知向量a与b的夹角为120°，且｜a｜＝｜b｜＝2，则a在a
－b方向上的投影的数量为（　　）
A. 1
解析：由向量的数量积公式可得a·（a－b）＝｜a｜｜a－
b｜· cos ＜a，a－b＞，∴a在a－b方向上的投影的数量为｜a｜
cos ＜a，a－b＞＝ ＝ .又a·b
＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞＝2×2× cos 120°＝－2，｜a｜＝｜
b｜＝2，∴｜a｜ cos ＜a，a－b＞＝ ＝ ，故选B.
培优二 平面向量中的最值问题
【例2】　已知平面单位向量e1，e2满足｜2e1－e2｜≤ .设a＝e1
＋e2，b＝3e1＋e2，向量a，b的夹角为θ，则 cos 2θ的最小值
是 .
　
解析：法一　因为单位向量e1，e2满足｜2e1－e2｜≤ ，
所以｜2e1－e2｜2＝5－4e1·e2≤2，即e1·e2≥ .
因为a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，a，b的夹角为θ，
所以 cos 2 θ＝ ＝
＝ ＝ .
不妨设t＝e1·e2，则t≥ ， cos 2 θ＝ ，
又y＝ 在 上单调递增，
所以 cos 2 θ≥ ＝ ，
所以 cos 2 θ的最小值为 .
法二　由题意，不妨设e1＝（1，0），e2＝（ cos x， sin x）.
因为｜2e1－e2｜≤ ，所以 ≤ ，
得5－4 cos x≤2，即 cos x≥ .
易知a＝（1＋ cos x， sin x），b＝（3＋ cos x， sin x），
所以a·b＝（1＋ cos x）（3＋ cos x）＋ sin 2 x＝4＋4 cos x，
｜a｜2＝（1＋ cos x）2＋ sin 2 x＝2＋2 cos x，｜b｜2＝（3＋ cos x）
2＋ sin 2 x＝10＋6 cos x，
所以 cos 2θ＝ ＝ ＝ .
不妨设m＝ cos x，则m≥ ， cos 2 θ＝ ，
又y＝ 在 上单调递增，
所以 cos 2 θ≥ ＝ ，
所以 cos 2 θ的最小值为 .
培优三 三角函数式的求值
【例3】　（1）（2024·全国甲卷理8题）已知 ＝ ，则tan
（α＋ ）＝（　B　）
B
解析： 根据题意有 ＝ ，即1－tan α＝ ，所以
tan α＝1－ ，所以tan（α＋ ）＝ ＝ ＝2 －1，
故选B.
（2）（2024·新高考Ⅰ卷4题）已知 cos （α＋β）＝m，tan αtan β
＝2，则 cos （α－β）＝（　A　）
A. －3m
D. 3m
A
解析： 因为 cos （α＋β）＝m，所以 cos α cos β－ sin
α sin β＝m，而tan αtan β＝2，即 ＝2，所以 sin α
sin β＝2 cos α cos β，故 cos α cos β－2 cos α cos β＝m，
即 cos α cos β＝－m，从而 cos （α－β）＝ cos α cos β＋
sin α sin β＝3 cos α cos β＝－3m.故选A.
（3）（2024·新高考Ⅱ卷13题）已知α为第一象限角，β为第三象限
角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝ ＋1，则 sin （α＋
β）＝ .
－ 　
解析： 法一　由题意得tan（α＋β）＝ ＝ ＝－2 ，因为α∈（2kπ，2kπ＋ ），β∈（2mπ＋π，2mπ＋ ），k，m∈Z，则α＋β∈（（2m＋2k）π＋π，（2m＋2k）π＋2π），k，m∈Z，又因为tan（α＋β）＝－2 ＜0，则α＋β∈（（2m＋2k）π＋ ，（2m＋2k）π
＋2π），k，m∈Z，则 sin （α＋β）＜0，则 ＝－2 ，联立 sin 2（α＋β）＋ cos 2（α＋β）＝1，解得 sin （α＋β）＝－ .
法二　由法一得tan（α＋β）＜0， sin （α＋β）＜0，故α＋β为
第四象限角.不妨在角α＋β的终边上选取一点P（1，－2 ），则
r＝｜OP｜＝ ＝3，所以 sin （α＋β）＝－ .
法三　易得tan（α＋β）＝ ＝ ＝－2 .又tan α＋
tan β＝ ＋ ＝ ＝4，所以 sin （α＋β）＝4
cos α cos β.由α为第一象限角，β为第三象限角，得 cos α＞0，
cos β＜0，所以 sin （α＋β）＝4 cos α cos β＜0.由tan（α＋β）
＝－2 ，结合 sin 2（α＋β）＋ cos 2（α＋β）＝1，得 sin （α＋
β）＝－ .
二、逻辑推理
　　在逻辑推理核心素养的形成过程中，学生能够发现问题和提出问
题；能掌握推理的基本形式，表述论证的过程；能理解数学知识之间
的联系，构建知识框架；形成论据充分、条理清楚、合乎逻辑的思维
品质，在本章中向量数量积的应用、三角函数式的化简与证明、三角
恒等变换与三角函数的综合应用都是提升学生的逻辑推理能力.
培优四 向量数量积的应用
【例4】　若三个不共线的向量 ， ， ，满足 · ＝ · ＝ · ＝
0，则点O为△ABC的（　　）
A. 内心 B. 外心
C. 重心 D. 垂心
解析： 　由题意知 与 ＋ ＝ （E在∠BAC的外角
平分线上）垂直，所以点O在∠BAC的平分线上.同理，点O在
∠ABC的平分线上.故点O为△ABC的内心.
培优五 三角函数式的化简与证明
【例5】　证明： ＝tan θ.
证明：法一　左边＝
＝
＝
＝tan θ＝右边.
法二　左边＝
＝
＝
＝tan θ＝右边.
培优六 三角恒等变换与三角函数的综合问题
【例6】　已知函数f（x）＝ cos x· sin － cos 2x＋ ，
x∈R.
（1）求f（x）的最小正周期；
解： 由已知，有f（x）＝ cos x·（ sin x＋ cos x）－
cos 2x＋
＝ sin x· cos x－ cos 2x＋
＝ sin 2x－ （1＋ cos 2x）＋
＝ sin 2x－ cos 2x
＝ sin ，
f（x）的最小正周期T＝ ＝π.
（2）求f（x）在 上的最小值和最大值.
解： ∵f（x）在区间 上是减函数，
在区间 上是增函数，
f ＝－ ，f ＝－ ，f ＝ ，
∴函数f（x）在闭区间 上的最大值为 ，最小值为－
.
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