资源简介

章末检测（八）　向量的数量积与三角恒等变换
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知向量a＝（－1，3），b＝（1，k），若a⊥b，则实数k的值是（　　）
A.3　　 　 B.－3　　　
C.　　　 D.－
2.＝（　　）
A.2 B.
C. D.
3.已知sin＝，则cos＝（　　）
A. B.
C. D.
4.已知｜a｜＝｜b｜＝3，e是与b方向相同的单位向量，向量a在向量b上的投影向量为e，则向量a与b的夹角为（　　）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
5.已知sin 2α＝，tan（α－β）＝，则tan（α＋β）＝（　　）
A.－1 B.－2
C.－ D.
6.已知向量a＝（1，），b＝（3，m）.若向量b在a方向上的投影的数量为3，则实数m＝（　　）
A.2 B.
C.0 D. －
7.已知sin（α＋2β）＝，cos β＝，α，β为锐角，则sin（α＋β）的值为（　　）
A. B.
C. D.
8.已知向量a＝（cos θ，sin θ），b＝（1，），其中θ∈[0，π]，则a·b的取值范围是（　　）
A.[－1，2] B.[－1，1]
C.[－2，2] D.[－，2]
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知0＜θ＜，若sin 2θ＝m，cos 2θ＝n且m≠n，则下列选项中与tan恒相等的有（　　）
A. B.
C. D.
10.已知sin α＝－，180°＜α＜270°，则下列选项正确的是（　　）
A.sin 2α＝－ B.sin ＝
C.cos ＝－ D.tan ＝－2
11.设函数f（x）＝sin＋cos（ 2x＋），则f（x）（　　）
A.是偶函数
B.在单调递减
C.最大值为2
D.其图象关于直线x＝对称
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.已知2sin α＋cos β＝，2cos α＋sin β＝－，则sin（α＋β）＝　　　　.
13.已知向量a＝（2，4），b＝（－2，2），若c＝a＋（a·b）b，则｜c｜＝　　　　，cos＜a，b＞＝　　　　.
14.随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横、竖各分三部分，以比例1∶0.618∶1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点.若照片长、宽比例为7∶3，设∠CAB＝α，则－tan α＝　　　　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知｜a｜＝4，｜b｜＝8，a与b的夹角是120°.
（1）求a·b及｜a＋b｜的值；
（2）当k为何值时，（a＋2b）⊥（ka－b）？
16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝2sin xcos x＋2cos2x－1，x∈R.
（1）求f（x）的最大值；
（2）若点P（－3，4）在角α的终边上，求f（α＋）的值.
17.（本小题满分15分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知A（2，3），B（1，4），C（3，3）.
（1）求向量与夹角的余弦值；
（2）若点D满足∥，⊥，求点D的坐标及向量在向量上的投影向量的坐标.
18.（本小题满分17分）在①tan α＝4，②7sin 2α＝8cos α，③tan ＝中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题.已知0＜β＜α＜，　　　　，cos（α－β）＝.
（1）求sin的值；
（2）求β.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
19.（本小题满分17分）已知斜三角形ABC.
（1）证明：tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan Btan C；
（2）利用（1）中结论，求值：
①tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°，
②；
（3）若C＝135°，求tan A＋tan B的最小值.
章末检测（八）　向量的数量积与三角恒等变换
1.C　2.D　3.A　4.B　5.B　6.B　7.D　8.A　
9.AD　∵sin 2θ＝m，cos 2θ＝n，∴m2＋n2＝1，∴＝，∴tan（－θ）＝＝＝＝＝＝.
10.BCD　∵180°＜α＜270°，∴cos α＝－，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，故A错误.∵90°＜＜135°，∴sin ＝ ＝ ＝；cos ＝－ ＝ ＝－；tan ＝＝－2，故B、C、D均正确.
11.ABD　f（x）＝sin＋cos＝sin（ 2x＋＋）＝cos 2x.选项A，f（－x）＝cos（－2x）＝cos 2x＝f（x），它是偶函数，A正确；选项B，x∈，所以2x∈（0，π），因此f（x）在上单调递减，B正确；选项C，f（x）＝cos 2x的最大值为，C不正确；选项D，当x＝时，f（x）＝cos＝－，因此当x＝时，函数有最小值，因此函数图象关于x＝对称，D正确.故选A、B、D.
12.－　解析：由2sin α＋cos β＝两边平方可得4sin2α＋4sin αcos β＋cos2β＝　①，由2cos α＋sin β＝－两边平方可得4cos2α＋4cos αsin β＋sin2β＝　②，①＋②，可得5＋4sin αcos β＋4cos αsin β＝3，即4sin（α＋β）＝－2，即sin（α＋β）＝－.
13.6　　解析：由题知a·b＝2×（－2）＋4×2＝4，所以c＝a＋4b＝（－6，12），｜c｜＝＝6.cos＜a，b＞＝＝＝.
14.　解析：依题意＝，所以tan α＝，所以－tan α＝－tan α＝－tan α＝＝＝＝.
15.解：（1）a·b＝｜a｜｜b｜cos 120°＝－16，｜a＋b｜＝＝＝4.
（2）由题意，知（a＋2b）·（ka－b）＝ka2＋（2k－1）a·b－2b2＝0，即16k－16（2k－1）－2×64＝0，解得k＝－7.
16.解：（1）f（x）＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
因为x∈R，所以f（x）的最大值为.
（2）由（1）得f＝sin
＝sin＝cos 2α.
由P（－3，4）在角α的终边上，得cos α＝－.
所以f＝2cos2α－＝－.
17.解：（1）因为A（2，3），B（1，4），C（3，3），
所以＝（2，3），＝（3，3）－（1，4）＝（2，－1），
所以cos＜，＞＝＝＝，
故向量与夹角的余弦值为.
（2）依题意可得＝（1，4），＝（3，3），
由∥，不妨设＝λ＝（λ，4λ）（λ≠0），
所以＝＋＝（2，3）＋（λ，4λ）＝（λ＋2，4λ＋3），
因为⊥，
所以·＝3（λ＋2）＋3（4λ＋3）＝0，解得λ＝－1，
所以＝（1，－1），即D（1，－1），
所以·＝1×1＋4×（－1）＝－3，｜｜＝＝，
所以向量在向量上的投影向量为·＝·（1，4）＝（－，－），
故向量在向量上的投影向量的坐标为（－，－）.
18.解：选条件①：因为tan α＝4，所以＝4.
由平方关系sin2α＋cos2α＝1，
解得或
因为α∈，所以
（1）sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝（sin α＋cos α）＝＝.
（2）因为cos（α－β）＝，所以由sin2（α－β）＋cos2（α－β）＝1，解得sin2（α－β）＝.因为0＜β＜α＜，所以0＜α－β＜，
所以sin（α－β）＝，
所以cos β＝cos[α－（α－β）]＝cos αcos（α－β）＋sin（α－β）sin α＝×＋×＝，
由0＜β＜，所以β＝.
选条件②：因为7sin 2α＝8cos α，所以14sin αcos α＝8cos α，
因为α∈，所以cos α≠0，所以sin α＝.
由平方关系sin2α＋cos2α＝1，解得cos2α＝.
因为α∈，所以cos α＝.
以下同①的解法.
选条件③：因为tan ＝，所以cos α＝cos2－sin2＝＝＝.
由平方关系sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝.
因为α∈，所以sin α＝.
以下同①的解法.
19.解：（1）证明：∵C＝π－（A＋B），∴tan C＝tan[π－（A＋B）]＝－tan（A＋B），
∴tan C＝－，
∴tan C（1－tan Atan B）＝－（tan A＋tan B），
∴tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.
（2）①tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°
＝tan 20°＋tan 40°＋tan 120°＋tan 20°tan 40°＋
＝tan 20°tan 40°tan 120°＋tan 20°tan 40°＋
＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＋＝.
②＝
＝tan 120°＝－.
（3）∵C＝135°，则0°＜A＜45°，0°＜B＜45°，且A＋B＝45°，
∴tan A＞0，tan B＞0，
∴tan A＋tan B＝－tan 135°＋tan Atan Btan 135°
＝1－tan Atan B≥1－，
∴（tan A＋tan B）2＋4（tan A＋tan B）－4≥0，
解得tan A＋tan B≥2－2或tan A＋tan B≤－2－2（舍去），
∴tan A＋tan B≥2－2，当且仅当tan A＝tan B＝－1时取等号，
∴tan A＋tan B的最小值为2－2.
3 / 3(共37张PPT)
章末检测（八）　
向量的数量积与三角恒等变换
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知向量a＝（－1，3），b＝（1，k），若a⊥b，则实数k的值
是（　　）
A. 3 B. －3
解析： 　∵a⊥b，∴a·b＝－1×1＋3k＝0，∴k＝ .
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2. ＝（　　）
A. 2
解析： 　 ＝ ＝ ＝ ，故选D.
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3. 已知 sin ＝ ，则 cos ＝（　　）
解析： 　∵ sin ＝ ，∴ cos ＝ cos
＝1－2 sin 2 ＝1－2× ＝ .故选A.
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4. 已知｜a｜＝｜b｜＝3，e是与b方向相同的单位向量，向量a在
向量b上的投影向量为 e，则向量a与b的夹角为（　　）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析： 　根据题意，设a与b的夹角为θ.已知向量a在向量b上
的投影向量为（｜a｜ cos θ）e＝ e，｜a｜＝3，则有 cos θ＝
.又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°，故选B.
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5. 已知 sin 2α＝ ，tan（α－β）＝ ，则tan（α＋
β）＝（　　）
A. －1 B. －2
解析： 　由 sin 2α＝ ，且 ＜2α＜π，可得 cos 2α＝－ ，所
以tan 2α＝－ ，所以tan（α＋β）＝tan[2α－（α－β）]＝
＝ ＝－2.
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6. 已知向量a＝（1， ），b＝（3，m）.若向量b在a方向上的投
影的数量为3，则实数m＝（　　）
C. 0
解析： 　因为向量b在a方向上的投影的数量为 ，所以
＝ ＝ ＝3，解得m＝ .
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7. 已知 sin （α＋2β）＝ ， cos β＝ ，α，β为锐角，则 sin （α
＋β）的值为（　　）
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解析： 　因为 sin （α＋2β）＝ ， cos β＝ ，α，β为锐
角，又 cos （2β）＝2 cos 2β－1＝－ ＜0，所以α＋2β大于
90°.由同角三角函数关系，可得 cos （α＋2β）＝－ ， sin β
＝ ，所以 sin （α＋β）＝ sin [（α＋2β）－β]＝ sin （α
＋2β） cos β－ cos （α＋2β） sin β＝ × － × ＝
，故选D.
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8. 已知向量a＝（ cos θ， sin θ），b＝（1， ），其中θ∈[0，
π]，则a·b的取值范围是（　　）
A. [－1，2] B. [－1，1]
C. [－2，2]
解析： 　a·b＝ cos θ＋ sin θ＝2 sin ，∵θ∈[0，
π]，∴θ＋ ∈ ，∴ sin ∈ ，
∴a·b∈[－1，2].故选A.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知0＜θ＜ ，若 sin 2θ＝m， cos 2θ＝n且m≠n，则下列选
项中与tan 恒相等的有（　　）
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解析： 　∵ sin 2θ＝m， cos 2θ＝n，∴m2＋n2＝1，∴
＝ ，∴tan ＝ ＝ ＝
＝ ＝ ＝ .
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10. 已知 sin α＝－ ，180°＜α＜270°，则下列选项正确的是
（　　）
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解析： 　∵180°＜α＜270°，∴ cos α＝－ ，∴ sin 2α
＝2 sin α cos α＝2× × ＝ ，故A错误.∵90°＜
＜135°，∴ sin ＝ ＝ ＝ ； cos ＝－
＝ ＝－ ；tan ＝ ＝－2，故B、C、D均正确.
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11. 设函数f（x）＝ sin ＋ cos ，则f（x）（　　）
A. 是偶函数
C. 最大值为2
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解析： 　f（x）＝ sin ＋ cos （2x＋ ）＝ sin
＝ cos 2x.选项A，f（－x）＝ cos （－2x）
＝ cos 2x＝f（x），它是偶函数，A正确；选项B，x∈
，所以2x∈（0，π），因此f（x）在 上单调递减，B
正确；选项C，f（x）＝ cos 2x的最大值为 ，C不正确；选
项D，当x＝ 时，f（x）＝ cos ＝－ ，因此当x＝
时，函数有最小值，因此函数图象关于x＝ 对称，D正确.
故选A、B、D.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 已知2 sin α＋ cos β＝ ，2 cos α＋ sin β＝－ ，则 sin （α＋
β）＝ .
－ 　
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解析：由2 sin α＋ cos β＝ 两边平方可得4 sin 2α＋4 sin α cos
β＋ cos 2β＝ 　①，由2 cos α＋ sin β＝－ 两边平方可得4
cos 2α＋4 cos α sin β＋ sin 2β＝ 　②，①＋②，可得5＋4 sin
α cos β＋4 cos α sin β＝3，即4 sin （α＋β）＝－2，即 sin
（α＋β）＝－ .
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13. 已知向量a＝（2，4），b＝（－2，2），若c＝a＋（a·b）
b，则｜c｜＝ 　6 　， cos ＜a，b＞＝ 　 　.
解析：由题知a·b＝2×（－2）＋4×2＝4，所以c＝a＋4b＝
（－6，12），｜c｜＝ ＝6 . cos ＜a，b＞＝
＝ ＝ .
6 　
　
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14. 随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到
美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照
片感觉更自然，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是
指把画面横、竖各分三部分，以比例1∶0.618∶1为分隔，4个交
叉点即为黄金分割点.如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割
点.若照片长、宽比例为7∶3，设∠CAB＝α，则 －tan α
＝ .
　
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解析：依题意 ＝ ，所以tan α＝ ，所以 －tan α＝
－tan α＝ －tan α＝ ＝
＝ ＝ .
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知｜a｜＝4，｜b｜＝8，a与b的夹角是
120°.
（1）求a·b及｜a＋b｜的值；
解： a·b＝｜a｜｜b｜ cos 120°＝－16，｜a＋
b｜＝ ＝ ＝4 .
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（2）当k为何值时，（a＋2b）⊥（ka－b）？
解： 由题意，知（a＋2b）·（ka－b）＝ka2＋（2k
－1）a·b－2b2＝0，即16k－16（2k－1）－2×64＝0，
解得k＝－7.
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16. （本小题满分15分）已知函数f（x）＝2 sin x cos x＋2 cos 2x－
1，x∈R.
（1）求f（x）的最大值；
解： f（x）＝ sin 2x＋ cos 2x＝ sin .
因为x∈R，所以f（x）的最大值为 .
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（2）若点P（－3，4）在角α的终边上，求f（α＋ ）的值.
解： 由（1）得f ＝ sin
＝ sin ＝ cos 2α.
由P（－3，4）在角α的终边上，得 cos α＝－ .
所以f ＝2 cos 2α－ ＝－ .
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17. （本小题满分15分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已
知A（2，3），B（1，4），C（3，3）.
（1）求向量 与 夹角的余弦值；
解： 因为A（2，3），B（1，4），C（3，3），
所以 ＝（2，3）， ＝（3，3）－（1，4）＝（2，－1），
所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，
故向量 与 夹角的余弦值为 .
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（2）若点D满足 ∥ ， ⊥ ，求点D的坐标及向量
在向量 上的投影向量的坐标.
解： 依题意可得 ＝（1，4）， ＝（3，3），
由 ∥ ，不妨设 ＝λ ＝（λ，4λ）
（λ≠0），
所以 ＝ ＋ ＝（2，3）＋（λ，4λ）＝（λ＋2，
4λ＋3），
因为 ⊥ ，
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所以 · ＝3（λ＋2）＋3（4λ＋3）＝0，解得λ＝
－1，
所以 ＝（1，－1），即D（1，－1），
所以 · ＝1×1＋4×（－1）＝－3，｜ ｜＝
＝ ，
所以向量 在向量 上的投影向量为 · ＝
·（1，4）＝（－ ，－ ），
故向量 在向量 上的投影向量的坐标为（－ ，－ ）.
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18. （本小题满分17分）在①tan α＝4 ，②7 sin 2α＝8 cos
α，③tan ＝ 中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问
题.已知0＜β＜α＜ ， 　　， cos （α－β）＝ .
（1）求 sin 的值；
（1） sin ＝ sin α cos ＋ cos α sin ＝ （ sin α
＋ cos α）＝ ＝ .
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（1） sin ＝ sin α cos ＋ cos α sin ＝ （ sin α
＋ cos α）＝ ＝ .
解：选条件①：因为tan α＝4 ，所以 ＝4 .
由平方关系 sin 2α＋ cos 2α＝1，
解得或因为α∈ ，
所以
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（2）求β.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解：因为 cos （α－β）＝ ，所以由 sin 2（α－β）＋
cos 2（α－β）＝1，解得 sin 2（α－β）＝ .
因为0＜β＜α＜ ，所以0＜α－β＜ ，
所以 sin （α－β）＝ ，
所以 cos β＝ cos [α－（α－β）]＝ cos α cos （α－
β）＋ sin （α－β） sin α＝ × ＋ × ＝ ，
由0＜β＜ ，所以β＝ .
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选条件②：因为7 sin 2α＝8 cos α，
所以14 sin α cos α＝8 cos α，
因为α∈ ，所以 cos α≠0，
所以 sin α＝ .
由平方关系 sin 2α＋ cos 2α＝1，解得 cos 2α＝ .
因为α∈ ，所以 cos α＝ .
以下同①的解法.
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选条件③：因为tan ＝ ，
所以 cos α＝ cos 2 － sin 2 ＝ ＝ ＝ .
由平方关系 sin 2α＋ cos 2α＝1，得 sin 2α＝ .
因为α∈ ，所以 sin α＝ .
以下同①的解法.
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19. （本小题满分17分）已知斜三角形ABC.
（1）证明：tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan B·tan C；
解： 证明：∵C＝π－（A＋B），∴tan C＝tan[π－
（A＋B）]＝－tan（A＋B），
∴tan C＝－ ，
∴tan C（1－tan Atan B）＝－（tan A＋tan B），
∴tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.
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② ；
解： ①tan 20°＋tan 40°＋ tan 20°tan 40°
＝tan 20°＋tan 40°＋tan 120°＋ tan 20°tan 40°＋
＝tan 20°tan 40°tan 120°＋ tan 20°tan 40°＋
＝－ tan 20°tan 40°＋ tan 20°tan 40°＋ ＝ .
② ＝ ＝tan
120°＝－ .
（2）利用（1）中结论，求值：
①tan 20°＋tan 40°＋ tan 20°tan 40°，
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（3）若C＝135°，求tan A＋tan B的最小值.
解： ∵C＝135°，则0°＜A＜45°，0°＜B＜
45°，且A＋B＝45°，∴tan A＞0，tan B＞0，
∴tan A＋tan B＝－tan 135°＋tan Atan Btan 135°＝1－tan
Atan B≥1－ ，∴（tan A＋tan B）2＋4（tan A＋tan B）－4≥0，
解得tan A＋tan B≥2 －2或tan A＋tan B≤－2 －2（舍去），
∴tan A＋tan B≥2 －2，当且仅当tan A＝tan B＝ －1时
取等号，∴tan A＋tan B的最小值为2 －2.
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