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中考数学一轮复习 概率
一．选择题（共10小题）
1．（2025 绵阳）如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为　　
A． B． C． D．
2．（2025 保定二模）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立春”，2张“立秋”，1张“冬至”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“立秋”的可能性为　　
A． B． C． D．
3．（2025 江岸区模拟）《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》都是中国古代数学著作，是中国古代数学文化的瑰宝．小华要从这四部著作中随机抽取两本学习，则抽取的两本恰好是《周髀算经》和《九章算术》的概率是　　
A． B． C． D．
4．（2025 内江）如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，灯泡能发光的概率为　　
A． B． C． D．
5．（2025 东海县二模）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是　　
A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2
D．从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花
6．（2025 瓯海区模拟）自《学校食品安全与营养健康管理规定》发布后，多地提出“校长陪餐制”，即校长陪学生吃午餐．如图是某校一张餐桌的示意图，学生甲先坐在座位，校长和学生乙在，，三个座位中随机选择两个座位．则校长和学生乙坐在正对面的概率　　
A． B． C． D．
7．（2025 湖南一模）象棋是起源于中国的一种棋戏，现今通行的象棋，相传为唐代牛僧孺所制，刻圆木或牙、骨为棋子三十二枚，红黑各半，黑方以将统士、象、车、马、炮各二，卒五，若从一套完整的象棋棋子中随机摸一枚棋子，则该棋子为黑马的概率为　　
A． B． C． D．
8．（2025 宣城一模）如图，一只松鼠先经过第一道门，或，再经过第二道门或出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过门，再经过门”的概率是　　
A． B． C． D．
9．（2025 咸宁模拟）下列诗句所描述的事件中，属于必然事件的是　　
A．黄河入海流 B．手可摘星辰 C．锄禾日当午 D．大漠孤烟直
10．（2025 肇庆一模）下列事件是必然事件的是　　
A．没有水分，种子发芽
B．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
C．打开电视，正播广告
D．如果、都是实数，那么
二．填空题（共10小题）
11．（2025 武城县模拟）如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点．假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是 　　．
12．（2025 浙江模拟）如图，电路图上有4个开关、、、和1个小灯泡，同时闭合开关、或同时闭合开关、都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为 　　．
13．（2025 肇庆一模）在一个不透明的盒子里装有2个红球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸出红球的概率是0.2，则值为　　．
14．（2025 黄石港区一模）湖北旅游资源丰富，黄鹤楼历史悠久、神农架神秘宜人、长江三峡奇崛壮美、恩施大峡谷鬼斧神工，小宜打算五一期间从这四个景点中随机选择两个去旅游，则他刚好选到“长江三峡”和“恩施大峡谷”的概率是 　　．
15．（2025 呼和浩特）如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为 　　．
16．（2025 西吉县一模）一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，则红色幸运星颗数约为 　　颗．
17．（2025 沙坪坝区模拟）寒假期间，小明、小红二人在《满江红》《流浪地球2》《中国乒乓》《》四部影片中各自随机选择了一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二人恰好选择同一部影片观看的概率为 　　．
18．（2025 苏州）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 　　．
19．（2025 宁明县一模）从的数字卡片中，任意抽一张，抽到奇数的可能性是 　　．
20．（2025 盐城二模）“盐城马拉松”的赛事共有三项，“马拉松”、“半程马拉松”和“迷你健身跑”．乐乐参加了志愿者服务工作，为估算“半程马拉松”的人数，对部分参赛选手作了调查：
调查人数 20 50 100 200 500 2000
参加人数 7 20 39 83 209 822
频率 0.350 0.400 0.390 0.415 0.418 0.411
请估算本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为 　　．（精确到
三．解答题（共5小题）
21．（2025 海陵区校级三模）第十四届中国泰州水城水乡国际旅游节的主题是“有一种幸福叫泰州”，泰州美食集市汇集了：泰州早茶、祁巷八大碗、蟹黄汤包、刁铺羊肉等众多美食．某游客决定用抽签方式确定去何处饱口福．他让小祥制作了四张特产卡片，卡片除正面内容不同之外，其他均相同．
（1）若游客从中随机抽取一张，则抽到“祁巷八大碗”的概率为 　　；
（2）若游客从中随机抽取一张（不放回），然后再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求游客抽取的两张卡片中有“泰州早茶”的概率．
22．（2025 灞桥区校级二模）在某次数学活动中，有两个如图所示的转盘、，转盘被分成四个相同的扇形，分别标有数字1、2、3、4，转盘被分成三个相同的扇形，分别标有数字5、6、7，指针固定不变，转动转盘（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止）．
（1）若单独自由转动盘，当它停止时，指针指向奇数区的概率是 　　；
（2）小滨自由转动盘，小河自由转动盘，当两个转盘停止后，记下各个转盘指针所指区域内对应的数字，请用画树状图或列表法求所得两数之和为3的倍数的概率．
23．（2025 日照）为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，今年5月学校举行健美操比赛，最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛．团体决赛需要分别进行五个单项比赛，计分规则如下表：
单项比赛计分规则 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分
团体决赛计分规则 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，名次按团体最终成绩由高到低排序
现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下：
．甲、乙两班五个单项得分折线图：
．丙班五个单项得分表：
项目 一 三 三 四 五
得分 78 94 90 92
根据以上信息，回答下列问题：
（1）已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为80，84，86，83，82，求丙班第二个单项的得分；
（2）若团体最终成绩相同，则整体发挥稳定性最好的班级排名靠前，那么获得团体比赛冠军的是　　班；（填“甲”“乙”或“丙”
（3）获得团体决赛前两名的班级可得到一套图书奖励，现有，，三种图书可供选择．请用列表或画树状图的方法，求两个班级都选择同一套图书的概率．
24．（2025 莲湖区校级一模）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成，，，四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
（1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 　　；
（2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率．
25．（2025 龙岗区三模）2024年4月23日，深圳发布今年首个暴雨红色预警信号．深圳市气象台专家介绍，暴雨红色预警是降水的最高级别预警，指3小时内降雨量将达到100毫米以上，或者已达100毫米以上且降雨可能持续．某校在学生中作了一次对“暴雨红色预警信号”知晓程度的抽样调查，调查结果分为四类：．非常了解；．比较了解；．基本了解；．不了解．根据调查统计结果，绘制了两幅不完整的统计图．根据信息图回答下列问题：
（1）本次调查的人数为 　　．
（2）将条形统计图补充完整．
（3）2024年4月低，深圳发生多轮大暴雨，造成较重洪涝灾害．为了做好防汛救灾工作，某社区特招募志愿工作者，小智和小明积极报名参加，根据社区安排，志愿者被随机分到组（信息登记），组（物资发放），组（垃圾清运）的其中一组，请用列表或画树状图的方法，求出小智和小明被分配到同一组的概率．
中考数学一轮复习 概率
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 绵阳）如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】列表法与树状图法；概率公式
【专题】概率及其应用；应用意识
【分析】由题意可得出所有等可能的结果数以及能让灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将这些开关随机闭合至少两个，所有等可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共11种，
其中能让灯泡发光的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共9种，
将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为．
故选：．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．（2025 保定二模）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立春”，2张“立秋”，1张“冬至”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“立秋”的可能性为　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】可能性的大小
【专题】概率及其应用；推理能力
【分析】根据在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“立秋”，进行计算即可得出答案．
【解答】解：在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“立秋”，
从中随机摸出一张卡片，恰好是“立秋”的可能性为，
故选：．
【点评】本题考查了根据概率公式求概率，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题关键．
3．（2025 江岸区模拟）《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》都是中国古代数学著作，是中国古代数学文化的瑰宝．小华要从这四部著作中随机抽取两本学习，则抽取的两本恰好是《周髀算经》和《九章算术》的概率是　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】列表法与树状图法
【专题】概率及其应用；数据分析观念
【分析】本题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解．
【解答】解：将四部名著《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》分别记为，，，，
用列表法列举出从4部名著中选择2部所能产生的全部结果：
由表中可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，
所有可能的结果中，满足事件的结果有2种，即，，
所以恰好选中《周髀算经》和《九章算术》的概率是，
故选：．
【点评】本题考查了用列表法或树状图法求概率，解答本题的关键是掌握概率的求法．
4．（2025 内江）如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，灯泡能发光的概率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】概率公式；列表法与树状图法
【专题】概率及其应用；数据分析观念
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中灯泡能发光的有4种结果，再由概率公式求解即可．
【解答】解：设、、中分别用1、2、3表示，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中灯泡能发光的有4种结果，
灯泡能发光的概率为：，
故选：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
5．（2025 东海县二模）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是　　
A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2
D．从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花
【答案】
【考点】利用频率估计概率；频数（率分布折线图
【专题】运算能力；概率及其应用
【分析】分别计算出每个事件的概率，其值在0.16—0.19的即符合题意．
【解答】解：、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意；
、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意；
、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意；
、从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花的概率为，不符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查概率的计算和频率估计概率思想，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
6．（2025 瓯海区模拟）自《学校食品安全与营养健康管理规定》发布后，多地提出“校长陪餐制”，即校长陪学生吃午餐．如图是某校一张餐桌的示意图，学生甲先坐在座位，校长和学生乙在，，三个座位中随机选择两个座位．则校长和学生乙坐在正对面的概率　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】列表法与树状图法
【专题】运算能力；概率及其应用
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及校长和学生乙坐在正对面的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中校长和学生乙坐在正对面的结果有：，，共2种，
校长和学生乙坐在正对面的概率为．
故选：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
7．（2025 湖南一模）象棋是起源于中国的一种棋戏，现今通行的象棋，相传为唐代牛僧孺所制，刻圆木或牙、骨为棋子三十二枚，红黑各半，黑方以将统士、象、车、马、炮各二，卒五，若从一套完整的象棋棋子中随机摸一枚棋子，则该棋子为黑马的概率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】概率公式
【专题】概率及其应用；运算能力
【分析】让“黑马”的总个数2除以棋子的总个数32即为所求的概率．
【解答】解：一幅中国象棋由红黑两色棋子共32个棋子组成，其中有2个“黑马”；
故从中随机摸出一枚棋子能摸到“黑马”的概率是．
故选：．
【点评】本题考查随机事件概率的求法，熟练掌握概率的运算法则是解题的关键．
8．（2025 宣城一模）如图，一只松鼠先经过第一道门，或，再经过第二道门或出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过门，再经过门”的概率是　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】列表法与树状图法
【专题】数据分析观念；概率及其应用
【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到松鼠走出笼子的路线是“先经过门，再经过门”的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中松鼠走出笼子的路线是“先经过门，再经过门”的只有1种结果，
所以松鼠走出笼子的路线是“先经过门，再经过门”的概率为，
故选：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
9．（2025 咸宁模拟）下列诗句所描述的事件中，属于必然事件的是　　
A．黄河入海流 B．手可摘星辰 C．锄禾日当午 D．大漠孤烟直
【答案】
【考点】随机事件
【专题】概率及其应用；应用意识
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：．黄河入海流，这是必然事件；
．手可摘星辰，这是不可能事件；
．锄禾日当午，这是随机事件；
．大漠孤烟直，这是随机事件．
故选：．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
10．（2025 肇庆一模）下列事件是必然事件的是　　
A．没有水分，种子发芽
B．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
C．打开电视，正播广告
D．如果、都是实数，那么
【答案】
【考点】随机事件
【专题】概率及其应用；应用意识
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：、没有水分，种子发芽，是不可能事件，故不符合题意；
、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，故不符合题意；
、打开电视，正播广告，是随机事件，故不符合题意；
、如果、都是实数，那么，是必然事件，故符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2025 武城县模拟）如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点．假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是 　　．
【考点】几何概率
【专题】概率及其应用；运算能力
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：共有16小正方形，其中阴影部分为4个小正方形，
任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
12．（2025 浙江模拟）如图，电路图上有4个开关、、、和1个小灯泡，同时闭合开关、或同时闭合开关、都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为 　　．
【答案】．
【考点】列表法与树状图法
【专题】运算能力；概率及其应用
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及能使小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中能使小灯泡发光的结果有：，，，，共4种，
随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
13．（2025 肇庆一模）在一个不透明的盒子里装有2个红球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸出红球的概率是0.2，则值为　8　．
【答案】8．
【考点】概率公式
【专题】概率及其应用；数据分析观念
【分析】根据红球的概率结合概率公式列出关于的方程，求出的值即可．
【解答】解：由题意知，
解得．
经检验，是原方程的解．
故答案为：8．
【点评】本题考查概率的求法与运用，根据概率公式求解即可：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
14．（2025 黄石港区一模）湖北旅游资源丰富，黄鹤楼历史悠久、神农架神秘宜人、长江三峡奇崛壮美、恩施大峡谷鬼斧神工，小宜打算五一期间从这四个景点中随机选择两个去旅游，则他刚好选到“长江三峡”和“恩施大峡谷”的概率是 　　．
【答案】．
【考点】列表法与树状图法
【专题】概率及其应用；应用意识
【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【解答】解：令四个景点：黄鹤楼、神农架、长江三峡、恩施大峡谷，分别为、、、，
列表得：
由表格可得：共有12种等可能出现的结果，其中刚好选到“长江三峡”和“恩施大峡谷”的情况有2种，
他刚好选到“长江三峡”和“恩施大峡谷”的概率是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
15．（2025 呼和浩特）如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为 　　．
【考点】列表法与树状图法
【专题】概率及其应用；数据分析观念
【分析】将“唐僧”记为“”，将“孙悟空”记为“”，将“猪八戒”记为“”，将“沙悟净”记为“”，根据题意列出树状图，用两次取到相同图案的卡片结果除以等可能结果的总数即可解答．
【解答】解：将“唐僧”记为“”，将“孙悟空”记为“”，将“猪八戒”记为“”，将“沙悟净”记为“”，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，两次取到相同图案的卡片结果有、、、种，
所以两次取到相同图案的卡片的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查的是列表法与树状图法求概率，解决本题的关键是正确列出树状图．
16．（2025 西吉县一模）一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，则红色幸运星颗数约为 　35　颗．
【答案】35．
【考点】利用频率估计概率
【专题】概率及其应用；运算能力
【分析】设袋中红色幸运星有颗，根据“摸取到红色幸运星的概率稳定在0.5左右”列出关于的方程，解之可得袋中红色幸运星的个数．
【解答】解：设袋中红色幸运星有颗，
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
故答案为：35．
【点评】本题主要考查了已知概率求相关数量，正确列出方程是解题的关键．
17．（2025 沙坪坝区模拟）寒假期间，小明、小红二人在《满江红》《流浪地球2》《中国乒乓》《》四部影片中各自随机选择了一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二人恰好选择同一部影片观看的概率为 　　．
【答案】．
【考点】列表法与树状图法
【专题】概率及其应用；推理能力
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明、小红二人恰好选择同一部影片观看的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把《满江红》《流浪地球2》《中国乒乓》《》四部影片分别记为、、、，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明、小红二人恰好选择同一部影片观看的结果有4种，
小明、小红二人恰好选择同一部影片观看的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
18．（2025 苏州）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 　　．
【答案】．
【考点】多边形的对角线；几何概率；三角形的面积
【专题】计算题；概率及其应用；运算能力
【分析】根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分的面积为3个面积相等的三角形，根据概率公式可知，指针落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积除以正八边形的面积，计算即可．
【解答】解：根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，
其中阴影部分的面积为3个面积相等的三角形，
指针落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积除以正八边形的面积，即，
故答案为：．
【点评】本题考查的是几何概率，三角形的面积和多边形的对角线，熟练掌握概率的计算是解题的关键．
19．（2025 宁明县一模）从的数字卡片中，任意抽一张，抽到奇数的可能性是 　　．
【答案】．
【考点】可能性的大小
【专题】运算能力；概率及其应用
【分析】用奇数的个数除以总个数即可得出答案．
【解答】解：的数字卡片中奇数有1，3，5，7，9，共5个数，
则抽到奇数的可能性是．
故答案为：．
【点评】此题考查了可能性的大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
20．（2025 盐城二模）“盐城马拉松”的赛事共有三项，“马拉松”、“半程马拉松”和“迷你健身跑”．乐乐参加了志愿者服务工作，为估算“半程马拉松”的人数，对部分参赛选手作了调查：
调查人数 20 50 100 200 500 2000
参加人数 7 20 39 83 209 822
频率 0.350 0.400 0.390 0.415 0.418 0.411
请估算本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为 　0.41　．（精确到
【考点】利用频率估计概率
【专题】概率及其应用；数据分析观念
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解答】解：根据表格可知，本次赛事参加“半程马拉松”人数的在0.40左右摆动，
所以根据以上数据估计，本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为0.40．
故答案为：0.41．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
三．解答题（共5小题）
21．（2025 海陵区校级三模）第十四届中国泰州水城水乡国际旅游节的主题是“有一种幸福叫泰州”，泰州美食集市汇集了：泰州早茶、祁巷八大碗、蟹黄汤包、刁铺羊肉等众多美食．某游客决定用抽签方式确定去何处饱口福．他让小祥制作了四张特产卡片，卡片除正面内容不同之外，其他均相同．
（1）若游客从中随机抽取一张，则抽到“祁巷八大碗”的概率为 　　；
（2）若游客从中随机抽取一张（不放回），然后再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求游客抽取的两张卡片中有“泰州早茶”的概率．
【答案】（1）．
（2）．
【考点】概率公式；列表法与树状图法
【专题】概率及其应用；运算能力
【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“祁巷八大碗”的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及游客抽取的两张卡片中有“泰州早茶”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解；（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“祁巷八大碗”的结果有1种，
抽到“祁巷八大碗”的概率为．
故答案为：．
（2）将泰州早茶、祁巷八大碗、蟹黄汤包、刁铺羊肉四张特产卡片分别记为，，，，
列表如下：
共有12种等可能的结果，其中游客抽取的两张卡片中有“泰州早茶”的结果有：，，，，，，共6种，
游客抽取的两张卡片中有“泰州早茶”的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
22．（2025 灞桥区校级二模）在某次数学活动中，有两个如图所示的转盘、，转盘被分成四个相同的扇形，分别标有数字1、2、3、4，转盘被分成三个相同的扇形，分别标有数字5、6、7，指针固定不变，转动转盘（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止）．
（1）若单独自由转动盘，当它停止时，指针指向奇数区的概率是 　　；
（2）小滨自由转动盘，小河自由转动盘，当两个转盘停止后，记下各个转盘指针所指区域内对应的数字，请用画树状图或列表法求所得两数之和为3的倍数的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【考点】列表法与树状图法
【专题】概率及其应用；推理能力
【分析】（1）根据概率公式列式计算即可得解；
（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）指针指向1、2、3、4区是等可能情况，
指针指向奇数区的概率是：；
（2）根据题意画出树状图如下：
一共有12种情况，两数之和为3的倍数的情况有4种，
所以 两数之和为3的倍数）．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
23．（2025 日照）为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，今年5月学校举行健美操比赛，最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛．团体决赛需要分别进行五个单项比赛，计分规则如下表：
单项比赛计分规则 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分
团体决赛计分规则 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，名次按团体最终成绩由高到低排序
现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下：
．甲、乙两班五个单项得分折线图：
．丙班五个单项得分表：
项目 一 三 三 四 五
得分 78 94 90 92
根据以上信息，回答下列问题：
（1）已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为80，84，86，83，82，求丙班第二个单项的得分；
（2）若团体最终成绩相同，则整体发挥稳定性最好的班级排名靠前，那么获得团体比赛冠军的是　乙　班；（填“甲”“乙”或“丙”
（3）获得团体决赛前两名的班级可得到一套图书奖励，现有，，三种图书可供选择．请用列表或画树状图的方法，求两个班级都选择同一套图书的概率．
【答案】（1）83；
（2）乙；
（3）．
【考点】折线统计图；加权平均数；方差；列表法与树状图法
【专题】统计与概率；应用意识
【分析】（1）去掉最高分和最低分求平均数即可得解；
（2）根据统计图和统计表数据的波动大小即可得出结论；
（3）列表或画树状图即可求解．
【解答】解：（1）去掉最高分86分，最低分80分后，（分，
所以丙班第二个单项得分为83分；
（2）由统计图和统计表可以看出乙班五项成绩波动较小，整体发挥稳定性最好，
故答案为：乙；
（3）方法一：列表如图，
方法二：树状图如图，
由图可知共有9种等可能的情况，两个班选择同一种图书的情况共有3种，
．
【点评】本题考查了平均数、方差、概率等知识，灵活运用所学知识处理实际问题是解题的关键．
24．（2025 莲湖区校级一模）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成，，，四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
（1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 　　；
（2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率．
【考点】概率公式；列表法与树状图法
【专题】概率及其应用；应用意识
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）共有4张卡片，
从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为；
故答案为：；
（2）解：根据题意画图如下：
共有16种等可能的结果数，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果数为4，
所以抽取到的两张卡片内容一致的概率为．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
25．（2025 龙岗区三模）2024年4月23日，深圳发布今年首个暴雨红色预警信号．深圳市气象台专家介绍，暴雨红色预警是降水的最高级别预警，指3小时内降雨量将达到100毫米以上，或者已达100毫米以上且降雨可能持续．某校在学生中作了一次对“暴雨红色预警信号”知晓程度的抽样调查，调查结果分为四类：．非常了解；．比较了解；．基本了解；．不了解．根据调查统计结果，绘制了两幅不完整的统计图．根据信息图回答下列问题：
（1）本次调查的人数为 　200人　．
（2）将条形统计图补充完整．
（3）2024年4月低，深圳发生多轮大暴雨，造成较重洪涝灾害．为了做好防汛救灾工作，某社区特招募志愿工作者，小智和小明积极报名参加，根据社区安排，志愿者被随机分到组（信息登记），组（物资发放），组（垃圾清运）的其中一组，请用列表或画树状图的方法，求出小智和小明被分配到同一组的概率．
【答案】（1）200人．
（2）见解答．
（3）．
【考点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【专题】数据的收集与整理；概率及其应用；数据分析观念；运算能力
【分析】（1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得本次调查的人数．
（2）求出类、类的人数，补全条形统计图即可．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及小智和小明被分配到同一组的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）本次调查的人数为（人．
故答案为：200人．
（2）类的人数为（人，
类的人数为（人．
补全条形统计图如图所示．
（3）列表如下：
共有9种等可能的结果，其中小智和小明被分配到同一组的结果有3种，
小智和小明被分配到同一组的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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