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2.3 《二次根式》小节复习题
【题型1 二次根式的概念】
1.下列各式一定属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2.下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3.下列的式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？请说明理由．
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；
（6） ；（7） ．
【题型2 二次根式有意义的条件】
1.若式子有意义，则实数的取值范围是 ．
2.若二次根式有意义，则实数x的取值范围是 ．
3.二次根式中字母x的取值范围是 ．
4.当有意义时，的取值范围是 ．
【题型3 二次根式的双重非负性】
1.已知对所有实数 ，满足 ，则 的最小值为 ．
2.已知实数x，y满足 ，则的值为 ．
3.若a，b为实数，且满足，则平方根是 ．
4.已知实数x满足，则 ．
【题型4 】
1.若化简的结果为，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2.已知，化简 ．
3.运用分类讨论的方法，请你解答下列问题：
(1)当时，化简：______；
(2)若等式成立，则a的取值范围是______；
(3)若，求a的值．
4.设，，则与的关系为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 】
1.已知的三边长、、满足，求的周长．
2.若是三角形的三边长，化简 ．
3.挖掘问题中的隐含条件，解答下列问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知a，b是实数，且，化简．
4.已知，求a、b、c的值．
【题型6 规律探究】
1.如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（ ）
A． B． C． D．
2.在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（ ）
A． B．
C． D．
3.小明做数学题时，发现规律：；；；；…
（1）第5个等式为 ；
（2）若（a，b为正整数），则 ．
4.观察下列等式，并回答问题：
①；②；③；…
(1)根据上述规律，写出第5个等式：________．
(2)请写出第个（为正整数）等式：________，并证明你的结论．
(3)运用上述结论，计算：．
【题型7 化简求值】
1.已知实数a满足，化简：．
2.已知，求的值．
3.已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简．
4.已知，，，．求P、Q的值．
【题型8 隐含条件】
1.若满足关系式 ，则 ．
2.已知是两两不相等的实数，且满足，则的值为 ．
3.若、、为实数，且满足，求的值为 ．
4.若实数a，b，c满足关系式，则c＝ ．
【题型9 复合根式】
1.已知正整数满足．则这样的的取值（ ）．
A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在
2.计算的结果是 ．
3.先阅读再求值．
在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样．
小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝
(1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由；
(2)计算：．
4.【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；
．
【类比归纳】
(1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________．
(2)请运用小明的方法化简．
参考答案
【题型1 二次根式的概念】
1.C
【分析】本题考查二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
根据形如，这样的式子叫做二次根式，逐项进行判断即可．
【详解】解：A、因为，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意；
B、当时，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意；
C、因为，故是二次根式，故此选项符合题意；
D、当时，则，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意；
故选：C．
2.C
【分析】本题主要考查了二次根式的定义，当时，就是二次根式，解决本题的关键是根据二次根式的定义进行判断．
【详解】解：A选项：是三次根式，不是二次根式，故A选项不符合题意；
B选项：中被开方数，所以无意义，故B选项不符合题意；
C选项：符合二次根式的定义，故C选项符合题意；
D选项：中当时，无意义，不是二次根式，故D选项不符合题意．
故选：C．
3.C
【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解答本题的关键．
根据二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、不能确定的正负，故A选项不符合题意；
B、，二次根式没有意义，故B选项不符合题意；
C、是二次根式，故C选项符合题意；
D、，二次根式没有意义，故D选项不符合题意；
故选：C．
4.解：（）是二次根式；
（）中，不是二次根式；
（）中，是二次根式；
（）立方根，不是二次根式；
（）中，是二次根式；
（）中，是二次根式；
（）中，不是二次根式；
∴，，，是二次根式；，，不是二次根式．
【题型2 二次根式有意义的条件】
1.且
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，以及分式有意义的条件，掌握相关知识点是解题关键．根据二次根式的被开方数大于等于0，得到，根据分式的分母不为0，得到，求解即可．
【详解】解：式子有意义，
，，
，且，
故答案为：且
2.
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴．
故答案为：．
3.
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握有意义的条件是解题的关键．根据被开方数是非负数，分式有意义的条件计算即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴且，
解得．
故答案为：．
4.且
【分析】本题考查了二次根式有意义，分式有意义的条件，根据有意义时，可得，且，据此即可求解．
【详解】解：∵有意义时，
∴，且，
∴，且，
故答案为且．
【题型3 二次根式的双重非负性】
1.3
【分析】本题主要考查了绝对值的性质和二次根式的性质，
先根据二次根式有意义的条件可得，再分两种情况讨论即可得出答案．
【详解】解：根据题意，得，
解得．
当时，，
∵，
∴；
当时，，
∴．
综上所述，m的最小值为3．
故答案为：3．
2.
【分析】本题考查了二次根式的非负性、解一元一次不等式组、代数式的求值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得到，解出的值，进而求出的值，再代入代数式即可求解．
【详解】解：由题意得，，
解得：，
，
．
故答案为：．
3.
【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
则，
平方根为．
故答案为：．
4.2013
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．先根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，再根据二次根式的性质化简得，然后两边平方即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
故．
故答案为：2013．
【题型4 】
1.A
【分析】本题主要考查了绝对值、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的性质以及分类讨论思想成为解题的关键．
先根据二次根式的性质可得，然后分四种情况分别去绝对值求解即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
当，，即时，则，解得：符合题意；
当，，即时，则，方程无解，不符合题意；
当，，即时，则，方程无解，不符合题意；
当，，即，则，解得：，不符合题意．
综上，．
故选A．
2.1
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握成为解题的关键．
先运用完全平方公式对被开方数因式分解，然后再根据二次根式的性质化简即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：1．
3.（1）解：∵，
∴
；
（2），
当时，上式；
当时，上式，
∵，
∴，不符合题意；
当时，上式，不符合题意；
∴a的取值范围是；
（3）
当时，，解得：；
当时，，
当时，，解得：；
综上：或．
4.C
【分析】将被开方数利用平方差公式和完全平方公式计算、化简可得．
【详解】解：∵，
=，
=，
=1，
，
=，
=，
=1，
∴M=N，
故选C．
【题型5 】
1.解：，
∴，
，，，
，，，
．
2.
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，根据三角形三边关系求出的范围，再根据二次根式和绝对值的性质进行化简即可，根据三角形三边关系确定出的取值范围是解题的关键．
【详解】解：，，是三角形的三边长，
，
即，
，
故答案为：．
3.（1）解：由题意，得
，
，
，
解得．
（2）解：由题意，得 ，且，
且，
，
，，
，，
．
4.解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，，
解得：，，．
【题型6 规律探究】
1.A
【分析】本题主要考查二次根式的性质及数字规律，熟练掌握二次根式的性质及数字规律是解题的关键；由题意易得每一行的最后一个数字是，且每一行有个数字，由此问题可求解．
【详解】解：由数阵可知：每一行的最后一个数字是，且每一行有个数字，
∴第（是整数，且）行最后一个数是，第一个数字是，
∴从左向右数第个数是；
故选A．
2.A
【分析】本题考查了单项式规律探索，根据题干所给单项式得出规律即可，正确得出规律是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：，，，，，…，
∴第n 个单项式是，
故选：A．
3.
【分析】此题考查了数字类规律，找出一系列等式的规律为的正整数），令求出与的值，即可求得的值．
【详解】解：；
；
；
；
第5个等式为
根据题中的规律得：的正整数），
，
，，
则．
故答案为：，．
4.（1）解：根据题意得第5个等式为：
；
故答案为：；
（2）解：第1个等式：；，
第2个等式：；，
第3个等式：；，
由以上等式可以猜想第n个等式是：
；
证明：；
故答案为：；
（3）解：
＝
＝
＝．
【题型7 化简求值】
1.解：，
∴
，
原式
．
2.解：由题意得，
∴，
∴，
∴．
3.解：由三边关系定理，得，，即，
原式．
4.解：∵，，
∴，，
【题型8 隐含条件】
1.
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，解二元一次方程组，由二次根式有意义的条件得，即得，，再根据二次根式的非负性得，，即得，再解方程组求出的值即可求解，掌握二次根式有意义的条件及性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
由，解得，
∴，
∴，
故答案为：．
2.
【分析】根据被开方数是非负数，确定出，，代入原式即可解决问题．
【详解】解：，，是两两不相等的实数且满足，
又 ，
，，，，
原式．
故答案为：
3.
【分析】根据配方法的理论依据，即公式，将原方程转化为即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴
，
故答案为：．
4.404
【分析】根据二次根式有意义条件求得a＝199，然后由非负数的性质求得b、c的值．
【详解】解：根据题意，得，
解得a＝199，
则，
所以，
解得，
故答案为：404．
【题型9 复合根式】
1.A
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则进行计算．根据，得出，即可得出，，，根据，分三种情况求出的值进行验证即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，，
又∵，
当时，不合题意，
当时，不合题意，
当时，符合题意，
满足条件的取值只有1组．
故选：A．
2.
【分析】注意到，故可将原式化为，然后探寻，进而得解．
【详解】解：
；
故答案为：．
3.（1）小莉的化简结果正确，理由如下：
（2）原式
4.（1）解：
，
∴；
∴；
（2）解：
．

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