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中考数学一轮复习 相交线与平行线
一．选择题（共10小题）
1．（2025 常州）如图，推动水桶，以点为支点，使其向右倾斜．若在点处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是　　
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
2．（2025 山西）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为　　
A． B． C． D．
3．（2025 什邡市模拟）如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
4．（2025 武汉模拟）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点，从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，则的度数为　　
A． B． C． D．
5．（2025 西安校级二模）如图，将一副三角板按如图所示方式摆放，使得，则等于　　
A． B． C． D．
6．（2025 东营）已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则　　
A． B． C． D．
7．（2025 沭阳县校级二模）如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点．若，则的度数为　　
A． B． C． D．
8．（2025 盐城）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
9．（2025 凉山州）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为　　
A． B． C． D．
10．（2025 周至县三模）如图，，点在上，连接，，若平分，，则的度数为　　
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
11．（2025 绵阳）如图，直线，点在上，以为圆心画弧，交于不同两点，．若，则 　　．
12．（2025 太平区二模）如图，中，，过点且平行于，若，则的度数为　 　度．
13．（2025 天山区一模）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点．，，则的度数是 　　．
14．（2025 新邵县二模）如图，在中，，，．若是边上的动点，则的最小值是 　　．
15．（2025 广西）已知与为对顶角，，则　　．
16．（2025 金州区一模）光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线，若，，则的度数是 　　．
17．（2025 安源区二模）如图，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在边上过点处，若，则等于 　　
18．（2025 青山区模拟）如图，在△中，，是边上的一点，若，，则　　．
19．（2025 费县一模）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则　　．
20．（2025 凉州区二模）若与的两边分别平行，且，，则的度数为 　　．
三．解答题（共5小题）
21．（2025 盐城）已知：如图，点、、、在同一条直线上，，．
若 　　，则．
请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
22．（2025 田阳区二模）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，．
（1）求证：；
（2）若平分，，求扶手与靠背的夹角 的度数．
23．（2025 恩施市模拟）如图，，，平分，，．求的度数．
24．（2025 南通）如图，点在的边上，经过边的中点，且．求证：．
25．（2025 自贡）如图，在中，，．
（1）求证：；
（2）若，平分，请直接写出的形状．
中考数学一轮复习 相交线与平行线
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 常州）如图，推动水桶，以点为支点，使其向右倾斜．若在点处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是　　
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】
【考点】直线的性质：两点确定一条直线；垂线段最短；平行公理及推论
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观
【分析】根据垂线段最短判断即可．
【解答】解：的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是垂线段最短．
故选：．
【点评】本题主要考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短的性质是解答本题的关键．
2．（2025 山西）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质
【专题】应用意识；解直角三角形及其应用
【分析】根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和定理得到，求得，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：如图，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，
，
重力的方向竖直向下，
，
，
摩擦力的方向与斜面平行，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了平行线的性质，正确地识别图形是解题的关键．
3．（2025 什邡市模拟）如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力
【分析】利用平行线的性质可得的度数，再利用平角定义可得答案．
【解答】解：如图，
，
，
，
故选：．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
4．（2025 武汉模拟）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点，从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质
【专题】推理能力；线段、角、相交线与平行线；运算能力
【分析】过点作交于点．根据题意知，是的角平分线，故；然后又由两直线推知内错角；最后由三角形的内角和定理求得的 度数．
【解答】解：过点作交于点．
入射角等于反射角，
，
，
，
，
在中，，，
，
在 中，，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解答本题的关键是作出辅助线，在直角三角形中解决问题．
5．（2025 西安校级二模）如图，将一副三角板按如图所示方式摆放，使得，则等于　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力
【分析】先根据平行线的性质可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用三角形的外角进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
，
，
，，
，
是的一个外角，
，
故选：．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
6．（2025 东营）已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质；相交线
【专题】推理能力；线段、角、相交线与平行线
【分析】根据“两直线平行，同位角相等”求解即可．
【解答】解：，
，
直线，
，
故选：．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
7．（2025 沭阳县校级二模）如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点．若，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力
【分析】根据平行线的性质可得，进而根据，即可求解．
【解答】解：，，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
8．（2025 盐城）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质
【专题】推理能力；线段、角、相交线与平行线
【分析】由两直线平行，内错角相等，可求得的度数，然后求得的度数．
【解答】解：如图：
直尺的两边平行，，
，
，
，
．
故选：．
【点评】此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，内错角相等定理的应用是解此题的关键．
9．（2025 凉山州）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力
【分析】根据一副直角三角板的性质得出，，再根据两直线平行，内错角相等得出，即可求出的度数．
【解答】解：由题意得，，，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了平行线的性质，一副直角三角板的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
10．（2025 周至县三模）如图，，点在上，连接，，若平分，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质
【专题】推理能力
【分析】先根据平行线的性质求出，再根据角平分线的定义即可求解．
【解答】解：，，
．
平分，
．
故选：．
【点评】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2025 绵阳）如图，直线，点在上，以为圆心画弧，交于不同两点，．若，则 　92　．
【答案】92．
【考点】平行线的性质
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力
【分析】根据题意得出，再结合平行线的性质得出和的度数，据此可解决问题．
【解答】解：点和点都在以点为圆心的圆上，
，
．
，且，
，
，
．
故答案为：92．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
12．（2025 太平区二模）如图，中，，过点且平行于，若，则的度数为　55　度．
【考点】：平行线的性质
【分析】根据平行线的性质可求的度数，根据三角形内角和定理求；或根据平角的定义先求的度数，再运用平行线的性质求解．
【解答】解：，，
．
，
．（直角三角形两锐角互余）
故答案为：55．
【点评】此题考查平行线的性质和三角形内角和定理，属基础题．
13．（2025 天山区一模）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点．，，则的度数是 　　．
【答案】．
【考点】平行线的性质
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力
【分析】先利用平角定义可得，，然后利用平行线的性质可得，，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
14．（2025 新邵县二模）如图，在中，，，．若是边上的动点，则的最小值是 　6　．
【答案】6．
【考点】垂线段最短；解直角三角形
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力
【分析】由题意得，如图，作，使，过作于，过作于，则，，，可知当、、三点共线且时，最小，为，根据，计算求解即可．
【解答】解：，，
，
，
如图，作，使，过作于，过作于，
，，
，
当、、三点共线且时，最小，为，
，
故答案为：6．
【点评】本题考查了正切，正弦，垂线段最短等知识．明确线段和最小的情况是解题的关键．
15．（2025 广西）已知与为对顶角，，则　35　．
【考点】对顶角、邻补角
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观
【分析】根据对顶角的定义即可作答．
【解答】解：与为对顶角，，
．
故答案为：35．
【点评】本题主要考查对顶角和邻补角，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键．
16．（2025 金州区一模）光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线，若，，则的度数是 　　．
【考点】平行线的性质
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力
【分析】由平行线的性质推出，由平角定义得到，于是得到．
【解答】解，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出．
17．（2025 安源区二模）如图，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在边上过点处，若，则等于 　106　
【考点】平行线的性质
【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；几何直观
【分析】由折叠可得，再根据平行线的性质即可得到．
【解答】解：，
，
由折叠可得，，
，
．
故答案为：106．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
18．（2025 青山区模拟）如图，在△中，，是边上的一点，若，，则　　．
【答案】．
【考点】平行线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力
【分析】作，证明△△，得，求出，得，设，则，，，由勾股定理求出，，问题可求解
【解答】解：作，如图，
，，
，
，
，
，，
在△和△中，
，，，
△△，
，
又，，
，即，
设，则，
，
，
，
，
又，
，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定等知识，正确进行运算是解题关键．
19．（2025 费县一模）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则　55　．
【答案】55．
【考点】平行线的性质
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，那么，再根据两直线平行，内错角相等可得．
【解答】解：，
，
，
，
，
．
故答案为：55．
【点评】本题考查了平行线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
20．（2025 凉州区二模）若与的两边分别平行，且，，则的度数为 　或　．
【考点】平行线的性质
【分析】根据两边互相平行的两个角相等或互补列出方程求出，然后求解即可．
【解答】解：与的两边分别平行，
①，
，
解得，
，
或②，
，
解得，
，
综上所述，的度数为或．
故答案为：或．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟记两边互相平行的两个角相等或互补，易错点在于要分两种情况考虑．
三．解答题（共5小题）
21．（2025 盐城）已知：如图，点、、、在同一条直线上，，．
若 　③　，则．
请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
【答案】证明见解析．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定与性质
【专题】几何直观；图形的全等
【分析】选择①，利用证明，即可得到，减去公共边，得到；
选择②，无法证明；
选择③，利用证明，即可得到，减去公共边，得到．
【解答】证明：选择①，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
选择③，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，掌握性质和判定方法是解题的关键．
22．（2025 田阳区二模）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，．
（1）求证：；
（2）若平分，，求扶手与靠背的夹角 的度数．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）．
【考点】平行线的判定与性质
【专题】推理能力；线段、角、相交线与平行线
【分析】（1）结合题意，根据对顶角相等推出，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解；
（2）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可．
【解答】（1）证明：，，
，
；
（2）解：与底座都平行于地面，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
23．（2025 恩施市模拟）如图，，，平分，，．求的度数．
【答案】的度数为．
【考点】平行线的性质
【专题】运算能力；线段、角、相交线与平行线
【分析】先利用平行线的性质求出，再利用角的和差关系求出，从而利用角平分线的定义可得，然后再利用平行线的性质，即可解答．
【解答】解：，，
，
，
，
平分，
，
，
，
的度数为．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
24．（2025 南通）如图，点在的边上，经过边的中点，且．求证：．
【答案】见解析．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力；图形的全等
【分析】证明，得出，得到．
【解答】证明：是的中点，
，
在和中，
，
，
，
．
【点评】本题考查了平行线的判定，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
25．（2025 自贡）如图，在中，，．
（1）求证：；
（2）若，平分，请直接写出的形状．
【答案】（1）见解析；
（2）是等腰直角三角形．
【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形
【分析】（1）根据，得到，再根据，得到，从而得到，得出；
（2）通过（1）得出，再根据角平分线，得出，由此得出是等腰直角三角形．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
平分，
，
，
，
是等腰直角三角形．
【点评】本题考查了平行线的性质与判定，等腰直角三角形的判定，掌握判定方法是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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