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第2章《实数》复习题-- 立方根
【题型1 立方根的概念】
1.若，则 ；若，则 ；若，则 ．
2.8的立方根是 ．
3.如果一个数的平方根和立方根相同，那么这个数是 ．
4.判断下列说法是否正确：
（1）2是8的立方根；
（2）是64的立方根；
（3）是的立方根；
（4）的立方根是．
【题型2 开立方】
1.根据图中呈现的开立方运算关系，可以得出 ； ．
2.计算： ．
3.求立方根： ．
4.已知实数a，b满足，则立方根是 ．
【题型3 立方根的性质】
1.已知x为有理数，且，则的平方根为 ．
2.若和互为相反数，求的为
3.已知，则的平方根为 ．
4.若，则k的值为 ．
【题型4 求未知数的值】
1.若，则m+n= ．
2.若，则 ．
3.如果，求x的值．
4.已知，则的值为 .
【题型5 平方根和立方根的综合应用】
1.的平方根为，的立方根为2，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．不确定
2.已知、、在数轴上的位置如图，化简： ．
3.已知，的算术平方根是6，求的值．
4.若是的算术平方根，，则的立方根为 ．
【题型6 立方根在实际生活中的应用】
1.2025年的母亲节来临之际，小康和小明分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小康制作的正方体礼盒的表面积为，而小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小，则小明制作的正方体礼盒的表面积为（　　）
A． B． C． D．
2.如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为 ．
3.小明有一个大正方体铁块，其体积为．
(1)求这个大正方体铁块的棱长；
(2)小明要将这个大正方体铁块熔化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个小正方体铁块的体积为，求另一个小正方体铁块的棱长．
4.一个底面半径为的圆柱体玻璃杯装满水，杯的高度为，现将这杯水全部倒入一正方体容器中，正好占正方体容器容积的（玻璃杯及容器的厚度可以不计），求正方体容器的棱长．
【题型7 立方根的规律探究】
1.先阅读材料，再解答问题．
__________，__________，
____________________．
__________．
(1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ；
(2)计算的值．
2.若，， ．
3.观察下列规律并回答问题：
，…
(1) ， ；
(2)已知，若，用含x的代数式表示y，则 ；
(3)当时，根据上述规律比较与的大小情况．
4.观察下列计算过程，猜想立方根．
，，，，，，，，；
(1)我国著名数学家华罗庚计算立方根的方法给小明了一些启示，小明是这样试求出19683的立方根的：先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，由，猜想19683的立方根的十位数是 ，验证得19683的立方根是 ．
(2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空：
①= ．
②= ．
参考答案
【题型1 立方根的概念】
1. 2 /
【分析】本题考查的是立方根和算术平方根的定义与性质，熟知这些是解题的关键，根据立方根和算术平方根的定义与性质可求a和b的值，从而可求答案．
【详解】解：若，则；
若，则；
若，则．
故答案为：2；；．
2.2
【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．根据立方根的定义即可求解．
【详解】解：，
8的立方根是2．
故答案为：2．
3.0
【分析】本题主要考查了立方根、平方根的定义和性质，其中分别利用了：求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方；求一个数的平方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的平方．由于一个数的平方根与立方根相同，根据平方根的定义这个数只能是非负数，然后根据立方根和平方根相等即可确定这个数．
【详解】解：一个数的平方根与立方根相同，
这个数为0．
故答案为：0．
4.解：（1）正确；
（2）是64的立方根，故错误；
（3）正确；
（4）正确．
【题型2 开立方】
1.
【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据运算关系可得，，进而可求得a、b．
【详解】解：由题意得，，，
，
，
故答案为：，．
2.
【分析】先开立方化简，再计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
3.41
【分析】本题主要考查了立方根定义．根据立方根的定义进行解答．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：41．
4.1
【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，求一个数的立方根，代数式求值，掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的关键．
先根据非负性求得，再代入求得，即可求解立方根．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
∴立方根是1，
故答案为：1．
【题型3 立方根的性质】
1.
【分析】本题考查了立方根、平方根，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合立方根的性质得，解出，再代入，得，再求出的平方根，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴的平方根为．
故答案为：
2.
【分析】由和互为相反数，可得出，进而可得出的值．
【详解】解：和互为相反数，
，
．
故答案为.
3.
【分析】本题考查立方根和平方根，根据立方根的定义得出，进而求平方根即可．
【详解】解：，
，
，
的平方根为．
故答案为：．
4.5
【分析】根据零的立方根既可以看作等于其本身，也可以看作等于其相反数求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：5．
【题型4 求未知数的值】
1.1
【分析】根据三次根式性质，，说明3m-7和3n+4互为相反数，即即可求解．
【详解】∵
∴
∴
故答案为：n
2.
【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键．如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根．据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
3.
【分析】本题考查了利用立方根解方程，掌握立方根的定义是解题关键．由立方根可知，再求x的值即可．
【详解】解：，
，
，
，
．
4.或1或0
【分析】本题主要考查立方根的概念，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键，正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0，根据立方根是本身的数是列式求解出的值，再代入求解即可．
【详解】解： ，
或或，
或或，
，
的值为：或1或0
故答案为：或1或0．
【题型5 平方根和立方根的综合应用】
1.B
【分析】根据平方根定义立方根定义列式求出a，b，代入求解即可得到答案；
【详解】解：∵的平方根为，的立方根为2，
∴，，
解得：，，
∴，
故选B；
2.
【分析】先根据数轴的性质可得，从而可得，再计算算术平方根与立方根、化简绝对值，然后计算整式的加减即可得．
【详解】解：由数轴可知，，
，，，
，
，
故答案为：．
3.解：由题意得：，
∴，
∴，
由，得，
∴，
∴．
4.
【分析】本题考查的是立方根及算术平方根的定义，掌握立方根及算术平方根的定义是解题的关键．根据题意列出关于、的方程，求出、的值，即可求解．
【详解】∵是的算术平方根，
∴，，
解得：，，
∴，，
∴的立方根为，
故答案为：．
【题型6 立方根在实际生活中的应用】
1.C
【分析】本题考查立方根的实际应用；
设小康制作的正方体礼盒的边长为a，根据表面积公式先求出，从而求出小康制作的正方体礼盒的体积，再根据小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小即可求解．
【详解】设小康制作的正方体礼盒的边长为a，
则，解得：
∴小康制作的正方体礼盒的体积为：
∵小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小
∴小明制作的正方体礼盒的体积为
∴小明制作的正方体礼盒的边长为
∴小明制作的正方体礼盒的表面积为
故选：C．
2.5
【分析】本题主要考查了立方根的概念，根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可，熟练掌握其性质并能灵活运用已知条件求得每个方块的体积是解决此题的关键．
【详解】解：由题意可得每个方块的体积为，
∴其边长为，
故答案为：5．
3.（1）解：根据题意，铁块的棱长为，
答：这个铁块的棱长为．
（2）解：根据题意，另一个小立方体铁块的体积为，
∴另一个小立方体铁块的棱长为．
答：另一个小立方体铁块的棱长为．
4.解：设正方体容器的棱长为，根据题意可得： ，
解得：，
答：这个正方体容器的棱长为．
【题型7 立方根的规律探究】
1.（1）解：
，，
．
．
故互为相反数的两个数的立方根的关系为互为相反数；
故答案为：；；； ；互为相反数．
（2）
．
2.
【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
利用立方根的定义及负指数幂的性质判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
3.（1）解：∵，
∴被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位，
∴，，
故答案为：，．
（2）解：∵，，且，
∴，
∴，
故答案为：．
（3）解：∵，，
∴由上述规律得：，．
①当时，，则此时；
②当时，；
③当时，，则此时；
④当时，；
综上，当或时，；当时，；当时，．
4.（1）∵的个位数是3，而末位数为3，
∴猜想的立方根的个位数为7，
又∵，
∴猜想的立方根的十位数为2，
验证：，
∴19683的立方根是27；
故答案为2，27；
（2）解：①∵的个位数是，而，末位数为 ，
∴猜想的立方根的个位数为．
又， ，且 ．
∴猜想的立方根的十位数为7，
验证： ．
∴ ．
②∵的末位数是1，而，
∴猜想的立方根的末位数为1，
又∵，
∴猜想的立方根的十分位数为8，
验证：；
故答案为，.

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