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第2章《实数》复习题--- 认识实数、平方根
【题型1 认识实数】
1.将下列数按要求分类，并将答案填入相应的括号内：，，，206，0，，，，
正分数集合{ …｝
负有理数集合{ …｝
无理数集合{ …｝
2.在实数、、、中，是无理数的为 ．
3.若x是一个满足的无理数，任意写出一个符合题意的x值 （答案不唯一）．
4.在数中，无理数共有 个．
【题型2 平方根的概念】
1.用式子表示“9的平方根等于”正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.下列各数中，没有平方根的是（ ）
A．4 B．－4 C．0 D．2
3.下列各数中一定有平方根的是（　　）
A．a2﹣5 B．﹣a C．a+1 D．a2+1
4.求下列各数的平方根，并用式子表示：
(1)； (2)．
【题型3 算术平方根的概念】
1.有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的时，输出的值是 ．
2.计算：
3.已知关于的方程的解是，则的算术平方根是 ．
4.一个数的算术平方根是x，则比这个数大2的数的算术平方根是（　　）
A．x2+2 B． +2 C． D．
【题型4 平方根的性质】
1.已知实数，不相等，且，．
(1)若的算术平方根为3，求的值；
(2)如果一个正数的平方根为，，求这个正数．
2.若一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是 ．
3.已知3是的一个平方根，是的一个平方根．则 ．
4.若与是同一个数的平方根，则为 ．
【题型5 开平方】
1.若实数a、b满足方程x2＝5，且a＞b，下列说法正确的是（　 　）
A．5的平方根是b B．5的平方根是a
C．5的算术平方根是b D．5的算术平方根是a
2.如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（　　）
A．±（m+1） B．（m2+1） C． D．
3.如图，实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 ．
4.关于，的二元一次方程组的解，满足关系式，则的值为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【题型6 求未知数的值】
1.若，则x的值是 ．
2.解方程：
(1) (2)
3.有一运算程序如下：
若输出的值是25，则输入的值可以是 ．
4.已知的平方根是，的算术平方根是4，那么的平方根是 ．
【题型7 算术平方根的双重非负性】
1.若实数满足，则的平方根是 ．
2.若，则的值为 ．
3.若m、n满足，则的平方根是 ．
4.已知实数满足，则的值为 ．
【题型8 有意义的条件】
1.若，则 ．
2.若， ，则 的值为 ．
3.已知，则的值 ．
4.已知：，求代数式的平方根．
【题型9 算术平方根在实际生活中的应用】
1.为宣传某地旅游资源，一中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮请你通过计算，判断正方形卡片能否直接全部装进长方形封皮中．
课题 景点卡片及封皮制作
图示
相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为
2.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义，是由七块板组成的．把一副七巧板按如图所示进行①～⑦编号，由这幅七巧板拼成的“蝴蝶”的面积是32，那么“蝴蝶”上带有阴影的板块边长为 ．
3.学校水房前有一个长、宽之比为5：2的长方形过道，其面积为，若用40块大小相同的正方形地砖把这个过道铺满，地砖的边长是 ．
4.某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积为的正方形空地上建一个排球场．已知排球场的面积为，其中长和宽的比为，且排球场的四周必须留出宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个排球场？

【题型10 算术平方根的规律探究】
1.观察下列各式：
；；，…
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
(1)猜想______=______；
(2)归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式：________________；
(3)应用：计算．
2.观察下列各式：，，，……，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3.（1）观察发现：
… 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
表格中 ， ．
（2）归纳总结：
被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向______移动______位．
（3）规律运用：
①已知，则______；
②已知，则m＝______．
4.如何迅速准确地计算出四位数的算术平方根呢？按照下面思路你也能办到．
(1)以下是小明探究的过程，请补充完整：
①由，可以确定是位数；
②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或；
③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而，所以选择较小的个位数字，则__________．
(2)已知也是一个整数的平方，请根据材料的方法求出，并说明理由．
参考答案
【题型1 认识实数】
1.解：正分数集合｛，，， …｝
负有理数集合{ ，，…}
无理数集合｛，，…｝
故答案为：，，；，；，．
2.
【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．根据无理数的定义即可解答．
【详解】解：在实数、、、中，是无理数的为．
故答案为：．
3.（答案不唯一）
【分析】本题考查了无理数的定义，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键；
根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数解答即可．
【详解】解：∵，
∴符合题意的x的值可以是（答案不唯一）；
故答案为：（答案不唯一）．
4.2
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，据此可得答案．
【详解】解；由无理数的定义可得，无理数有，共2个，
故答案为：2．
【题型2 平方根的概念】
1.D
【分析】本题考查了平方根，如果一个数x的平方等于a，那么x叫做a的平方根；根据平方根的定义和表示方法解答即可.
【详解】解：用式子表示“9的平方根等于”为；
故选：D.
2.B
【分析】本题考查了平方根的定义的理解和应用，根据平方根的定义可知只有非负数才有平方根，由此进行判断即可．
【详解】解：∵正数有两个平方根，0有一个平方根，负数没有平方根，
∴没有平方根．
故选：B
3.D
【分析】正数的平方根有两个，0的平方根是0，负数没有平方根．题中要求这个数一定有平方根，所以这个数不论m取何值，都得是非负数．
【详解】解：A．当a＝0时，a2﹣5＝﹣5＜0，不符合题意；
B．当a＝1时，﹣a＝﹣1＜0，不符合题意；
C．当a＝﹣5时，a+1＝﹣4＜0，不符合题意；
D．不论a取何值，a2≥0，a2+1＞0，符合题意．
故选D．
4.（1）解：因为，
所以49的平方根是，也就是的平方根是，
即．
（2）解：因为，
所以的平方根是，即．
【题型3 算术平方根的概念】
1.
【分析】本题考查了算术平方根，以及程序框图，解题的关键在于正确理解程序框图．将代入程序框图进行运算求解，即可解题．
【详解】解：当时，
则，是有理数，
，是有理数，
，是有理数，
是无理数，
所以输出的值是；
故答案为：．
2.
【分析】本题主要考查实数的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先计算算术平方根，再计算减法即可．
【详解】解：，
故答案为：．
3.
【分析】本题主要考查了方程的解，解一元一次方程，算术平方根等知识点，把代入方程中得到到关于a的方程，解方程求出a的值，进而即可得解，熟练掌握方程的解，解一元一次方程等解决此题的关键．
【详解】将代入方程中得：，
解得：，
∴的算术平方根为，
故答案为：．
4.D
【详解】因为一个数的算术平方根是x,所以这个数是,比这个数大2的数是,所以比这个数大2的数的算术平方根是,
故选D.
【题型4 平方根的性质】
1.（1）解：∵，且的算术平方根为3，
∴，解得；
（2）解：∵一个正数的平方根为，，
又∵，，
∴，
解得，
∴，
∴这个正数为．
2.25
【分析】本题考查了平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，已知平方根求这个数；根据题意得，求得a，从而得到正数的两个平方根，即可求得这个正数．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与，
∴，
∴，
即这个正数的平方根为；
而，即这个正数为25；
故答案为：25．
3.
【分析】本题主要考查了根据平方根求原数，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求出x、y的值即可得到答案．
【详解】解：∵3是的一个平方根，
∴x-1=32=9,
∴，
∵是的一个平方根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
4.或
【分析】本题考查了平方根的有关定义，根据平方根的定义分两种情况讨论即可，解题的关键是正确理解平方根的定义．
【详解】解：∵与是同一个数的平方根，
∴ 时，
解得：，
时，
解得：，
综上可知，为或，
故答案为：或．
【题型5 开平方】
1.D
【分析】根据题意，求出a=，b=，再依次进行判断即可．
【详解】解：∵a、b满足方程x2＝5，且a＞b，
∴a=，b=，
∴5的平方根是，故A，B错误，
5的算术平方根是，故C错误，D正确．
故选：D．
2.D
【分析】首先根据平方根性质用m表示出该自然数a，由此进一步表示出，从而进一步即可得出答案．
【详解】由题意得：这个自然数a为：，
∴,
故的平方根用m表示为：，
故选：D．
3.
【分析】由数轴可知，，于是可得，将原式化为，然后化简绝对值，去括号，合并同类项，即可得出答案．
【详解】解：由数轴可知：，，
，
，
故答案为：．
4.A
【分析】本题考解二元一次方程组，算术平方根，一元一次方程．
将，得，结合可得到关于a的方程，求解即可．
【详解】解：
，得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A
【题型6 求未知数的值】
1.2
【分析】本题考查算术平方根的定义，理解算术平方根的意义是解题的关键．等式两边平方，再求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：2．
2.（1）解：，
∴，
解得，；
（2）解：，
或，
解得，．
3.4或
【分析】本题是有关程序图的运算，考查了利用平方根的性质解方程．由题可得，由此即可求出x的值．
【详解】解：根据题意可得：
，
，
解得或．
故答案为：4或．
4.
【分析】此题主要考查了平方根、算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．首先根据的平方根是，可得：，据此求出的值是多少；然后根据的算术平方根是4，可得： ，据此求出的值是多少，进而求出的平方根是多少即可．
【详解】解：的平方根是，
解得；
的算术平方根是4，
解得，
的平方根是：．
故答案为：．
【题型7 算术平方根的双重非负性】
1.
【分析】根据二次根式、平方、绝对值的非负性即可得出x、y、z的值，求和后再求平方根即可．
【详解】解：由题意可得：
解得：
∴
∴4的平方根是．
故答案为：．
2.6
【分析】本题考查了非负数的性质，算术平方根，掌握非负数的意义和性质是正确解答的关键．利用非负数的性质得出的值，代入计算得出答案．
【详解】解：，
，，
解得：，，
，
故答案为：．
3.
【分析】此题主要考查了非负数的性质以及算术平方根以及平方根的定义，根据非负数的性质求出m，n的值，然后求出的值，再求平方根即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴4的平方根是．
故答案为：．
4.1
【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，先根据非负数性质得到，，求出、的值，再代入即可求得答案．
【详解】解：∵，，，
，，
，，
，
故答案为：1．
【题型8 有意义的条件】
1.2024
【分析】本题考查二次根式有意义，先根据得到，再化简绝对值计算即可．
【详解】解：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
2.
【分析】本题考查算术平方根的非负性，代入求值，先根据算术平方根的非负性得到，然后计算出m，n的值，代入计算即可．
【详解】解：由题可得，解得，
∴，，
∴，
故答案为：．
3.
【分析】本题考查绝对值和二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得，再根据绝对值的代数意义将化简，即可得解．解题的关键是掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的值为．
故答案为：．
4.解：由题意可知，，
则，，
∴，，则，，
∴，
∵1的平方根为，
∴代数式的平方根为．
【题型9 算术平方根在实际生活中的应用】
1.解：设长方形的宽为，则长为．
依题意，得，
整理，得，解得（负值已舍去）．
∵正方形卡片的面积为，
∴正方形卡片的边长为．
，
正方形卡片能够直接装进长方形封皮中．
2.2
【分析】本题考查了算术平方根的应用，正确理解题意是解题的关键．根据⑤和⑥的面积和与①、⑦、④的面积相等即可求解．
【详解】解：∵“蝴蝶”的面积是32，
∴大正方形的面积为，
可得⑤和⑥的面积和与①、⑦、④的面积相等，
∴①的面积为，
∴那么“蝴蝶”上带有阴影的板块边长为2，
故答案为：2．
3.
【分析】本题考查算术平方根的应用，设长方形过道的长为，宽为，根据题意求得，再设地砖的边长是,根据题意求得，经过验证符合题意，进而可得结论．
【详解】解：由题意，设长方形过道的长为，宽为，
根据题意，得，即，
解得（负值已舍去），
∴该长方形的长为，宽为，
设地砖的边长是,
根据题意，，
解得，
由（块），（块），符合题意，
故地砖的边长是，
故答案为：．
4.解：设排球场的宽为m，则长为m，
根据题意，得，
，
为正数，
，
，
，
，，
．
能按规定在这块空地上建一个排球场．
【题型10 算术平方根的规律探究】
1.（1）解：
故答案为：，．
（2）解：，
故答案为：．
（3）解：
2.B
【分析】根据式子的变化规律，求出a，b的值，进而即可求解．
【详解】解：∵，，，……，
∴中， ，
∴，
故选B．
3.解：（1），，
故答案为：，10；
（2）由表格中的数据可知被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位．
故答案为：右，1；
（3）①已知，则，
②已知，，则，
∴
故答案为：①22.4；②25．
4.（1）解：①由，可以确定是两位数；
②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或；
③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而，
所以选择较小的个位数字，则 ．
故答案为：①两；②，；③；
（2）已知也是一个整数的平方，根据材料的方法求出的过程如下：
①由，可以确定是两位数；
②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或；
③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而，
所以选择较大的个位数字，则 ．

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