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第一章《勾股定理》复习题-- 勾股定理与最值
【题型1 几何最值(利用垂线段最短求最值)】
1.如图，已知是等边三角形，，是边上的高，E是的中点，P是上一动点．则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
2.如图，在中，有一点P在边上移动，若，，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
3.如图，在中，，平分．若，，E为边上一动点，则线段长的最小值为 ．
4.如图，在中，，如果点D，E分别为上的动点，那么的最小值是 ．
【题型2 几何最值(利用两点之间线段最短求最值)】
1.如图，在长方形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为 ．
2.如图，两条平行线之间的距离为2，线段在上滑动，且，C为上任意一点，则的最小值为 ．
3.如图，在长方形中，，，点E在边上，点F在边上，且，连接，则的最小值为 ．
4.如图，在中，，，，D在延长线上，作平行四边形，则的最小值为 ．
【题型3 数形结合求最值】
1.已知a，b均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小师想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，．则、长分别表示为，．最后利用几何知识可得代数式的最小值为，根据以上材料，可求代数式的最小值为 ．
2.请构图求出代数式的最小值为 ．
3.（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求线段AB的长，进而求得的最小值是 ．
（2）类比迁移：已知a，b均为正数，且，求的最小值．
（3）方法应用：若，求y的最大值．
4.在解决“当时，求代数式的最小值”这个问题时，我们可以将看作是一个以和3为直角边的的斜边的长，再将延长至，使得，以为斜边构造如图所示的，则为的长．于是将问题转化为求的最小值．利用上述方法，这个代数式的最小值是 ；请运用此方法解决问题：当时，的最小值是 ．
【题型4 化体为面求最值】
1.如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中长，宽，高，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点A爬行到点B，它需要爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，蚂蚁想要从两级台阶的左上角M处爬到右下角N处，它只能沿着台阶的表面爬行，已知每级台阶的长、宽、高分别是16分米，4分米，2分米，则蚂蚁从M处爬到N处的最短路程是（ ）
A．分米 B．分米 C．16分米 D．20分米
3.如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度最短为 ．
4.如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是3米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（ ）米
A．5 B． C． D．3
【题型5 拼接求最值】
1.如图，在中，，是内的动点，连接，，，则的最小值是 ．
2.如图，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝30°，点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值为 ．
3.如图，在中，，，，、分别为边、上两个动点．且，连接、，则的最小值是 ．
4.如图，若三个村庄、、构成，其中，，．现选取一点打水井，使点到三个村庄、、铺设的输水管总长度最小，输水管总长度的最小值为 ．
参考答案
【题型1 几何最值(利用垂线段最短求最值)】
1.C
【分析】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，正确作出辅助线是解题关键．连接，则的长度即为与和的最小值，再利用等边三角形的性质可得，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，与交于点，
∵是等边三角形， 是边上的高，
∴，，即垂直平分，
∴，
，
∴此时最小，即就是的最小值，
是等边三角形，
，
，E是的中点，
，
，
，
故选：C．
2.A
【分析】本题考查的是垂线段最短，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，掌握“点到直线的距离，垂线段最短”是解题的关键． 在边上移动，由点到直线的距离，垂线段最短，可得当时，最短，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，在边上移动，当时，最短，
，
，
，
∴的最小值是5，
故选：A．
3.3
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，垂线段最短，勾股定理等知识；当时，线段的长取得最小值，利用勾股定理求得，，再由角平分线的性质定理即可求解．
【详解】解：由垂线段最短知，当时，线段的长取得最小值，
∵，，，
∴，
∵平分，，
∴，
即的最小值为3．
故答案为：3．
4.
【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，作点A关于直线的对称点，连接，由轴对称的性质可得，由勾股定理可得，根据，可得当H、D、E三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此利用等面积法求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，作点A关于直线的对称点，连接，
由轴对称的性质可得，
∵在中，，
∴；
∵，
∴当H、D、E三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，
∴此时有，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【题型2 几何最值(利用两点之间线段最短求最值)】
1.5
【分析】本题考查的是最短线路问题，长方形的性质，轴对称的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
连接，在BA的延长线上截取，连接则的最小值转化为的最小值，则，根据勾股定理可得结果．
【详解】解：如图，连接，
在长方形中，，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
则，即的最小值转化为的最小值，
在的延长线上截取，连接，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
连接，则，
∵，
∴．
∴的最小值为5．
故答案为：5．
2.
【分析】本题主要考查了利用轴对称的性质求线段和的最小值，过点B作点B关于直线的对称点，连接交于点，可得出当点A，，三点共线时，值最小，此时，利用轴对称的性质得出，，再利用勾股定理即可得出．
【详解】解：过点B作点B关于直线的对称点，连接交于点，
当点A，，三点共线时，值最小，此时，
根据轴对称的性质可知，，
∵两条平行线之间的距离为2，
∴，
又∵，
∴，
即的最小值为：，
故答案为：
3.
【分析】本题主要考查了长方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，证明，易得，即有，作点关于点的对称点，连接，当三点共线时，可有，此时取最小值，然后根据勾股定理求得的值，即可获得答案．
【详解】解：连接，如下图，
∵四边形是长方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
作点关于点的对称点，连接，
则，当三点共线时，
可有，此时取最小值，
∵，
∴，
∴，即的最小值为．
故答案为：．
4.13
【分析】本题考查了平行四边形的性质，轴对称—最短路线，勾股定理，作于，由题意可得在平行于且与距离为的直线上运动，作关于直线的对称点，连接，，则，、、三点共线，结合，得出当且仅当，，，依次共线时取等号，最后由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于，
，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴在平行于且与距离为的直线上运动，
作关于直线的对称点，连接，，
则，、、三点共线，
∵，
∴，
∴，当且仅当，，，依次共线时取等号，
在中，，
∴的最小值为，
故答案为：．
【题型3 数形结合求最值】
1.
【分析】构造如下：设，，，，则，过点D作，交的延长线于点H，结合题目方法解得即可．本题考查了勾股定理，长方形的判定和性质，三角形不等式求最值，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：如图，设，，，，则，
则，
根据，
当三点共线时，取得最小值，
过点D作，交的延长线于点H，
∵，，
∴四边形是长方形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
2.10．
【分析】可作BD=8，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=4，ED=2，C为BD上一点，连接AC、CE．当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，最小值为AE的长.然后构造长方形AFDB，Rt△AFE，利用长方形和直角三角形的性质可求AE的值．
【详解】解：如图所示，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=4，ED=2，DB=8，C为BD上一点，连接AC、CE．
设CD=x，则BC=8-x,
∴AC=，CE=，
∴AC+CE=+，
当A、C、E三点共线时，AC+CE取到最小值，最小值为AE的长．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得长方形ABDF，则DF=AB= 4，AF=BD=8．
∴EF=4+2=6，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE===10．
∴的最小值为10.
故答案是：10.
3.解：（1）如图所示，，，，，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
∴，
∴要想的值最小，则的值最小，
∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为，
过点B作交延长线于F，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为13，
故答案为：13；
（2）如图，，，，，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
∴，
∴要想的值最小，则的值最小，
∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为，
过点B作交延长线于F，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为5；
（3）如图，，，，，，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
，
∴要想的值最大，则的值最大，
∴根据三角形三边关系可知，当A、D、B三点共线时，的值最大，最大值为，
延长，交于点F，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∴，，
在直角三角形中，，
即y的最大值为．
4. 16
【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质，
先根据三点共线时最小，再根据等腰直角三角形的性质得出答案；将原式整理为，画出图形，我们将看作是一个以x和为直角边的的斜边长，再将延长至C，使得，以为斜边构造的，则为的长，将问题转化为求的最小值，然后根据直角三角形的性质和勾股定理可得答案．
【详解】解：当点A，P，D三点共线时最小，
此时，
∴，
∴，
根据勾股定理，得，，
则，
∴．
这个代数式得最小值是；
根据题意，得，
如图所示，我们将看作是一个以x和为直角边的的斜边长，再将延长至C，使得，以为斜边构造的，则为的长，将问题转化为求的最小值.
当点A，P，D三点共线时最小，
此时，则，
∴，
根据勾股定理，得，
即，
解得则，
∴.
在中，，
∴，
∴．
这个代数式得最小值是16．
故答案为：；16．
【题型4 化体为面求最值】
1.A
【分析】本题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用平面展开图有三种情况，画出图形利用勾股定理求出的长，比较即可获得答案．
【详解】解：分三种情况讨论：
①如图，
此时；
②如图，
此时，
③如图，
此时，
又∵，
∴需要爬行的最短路程为．
故选：A．
2.D
【分析】根据题意画出台阶的侧面展开图，根据勾股定理求出的长即可得出结论．
本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出台阶的表面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
【详解】解：如图所示
（分米）
答：它沿着台阶面从点A爬到点B的最短路程是20分米．
故选：D
3.34
【分析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度．
∵圆柱底面的周长为，圆柱高为，
∴，
根据勾股定理得：，
∴这圈金属丝的周长最小为．
故答案为：34．
4.A
【分析】本题考查平面展开—最短路径问题及勾股定理的应用，可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．正确利用立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键．
【详解】解：如图，过作于，连接，
此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程，
∵米，米，点到的距离是米，
∴米，
∴（米），
∴（米），
∴（米），
∴这只蚂蚁的最短行程应该是米．
故选：A．
【题型5 拼接求最值】
1.
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定；过点作于点，如图，先计算出，则，，于是利用勾股定理可计算出；把绕点顺时针旋转得到，如图，连接，，根据旋转的性质得到，，，，则可判断为等边三角形，所以，由于当且仅当、、、共线时取等号，所以的最小值为，即的最小值为，过点作于点，如图，计算出，则，接着计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的最小值．
【详解】解：过点作于点，如图，
，
，
，
，
，
在中，，
把绕点顺时针旋转得到，如图，连接，，
，，，，
为等边三角形，
，
，
当且仅当、、、共线时取等号
的最小值为，即的最小值为，
过点作于点，如图，
，
，
，
在中，，
的最小值为．
故答案为：．
2.
【分析】将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△BFE，连接PF，EC．易证PA+PB+PC=PC+PF+EF，因为PC+PF+EF≥EC，推出当P，F在直线EC上时，PA+PB+PC的值最小，求出EC的长即可解决问题．
【详解】解：将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△BFE，连接PF，EC．
由旋转的性质可知：AB=BE=3，BP=BF，∠PBF=60°=∠ABE，
∴△PBF是等边三角形，
∴PB=PF，
∵PA=EF，
∴PA+PB+PC=PC+PF+EF，
∵PC+PF+EF≥EC，
∴当P，F在直线EC上时，PA+PB+PC的值最小，
∵∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°，BE=BC，
∴EC=BC=，
∴PA+PB+PC的最小值为，
故答案为：．
3.
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，两点之间线段最短；过点作，截取，过点作交的延长于点，连接，证明得出，当在线段上时，，则的最小值为的长，进而求得，在中，勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作，截取，过点作交的延长于点，连接，
∴，
又∵
∴
∴，
∴当在线段上时，，则的最小值为的长，
∵
∴
∴
∴，，
∵，
∴，
在中，
故答案为：．
4.
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，将绕点顺时针旋转得到，得出是等边三角形，进而得出当四点共线时，取得最小值，最小值为的长，过点作交的延长线于点，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而在中，勾股定理，。即可求解．
【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
∴，
∴，
∴
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴当四点共线时，取得最小值，最小值为的长，
如图，过点作交的延长线于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
即的最小值为：，
故答案为： ．

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