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第一章《勾股定理》复习题-- 利用勾股定理求立体图形中的最短路径
【题型1 利用勾股定理求正方体中的最短路径】
1．如图，一只蚂蚁从边长是正方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它需要爬行的最短路线的长是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是一个棱长为的正方体木箱，点在上底面的棱上，，一只蚂蚁从点出发沿木箱表面爬行到点，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点 A出发，经过3个面爬行到点B，则它运动的最短路径的长为（ ）
A． B． C． D．
4．棱长分别为，的两个正方体如图放置，点A，B，C在同一直线上，顶点E在棱BF上，点P是棱DK的靠近点D的三等分点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点M到点N的所有路径中，最短路径的长是（ ）
A．5 B． C． D．
6．如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，的中点为M，一只蚂蚁从盒外的点D沿正方体的盒壁爬到盒内的点M（盒壁的厚度不计），蚂蚁爬行的最短距离是 ．
7．如图，A，B分别是棱长为1的正方体两个相邻的面的中心．将这个正方体的表面展开成平面图形后，点A，B之间的最大距离是 ．
8．如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是 ．
9．如图，在棱长为的正方体上有一些线段，把所有的面都分成9个小正方形，每个小正方形的边长都为．若一只蚂蚁每秒爬行，则它从下底面点沿表面爬行至右侧点最少要花多长时间？

【题型2 利用勾股定理求长方体中的最短路径】
1．如图，长方体的底面是边长为6的正方形，侧面都是长为13的长方形，点是的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，点在棱上，且，点是的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点爬行到点，它需要爬行的最短路程为(　　)
A． B． C． D．
3．将长方形纸片按如图所示折叠，已知，则蚂蚁在纸片上从点处爬到点处需要走的最短路程是（ ）
A． B． C．10 D．
4．如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．则蚂蚁经过的最短路程 cm
5．长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为16cm、6cm和6cm，在罐内点处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形中心的正上方2cm处，则蚂蚊到达饼干的最短距离是 cm．
6．如图，在一个长4米，宽2米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为40厘米的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 米．
7．如图，一个底面为正方形的无盖长方形盒子的长、宽、高分别为，，，即，，现在顶点处有一滴蜜糖，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从顶点爬到处去吃蜜糖，求需要爬行的最短距离．（注：底面可以爬行）
【题型3 利用勾股定理求圆柱中的最短路径】
1．如图，圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，在圆柱表面的高上有一点，，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆柱的表面爬行到点的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为（ ）．（边缘部分的厚度忽略不计）
A．25 B． C．35 D．
3．如图所示，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一母线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到点，则这根棉线的长度最短为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是 ．
5．2024年12月4日，我国的“春节”申遗成功，为了增添节日气氛，小刚家计划购买一条彩带，按如图所示的方式从圆柱的点处缠绕到圆柱的点处（点在下底面，点在上底面，点在点的正上方），若圆柱的底面周长为，高为，则需要购买彩带的长度最短为 ．
6．如图，圆柱的底面周长为24厘米，高为5厘米，是底面直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点的最短路程是 ．
7．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程．
8．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
(1)应用一：最短路径问题
如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是______；
(2)应用二：解决实际问题．
如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．
【题型4 利用勾股定理求圆锥中的最短路径】
1．某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为 ，母线长为30，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（ ）

A． B． C． D．
2．如图，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，是母线的中点，则在圆锥的侧面上从点到点的最短路线的长为 ．
3．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为，母线长为．在母线上的点A处有一块爆米花残渣，且，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离为 ．
4．如图，小明用半径为20，圆心角为的扇形，围成了一个底面半径r为5的圆锥.
（1）扇形的圆心角为 ；
（2）一只蜘蛛从圆锥底面圆周上一点A出发，沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是 .
5．已知圆锥的底面半径为，高，现有一只蚂蚁从底边上一点A出发，在侧面上爬行一周后又回到A点．
(1)求圆锥的全面积；
(2)求蚂蚁爬行的最短距离．
6．如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫P从A点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点C，求小虫爬行的最短距离是多少

参考答案
【题型1 利用勾股定理求正方体中的最短路径】
1．C
【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理计算即可得出答案，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，由题意得，，
∵展开后由勾股定理得：，
∴它需要爬行的最短路线的长是，
故选：．
2．C
【分析】此题考查的是勾股定理之最短路径问题，掌握两点之间线段最短和利用勾股定理求边长是解决此题的关键．将正方体上表面如图展开，根据两点之间，线段最短，即可得到：展开图有三种形式，利用勾股定理分别求解即可．
【详解】解：依题意，展开图有三种形式：
或
∵
蚂蚁爬行的最短路程．
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了最短路径问题以及勾股定理，先将正方体展开，然后找出最短路线，利用勾股定理直接计算即可．
【详解】解：如图，将正方体的三个侧面展开，连接，则最短，
∴．
故选：C．
4．D
【分析】本题考查平面展开最短问题．求出两种展开图的值，比较即可判断．
【详解】解：如图，，有两种展开方法：
方法一：，
方法二：．
故需要爬行的最短距离是．
故选：D．
5．A
【分析】先画出侧面展开图，根据两点之间践段最短，利用勾股定理求出线段的长即可．
【详解】将第一层小正方体的顶面和正面，以及第二层小正方体的顶面和正面展开，如下图，
连接，
则最短路径，
故选A
6．5
【分析】本题考查的是勾股定理的应用—最短路径问题，解答此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，在平面图形上构造直角三角形解决问题；画出侧面展开图，得出蚂蚁从盒外的D点沿正方形的表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最短距离是如图的长度，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：将立方体展开，得到如下图形，此时即为所求，
由题意，可知：，
∴；
故答案为：5．
7．
【分析】该题考查了勾股定理和正方体展开图，根据题意和正方体的11种表面展开图的特征得出要使点A，B之间的最大距离则时则点A，B最远，结合题意画出展开图求解即可．
【详解】解：根据点A，B的位置关系和正方体的表面展开图可得：当点A，B的位置在如图所示位置时，点A，B之间的最大距离，
点A，B之间的最大距离，
故答案为：．
8．
【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，以及勾股定理，正确画出侧面展开图，确定两点之间线段最短是解题的关键．
先画出侧面展开图，根据两点之间践段最短，利用勾股定理求出线段的长即可．
【详解】解：向正表面展开，如图，
∴最短路径的长是，
向左表面展开，如图，
∴最短路径的长是，
向上表面展开，如图，
∴最短路径的长是，
∵，
∴最短路径的长是，
故答案为：．
9．
【分析】把正方形的点所在的面展开，然后在平面内，由于展开图有两种情况：在直角三角形中，一条直角边长等于5，另一条直角边长等于2；一条直角边长等于4，另一条直角边长等于3；利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．再比较即可得到答案．
【详解】解：如图所示，分两种情况讨论：
①如图1，将正方体的正前和右侧两面展开，使点，在同一平面内．则点到点的最短路径是线段，
由题意，得，，
根据勾股定理，得；
②如图2，将正方体的正前和上底两面展开，使点，在同一平面内，则点到点的最短路径为线段，
由题意，得，，
根据勾股定理．得．
∵，
∴图1中的路径最短，
∴这只蚂蚁至少要爬行的时间为．

【题型2 利用勾股定理求长方体中的最短路径】
1．B
【分析】本题考查了平面展开-最短问题，勾股定理及两点之间线段最短，将棱柱展开，根据两点之间线段最短即可得到最短路径，利用勾股定理解答即可，将棱柱的侧面展开图正确画出来是解题的关键．
【详解】解：当沿着正面和侧面爬行时，如图所示，
∵棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点，
∴，
∴；
当沿着正面和上底面爬行时，如图所示，
∵棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点，
∴，
∴；
∵，
∴要爬行的最短路程的值为．
故选：．
2．A
【分析】利用平面展开图有三种情况需要比较，画出图形利用勾股定理求出的长，然后作比较即可．
【详解】解：如图1中，
∴ ()，
如图2中，
∴ ()，
如图3中，，，
∴()，
∵
∴一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为，
故选：A．
3．B
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用和两点之间线段最短等问题，解题关键是展开该矩形纸片．本题可以利用勾股定理计算展开后的长度，则即为所求．
【详解】解：如图，展开长方形，由题意得，，，
∴，
∴蚂蚁在纸片上从点处爬到点处需要走的最短路程是，
故选： ．
4．
【分析】最短路线可放在平面内根据两点之间线段最短去求解，蚂蚁爬的两个面可以放平面内成为一个长方形，根据勾股定理去求解．
【详解】解：的长就为最短路线．
如图1，若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为，
如图2，若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为，
如图3，若蚂蚁沿左面和上面爬行，则经过的路程为；
∵ ，
∴所以蚂蚁经过的最短路程是 ．
故答案为：．
5．
【分析】把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：若蚂蚁从平面和平面经过，
蚂蚁到达饼干的最短距离，如图1
由题意可得：，，
，
若蚂蚁从平面和平面经过，
蚂蚁到达饼干的最短距离，如图2
由题意可得：，，
∵
最短距离为，
故答案为：
6．
【分析】本题考查了勾股定理的应用、平面展开—最短路径问题，由题意可得，将木块展开，相当于是个正方形的宽，求出展开后的长为米，宽为2米，最后由勾股定理计算即可得解．
【详解】解：由题意可得，将木块展开，相当于是个正方形的宽，如图所示：
，
∴展开后的长为米，宽为2米，
∴最短路径为米，
∴一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程米，
故答案为：．
7．解：分两种情况：
如图，连接，
在中，，，
根据勾股定理得：；
②如图，连接，
在中，，，
根据勾股定理得：；
蚂蚁爬行的最短距离为 ．
【题型3 利用勾股定理求圆柱中的最短路径】
1．B
【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题，以及勾股定理的应用．首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为，求出的值；再在中，根据勾股定理求出的长，即可解得．
【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示，
圆柱的底面周长为，
．
，，
，
在中，，
，
即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是．
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径为的半圆的弧长，矩形的长等于．
【详解】解：将半圆柱展开，如图：，，，
，
∴，
解得（负值舍去），即他滑行的最短距离约为．
故选：A．
3．B
【分析】本题主要考查了圆柱的计算、侧面展开——路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答即可．
【详解】解：圆柱体的展开图如下图所示：用一根棉线从顺着圆柱侧面绕圈到的运动最短路线是：，
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成个小长方形，从沿着个长方形的对角线运动到的路线最短．
圆柱底面半径为，
长方形的宽即圆柱体的底面周长为：，
又圆柱高为，
小长方形的一条边长是，
根据勾股定理求得，
，
故选：B．
4．15
【分析】本题考查圆柱的展开图、最短路径问题、勾股定理，理解题意，灵活运用两点之间线段最短解决最短路径问题是解答的关键．先将圆柱侧面展开得到长为，宽是的长方形，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，将圆柱侧面展开得到长为，宽是的长方形，连接，
根据两点之间线段最短得这条丝线的最小长度是的长度，
由勾股定理得，解得，
则这条丝线的最小长度是，
故答案为：15．
5．
【分析】本题主要考查了平面展开—最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解题的关键．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高，在展开图中，根据题意，利用两点之间线段最短，求出即可．
【详解】解：圆柱体的侧面展开图如图所示，
在中，，
同理求得
最短长度为
故答案为：．
6．厘米
【分析】本题考查了平面展开，最短路径问题，将图形展开和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知长即蚂蚁爬行的最短路程，再利用勾股定理求解，即可求得答案．
【详解】解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为，
则弧，
又因为，
所以，
故答案为：厘米．
7．26
【分析】本题主要考查平面展开，最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求出新矩形的对角线长即可．
【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，图形长度增加半圆周长，
原图长度增加，
则，
连接，
，
故答案为：．
8．（1）解：圆柱的底面半径为，
∴圆柱底面圆的周长为，
如图所示，即为最短路径，，，
∴，
∴最短的路线长是，
故答案为：；
（2）解：根据题意，，
∴四边形是矩形，
∴，
如图所示，过点作，
∴，
∴四边形，是矩形，
∴，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，，
∴绳索的长为．
【题型4 利用勾股定理求圆锥中的最短路径】
1．B
【分析】根据圆锥的底面圆周长求得半径为，根据母线长求得展开后的扇形的圆心角为，进而即可求解．
【详解】解：∵这个圆锥的底面圆周长为 ，
∴
解得：
∵
解得：
∴侧面展开图的圆心角为
如图所示，即为所求，过点作，
∵，，则
∵，则
∴，，

故选：B．
2．
【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以为一边，将圆锥展开，就得到一个以为圆心，以为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后，连接，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：圆锥底面是以为直径的圆，圆的周长是，
以为一边，将圆锥展开，就得到一个以为圆心，以为半径的扇形，弧长是，
设展开后的圆心角是，则，
解得：，
即展开后，，，
则在圆锥的侧面上从点到点的最短路线的长就是展开后线段的长，
由勾股定理得：，
故答案为：．
3．10
【分析】考查了平面展开-最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【详解】解：，
底面周长，
将圆锥侧面沿剪开展平得一扇形，此扇形的半径，弧长等于圆锥底面圆的周长设扇形圆心角度数为，则根据弧长公式得：
即展开图是一个半圆，
点是展开图弧的中点，
连接，则就是蚂蚁爬行的最短距离，
在中由勾股定理得，
即蚂蚁爬行的最短距离是．
故答案为：10．
4．
【分析】（1）由于圆锥的底面圆周长就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求出侧面展开图的圆心角；
（2）根据两点之间线段最短，把圆锥的侧面展开成平面图形，构造直角三角形根据勾股定理即可求得．
【详解】解（1）圆锥的底面周长，
，
解得；
故答案为．
（2）圆锥的侧面展开图如图所示，构造，根据两点之间线段最短得最短路程为：．
故答案为．
5．（1）解：∵．
∴在中，由勾股定理，得母线，
∴；
（2）解：设扇形的圆心角为．由（1）知，，
而圆锥的侧面展开后的扇形的弧长为，
∴，
解得，即是等腰直角三角形．
在中，由勾股定理，得，
∴蚂蚁爬行的最短距离为．
6．如图，将圆锥侧面沿母线展开，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线．

∵ ，
∴ ，即．
∵，
∴ ．
∴ 小虫爬行的最短距离为．

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