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2.3《二次根式》复习题--二次根式的乘除
【题型1 二次根式乘除成立的条件】
1.对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
2.能使等式成立的条件是（ ）
A． B． C． D．或
3.等式成立的条件是
4.小路在学习了后， 认为也成立，因此他认为一个化简过程： 是正确的．
(1)你认为他的化简对吗？ 如果不对，请写出正确的化简过程；
(2)说明成立的条件．
【题型2 最简二次根式】
1.下列各式①；②；③；④；⑤（a为正整数），其中一定是最简二次根式的有（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个
2.把化成最简二次根式的结果为 .
3.若最简二次根式与最简二次根式相等，则 ． ．
4.已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．10 D．20
【题型3 根号内、外的因式互移】
1.把根号外的因式移到根号内结果为 ．
2.若把根号外的因式移到根号内，得（ ）
A． B． C． D．
3.将 中的a移到根号内，结果是（　　）
A． B． C． D．
4.把根号外面的因式移到根号里面化简的结果是 ．
【题型4 分母有理化】
1.对于有理数和，定义了一种新运算：，例如 ，则为 ．
2.写出的一个有理化因式 ．
3.已知，则= ．
4.对于任意不相等的两个正实数a，b，定义一种运算“※”如下：，例如：．
（1） ；
（2） ．
【题型5 分子有理化】
1.【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方．，则．
请利用“平方法”解决下面问题：
（1）比较大小，c______d（填写“>”“<”或“=”）．
（2）猜想之间的大小，并说明理由．
【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如，
比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，．，．
（3）根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程．
2.将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；
．根据上述知识，请你完成下列问题：
(1)比较大小：（填“”，“”或“”）；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
3.请解决下列问题：
(1)把下列各式分子有理化：
①；②；
(2)比较和的大小，并说明理由；
(3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________．
4.阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，学习了分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”；与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：
，，
因为，．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由，可知，而，
当时，分母有最小值，所以的最大值是．
解决下述问题：
(1)________；
(2)比较和的大小；
(3)求的最大值．
【题型6 二次根式的乘除运算】
1.下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.计算的结果是（　　）
A．1 B． C． D．
3.计算：
(1)； (2)；
(3)已知，A、B为最简二次根式，且，求．
4.幻方是一种传统游戏，类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则的值为 ．
5
10
【题型7 二次根式的化简求值】
1.已知，则的值为 ．
2.已知，则值为（ ）
A． B． C． D．
3.先化简，再求值：，其中实数x、y满足．
4.若三个正数a，b，c满足a+4+3b﹣2﹣c＝0，则的值是 ．
【题型8 实数范围内分解因式】
1.在实数范围内分解因式：．
2.在实数范围内分解因式： ．
3.在实数范围内分解因式： ．
4.在实数范围内分解因式， ．
【题型9 二次根式乘除的应用】
1.如图，有一张边长为 的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，每个小正方形的边长为 ．求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积．
2.“海阔千江辏，风翻大浪随．”海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压，v为风速，当风压为时，估计风速为 ．
3.汽车刹车距离是指汽车从开始刹车到完全停止所行驶的距离，它反应了汽车的制动性能和行驶安全性，刹车距离越短，说明汽车的制动性能越好，行驶越安全，刹车距离与行驶速度之间的关系可以表示为公式，其中v表示车辆行驶速度（单位），表示刹车后车轮滑过的距离（单位）f表示动摩擦因数，根据我国国家标准，100公里刹车距离在42米以内是比较优秀的，（100公里刹车距离表示汽车行驶速度的刹车距离），据测量，某汽车的动摩擦因数，试判断该汽车的100公里刹车距离是否符合我国的优秀标准．
4.高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
参考答案
【题型1 二次根式乘除成立的条件】
1.D
【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式组，再解不等式组即可得出结果．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得，
，
故选：D．
2.C
【分析】利用二次根式的性质得出，，进而求出即可．
【详解】解： 成立，
，，
解得：．
故选：C．
3..
【分析】根据二次根式的乘法法则和二次根式有意义的条件得出关于b的不等式组，解不等式组即可得出答案.
【详解】解：根据题意，得：，解得：.
故答案为.
4.（1）解：因为二次根式的被开方数不能小于0，所以他的化简不对．
正确的化简过程如下：
．
（2）解：因为二次根式的被开方数不能小于0、分式的分母不能等于0，
所以成立的条件是且．
【题型2 最简二次根式】
1.C
【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键．根据最简二次根式的定义进行判定即可．
【详解】解：，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
是最简二次根式；
（a为正整数）是最简二次根式；
故选C．
2.
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
3. 3 5
【分析】本题考查最简二次根式的定义，同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
根据题意可知，同类二次根式的被开方数相同，根指数相同，可得答案．
【详解】解：最简二次根式与最简二次根式相等，
∴，
解得：，．
故答案为：3，5．
4.B
【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的运算法则化简是解题的关键．由是正整数且，得到是完全平方数，即可求出的最小值．
【详解】解：是正整数，，
是完全平方数，
的最小值为5．
故选：B．
【题型3 根号内、外的因式互移】
1.
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
故答案为：．
2.C
【分析】把4写成的形式，利用二次根式的乘法法则即可得到．
【详解】解：．
故选：C．
3.B
【分析】本题考查二次根式的性质．先判断出，再根据二次根式的性质即可求解．
【详解】∵，
∴，
∴．
故选：B
4.
【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，根据题意可得，据此利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
【题型4 分母有理化】
1.
【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据新定义代入计算求值即可．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
2.
【分析】本题主要考查分母有理化的方法，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．根据二次根式的性质，求解即可．
【详解】解：∵，
∴的一个有理化因式为，
故答案为：（答案不唯一）
3.
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解不等式组，分母有理化．根据题意先列出根式有意义时的x取值范围，继而求得y值，再代入分母有理化即可求出本题答案．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
4.
【分析】本题考查定义新运算，二次根式分母有理化，平方差公式等．
（1）根据题意利用题中例子计算即可；
（2）根据题意先将展开计算，再计算，最后分母有理化即可．
【详解】解：（1）由定义新运算知，
故答案为：；
（2）
，
故答案为：．
【题型5 分子有理化】
1.解：（1），
；
（2），
，
；
（3），又
，
．
2.（1）解：，，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
3.（1）解： ，
，
故答案为：，；
（2）解：由， ，
又∵，
∴．
∴，
（3）解：
，
∵，
∴，
∴当时，有最大值，即有最大值，
故答案为：，．
4.（1）解：；
（2）解：，
，
∵，
∴；
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴时，有最小值，
∴的最大值为．
【题型6 二次根式的乘除运算】
1.D
【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，利用二次根式的性质化简，掌握运算法则是解题的关键．
利用二次根式的乘除运算法则，利用二次根式的性质化简，分别判断即可．
【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意；
B、，由于等号右边被开方数是负数，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意；
故选：D．
2.C
【分析】根据二次根式的乘除混合运算的运算顺序和运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式
．
故选：C．
3.（1）解：
．
（2）
．
（3）解：∵A、B为最简二次根式，
∴，可得：，
∴、，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴的值为14．
4.
【分析】本题考查二次根式的运算，先根据幻方规则和二次根式的混合运算分别求得A、B、C、D，然后代值求解即可．
【详解】解：∵方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，
∴，
，
，
，
∴
．
故答案为：．
【题型7 二次根式的化简求值】
1.
【分析】根据与互为有理化因式，利用平方差公式求得，即可求得．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
2.A
【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据推出，再将化为，最后代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴值为．
故选：A．
3.解：由题意得，解得，于是，
∴原式=
=
∴原式=
4.
【详解】根据完全平方公式进行添加减项将原式凑成完全平方公式，即可得出答案正数．
【解答】解：a+4+3b﹣2﹣c＝0，
，
，
∵a，b，c是正数，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
【题型8 实数范围内分解因式】
1.解：
．
2.
【分析】本题考查了因式分解，综合运用提公因式法与平方差公式，因式分解的步骤一般是：先考虑提公因式法，其次考虑公式法，这是因式分解的两种基本的方法．
先提公因式，然后再利用平方差公式进行分解即可．
【详解】解：
故答案为：．
3.
【分析】本题考查了因式分解的方法，分母有理化，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是本题的解题关键．
先提起公因式，然后用平方差公式分解因式．
【详解】解：，
故答案为：．
4.
【分析】本题考查因式分解，二次根式的乘法，熟练掌握公式法进行因式分解是解决本题的关键．根据题意，利用十字相乘因式分解．
【详解】解：
．
【题型9 二次根式乘除的应用】
1.解：由题意，得
故剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积为
2.20
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据题中的通用公式表示出风速的表达式，求解即可得出答案．
【详解】解：由题中给出的公式可知，
当风压为时，风速为，
故答案为：20．
3.解∶ 根据题意得，
解得，
，
该汽车的100公里刹车距离符合我国的优秀标准．
4.A
【分析】本题考查了二次根式的应用，根据题意求出、，再计算与的比值即可得解．正确进行计算是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：，
故选：A．

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