资源简介

2.3《二次根式》复习题--二次根式的加减
【题型1 判断二次根式能否合并】
1.若最简二次根式与是能合并，那么（ ）
A． B． C． D．
2.如果最简二次根式与可以进行合并，则的值为（ ）
A．7 B．16 C．25 D．81
3.若与是可以合并的二次根式，请写出一个符合条件的最简二次根式为 ．
4.下列各式经过化简后与的被开方数不相同的二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【题型2 二次根式的加减运算】
1.化简： 结果是（ ）
A．1 B． C． D．
2.下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3.我们规定运算符号“”的意义是：当时，a； 当时， a，其他运算符号的意义不变，计算：
4.小文和小博同学玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放入四个小球，小球上分别标有一个数．现从容器中摸取小球，若摸到白色球，就减去球上的数；若摸到灰色球，就加上球上的数．
(1)如图1，若小文摸到图示两个小球，请计算出结果；
(2)如图2，若小博摸到图示四个小球，最后的计算结果能和合并吗？说明理由．
【题型3 二次根式的混合运算】
1.对于任意不相等的两个正实数a，b，定义一种运算“※”如下：，例如：．
（1） ；
（2） ．
2.如图，它是一个数值转换机，若输入的a值为，则输出的结果应为 ．
3.计算：
(1) (2)
4.已知
(1)计算：________，________；
(2)求代数式的值．
【题型4 比较二次根式的大小】
1.在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：
，
， ，，
， ．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)比较大小：与；
(2)若，且，求a的值；
(3)若，，求的值．
2.比较大小：
（1） ；
（2） ．
3.用两种方法比较与的大小．
4.项目式学习：
课题名称 平方法比较实数的大小
参与人员 八下第（3）小组 日期：2025年××月××日
原理解读 对于任意两个正数a，b，若，则．
典例展示 比较和的大小．解：，，12<18， ．
任务解答 （1）比较和的大小；
（2）比较和的大小．
【题型5 整数部分和小数】
1.的整数部分为，小数部分为，的值为（ ）
A． B．2 C．7 D．
2.估计的值应在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．5到6之间 D．到之间
3.实数的整数部分为，小数部分为，则（ ）
A． B． C． D．
4.已知的整数部分为，小数部分为，则= ．
【题型6 二次根式的化简求值】
1.已知 ，则二次根式的值是（ ）
A． B． C． D．
2.先化简，再求值：，其中．
3.如果，试求的值．
4.若，且，则 ．
【题型7 二次根式的规律探索】
1.观察下列各式：
…
请利用你发现的规律，计算：其结果为 ．
2.观察下列各式：，，，…利用你发现的规律解决： ．
3.将一张长与宽之比为的矩形纸片进行如下操作：对折并沿折痕剪开，发现每一次所得到的两个矩形纸片长与宽之比都是（每一次的折痕如图中的虚线所示），则第3次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是 ；第2024次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是 ．

4.化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，，
(1)若，求的值；
(2)比较与的大小，并说明理由．
(3)利用这一规律计算：．
【题型8 二次根式的应用】
1.如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为．
(1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)若市场上某种蔬菜10元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产20千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？
2.某小区有一块长方形的草地，这块草地的宽为，为美化小区环境，给这块长方形草地围上白色的低矮栅栏，所需的栅栏的长度为，那么这块草地的面积为 ．
3.某室内展区有一块长方形闲置区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米．
(1)求该长方形闲置区域的周长；
(2)除去放置展台的地方，其余区域全部需要铺上红毯，若所铺红毯的售价为10元/平方米，则购买红毯大约需要花费多少元？（，结果保留到小数点后两位）
4.有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形．
(1)求矩形木板的面积；
(2)木工乙想从矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料，则该矩形木料的长为_______；
(3)木工丙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出_________根这样的木条．
参考答案
【题型1 判断二次根式能否合并】
1.D
【分析】本题考查了二次根式得出方程组是解题关键．根据最简二次根式和二次根式的定义，可得关于、的二元一次方程组，根据解方程组，可得答案．
【详解】解：由题意得：
，
解得：．
故选：D．
2.D
【分析】同类二次根式的定义：化简为最简二次根式后，被开方数是相同的， 由此得到，求解即可．本题考查了乘方，同类二次根式的定义，正确理解题意，得到是解题的关键．
【详解】解：最简二次根式与可以合并，
，
解得：，
∴
故选：D．
3.（答案不唯一）
【分析】本题考查了二次根式的运算，先化简二次根式，根据合并即可，解题的关键是掌握二次根式的化简．
【详解】解：，
∵与是可以合并的二次根式，
∴可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
4.D
【详解】解：，
、，与的被开方数相同，不符合题意；
、，与的被开方数相同，不符合题意；
、，与的被开方数相同，不符合题意；
、，与的被开方数不相同，符合题意；
故选：．
【题型2 二次根式的加减运算】
1.B
【分析】本题考查了分母有理化及二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先将每个分式进行分母有理化，再计算加减即可得出答案．
【详解】解：，
同理可得，
故选B．
2.D
【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算；根据二次根式的性质与混合运算逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
3.
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，实数新定义运算即二次根式的大小比较，先比较与，与的大小，再根据新定义列出式子，利用二次根式加减运算法则计算即可．
【详解】解：，
，
故答案为：．
4.（1）解：由题意得，；
（2）解：最后的计算结果能和合并，理由如下：
由题意得，，
而，
∵与是同类二次根式，故能合并，
∴最后的计算结果能和合并．
【题型3 二次根式的混合运算】
1.
【分析】本题考查定义新运算，二次根式分母有理化，平方差公式等．
（1）根据题意利用题中例子计算即可；
（2）根据题意先将展开计算，再计算，最后分母有理化即可．
【详解】解：（1）由定义新运算知，
故答案为：；
（2）
，
故答案为：．
2.
【分析】本题考查了程序框图，以及二次根式的混合运算，将a为代入程序框图计算求解，即可解题．
【详解】解：根据题意得
．
3.（1）解：
；
（2）解：原式
．
4.（1）解：∵，
∴，
；
（2）解：原式
．
【题型4 比较二次根式的大小】
1.（1）解：，
，
，
，
即；
（2） ，，
或；
（3） ，，
．
2.
【分析】本题考查二次根式比较大小，分母有理化：
（1）分母有理数后比较大小即可；
（2）比较两数的倒数，进而得出两数的大小关系即可．
【详解】解：（1）∵，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）∵，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
3.解：方法一：，，
，
，
，
；
方法二：，
，
，
，
，
4.解：（1），，
，
．
（2） ，．
又 ，，，
，
，
，
【题型5 整数部分和小数】
1.C
【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的运算、利用平方差公式进行计算，先估算出，得出，从而得出，，代入式子，利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：，
，即，
，
的整数部分为，小数部分为，
，，
，
故选：C．
2.A
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、无理数的大小估算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．首先计算原式，根据，可得，根据不等式的性质即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：A．
3.B
【分析】本题主要考查了实数的估算、代数式求值、二次根式运算等知识，正确确定的值是解题关键．利用算术平方根的估算可知，，即，，由此即可求得结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴．
故选：B．
4.11
【分析】此题考查估算无理数的大小，分母有理化，二次根式的乘法运算，解题关键在于得到的整数部分．
先进行分母有理化，因为，由此得到，即可得到，再代入计算求解．
【详解】解：
，
∴
，
故答案为：11．
【题型6 二次根式的化简求值】
1.D
【分析】本题考查了二次根式的运算，先化简，再利用因式分解和完全平方公式把转化为，把化简后的值代入计算得到的值，即可求出的值，掌握二次根式的化简和完全平方公式的应用是解题的关键．
【详解】解：，
，
∴
，
，
，
，
，
∴，
故选：．
2.解：原式
．
当时，原式．
3.由得到，
∴，
∴，，
解得：，，
∴，，，
∴
．
4.
【分析】本题主要考查完全平方公式的变形应用，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，先由，得出，求出，，得出，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴，，
解得：，，
∴，
∴
．
故答案为：．
【题型7 二次根式的规律探索】
1.
【分析】根据前几个等式发现的变化规律进行求解即可．
【详解】解：∵
…
∴，
∴
=+++…+
=9+（+++…+）
=9+（1－）
=，
故答案为：．
2.
【分析】本题考查数字的变化规律，二次根式的混合运算及平方差公式，解题的关键是通过观察所给的等式，探索出运算的一般规律，并能灵活应用该规律进行计算．通过观察所给的等式，将所求的式子变形为，再计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
3.
【分析】此题主要考查了翻折变换性质以及规律性问题应用．先求出矩形纸片的长，再根据矩形的周长公式分别求出每一次对折后的周长，进而得出变化规律求出即可．
【详解】解：，
对开次数：
第一次，周长为：，
第二次，周长为：，
第三次，周长为：，
第四次，周长为：，
第五次，周长为：，
第3次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是，
第2024次对开后所得标准纸的周长为．
故答案为：；．
4.（1）解：∵，
∴原式
，
，
；
（2）解：∵，
，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
，
，
，
∴原式
，
．
【题型8 二次根式的应用】
1.（1）解：根据题意可知：
．
∴周长是：；
（2）解：，
，
，
（元），
∴张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为7200元．
2.
【分析】先利用矩形的周长的一半减去矩形的宽得到矩形的长，即这块草地的长为，去括号合并得到矩形的长为，然后根据矩形的面积公式得到这块草地的面积，再进行二次根式的乘法运算．
【详解】解：这块草地的长 ，
所以这块草地的面积．
故答案为：．
3.（1）解：依题意，（米）．
答：该长方形闲置区域的周长为米．
（2）解：
（平方米）．
∴其余区域的面积为平方米，
（元）．
答：购买红毯大约需要花费1350.70元．
4.（1）解：∵木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形．
∴正方形的边长为：，
∴，，
∴矩形木板的面积为；
（2）解：该矩形木料的长为：
；
（3）解：∵，
又∵，
∴从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出5根这样的木条．

展开更多......

收起↑