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第1章《三角形》章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，小深在池塘一侧选取了点，测得，，那么池塘两岸，间的距离可能是（ ）．
A．9 B．8 C．5 D．2
2．如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，以△ABC的一边为公共边，向外作与△ABC全等的三角形，可以作（ ）个

A．3 B．4 C．6 D．9
4．如图，在中，，，平分，点P为线段AD上一点，过点P作交的延长线于点E，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正方形的边长为1，、上各有一点P、Q，如果的周长为2，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，是边长为3的等边三角形，点Q是边上一点，于点D，点E为边延长线上一点，且满足，连接交于点F，则的长为（ ）
A． B． C．1 D．
7．如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，D、E分别是边上的点，，，设的面积为，的面积为，若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．4
9．一副三角尺如图放置，为中点，将绕点旋转，边分别与边分别交于点，若，则阴影部分面积为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，点为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接、，以下结论：①；②为等边三角形；③；④平分；正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，连接，．若的面积是，则阴影部分的面积是 ．
12．如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以为直角边作等腰直角三角形，得与中，连接交射线于点M，则的长为 ．
13．如图，于点，射线于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，若点E经过t秒与全等，则t的值为 秒．
14．如图，在中，，，D为线段上一动点不与点B，C重合，连接，作，交线段于
（1）当D为中点时， °；
（2）当时， °
15．如图，在等腰三角形中，，点，在等腰三角形的内部，连接，使，且平分．若，则 ．
16．如图，在中，，点为边的中点，点分别在边上，且，连接．分别过点作的垂线，垂足分别为，若，则四边形的面积为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点，交于点，点是上一点，连接，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
18．（6分）把三角形纸片沿折叠．
(1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明；
(2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系．
19．（8分）如图，为的中线，为的中线．
(1)已知，的周长为，求的周长；
(2)在中作边上的高；
(3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？
20．（8分）如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．

(1)若，求的度数；
(2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
21．（10分）如图，四边形中，，平分，，交于点．

(1)如图1，若，
①求证：；
②作平分，如图2，求证：．
(2)如图3，作平分，在锐角内部作射线，交于，若的大小为，试说明：平分．
22．（10分）【特例感知】
如图1，在中，，求边上的中线的取值范围．
（1）中线的取值范围是______．
【类比迁移】
（2）如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，求证：平分．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，是边上的中线，E是上一点，连接并延长交于点F，，求证：．
23．（12分）【问题处理】
（1）如图1，为等腰三角形，，为边上的一点，连接，以为边作，．过点作交于，若，求证：．
【拓展提升】
（2）如图2，某家具厂制作等边三角形木质装饰框架，边上有一个预先开槽的固定节点（用于拼接），工人在边安装滑动定位块，并以为边加工等边三角形木片，最后连接加固．为计算木料长度，现需探究（定位块到端点的距离）、（固定节点到端点的距离）、（加固边）的数量关系，请你帮助工匠找出，，之间的数量关系，并说明理由．
24．（12分）（24-25七年级下·河南郑州·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题．
【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为．
(1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程．
，
，
∵，，
，，
，
，
……
（补充小芳的过程）
(2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积．
参考答案
一．选择题
1．C
【分析】本题考查了三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边的知识，进行作答，即可求解；
【详解】解：根据三角形的三边关系可得：，
即，
逐一核对选项，只有选项C符合，
故选：C
2．B
【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由全等三角形的判定方法：、、、、，逐一选项分析即可．
【详解】解：A、由能判定，本选项不符合题意；
B、和分别是、的对角，不能判定，本选项符合题意；
C、由能判定，本选项不符合题意；
D、由能判定，本选项不符合题意；
故选B．
3．C
【分析】根据三条边分别对应相等的两个三角形全等，据此进行作图即可得到答案．
【详解】解：根据题意可以作出的三角形如下图所示：

△BAE ≌△ABC △DCB ≌△ABC △CFA ≌△ABC
△ABG ≌△ABC △IBC ≌△ABC △AHC ≌△ABC
故选C．
4．B
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形外角的性质即可求出度数，进一步求得的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
5．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，首先从的周长入手求出，延长至，使，连接，然后利用全等来解．
【详解】解：如图所示，延长至，使，连接，
的周长为2，即，
∵正方形的边长是1，
∴，，，
，
，
在和中，
，
∴，
，，
∴，
，
，
∴，
在与中，，，，
∴，
．
故选：B．
6．A
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．作交的延长线于点，利用全等三角形判定证出，得到，，再证出，得到，再利用线段和差即可求出的长．
【详解】解：作交的延长线于点，
是边长为3的等边三角形，
，，
，
，
，，
，
又，
，
，，
又，，
，
，
．
故选：A．
7．B
【分析】在线段AC上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四边形的周长．
【详解】解：在线段AC上作AF=AB，
∵AE是的平分线，
∴∠CAE=∠BAE，
又∵AE=AE，
∴△AEF≌△AEB（SAS），
∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，
∵AB∥CD，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠AFE+∠CFE=180°，
∴∠D=∠CFE，
∵，
∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°，
∴∠CEF=∠CED，
在△CEF和△CED中
∵,
∴△CEF≌△CED（AAS）
∴CD=CF，
∴四边形的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=，
故选：B．
8．D
【分析】本题主要考查了三角形的面积、三角形的中线等知识点，能灵活运用三角形的中线以及等分线求面积成为解题的关键．
由、、可以求出的面积和的面积，再结合图形可得即可解答．
【详解】解：∵，
，
∵，
，
∵，
∴，，
，
．
故选：D．
9．A
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质等，连接，由等腰三角形的性质可得，，，进而由余角性质得，即得，即可得，得到，利用中线性质求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，如图，
∵是等腰直角三角形，点是斜边的中点，
∴，，，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
10．D
【分析】由和等边是正三角形，其性质得三边相等，三个角为，平角的定义和角的和差得，边角边证明，其性质得结论①正确；根据等边三角形的判定得是等边三角形，结论②正确；根据全等三角形的性质和三角形内角和定理即可得结论③正确；角角边证明，其性质和角平分线性质定理的逆定理求出点在的平分线上，结论④正确．
【详解】解：∵和是正三角形，
，
又 ∵，
，
在和中，
，
，
，
∴结论①正确；
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
是等边三角形，故②正确；
，
，
又，，，
，
，结论③正确；
过点分别作于点、两点，如图2所示：
，
，
在和中，
，
，
，
又 ∵在的内部，
∴点在的平分线上，
∴结论④正确；
综合所述，共有 4个结论正确．
故选：D．
二．填空题
11．
【分析】此题考查了三角形中线的性质，利用中线等分三角形的面积进行求解即可，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用．
【详解】解：∵是的边上的中线，
∴，
∵是的边上的中线，即有是的边上的中线，
∴，，
∴，
∵是的边上的中线，即有是的边上的中线，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积是，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形：
如图作于H，由得，再证明得，即可解决问题．
【详解】解：如图作于H，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵和都是等腰三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
13．或或
【分析】本题考查去啊能三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意确定点的位置．
根据运动过程和三角形全等，分类讨论，确定点的位置，从而可得运动路程，除以运动速度，即可得运动时间．
【详解】解：根据题意，进行分类讨论如下：
当点在线段上，时，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵点的运动速度为个单位/秒，
∴运动时间（秒）；
当点在延长线上，时，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵点的运动速度为个单位/秒，
∴运动时间（秒）；
当点在延长线上，时，，
∴，
∵，
∴，
∵点的运动速度为个单位/秒，
∴运动时间（秒）
∴的值为或或，
故答案为：或或．
14．
【分析】（1）根据等腰三角形性质得，，再根据得，然后根据三角形外角性质即可得出的度数；
（2）设，根据三角形外角性质得，由此得，再求出，则，再由三角形外角性质得，证明和中全等得，则，进而得，由此解出继而可得出的度数．
此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用三角形的内角和定理，三角形的外角性质进行角的计算是解决问题的关键．
【详解】解：（1）当D为中点时，如图1所示：
在中，，，
，
为中点，
，
，
，
，
是的外角，
，
故答案为：90；
（2）当时，如图2所示：
设，
是的外角，
，
又，，
，
，
在中，，，
，
，
，
是的外角，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，
解得：，
故答案为：
15．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题关键是添加辅助线，能洞察到特殊角在求边长中的用法．
延长交于点，延长交于点，可得是等边三角形，，进而知，然后可得，再利用等腰三角形的性质可得，，从而可得，进而在中，利用含30度角直角三角形的性质可得，据此进行计算即可解答．
【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∵，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出是等腰直角三角形，结合三线合一得，，则都是等腰直角三角形，再通过证明，则，再通过证明，即可作答．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵点为边的中点，
∴，，
∴都是等腰直角三角形，
∴，，
则，
∴，
∴，，，
∵分别过点作的垂线，垂足分别为，
∴，
∴，是等腰三角形，
∴
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
∵，
∴四边形的面积
即四边形的面积为
故答案为：
三．解答题
17．（1）证明：在中，，，
∴，
∵是边上的中线，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．（1）解：．
证明：∵三角形纸片沿折叠得到，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵三角形纸片沿折叠得到，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
19．（1）解： 为的中线，
，
，
，
的周长，
，
的周长；
（2）解：如图，即为中边上的高，
（3）解：设点到边的距离为
为的中线， 为的中线，
，
，
，
，
点到边的距离为．
20．（1）解：∵将对折，得到折痕，
∴，
∵将对折，得到折痕，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：不变．理由如下：
∵，，，
∴，
即．
∴的大小不随点的运动而变化．
21．（1）①∵，，
∴．
∵，
∴．
②∵平分，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
（2）延长，交于点，如图所示：

∵，
∴．
∴．
∵平分，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴平分．
22．（1）解：如图1，延长到点，使得，连接．
为边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
，
，
即，
；
故答案为：；
（2）证明：如图2，延长交的延长线于点，
，
，
，，
为的中点，
，
，
，，
，
，
即，
平分；
（3）证明：如图3，延长到点，使，连接，
在和中， ，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
23．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在与中，
∴．
（2）解：，理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∴，
即．
24．（1）解：，
，
∵，，
，，
，
，
∵，，，
∴；
，
∵，，
∴；
（2）解：结论：．理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
；
（3）解：延长，过点作于，如图所示：
，，
，
，，
∴，
，，
，
延长，过点作于，如图所示：
，
，
，
，
由平行线间的平行线段相等可得，
．
故答案为：21．

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