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第2章《实数的初步认识》章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．有数据显示，长沙海吉星蔬菜批发市场日均蔬菜交易量约为，关于这个近似数，下列说法正确的是（ ）
A．它精确到 B．它精确到万位
C．它精确到万分位 D．它精确到千位
2．如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（　　）
A．±（m+1） B．（m2+1） C． D．
3．如图，在数轴上，与之间的整数一共有（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
4．将，，三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，则与表示的两个数的积是（ ）
A． B． C． D．1
5．下列实数中，满足不等式的是（ ）
A． B． C． D．
6．若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长介于（ ）
A．和之间 B．和之间
C．和之间 D．和之间
8．对于实数a、b，定义的含义为：当时，；当时，．例如：．已知，且和为两个连续正整数，则的立方根为（ ）
A． B．1 C． D．2
9．根据图中的程序，当输入为时，输出的值是（　　）
A． B． C． D．
10．观察下列算式：，，，…，它具有一定的规律性，若把第个算式的结果记为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．将5.649精确到百分位所得的近似数是 ．
12．若实数，，满足： ，则的值为 ．
13．已知的一个平方根是5，的立方根是2，c是的整数部分，则的平方根是 ．
14．实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ．

15．已知，则的值为
16．如果x是一个实数，我们把不超过x的最大整数记为，把x的小数部分记为，即．如：，求： ；满足的整数x的值有 个；已知，则 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）计算：
(1)； (2)．
18．（6分）表达无理数小数部分的方法如下：例如，因为的整数部分是1，所以用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．我们可以用来表示的小数部分．
(1)的小数部分是_____；
(2)设的小数部分是，的整数部分是，求的算术平方根．
19．（8分）根据下表回答下列问题：
15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9
225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81
(1)______，______，______；
(2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）；
(3)若，则满足条件的整数有______个．
20．（8分）【定义】用表示一个数对，其中为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．
【知识运用】
(1)直接写出数对的开方对称数对_______；
(2)若数对的一个开方对称数对是，求，的值；
(3)若数对的一个开方对称数对是，求的值．
21．（10分）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题．
(1)如果，其中、为有理数，则___________，___________；
(2)如果，其中、为有理数，求的平方根．
22．（10分）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．

(1)求出这个魔方的棱长；
(2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长；
(3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点A与重合，那么点D在数轴上表示的数为_____．
23．（12分）本学期学方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：
平方根 立方根
定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）
性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
【类比探索】（1）探索定义：观察；
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：__________________________________________________．
（2）探究性质：①81的四次方根是_________；②0的四次方根是_________；③_________（填“有”或“没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：
①______________________________________________________；
②______________________________________________________；
③______________________________________________________
【拓展应用】（1）_________；
（2）比较大小：_________．
24．（12分）阅读下面的文字，解答问题：
【问题发现】（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为________，大正方形的边长为________．
【知识迁移】（2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为________；大正方形的面积为________，边长为________．
【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行．
参考答案
一．选择题
1．B
【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入．还原成原数看3所在的数位即可．
【详解】解：∵，
∴该数精确到万位．
故选C．
2．D
【分析】首先根据平方根性质用m表示出该自然数a，由此进一步表示出，从而进一步即可得出答案．
【详解】由题意得：这个自然数a为：，
∴,
故的平方根用m表示为：，
故选：D．
3．B
【分析】此题考查了无理数的估算能力，运用算术平方根的知识进行估算、求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴与之间的整数是，
即与之间的整数一共有6个，
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了数字类规律探索，实数的运算，由题意可得，每三个数一循环，即以，，为一个循环节，求出表示的数为，表示的数正好是1，即可得解．
【详解】解：由题意可得，每三个数一循环，即以，，为一个循环节，
在数列中是第个，，故表示的数正好是第10轮的最后一个，为，
在数列中是第个，，故表示的数正好是1，
∴与表示的两个数的积是，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了立方根、平方根、不等式的定义，属于基础题．先根据有理数的乘方、立方根的定义计算选项A、D，然后让每个选项与3比较即可作出判断．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：C．
6．A
【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可．
【详解】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69，
∴a=297.5625，b=-656.234909．
∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9，
∴x=2.975625，y=656234.909，
∴．
故选：A．
7．A
【分析】本题考查正方体的体积，立方根的应用，无理数的估算，掌握夹逼法是解题的关键．根据正方体的体积等于溢出的水的体积建立方程，求出方程的解后用夹逼法估算即可．
【详解】解：设该正方体铁块的棱长为，
由题意得：，
解得，
，
，
即该正方体铁块的棱长介于和之间，
故选A．
8．B
【分析】根据题意求出a、b的值即可得到答案．本题主要考查新定义无理数的估算，立方根的运算，准确理解题意是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵a和b为两个连续正整数，，，
∴即，，
∴，
∴，
则的立方根为的1，
故选：B．
9．A
【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，立方根，算术平方根，无理数，先把输入，计算出的值，若结果为无理数则输出结果，若结果为有理数，继续把的值输入进行计算，如此反复直至的结果为无理数即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：当输入为时，
，是有理数，
当输入为时，
，是有理数，
当输入为时，
，是无理数，
∴输出的值是，
故选：．
10．D
【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，通过观察可知，据此可得，再把所求式子裂项相消即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
……，
以此类推可知，，
∴，
∴，
∴
，
故选：D．
二．填空题
11．5.65
【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入．
【详解】将5.649精确到百分位所得的近似数是5.65．
故答案为：5.65．
12．4
【分析】本题考查了绝对值，二次根式和完全平方式的非负性，根据几个非负数的和为0，则每个式子的值多位0，求出x、y、z的值，再代入代数式进行计算即可．
【详解】解：∵，，，
且，
，，，
，，，
．
故答案为：4
13．
【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，立方根，掌握这些知识点是解题的关键．
根据平方根及立方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可．
【详解】解：的一个平方根是5，
，
解得：．
的立方根是，
，
解得：．
是的整数部分，而，
，
，
的平方根为．
14．2
【分析】本题考查了实数与数轴，利用数轴得出，，进而化简即可．
【详解】解：由数轴，得，，
∴，，，
∴原式
，
故答案为：2．
15．或2或3
【分析】本题考查立方根的性质，根据题意得到，结合立方根等于本身的数有，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∴或或；
故答案为：或2或3．
16． 1 3 /
【分析】根据无理数的估算得到，然后根据的定义求解即可求出；
根据得到，然后解不等式组求解即可；首先得到，然后将变形为，然后根据得到，然后由为整数得到，然后代入求出，进而求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
解得，
∴整数x的值有7，8，9，共3个；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵把x的小数部分记为，
∴，
∴，
∵为整数，
∴为整数，
∴当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
∴，
∴，
∴．
故答案为：1，3，．
三．解答题
17．（1）解：原式．
（2）
．
18．（1）解：（1）∵，
∴，
∴的整数部分为 2，小数部分为；
故答案为：；
（2）∵，，
∴，，
∴的小数部分为，整数部分为 ，
∴，
的算术平方根是．
∴的算术平方根是．
19．（1）解：由表格可知，，
；
，
；
，
．
故答案为：15.6；154；0.152；
（2）解： ，
又 ，，
与158最接近；
，
．
（3）解：对两边同时平方可得，
计算可得，
的取值范围是，
则满足条件的整数的个数为个．
故答案为：306．
20．（1）解：，，
∴数对的开方对称数对，；
（2）解：∵，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”，
∴，
∵数对的一个开方对称数对是，
∴，；
（3）解：若，，
则，，
∴；
若，，
则，，
∴；
的值为或．
21．（1）解：，其中，为有理数，为无理数，
∴，
∴；
（2）解：∵，，为有理数，为无理数，
∴，
解之，得．
则．
∴的平方根是．
22．（1）解：设这个魔方的棱长为，
则，
解得：，
即这个魔方的棱长为2；
（2）解：魔方的棱长为2，则每个小立方体的棱长都为，
每个小正方形的面积都为，
魔方的一面的面积为，
阴影部分的面积，
正方形的面积为，
它的边长为；
（3）解：由（2）可知正方形边长为，
,
点A与重合，
点D在数轴上表示的数为,
故答案为：．
23．类比探索：（1）类比平方根和立方根，给四次方根下定义：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根；
（2）①81的四次方根是：；②0的四次方根是：0；③没有四次方根；
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：
①一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；
②0的四次方根是0；
③负数没有四次方根；
拓展应用：（1）；
（2）∵，
∴．
24．解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为；
故答案为：2，；
（2）由题意得：所得到的小正方形的边长为：；大正方形的面积为：；边长为；
故答案为：1，13，；
（3）不可行，理由如下：
设截出的长方形纸片的长为，宽为，
则，
∴（负值舍去），
∴截出的长方形纸片的长为，
∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．

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