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第四章《一元一次方程》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式中，一元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　）
0 1 2
9 7 5 3 1
A． B． C． D．
3．下列变形中，不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值：
则关于的方程的解为（　　）
A． B． C． D．
5．下列方程的解法中，错误的个数是（ ）
①方程，移项，得；
②方程，去括号，得；
③方程去分母，得：；
④方程，系数化为1，得：．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若关于的方程的解为，则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．不能确定
7．已知关于x的方程，则下列说法不正确的是（ ）
A．时方程无解 B．无论b的值为多少，方程的解不可能是
C．时，方程解为 D．时
8．若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是．则的值是（ ）
A． B． C． D．15
9．某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（ ）
A．350元 B．320元 C．270元 D．220元
10．某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下：
阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度）
第一阶梯 2760度及以下部分 0.538
第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588
第三阶梯 4801度及以上部分 0.838
小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（ ）
A．5250度 B．5100度 C．4900度 D．4850度
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
11．写出一个一元一次方程，满足下列要求：①方程的解为；②未知数的系数不能为1，这个方程可以是 ．
12．若方程是关于x的一元一次方程，则方程的解为 ．
13．已知，，当的值为 时，．
14．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a，b，规定，那么当时，x的值是 ．
15．设，，，为有理数，现规定一种新的运算，则满足等式：的的值为 ．
16．若关于的方程的解与方程的解互为相反数，则的值为 ．
17．一列方程如下排列：的解是，
的解是，的解是，…
根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： ．
18．如图，将第1个图中的正五边形剪开得到第2个图，第2个图中共有5个正五边形；将第2个图中一个正五边形剪开得到第3个图，第3个图中共有9个正五边形．……此规律进行下去，若第个图中共有2025个正五边形，则的值为 ．
19．如图，、、、为直线上的个动点，其中，．在直线上，线段以每秒个单位的速度向左运动，同时线段以每秒个单位的速度向右运动，则运动 秒时，点到点的距离与点到点的距离相等．
20．如图是一个数表，现用一个矩形在数表中任意框出：4个数，当时， ．
三、解答题（本大题共5小题，共60分）
21．（本题8分）解下列方程：
(1) (2)
(3) (4)
22．（本题8分）七（1）班数学老师在批改小颖的作业时，发现小颖在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“”处的数字也模糊不清了．
(1)请你帮小颖求出“”处的数字．
(2)请你求出原方程正确的解．
23．（本题8分）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“有趣方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“有趣方程”．请根据上述规定解答下列问题：
(1)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，则______．
(2)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，且它的解为，求、的值．
24．（本题8分）某市按以下规定收取每月水费：若每月每户用水不超过，则每立方米按元收费；若每月每户用水超过，则超过部分每立方米按元收费．
(1)李明家上个月用水，他上个月应交水费多少元？
(2)若当月用水量为（），请你用含的式子表示当月所付水费金额；
(3)如果王鹏家月份所交水费的平均价为每立方米元，那么王鹏家月份用水多少立方米？请你设未知数列方程完成此问．
25．（本题8分）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“友好点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“友好点”．
(1)若点M表示数， 点N表示的数4，下列各数0，1，2所对应的点分别为，其中是点M，N的“友好点”的是___________；
(2)点A表示数， 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“友好点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“友好点”，写出此时点P表示的数___________．
参考答案
一、选择题
1．B
【知识点】判断是否是一元一次方程
【分析】本题考查判断一元一次方程，熟记一元一次方程定义中的三点要求是解题的关键．一元一次方程是含有一个未知数，未知数的指数为1的整式方程，根据定义判断即可．
【详解】A. ，未知数的最高次为2，不是一元一次方程；
B. 符合一元一次方程的定义，是一元一次方程；
C. 含有2个未知数，不是一元一次方程；
D. 是不是整式方程，所以不是一元一次方程；
故选：B．
2．C
【知识点】判断是否是一元一次方程解
【分析】本题考查一元一次方程的解，根据表格可知，当时，，故的解为．
【详解】解：由表格可知：当时，，
∴的解为．
故选C．
3．D
【知识点】等式的性质1、等式的性质2
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：、若，等式两边同时加，可得，该选项变形正确，不合题意；
、若，等式两边同时乘，可得，该选项变形正确，不合题意；
、若，等式两边同时除以，可得，该选项变形正确，不合题意；
、若，当时，不一定等于，该选项变形不正确，符合题意；
故选：．
4．C
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程 的方法是解题的关键．
先根据表格中数据可知，当时，，则， 当时，，则，即，把，的值代入得出关于 的一元一次方程，再根据解一元一次方程的方法求解即可．
【详解】解：由表格中数据可知，当时，，
∴，
当时，，
∴，即，
∴，
把，分别代入，
得，
，
∴，
故选：．
5．C
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，各方程整理得到结果，即可作出判断，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．
【详解】解：①方程，移项应得，即；该项错误，符合题意；
②方程，去括号应得，该项正确，不符合题意；
③方程去分母，应得，即，该项错误，符合题意；
④方程，系数化为1应得，该项错误，符合题意；
∴错误的个数是3个，
故选：C．
6．B
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、一元一次方程解的关系
【分析】本题考查方程解的定义，换元法及同解方程知识，根据题意，令，则关于的方程与关于的方程是同解的方程列式求解即可得到答案，熟记方程解的定义是解决问题的关键．
【详解】解：令，
由是方程的解可知，
关于的方程的解满足，
解得，
故选：B．
7．D
【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（二）——去括号
【分析】本题考查一元一次参数方程解的情况，正确理解一元一次参数方程解的情况是解题的关键．
根据题意逐项求解判断即可．
【详解】A．当时，，不符合题意，故方程无解，选项正确；
B．当时，，不符合题意，故无论b的值为多少，方程的解不可能是，选项正确；
C．当时，
去括号得，
移项得，
系数化为1得，，故选项正确；
D．当时，，不符合题意，故方程无解，选项错误．
故选：D．
8．A
【知识点】已知一元一次方程的解，求参数
【分析】先把代入方程，整理成关于k的一元一次方程，根据方程的解与k无关，得到关于k的方程有无数解，根据一元一次方程有无数解的条件，列式解答即可．
本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握方程有无数解的基本条件是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
9．A
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设这款风扇每台的标价为元，根据按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元可得风扇的进价为元，根据按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元可得风扇的进价为元，据此建立方程求解即可．
【详解】解：设这款风扇每台的标价为元，
由题意得，，
解得，
∴这款风扇每台的标价为350元，
故选：A．
10．C
【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是先判断出小聪家去年前11个月用电量超过2761度，不足4800度，设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据12月份用电量为500度，电费为319元，列出方程，解方程即可．
【详解】解：∵（元），（元），
又∵，
∴小聪家去年前11个月用电量超过2761度，不足4800度，
设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据题意得：
，
解得：，
（度），
答：小聪家去年全年用电量为4900度．
故选：C．
二、填空题
11．（答案不唯一）
【知识点】判断是否是一元一次方程解、判断是否是一元一次方程
【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，根据一元一次方程的定义，构造出符合条件的方程即可．
【详解】解：答案不唯一，如等．
故答案为：（答案不唯一）．
12．
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、判断是否是一元一次方程解
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此求出m的值，进而得到原方程，再解方程即可得到答案．
【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程，
∴，
∴，
∴原方程为，
解得，
故答案为：．
13．
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意列得一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵，，且，
∴，
解得，
故答案为：．
14．4
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号
【分析】本题考查解一元一次方程，由题意得，，解方程可得x的值．
【详解】解：由题意得，，
解得．
故答案为：4．
15．
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号
【分析】本题考查解一元一次方程．根据新运算得出，再求解即可得出答案．
【详解】解：根据新运算可得：，
整理得：，
解得：，
故答案为：．
16．
【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查方程的解的问题及参数的求解，解题的关键是分别求出两个方程的解，根据互为相反两个数和为，列新方程求解．
分别解出两个方程的解用含的字母表示，再根据互为相反数列式即可得到答案．
【详解】解：由题意得：解方程，
解得；
解方程，
解得；
∵两个方程的解互为相反数，
，
解得：；
故答案为：
17．
【知识点】一元一次方程解的关系、解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了一元一次方程的解，能根据题意得出规律是解此题的关键．
先根据已知方程得出规律，再根据得出的规律得出答案即可．
【详解】解：∵一列方程如下排列：
的解是；
的解是；
的解是；
∴一列方程如下排列：
的解是；
的解是；
的解是；
…，
由此可得：解为的方程为：
，
即，
故答案为：．
18．507
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、几何问题(一元一次方程的应用)、图形类规律探索
【分析】本题考查了图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．根据图形的变化，后一个图形的正方形的个数都比前一个图形的正五边形的个数多4个，第n个图形的正五边形的个数为即可求解．
【详解】解：观察图形可知：第1个图中有1个正五边形，即；
第2个图中有5个正五边形，即；
第3个图中有9个正五边形，即；
……
∴第n个图中正方形的个数为；
则，
解得：，
∴第个图中共有2025个正五边形，则的值为507．
故答案为：507．
19．或
【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）
【分析】本题考查了线段的和差，一元一次方程.
设运动时间为t，分当C和F都在线段上时，当C在线段上，F在的延长线上时，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：设运动时间为t，
当C和F都在线段上时，
由题意得：，
解得；
当C在线段上，F在的延长线上时，
由题意得，
解得
故答案为：或．
20．20
【知识点】日历问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意，分别用含的代数式表示出，得到关于的一元一次方程，进行求解即可．
【详解】解：由图可知：，
∴，
∴；
故答案为：20．
三、解答题
21．（1）解：
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（3）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（4）解：
整理得，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
22．（1）解：依题意，把代入，
得，
整理得，
去分母得，
移项，
合并同类项得，
系数化1，得；
（2）解：由（1）得，则，
去分母得，
去括号得，
移项得得，
合并同类项得，
系数化1，得．
23．（1）解：解方程，得，
∵方程是“有趣方程”，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）解：解方程，得，
∵方程是“有趣方程”，
∴，，
解得，．
24．（1）解：根据题意，得（元）
答：他上个月应交水费92.5元．
（2）解：∵当月用水量为（），
∴当月所付水费金额为元；
（3）解：根据题意，得
解得
答：王鹏家12月份用水50立方米．
25．（1）解：∵，
∴，
∴是点M，N的“友好点”，
∵，
∴，
∴不是点M，N的“友好点”，
∵，
∴，
∴是点M，N的“友好点”，
综上，是点M，N的“友好点”，
故答案为：
（2）解：设点P表示的数为x，
∵点A表示数， 点B表示的数30，
∴①若点P在点B的左侧，，
当点P在点A的右侧，，
∵点P是点A，B的“友好点”，
∴，
∴，
解得；
或，
∴，
解得；
当点P在点A的左侧，，
此时，,
∴，
解得；
综上，点P表示的数为或或；
②若点P在点B的右侧，则，
当，，
解得，
当，，
解得，
当，，
解得，
综上，点P表示的数为50或110或70．
故答案为：50或110或70．

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