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2024-2025 学年山东省济南市槐萌区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.如图，七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代
演变而成七巧板.下列由七巧板拼成的表情图中，是轴对称图形的为( )
A. B. C. D.
2.量角器每条刻度线上都标记着两个角度，如 70°和 110°标记在同一刻度线上，那么如图所示同一刻度上
的两个角度表示的∠ 和∠ 是一对( )
A.对顶角 B.余角 C.同位角 D.补角
3.下列运算中，正确的是( )
A. 2 + 3 = 5 B. (2 3)3 = 6 9
C. ( + )2 = 2 + 2 D. ( + )( ) = 2 2
4.小强同学将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠ = 30°，∠ = 45°，点 是公共顶点，边 / / ，
则∠ 的度数为( )
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
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5.某科研小组通过实验获取的声音在空气中传播的速度与空气温度之间的一组数据如表：
空气温度(℃) 20 10 0 10 20 30
声速( / ) 318 324 330 336 342 348
根据表格中的数据，判定下列说法不正确的是( )
A.在这个变化中，自变量是空气温度，因变量是声速
B.空气温度越高，声速越快
C.当空气温度为 0℃时，声音 3 可以传播 900
D.当空气温度每升高 10℃，声速相应增加 6 /
6.“天宫课堂”第四课航天员演示了“水球变向实验”，水球的运动轨迹可表示为二元一次方程 2 + =
6.下列哪组解是这个二元一次方程的解( )
A. = 1 B. = 2 C. = 3 = 1 = 3 = 1 = 0 D. = 6
7.如图，△ 和△ ′ ′关于直线 对称， 交 ′于点 ，若 = 4，
′ ′ = 2， = 0.5，则五边形 ′ ′的周长为( )
A. 11 B. 12
C. 13 D. 14
8.3 月 14 日数学节当天，我校初一年级学生积极参与“速算游园”活动.活动中，小阳和小光展开了如下对
话：
小阳说：“我比你多解了 3 道题!”
小光回应：“如果你给我 3 道题，我的解题数量就是你的两倍啦.”
若两人的陈述均为真，设小阳解了 道题，小光解了 道题，则可列方程组( )
= + 3 = + 3
A. + 3 = 2( 3) B. + 3 = 2( 3)
= + 3 = + 3
C. + 3 = 2( 3) D. + 3 = 2( 3)
9.如图，等边三角形 的边长为 9， 为 边上一动点， 为 延长线上一动点， 交 于点 ，点 为
中点.若 ⊥ ，则 长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
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10.仔细观察，探索规律：
( 1)( + 1) = 2 1；( 1)( 2 + + 1) = 3 1；( 1)( 3 + 2 + + 1) = 4 1 则22025 +
22024 + 22023 + + 2 + 1 的个位数字是( )
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。
11.单项选择题是数学试题的重要组成部分，当你遇到不懂做的情况时，如果你随
便选一个答案(假设每个题目有 4 个备选答案)，那么你答对的可能性为______．
12.如图，将一个长方形 沿着直线 折叠，顶点 刚好落在边 上的点 ′处，
若∠1 = 25°，则∠ 的度数为______度.
13.如图，△ 为等腰直角三角形，∠ = 90°，直线 经过点 ，作 ⊥ 于点
，作 ⊥ 于点 ，若 = 20， = 2，则 = ______．
14.计算：124 × 122 1232 = ______．
15.如图，在△ 中，∠ = 90°，取 边上一点 ，将△ 沿 折叠，
若点 恰好落在 的中点 上，则∠ 的度数是______．
16.火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度 (米)与火车行驶时间
(秒)之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：①火车的长度为
120 米；②火车的速度为 30 米/秒；③火车整体都在隧道内的时间为 25
秒；④隧道长度为 900 米.其中正确的结论______. (填序号)
三、解答题：本题共 10 小题，共 86 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 6 分)
计算：| 1 | + ( 1)2025 × ( 3.14)0 2 12 ．
18.(本小题 6 分)
先化简，再求值：[( )2 + ( + )( )] ÷ 2 ，其中 = 1， = 2．
19.(本小题 6 分)
2 = 2
解方程组： 4 + = 10．
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20.(本小题 8 分)
如图所示， 、 相交于点 ， 是 上一点， 是 上一点， // 且∠ = ∠1．
(1)试说明： // ；
(2)若∠ = 35°，∠1 = 60°，求∠ 的度数．
21.(本小题 8 分)
如图所示，由每一个边长均为 1 的小正方形构成的 8 × 8 正方形网格中，点 ， ， ， ， 均在格点上(小
正方形的顶点为格点)，利用网格画图．
(1)画出△ 关于直线 对称的△ ′ ′ ′；
(2) △ 的面积为______；
(3)在线段 上找一点 ，使得∠ = ∠ . (保留必要的画图痕迹，并标出点 位置)
22.(本小题 8 分)
某校为促进学生的体能发展，培养学生的运动习惯，特开展“运动悦生活”主题活动.同学们可以选择不同
的体育运动进行每日打卡，当运动量累计达到一定标准，即可领取相应的奖励.下面是针对跳绳运动的两种
打卡方式：
方式一：每天跳绳 100 个；
方式二：第一天跳绳 10 个，之后每天跳绳数量是前一天的 2 倍．
表一每天跳绳个数
天数 1 2 3 4 …
方式一 100 100 100 100 … 100
方式二 10 10 × 2 10 × 4 10 × 8 … 10 × 2 1
表二累计跳绳个数
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天数 1 2 3 4 …
方式一 100 200 300 400 …
方式二 10 × 2 10 10 × 22 10 10 × 23 10 10 × 24 10 …
(1)根据上述两种打卡方式补全表二；
(2)根据表二，以天数 为横坐标，该天累计跳绳个数为纵坐标，绘制相应的点，并连线表达变化趋势.其中
表示方式二变化趋势的图象是______(填 或 )，根据趋势判断，从第______天完成打卡时开始，选择方式
二累计跳绳的个数超过方式一．
23.(本小题 10 分)
根据以下素材，探索完成任务．
某体育用品商场销售 、 两款足球， 款、 款足球的进价分
素材 1 别为 60 元、80 元，售价分别为 90 元、120 元.若该商场在 3
月份购进 款、 款两种足球共 60 个，进货共用 4400 元．
为配合各校“阳光体育”系列活动的开展，该体育用品商场 4 月份推出以下两种促销方案(两种方
案不可叠加使用)；
素材 2
①“买五赠一”：即购买 5 个 款足球赠送 1 个 款足球；
② 款、 款足球均打九折销售．
问题解决
任务 1 求 3 月份该商场购进 款、 款足球各多少个？
任务 2 某校 4月份打算在该商场购买 20个 款足球和 10个 款足球，请问选择上述哪种促销方案更合适？
24.(本小题 10 分)
如图， 是∠ 的平分线，点 在射线 上， 、 是直线 上的两动点，点 在点 的右侧，且 = ，
作线段 的垂直平分线，分别交直线 、 于点 、点 ，连接 、 ．
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(1)①如图 1，当 、 两点都在射线 上时，猜想线段 与 数量关系是______．
②小明想运用添加辅助线、构造全等三角形的方法，证明①中的数量关系，如图 2.请你帮助小明完善说理
过程．
理由如下：连接 ，
∵ 垂直平分 (已知)，
∴ = (______)，
∴△ 是等腰三角形(等腰三角形定义)，
∴ ∠ = ______(等腰三角形的两个底角相等)，
∵ 是∠ 的平分线(已知)，
∴ ∠ = ∠ (角平分线的定义)，
∴ ∠ = ______(等量代换)，
(请你填空并完成剩下的说理过程. )
(2)如图 3，当 、 两点都在射线 的反向延长线上时，(1)中的结论是否仍然成立，并说明理由．
25.(本小题 12 分)
问题：
有一个正方形的边长为 + 3，面积为 1，一个长方形的长和宽分别为 + 2 和 2，面积为 2，试比较 1和 2
的大小．
尝试 思考：
甲组认为 是一个变量，可以取几个特殊值验证：
填空：当 = 1 时， 1______ 2；当 = 5 时， 1______ 2；…
乙组提出质疑：以上结论是否具有一般性？大家开始了探究!
思考 交流：
丙组提出比较两个整式的大小可采用“作差法”：就是通过作差、变形、并利用差的符号来确定它们的大
小，即要比较代数式 、 的大小，只要算 的值，若 > 0，则 > ；若 = 0，则 = ；若
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< 0，则 < ．
据此得到： 1 2 = ______(用含 的代数式表示)．
为了比较 1 2与 0 的大小关系，丁老师给出了问题解决策略：
对于形如 2 + 2 + 2的二次三项式，可以写成( + )2的形式.但对于二次三项式 2 + 2 3，就不能直接
写成完全平方的形式了.对此，我们可以这样解决：
2 + 2 3 = 2 + 2 + 1 4 = ( + 1)2 4.像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做
配方法．
①如果 2 + + 16 是完全平方式，则 = ______．
②二次三项式 2 + 8 + 17 配方后可变形为______，该式子的值______0(填“>”“<”或“=”)．
问题解决：根据你学到的解题策略写出本题完整的解答过程．
有一个正方形的边长为 + 3，面积为 1，一个长方形的长和宽分别为 + 2 和 2，面积为 2，试比较 1和 2
的大小．
回顾 反思：
回顾解决本题的过程，你得到了哪些解决此类问题的策略？(30 字以内)
26.(本小题 12 分)
【教材呈现】如图为北师大版七年级下册数学教材第 103 页的部分内容：
尝试 交流
如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角，情况会怎样呢？
如图，已知△ 的 边和边长为 的 边，以及 边的对角∠ ，你能用尺
规确定顶点 的位置吗？把你作的三角形与同伴作的进行比较，由此你发现了
什么？与同伴进行交流．
(1)【操作发现】如图 1，通过作图我们可以发现，此时(即“边边角”对应相等)两个三角形______全等(填
“一定”或“不一定”)；
(2【) 探究说理】如图 2，在△ 和△ 中，∠ = ∠ ， = ，∠ + ∠ = 180°(∠ < ∠ ).说明： = ．
小明的做法是，在 上取一点 ，使 = .通过证明△ ≌△ ，最终得到 = .其中，小明证
明△ ≌△ 的依据是______；
A.
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B.
C.
D.
(3)【拓展应用】已知在△ 中， = ，点 在 的延长线上，点 在射线 上， = ，连接
交直线 于点 ．
①当点 在线段 上时，如图 3 所示，求证： = ；
②过点 作 ⊥ 交直线 于点 ，若 = 8， = 1，直接写出线段 的长．
(本题的解答过程无需书写证明部分的理由. )
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.14
12.77.5
13.22
14. 1
15.30°
16.②③
17. = 1解：原式 2 + ( 1) × 1
1
2
1 1
= 2 1 2
= 1．
18.解：原式= ( 2 2 + 2 + 2 2) ÷ 2
= (2 2 2 ) ÷ 2
= ．
当 = 1， = 2 时，
原式= 2 ( 1) = 2 + 1 = 1．
19. 2 = 2①解： ，
4 + = 10②
① +②，得 6 = 12，
解得 = 2，
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把 = 2 代入①，得 2 × 2 = 2，
解得 = 2，
= 2
所以方程组的解为 = 2．
20.(1) ∵ // ，
∴ ∠ = ∠1，
∵ ∠ = ∠1，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ // ；
(2)由(1)可知， // ，
∴ ∠ = ∠ = 35°，
∵ ∠1 = 60°，
∴ ∠ = ∠ + ∠1 = 95°．
21.解：(1)如图所示，△ ′ ′ ′即为所求．
(2) △ = 2 × 4 1的面积 2 × 2 × 2
1
2 × 1 × 2
1
2 × 1 × 4 = 3．
故答案为：3；
(3)如图所示，点 即为所求．
22.(1)结合表二数据，
方式一：
得天数为 1，则累计跳绳个数为 100，
天数为 2，则累计跳绳个数为 200，
天数为 3，则累计跳绳个数为 300，
天数为 4，则累计跳绳个数为 400，
……，
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以此类推：天数为 ，则累计跳绳个数为 100 ；
方式二：
得天数为 1，则累计跳绳个数为 10 × 2 10，
天数为 2，则累计跳绳个数为 10 × 4 10，
天数为 3，则累计跳绳个数为 10 × 8 10，
天数为 4，则累计跳绳个数为 10 × 16 10，
……，
以此类推：天数为 ，则累计跳绳个数为 10 × 2 10，
故答案为：100 ，10 × 2 10；
(2)根据表二，以天数 为横坐标，该天累计跳绳个数为纵坐标，绘制相应的点，并连线表达变化趋势．
∴其中表示方式二变化趋势的图象是 ，根据趋势判断，
依题意，当 = 5 时，则 100 = 500，10 × 25 10 = 310，
当 = 6 时，则 100 = 600，10 × 26 10 = 630，
∵ 630 > 600，
∴从第 6 天完成打卡时开始，选择方式二累计跳绳的个数超过方式一；
故答案为： ，6
23.解：(任务 1)设 3 月份该商场购进 款足球 个， 款足球 个，
+ = 60
根据题意得： 60 + 80 = 4400，
= 20
解得： = 40．
答：3 月份该商场购进 款足球 20 个， 款足球 40 个；
(任务 2)选择促销方案①所需费用为 120 × 20 + 90 × (10 20 ÷ 5) = 2940(元)；
选择促销方案②所需费用为(120 × 20 + 90 × 10) × 0.9 = 2970(元)，
∵ 2940 < 2970，
∴选择促销方案①更合适．
24.(1)①猜想线段 与 数量关系是： = ，
故答案为： = ；
②理由如下：连接 ，如图 2 所示：
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∵ 垂直平分 (已知)，
∴ = (线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)，
∴△ 是等腰三角形(等腰三角形定义)，
∴ ∠ = ∠ (等腰三角形的两个底角相等)，
∵ 是∠ 的平分线(已知)，
∴ ∠ = ∠ (角平分线的定义)，
∴ ∠ = ∠ (等量代换)，
在△ 和△ 中，
=
∠ = ∠ ，
=
∴△ ≌△ ( )，
∴ = (全等三角形对应边相等)．
故答案为：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；∠ ；∠ ；
(2)仍然成立，理由如下：
连接 ，如图 3 所示：
∵ 垂直平分 ，
∴ = ，
∴△ 是等腰三角形，
∴ ∠ = ∠ ，
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∵ 是∠ 的平分线，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ + ∠ = 180°，∠ + ∠ = 180°，
∴ ∠ = ∠ ，
在△ 和△ 中，
=
∠ = ∠ ，
=
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ．
25.解：尝试 思考：由题意，当 = 1 时， 1 = 16， 2 = 6，
∴ 1 > 2；
当 = 5 时， 1 = 64， 2 = 14，
∴ 1 > 2；
故答案为：>，>；
思考 交流：由题意， 1 = ( + 3)2， 2 = 2( + 2)，
∴ 1 2 = ( + 3)2 2( + 2)
= 2 + 6 + 9 2 4
= 2 + 4 + 5．
故答案为： 2 + 4 + 5；
①由题意，∵ 2 + + 16 是完全平方式，且 2 ± 8 + 16 = ( ± 4)2，
∴ =± 8．
故答案为：±8．
②由题意得， 2 + 8 + 17 = ( + 4)2 + 1．
又∵对于任意实数 都有( + 4)2 ≥ 0，
∴ ( + 4)2 + 1 ≥ 1 > 0．
故答案为：( + 4)2 + 1；>．
问题解决：由题意，∵ 1 2 = 2 + 4 + 5 = ( + 2)2 + 1 ≥ 1，
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∴ 1 2 > 0．
∴ 1 > 2．
26.(1)解：通过作图我们可以发现，此时(即“边边角”对应相等)两个三角形不一定全等．
故答案为：不一定；
(2)证明：在 上取一点 ，使 = ，
∴ ∠ = ∠ ， = ，
∵ ∠ + ∠ = 180°，∠ + ∠ = 180°，
∴ ∠ = ∠ ，
在△ 和△ 中，
∠ = ∠
∠ = ∠ ，
=
∴△ ≌△ ( )，
故答案为： ；
(3)①证明：如图 3.1，在 上取一点 ，使 = ，
∵ = ，
∴ ∠ = ∠ ，
又∵ = ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ = ， = ，
∴ = ，
在△ 和△ 中，
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∠ = ∠
∠ = ∠ ,
=
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ；
②解：线段 的长为 3 或 5；理由如下：
如图 3.2，当点 在线段 上时，
∵△ ≌△ ，
∴ = = 1，
∴ = 8 1 1 = 6．
∵ = ， ⊥ ，
∴ = 12 = 3；
如图 3.3，当点 在线段 的延长线上时，
同①可证，△ ≌△ ，
∴ = = 1，
∴ = 8 + 1 + 1 = 10．
∵ = ， ⊥ ，
∴ = 12 = 5，
综上可知，线段 的长为 3 或 5．
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