资源简介

2024-2025 学年山东省淄博市张店区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1. 36等于( )
A. ±3 B. 3 C. ±6 D. 6
2.如图，在△ 中， ， 分别是边 ， 上的点，且 // .若 = 2， = 4， = 1，则 的长
是( )
A. 12 B. 1
C. 2 D. 3
3.下列运算结果正确的是( )
A. 3 + 2 = 3 2 B. 5 2 = 3 C. 3 6 = 3 2 D. 3 ÷ 6 = 2
4.如图，△ ∽△ ′ ′ ′.若∠ = 66°，则∠ 的对应角∠ ′的大小为( )
A. 65°
B. 66°
C. 67°
D. 68°
5.如表是代数式 2 + 12 15 的部分值的情况．
1.1 1.2 1.3 1.4
2 + 12
15 0.59 0.84 2.29 3.76
根据表格中的数据，则关于方程 2 + 12 15 = 0 的一个正根 1的判断正确的是( )
A. 1 < 1.1 B. 1.1 < 1 < 1.2 C. 1.2 < 1 < 1.3 D. 1.3 < 1 < 1.4
6.如图，在 9 × 6 的正方形网格中，△ 与△ (两个三角形的顶点都在该网格的格点上)是位似三角
形.若取格点 ， ， ， ，则其中是这两个三角形的位似中心的是( )
A.
B.
C.
D.
第 1页，共 13页
7.如图，在矩形 中，摆放着正方形 (点 在 上)和正方形 (点 在 上)，延长 交 于
点 .若 正方形 = 28， 正方形 = 12，则阴影部分矩形 的面积等于( )
A. 15 B. 16
C. 17 D. 18
8.已知四边形 是菱形，其两边 ， 的长是关于 的一元二次方程 4 2 4 + 2 = 1 的两个实数
根，则 的值为( )
A. 1 B. 1 12 C. 2 D. 1
9.我国古代数学家赵爽(公元 3～4 世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载
过一元二次方程正根的几何解法，以方程 2 + 2 8 = 0 即 ( + 2) = 8 为例
说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是( + + 2)2，同时它又
等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 4 × 8 + 22，因此( + +
2)2 = 4 × 8 + 22，所以 = 2.则在下面四个构图中，能正确说明一元二次方程
2 4 5 = 0 正根的几何解法的构图是( )
A. B.
C. D.
10.如图，在边长为 4 的正方形 中，点 在对角线 上，连接 ，过点 作 的垂线交边 于点 ，
交 的延长线于点 .若 = 2 ，则 的长度为( )
A. 8 B. 2 21 C. 10 D. 3 10
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。
第 2页，共 13页
11.要使 2有意义，则 的取值应满足的条件是______．
12.设 1， 2是方程 2 2 1 = 0 的两个实数根，则 1 + 2 1 2的值是______．
13.物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影
的方法.如图，燃烧的蜡烛(竖直放置) 经小孔 在屏幕(竖直放置)上成像 ′ ′，
设 = 36 ， ′ ′ = 24 ，小孔 到 的距离为 30 ，则小孔 到 ′ ′
的距离为______ ．
14.如图，在矩形 中， = 3， = 4.点 为对角线 上异于 的一点，以 ，
为邻边作平行四边形 ，则线段 的最小值是______．
15.如图，在边长为 4 的菱形 中，∠ = 60°， ， 分别是边 ， 上
的点，将△ 沿 翻折.若使得点 的对应点 ′恰好落在该菱形的一条边上，
且 ′ = 1，则 = ______．
三、解答题：本题共 8 小题，共 90 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 10 分)
(1)计算： 32 3 12 + 2；
(2)已知 = 2 3， = 2 + 3，求 2 + + 2的值．
17.(本小题 10 分)
解方程：
(1) 2 2 + 1 = 4；
(2)2 2 + 3 2 = 0．
18.(本小题 10 分)
如图，在 △ 中，∠ = 90°， ⊥ 于点 ．
(1)求证：△ ∽△ ；
(2)若 = 2， = 1，求 ．
第 3页，共 13页
19.(本小题 10 分)
阅读下列材料：
1 1×( 2 1)
2+1 = ( 2+1)( 2 1) = 2 1；
1 = 1×( 3 2)3+ 2 ( 3+ 2)( 3 2) = 3 2；
1 1×( 4 3)
4+ 3 = ( 4+ 3)( 4 3) = 2 3；
以上这种将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．
回答下列问题：
(1) 1将 7+ 6分母有理化后的结果为______；
(2) 1当 为正整数时， +1+ = ______；
(3) ( 1 + 1 + 1 + + 1计算 2+1 3+ 2 4+ 3 2026+ 2025 ) × ( 2026 + 1)的值．
20.(本小题 12 分)
某水果商场经销一种高档水果，原价每千克 50 元．
(1)连续两次降价后每千克 32 元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利 10 元，每天可售出 500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取
适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过 8 元，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克，现
该商场要保证每天盈利 6000 元，那么每千克应涨价多少元？
21.(本小题 12 分)
如图 1，在 △ 中，∠ = 90°， 为 边上一点，过点 作 ⊥ 于点 ，过点 作 // ，交
延长线于点 ．
(1)求证： = ；
(2)如图 2，当 为 边中点时，连接 ， ．
①求证：四边形 是菱形；
②当∠ 为多少度时，四边形 是正方形？并请说明理由．
第 4页，共 13页
22.(本小题 13 分)
下面是爱思考的小颖同学在学习了一元二次方程的解法之后，又探索发现了一元二次方程的另一种解法.请
认真阅读小颖同学的解法，并完成下面的相关任务．
【阅读材料】
解方程： ( + 4) = 6．
小颖同学的解法：将原方程变形，得( + 0)( + 4) = 6，
再变形，得[( + 2) 2][( + 2) + 2] = 6，
所以，( + 2)2 22 = 6，
所以，( + 2)2 = 6 + 22，
所以，( + 2)2 = 10，
直接开平方并整理，得 1 = 2 + 10, 1 = 2 10．
所以，原方程的解为 1 = 2 + 10, 1 = 2 10．
【用以致学】
请运用小颖同学的解法解下列方程：
(1)( + 2)( + 6) = 5；
(2)( 3)( + 1) = 12．
【总结感悟】
(3)若在用小颖的方法解关于 的方程( + )( + ) = ( , , 是常数)时，可将其变形为[( + ) ][( +
) + ] = ( , 也是常数)，则 =______， =______. (用含 ， 的式子表示 ， )
23.(本小题 13 分)
【问题情境】
小明学习了正方形的相关知识之后，在一次“综合与实践”课上对正方形进行了更加深入的探究性学习.如
图 1， 是边长为 4 的正方形 的边 上的一个动点(点 不与顶点 ， 重合)，连接 (设∠ = )，
将线段 绕点 顺时针旋转 2 角，得到线段 ′，连接 ′ 并延长交射线 于点 ，连接 ．
【初步探究】
(1)若 = 60°，则∠ ′ =______度；
(2)在(1)的条件下，连接 ，请直接写出线段 与线段 ′ 之间的数量关系和位置关系；
【深入探究】
(3)如图 2，随着点 的运动，旋转角度 2 的大小也在发生变化，小明发现：在点 运动的过程中，始终存在
′ = 2 .请证明 ′ = 2 ；
第 5页，共 13页
【拓展延伸】
(4)如图 3，连接 ′，取 ′的中点 ，连接 ， ，小明又发现：在点 运动的过程中， 22 +
存在最小值.请直接写出 2
2 + 的最小值．
第 6页，共 13页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. ≥ 2
12.3
13.20
14.125
15.3 7或2
16.(1)原式= 4 2 32 2 + 2
= 72 2；
(2) ∵ = 2 3, = 2 + 3，
∴ + = 4， = 4 3 = 1，
∴ 2 + + 2
= ( + )2
= 42 1
= 15．
17.(1) 2 2 + 1 = 4，
配方得，( 1)2 = 4，
解得， 1 =± 2，
所以，原方程的解为 1 = 3， 2 = 1；
(2)2 2 + 3 2 = 0，
第 7页，共 13页
因式分解得，( + 2)(2 1) = 0，
解得， + 2 = 0 或 2 1 = 0，
1
所以，原方程的解为 1 = 2, 2 = 2．
18.(1)证明：∵ ⊥ 于点 ，
∴ ∠ = ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∵ ∠ + ∠ = ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ．
(2)解：∵△ ∽△ ，
∴ = ，
∵ = 2， = 1，
2
∴ = = ( 2)
2
1 = 2，
∴ 的长是 2．
19.(1) 1 7 67+ 6 = ( 7+ 6)( 7 6) = 7 6；
故答案为： 7 6；
(2) 1 +1 当 为正整数时， +1+ = ( +1+ )( +1 ) = + 1 ；
故答案为： + 1 ；
(3)原式= ( 2 1 + 3 2 + 4 3 + . . . + 2026 2025) × ( 2026 + 1)
= ( 2026 + 1) × ( 2026 + 1)
= 2026 1
= 2025．
20.解：(1)设每次下降的百分率为
根据题意得：50(1 )2 = 32
解得： 1 = 0.2， 2 = 1.8(不合题意舍去)
答：每次下降 20%
(2)设涨价 元(0 < ≤ 8)
6000 = (10 + )(500 20 )
第 8页，共 13页
解得： 1 = 5， 2 = 10(不合题意舍去)
答：每千克应涨价 5 元．
21.(1)证明：∵ ⊥ ，
∴ ∠ = 90°，
∵ ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ // ，
∵ // ，
即 // ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ = ．
(2)①证明：∵ 为 的中点，
∴ = ，
∵ = ，
∴ = ，
∵ // ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ∠ = 90°， 为 的中点，
∴ = ，
∴四边形 是菱形．
②解：当∠ = 45°时，四边形 是正方形，理由如下：
∵ ∠ = 90°，∠ = 45°，
∴ ∠ = ∠ = 45°，
∴ = ，
∵ 为 的中点，
∴ ⊥ ，
∴ ∠ = 90°，
又∵四边形 是菱形，
∴四边形 是正方形．
第 9页，共 13页
22.(1)将原方程变形，得[( + 4) 2][( + 4) + 2] = 5，
∴ ( + 4)2 22 = 5，
∴ ( + 4)2 = 5 + 22，
∴ ( + 4)2 = 9，
直接开平方并整理，得 1 = 1， 2 = 7，
∴原方程的解为 1 = 1， 2 = 7；
(2)将原方程变形，得[( 1) 2][( 1) + 2] = 12，
∴ ( 1)2 22 = 12，
∴ ( 1)2 = 12 + 22，
∴ ( 1)2 = 16，
直接开平方并整理，得 1 = 5， 2 = 3，
∴原方程的解为 1 = 5， 2 = 3；
(3) ∵ ( + )( + ) = 可将其变形为[( + ) ][( + ) + ] = ，
∴ = + = ，
= +
∴ 2 ，
= 2
+
故答案为： 2 ， 2 ．
23.(1)解：∵四边形 是正方形，
∴ = = = = 4，∠ = ∠ = ∠ = ∠ = 90°，
∵ ∠ = = 60°，线段 绕点 顺时针旋转 2 角，得到线段 ′，
∴ ∠ = ∠ ∠ = 90° 60° = 30°，∠ ′ = 2 = 120°120°， = ′ ，
∴ ∠ ′ = ∠ ′ ∠ = 120° 90° = 30°， ′ = ，
∴ ∠ ′ = ∠ ′ = 12 (180° ∠
1
′) = 2 × (180° 30°) = 75°，
故答案为：75；
(2)解： = ′ ， ⊥ ′ ，理由如下：
如图所示，连接 ，
第 10页，共 13页
由(1)得， = = = = ′ = 4，∠ = = 60°，∠ = ∠ ′ = 30°，∠ ′ = 75°，
∴ ∠ ′ = 60° = ∠ ，
在△ 与△ ′ 中，
= ′
∠ = ∠ ′ ，
=
∴△ ≌△ ′ ( )，
∴ = ′ ，∠ = ∠ ′ ，
在△ ′ 中，∠ ′ = 180° ∠ ′ ∠ ′ = 180° 60° 75° = 45°，
∴ ∠ = ∠ ′ = 45°，
∴ ∠ ′ = 90°，即 ⊥ ′ ；
(3)证明：如图所示，连接 ，过点 作 ⊥ 交 于点 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ∠ = ∠ = 90°， = = ，
∴ ∠ = ∠ = 90°，
∴ ∠ ∠ = ∠ ∠ ，即∠ = ∠ ，
由旋转知∠ = ，∠ ′ = 2 ， = ′ ，
∴ ∠ = ∠ ′ = ， = ′，
∴ ∠ ′ = ∠ ′，
在△ 与△ ′ 中，
第 11页，共 13页
= ′
∠ = ∠ ′ ，
=
∴△ ≌△ ′ ( )，
∴ = ′ ，∠ = ∠ ′，
∴ 90° ∠ = 90° ∠ ′，
∴ 90° ∠ = 90° ∠ ′，
∴ ∠ = ∠ ，
在△ 与△ 中，
∠ = ∠
= ，
∠ = ∠
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ， = ，
∴△ 是等腰直角三角形，
∴ = 2 ，
∵ = ′ ， = ，
∴ = ′ ，即 = ′ ，
∴ ′ = 2 ；
(4)解：连接 ， ，交于点 ，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ = = 4，∠ = 90°， = = = 12 ，
∴ = 2 + 2 = 4 2， = = 12 = 2 2， ′ = = 4，
∵ 为 ′的中点， = ，
∴ = 12 ′ = 2，

如图，在 上取一点 ，使 = 2 = 2，
第 12页，共 13页
∴ =
2
= 2 ，
又∵ ∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，
∴ 2 = = 2 ，
∴ = 22 ，
∴ 22 + = + ，
∵点 ， 是定点，点 是动点，
∴ 2 22 + = + ≥ ，当且仅当 、 、 共线时， 2 + 取最小值 ．
过点 作 ⊥ 于点 ，
∵正方形 中，∠ = 45°，
∴ ∠ = ∠ = 45°，
∵ = = 2，
∴ = = 2 = 1，
∴ = = 3，
∴ = 2 + 2 = 32 + 12 = 10，
2
即 2 + 的最小值为 10．
第 13页，共 13页

展开更多......

收起↑