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9.1.1　正弦定理
第一课时　正弦定理
1.在△ABC中，若＝，则B的值为（　　）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A＝30°，B＝45°，b＝8，则a＝（　　）
A.4 B.4
C.4 D.4
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin B＝，A＝120°，且b＝2，则△ABC的面积为（　　）
A. B.2
C.3 D.4
4.若△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a，则＝（　　）
A.2 B.2
C. D.
5.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆的面积为（　　）
A. B.π
C.2π D.4π
6.（多选）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，a＝2，c＝2，则角C的大小是（　　）
A.　　　B. C.　　　D.
7.在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，则c＝　　　　.
8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，A＋C＝3B，则角A的大小为　　　　.
9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，又知a＝1，A＝60°，c＝，则△ABC的面积为　　　　.
10.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且b＝6，a＝2，A＝30°，求ac的值.
11.（多选）下面关于正弦定理或其变形的叙述正确的是（　　）
A.在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B.在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b
C.在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B；若A＞B，则sin A＞sin B
D.在△ABC中，＝
12.已知△ABC中，AB＝，BC＝1，sin C＝cos C，则sin A＝　　　　，△ABC的面积为　　　　.
13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b＝，c＝1，cos B＝.
（1）求sin C的值；
（2）求△ABC的面积.
14.在△ABC中，若·＝2且∠BAC＝30°，则△ABC的面积为（　　）
A. B.2
C. D.
15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A＝，b2－a2＝c2.
（1）求tan C的值；
（2）若△ABC的面积为3，求b的值.
第一课时　正弦定理
1.B　根据正弦定理知＝，结合已知条件可得sin B＝cos B，又0°＜B＜180°，所以B＝45°.
2.B　由正弦定理，得＝，即＝，即a＝4，解得a＝4，故选B.
3.A　∵sin B＝，A＝120°，∴B＝30°，∴C＝30°，又∵b＝2，∴c＝b＝2.∴S△ABC＝bcsin A＝×2×2×＝.
4.D　由正弦定理，得sin2Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，即sin B·（sin2A＋cos2A）＝sin A，所以sin B＝sin A，所以＝＝.
5.B　在△ABC中，A＝75°，B＝45°，∴C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理的推广，可得2R＝＝，解得R＝1，∴△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝π，故选B.
6.BD　由正弦定理可得＝，∴sin C＝＝，而a＜c，∴A＜C，∴＜C＜，故C＝或.故选B、D.
7.　解析：由题意，知B＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得c＝＝＝.
8.30°　解析：∵A＋C＝3B且A＋C＋B＝180°，∴B＝45°，由正弦定理＝，得sin A＝＝.∵0°＜A＜180°，∴A＝30°或150°.当A＝150°时，A＋B＝195°＞180°，与三角形内角和为180°矛盾，舍去，∴A＝30°.
9.　解析：由正弦定理得＝，即＝，
解得sin C＝.
又因为c＜a，所以C＜A，且0°＜C＜180°，
所以C＝30°，故B＝90°，
所以S＝ac＝×1×＝.
10.解：由正弦定理＝得，
sin B＝＝＝.
又b＝6＞a＝2，故B＞A，
∴B＝60°或B＝120°.
（1）当B＝60°时，
C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°.
在Rt△ABC中，C＝90°，a＝2，b＝6，c＝4，
∴ac＝2×4＝24.
（2）当B＝120°时，C＝180°－A－B＝180°－30°－120°＝30°，
∴A＝C，则有a＝c＝2.
∴ac＝2×2＝12.
11.ACD　由正弦定理易知A、C、D正确.对于B，由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，∴a＝b或a2＋b2＝c2，故B错误.
12.　　解析：由sin C＝cos C，得tan C＝，所以C＝.
根据正弦定理可得＝，解得sin A＝.
因为AB＞BC，所以A＜C，所以A＝.
所以B＝，所以△ABC为直角三角形.
所以S△ABC＝××1＝.
13.解：（1）∵b＝，c＝1，cos B＝.
∴sin B＝＝.
∴由正弦定理可得sin C＝＝＝.
（2）∵c＜b，∴C为锐角，
∴由（1）可得cos C＝＝，
∴sin A＝sin（B＋C）＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝，
∴S△ABC＝bcsin A＝××1×＝.
14.C　由·＝2得AB·ACcos 30°＝2，即AB·AC＝，所以由三角形面积公式得S＝AB·ACsin ∠BAC＝××＝.
15.解：（1）由b2－a2＝c2，A＝及正弦定理得sin2B－＝sin2C，∴－cos 2B＝sin2C.
又由A＝，得B＋C＝，2B＝π－2C，
∴－cos 2B＝sin 2C＝2sin Ccos C＝sin2C.
又∵sin C≠0，∴tan C＝2.
（2）由tan C＝2，C∈（0，π），得sin C＝，cos C＝.
∵sin B＝sin（A＋C）＝sin，
∴sin B＝.
由正弦定理，得c＝.
又A＝，bcsin A＝3，
∴bc＝6，∴b＝3.
1 / 29.1.1　正弦定理
新课程标准解读 核心素养
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法 逻辑推理
2.掌握用两边及其夹角表示的三角形面积公式 数学运算
3.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题 直观想象
第一课时　正弦定理
　　关于正弦定理的发现历史，一般认为是中世纪阿拉伯数学家、天文学家阿布瓦法（940～998）提出并证明了球面三角形的正弦定理，而平面三角形的正弦定理的证明最先是纳绥尔丁-图西（1201～1274）给出的.我国清代数学家梅文鼎（1633～1721）在他的著作《平三角举要》中也给出了证明，而且还给出了正弦定理的完整形式.
【问题】　三角形中的边与其所对的角的正弦值之间具有什么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　三角形面积公式
1.S△ABC＝　　　　 　＝　　　 　　＝　　 　　　，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的　　　　.
2.S△ABC＝ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长.
1.在△ABC中，A＝45°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC＝（　　）
A.　　 B.　　
C.　　 D.2
2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则c＝（　　）
A.4 B.5
C. D.5
知识点二　正弦定理
文字语言 在一个三角形中，各边的长和它所对角的　　　　的比相等
符号语言 ＝＝
定理 变形 设三角形的三边长分别为a，b，c，它们所对的内角分别为A，B，C： （1）a∶b∶c＝　　　　 　∶　　　　　∶　　　　　； （2）＝＝＝
提醒　△ABC的三边及三内角与它的外接圆半径R之间的关系：①＝＝＝2R；②a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；③sin A＝，sin B＝，sin C＝.
【想一想】
1.利用正弦定理解三角形需要哪些条件？
2.三角形的边角中有哪些不等关系？
　　
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）三角形面积公式S＝absin C对任意三角形都适用.（　　）
（2）正弦定理只适用于锐角三角形.（　　）
2.在△ABC中，一定成立的等式是（　　）
A.asin A＝bsin B B.acos A＝bcos B
C.asin B＝bsin A D.acos B＝bcos A
3.在△ABC中，已知BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝　　　　.
4.在△ABC中，a＝，b＝，B＝，则A＝　　　　.
题型一 已知两角及一边解三角形
【例1】　在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.
尝试解答
通性通法
已知两角及一边解三角形的一般步骤
【跟踪训练】
在△ABC中，已知B＝45°，C＝60°，c＝1，求最短边的边长.
题型二 已知两边及一边的对角解三角形
【例2】　在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形.
尝试解答
【母题探究】
（变条件，变设问）若把本例中的条件“A＝45°”变为“C＝45°”，则角A有几个值？
通性通法
已知两边及一边的对角解三角形的步骤
【跟踪训练】
在△ABC中，已知下列条件，解三角形：
（1）b＝4，c＝8，B＝30°；
（2）a＝6，b＝6，A＝30°.
题型三 三角形面积公式及其应用
【例3】　在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，求△ABC的面积.
尝试解答
通性通法
三角形面积的两种求法
（1）若已知△ABC的两边及其夹角，则S△ABC＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
（2）若已知两角及一边，首先利用三角形内角和定理求第三个角，然后利用正弦定理求另一边，再利用面积公式求面积.
【跟踪训练】
1.已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则A的大小为（　　）
A.60°或120°　　　　　　B.60°
C.120° D.30°或150°
2.在△ABC中，点D在BC边上，且BD＝2，DC＝1，B＝60°，∠ADC＝150°，求△ABC的面积.
1.已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，则a∶b∶c＝（　　）
A.3∶2∶1 B.∶2∶1
C.∶∶1 D.2∶∶1
2.在△ABC中，AB＝，AC＝1，△ABC的面积为，则A＝　　　　.
3.在△ABC中，a＝1，b＝，A＝30°，求边c的长.
第一课时　正弦定理
【基础知识·重落实】
知识点一
1.bcsin A　acsin B　absin C　一半
自我诊断
1.B　S△ABC＝AB·ACsin A＝×1×2sin 45°＝.
2.A　∵a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，
∴×1×csin 45°＝2，
解得c＝4.
知识点二
正弦　sin A　sin B　sin C
想一想
1.提示：需要两角和一边或两边和其中一边的对角.
2.提示：（1）大角对大边：若A＞B＞C，可得a＞b＞c，则sin A＞sin B＞sin C.
（2）大边对大角：若sin A＞sin B＞sin C，可得a＞b＞c，则A＞B＞C.
（3）两边之和大于第三边，即a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b.
（4）两边之差小于第三边，即a－b＜c，b－c＜a，c－a＜b.
自我诊断
1.（1）√　（2）×
2.C　由正弦定理＝，得asin B＝bsin A，故选C.
3.2　解析：由正弦定理，得AB＝·BC＝2BC＝2.
4.或　解析：由正弦定理，得sin A＝＝＝，又A∈（0，π），a＞b，∴A＞B，∴A＝或.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：A＝180°－（B＋C）＝180°－（60°＋75°）＝45°.
由＝，
得b＝＝＝4，
由＝，
得c＝＝＝＝4（＋1）.
所以A＝45°，b＝4，c＝4（＋1）.
跟踪训练
解：因为B＝45°，C＝60°，所以A＝75°，
故角B最小，所以b为最短边，
由正弦定理＝，
得b＝＝＝，
故所求的最短边长为.
【例2】　解：因为＝，
所以sin C＝＝＝，
因为C∈，且c＞a，所以C＞A，
所以C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1；
当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1.
所以b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.
母题探究
解：因为＝，所以sin A＝＝＝.
因为c＝＞2＝a，所以C＞A，
所以A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个.
跟踪训练
解：（1）由＝，得sin C＝＝＝1.
∵c＞b，∴C＞30°，∴30°＜C＜150°，∴C＝90°.
∴A＝180°－（B＋C）＝60°，a＝＝4.
∴C＝90°，A＝60°，a＝4.
（2）由＝，得sin B＝＝＝，
∵b＞a，∴B＞30°，∴30°＜B＜150°，∴B＝60°或B＝120°.
当B＝60°时，C＝180°－（A＋B）＝180°－（30°＋60°）＝90°，
又∵＝，∴c＝＝＝＝12.
当B＝120°时，C＝180°－（A＋B）＝180°－（30°＋120°）＝30°，∴c＝a＝6.
∴B＝60°，C＝90°，c＝12或B＝120°，C＝30°，c＝6.
【例3】　解：法一　在△ABC中，根据正弦定理，得＝，即＝，解得sin B＝1.因为0°＜B＜120°，所以B＝90°，所以C＝30°，所以△ABC的面积S△ABC＝·AC·BC·sin C＝2.
法二　在△ABC中，根据正弦定理，得＝，所以＝，解得sin B＝1.因为0°＜B＜120°，所以B＝90°，所以AB＝＝2，所以△ABC的面积S△ABC＝·AB·BC＝2.
跟踪训练
1.A　由S△ABC＝bcsin A，得＝×2××sin A，解得sin A＝.因为A∈（0°，180°），所以A＝60°或120°.故选A.
2.解：在△ABD中，∠BAD＝150°－60°＝90°，
∴AB＝BD×cos 60°＝2cos 60°＝1，BC＝BD＋DC＝3，
∴S△ABC＝AB×BC×sin B＝×1×3×sin 60°＝.
随堂检测
1.D　∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，∴A＝90°，B＝60°，C＝30°，∴a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶∶＝2∶∶1.
2.90°　解析：因为S△ABC＝·AB·AC·sin A＝，即××1×sin A＝，所以sin A＝1，由于A∈（0°，180°），所以A＝90°.
3.解：由＝，得sin B＝＝.
∵a＜b，∴B＞A＝30°，∴B＝60°或B＝120°.
①当B＝60°时，C＝180°－60°－30°＝90°.
此时，c＝ ＝＝2.
②当B＝120°时，C＝180°－120°－30°＝30°.
此时，c＝a＝1.综上，c＝1或c＝2.
3 / 3(共53张PPT)
第一课时　正弦定理
新课程标准解读 核心素养
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握
正弦定理的内容及其证明方法 逻辑推理
2.掌握用两边及其夹角表示的三角形面积公式 数学运算
3.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的
解三角形问题 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　关于正弦定理的发现历史，一般认为是中世纪阿拉伯数学
家、天文学家阿布瓦法（940～998）提出并证明了球面三角形的
正弦定理，而平面三角形的正弦定理的证明最先是纳绥尔丁-图西
（1201～1274）给出的.我国清代数学家梅文鼎（1633～1721）
在他的著作《平三角举要》中也给出了证明，而且还给出了正弦
定理的完整形式.
【问题】　三角形中的边与其所对的角的正弦值之间具有什么关系？



知识点一　三角形面积公式
1. S△ABC＝ 　 bc sin A　＝ 　 ac sin B　＝ 　 ab sin C　，即任意三角
形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的 .
2. S△ABC＝ ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长.
bc sin A　
ac sin B　
ab sin C　
一半　
1. 在△ABC中，A＝45°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC＝（　　）
解析：　S△ABC＝ AB·AC sin A＝ ×1×2 sin 45°＝ .
2. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，B＝
45°，S△ABC＝2，则c＝（　　）
B. 5
解析：　∵a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，∴ ×1×c sin 45°＝
2，解得c＝4 .
知识点二　正弦定理
文字
语言 在一个三角形中，各边的长和它所对角的 的比相等
符号
语言
定理
变形
正弦　
sin A　
sin B　
sin C　
提醒　△ABC的三边及三内角与它的外接圆半径R之间的关系：①
＝ ＝ ＝2R；②a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；
③ sin A＝ ， sin B＝ ， sin C＝ .
【想一想】
1. 利用正弦定理解三角形需要哪些条件？
提示：需要两角和一边或两边和其中一边的对角.
2. 三角形的边角中有哪些不等关系？
提示：（1）大角对大边：若A＞B＞C，可得a＞b＞c，则 sin A
＞ sin B＞ sin C.
（2）大边对大角：若 sin A＞ sin B＞ sin C，可得a＞b＞c，则A
＞B＞C.
（3）两边之和大于第三边，即a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b.
（4）两边之差小于第三边，即a－b＜c，b－c＜a，c－a＜b.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）三角形面积公式S＝ ab sin C对任意三角形都适用.
（　√　）
（2）正弦定理只适用于锐角三角形. （　×　）
√
×
2. 在△ABC中，一定成立的等式是（　　）
A. a sin A＝b sin B B. a cos A＝b cos B
C. a sin B＝b sin A D. a cos B＝b cos A
解析：　由正弦定理 ＝ ，得a sin B＝b sin A，故选C.
3. 在△ABC中，已知BC＝ ， sin C＝2 sin A，则AB＝ 　2 　.
解析：由正弦定理，得AB＝ ·BC＝2BC＝2 .
4. 在△ABC中，a＝ ，b＝ ，B＝ ，则A＝ 　 或 　.
2 　
或 　
解析：由正弦定理，得 sin A＝ ＝ ＝ ，又A∈（0，
π），a＞b，∴A＞B，∴A＝ 或 .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 已知两角及一边解三角形
【例1】　在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，
b，c.
解：A＝180°－（B＋C）＝180°－（60°＋75°）＝45°.
由 ＝ ，
得b＝ ＝ ＝4 ，
由 ＝ ，
得c＝ ＝ ＝ ＝4（ ＋1）.
所以A＝45°，b＝4 ，c＝4（ ＋1）.
通性通法
已知两角及一边解三角形的一般步骤
【跟踪训练】
在△ABC中，已知B＝45°，C＝60°，c＝1，求最短边的边长.
解：因为B＝45°，C＝60°，所以A＝75°，
故角B最小，所以b为最短边，
由正弦定理 ＝ ，
得b＝ ＝ ＝ ，
故所求的最短边长为 .
题型二 已知两边及一边的对角解三角形
【例2】　在△ABC中，已知c＝ ，A＝45°，a＝2，解三角形.
解：因为 ＝ ，
所以 sin C＝ ＝ ＝ ，
因为C∈ ，且c＞a，所以C＞A，所以C＝60°或C＝
120°.
当C＝60°时，B＝75°，b＝ ＝ ＝ ＋1；
当C＝120°时，B＝15°，b＝ ＝ ＝ －1.
所以b＝ ＋1，B＝75°，C＝60°或b＝ －1，B＝15°，C＝
120°.
【母题探究】
（变条件，变设问）若把本例中的条件“A＝45°”变为“C＝
45°”，则角A有几个值？
解：因为 ＝ ，所以 sin A＝ ＝ ＝ .
因为c＝ ＞2＝a，所以C＞A，所以A为小于45°的锐角，且正弦
值为 ，这样的角A只有一个.
通性通法
已知两边及一边的对角解三角形的步骤
【跟踪训练】
在△ABC中，已知下列条件，解三角形：
（1）b＝4，c＝8，B＝30°；
解：由 ＝ ，得 sin C＝ ＝ ＝1.
∵c＞b，∴C＞30°，∴30°＜C＜150°，∴C＝90°.
∴A＝180°－（B＋C）＝60°，a＝ ＝4 .
∴C＝90°，A＝60°，a＝4 .
（2）a＝6，b＝6 ，A＝30°.
解：由 ＝ ，得 sin B＝ ＝ ＝ ，
∵b＞a，∴B＞30°，∴30°＜B＜150°，
∴B＝60°或B＝120°.
当B＝60°时，C＝180°－（A＋B）＝180°－（30°＋
60°）＝90°，
又∵ ＝ ，∴c＝ ＝ ＝ ＝12.
当B＝120°时，C＝180°－（A＋B）＝180°－（30°＋
120°）＝30°，∴c＝a＝6.
∴B＝60°，C＝90°，c＝12或B＝120°，C＝30°，c＝6.
题型三 三角形面积公式及其应用
【例3】　在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2 ，求△ABC的
面积.
解：法一　在△ABC中，根据正弦定理，得 ＝ ，即 ＝
，解得 sin B＝1.
因为0°＜B＜120°，所以B＝90°，所以C＝30°，所以△ABC的
面积S△ABC＝ ·AC·BC· sin C＝2 .
法二　在△ABC中，根据正弦定理，得 ＝ ，所以 ＝
，解得 sin B＝1.
因为0°＜B＜120°，所以B＝90°，所以AB＝ ＝2，
所以△ABC的面积S△ABC＝ ·AB·BC＝2 .
通性通法
三角形面积的两种求法
（1）若已知△ABC的两边及其夹角，则S△ABC＝ ab sin C＝ ac sin B
＝ bc sin A；
（2）若已知两角及一边，首先利用三角形内角和定理求第三个角，
然后利用正弦定理求另一边，再利用面积公式求面积.
【跟踪训练】
1. 已知△ABC的面积为 ，且b＝2，c＝ ，则A的大小为（　　）
A. 60°或120° B. 60°
C. 120° D. 30°或150°
解析：　由S△ABC＝ bc sin A，得 ＝ ×2× × sin A，解得
sin A＝ .因为A∈（0°，180°），所以A＝60°或120°.故
选A.
2. 在△ABC中，点D在BC边上，且BD＝2，DC＝1，B＝60°，
∠ADC＝150°，求△ABC的面积.
解：在△ABD中，∠BAD＝150°－60°＝90°，
∴AB＝BD× cos 60°＝2 cos 60°＝1，BC＝BD＋DC＝3，
∴S△ABC＝ AB×BC× sin B＝ ×1×3× sin 60°＝ .
1. 已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，则a∶b∶c
＝（　　）
A. 3∶2∶1
解析：　∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，∴A＝
90°，B＝60°，C＝30°，∴a∶b∶c＝ sin A∶ sin B∶ sin C＝
1∶ ∶ ＝2∶ ∶1.
2. 在△ABC中，AB＝ ，AC＝1，△ABC的面积为 ，则A
＝ .
解析：因为S△ABC＝ ·AB·AC· sin A＝ ，即 × ×1× sin A＝
，所以 sin A＝1，由于A∈（0°，180°），所以A＝90°.
90°　
3. 在△ABC中，a＝1，b＝ ，A＝30°，求边c的长.
解：由 ＝ ，得 sin B＝ ＝ .
∵a＜b，∴B＞A＝30°，∴B＝60°或B＝120°.
①当B＝60°时，C＝180°－60°－30°＝90°.
此时，c＝ ＝ ＝2.
②当B＝120°时，C＝180°－120°－30°＝30°.
此时，c＝a＝1.综上，c＝1或c＝2.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在△ABC中，若 ＝ ，则B的值为（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析：　根据正弦定理知 ＝ ，结合已知条件可得 sin B＝
cos B，又0°＜B＜180°，所以B＝45°.
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2. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A＝
30°，B＝45°，b＝8，则a＝（　　）
A. 4
解析：　由正弦定理，得 ＝ ，即 ＝ ，即
a＝4，解得a＝4 ，故选B.
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3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 sin B＝
，A＝120°，且b＝2，则△ABC的面积为（　　）
C. 3
解析：　∵ sin B＝ ，A＝120°，∴B＝30°，∴C＝30°，又
∵b＝2，∴c＝b＝2.∴S△ABC＝ bc sin A＝ ×2×2× ＝ .
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4. 若△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A
sin B＋b cos 2A＝ a，则 ＝（　　）
解析：　由正弦定理，得 sin 2A sin B＋ sin B cos 2A＝ sin A，
即 sin B·（ sin 2A＋ cos 2A）＝ sin A，所以 sin B＝ sin A，所
以 ＝ ＝ .
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5. 已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝
，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆的面积为（　　）
B. π
C. 2π D. 4π
解析：　在△ABC中，A＝75°，B＝45°，∴C＝180°－A－
B＝60°.设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理的推广，可
得2R＝ ＝ ，解得R＝1，∴△ABC的外接圆的面积S＝
πR2＝π，故选B.
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6. （多选）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
A＝ ，a＝2，c＝2 ，则角C的大小是（　　）
解析：　由正弦定理可得 ＝ ，∴ sin C＝ ＝ ，而
a＜c，∴A＜C，∴ ＜C＜ ，故C＝ 或 .故选B、D.
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7. 在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，则c＝ .
解析：由题意，知B＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，
得c＝ ＝ ＝ .
　
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8. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝
，b＝2，A＋C＝3B，则角A的大小为 .
解析：∵A＋C＝3B且A＋C＋B＝180°，∴B＝45°，由正弦
定理 ＝ ，得 sin A＝ ＝ .∵0°＜A＜180°，∴A＝
30°或150°.当A＝150°时，A＋B＝195°＞180°，与三角形
内角和为180°矛盾，舍去，∴A＝30°.
30°　
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9. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，又知a＝
1，A＝60°，c＝ ，则△ABC的面积为 　 　.
解析：由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，解得 sin C＝ .又因
为c＜a，所以C＜A，且0°＜C＜180°，所以C＝30°，故B＝
90°，所以S＝ ac＝ ×1× ＝ .
　
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10. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且b＝6，
a＝2 ，A＝30°，求ac的值.
解：由正弦定理 ＝ 得，
sin B＝ ＝ ＝ .
又b＝6＞a＝2 ，故B＞A，
∴B＝60°或B＝120°.
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（1）当B＝60°时，
C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°.
在Rt△ABC中，C＝90°，a＝2 ，b＝6，c＝4 ，
∴ac＝2 ×4 ＝24.
（2）当B＝120°时，
C＝180°－A－B＝180°－30°－120°＝30°，
∴A＝C，则有a＝c＝2 .
∴ac＝2 ×2 ＝12.
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11. （多选）下面关于正弦定理或其变形的叙述正确的是（　　）
A. 在△ABC中，a∶b∶c＝ sin A∶ sin B∶ sin C
B. 在△ABC中，若 sin 2A＝ sin 2B，则a＝b
C. 在△ABC中，若 sin A＞ sin B，则A＞B；若A＞B，则 sin A＞ sin B
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解析：　由正弦定理易知A、C、D正确.对于B，由 sin 2A＝
sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝ ，∴a
＝b或a2＋b2＝c2，故B错误.
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12. 已知△ABC中，AB＝ ，BC＝1， sin C＝ cos C，则 sin A
＝ 　 　，△ABC的面积为 　 　.
解析：由 sin C＝ cos C，得tan C＝ ，所以C＝ .
根据正弦定理可得 ＝ ，解得 sin A＝ .
因为AB＞BC，所以A＜C，所以A＝ .
所以B＝ ，所以△ABC为直角三角形.
所以S△ABC＝ × ×1＝ .
　
　
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13. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b＝
，c＝1， cos B＝ .
（1）求 sin C的值；
解：∵b＝ ，c＝1， cos B＝ .∴ sin B＝
＝ .
∴由正弦定理可得 sin C＝ ＝ ＝ .
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（2）求△ABC的面积.
解：∵c＜b，∴C为锐角，
∴由（1）可得 cos C＝ ＝ ，
∴ sin A＝ sin （B＋C）＝ sin B cos C＋ cos B sin C＝
× ＋ × ＝ ，
∴S△ABC＝ bc sin A＝ × ×1× ＝ .
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14. 在△ABC中，若 · ＝2且∠BAC＝30°，则△ABC的面积为
（　　）
解析：由 · ＝2得AB·AC cos 30°＝2，即AB·AC＝ ，所以由三角形面积公式得S＝ AB·AC sin ∠BAC＝ × × ＝ .
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15. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A
＝ ，b2－a2＝ c2.
（1）求tan C的值；
解：由b2－a2＝ c2，A＝ 及正弦定理得 sin 2B－
＝ sin 2C，∴－ cos 2B＝ sin 2C.
又由A＝ ，得B＋C＝ ，2B＝ π－2C，
∴－ cos 2B＝ sin 2C＝2 sin C cos C＝ sin 2C.
又∵ sin C≠0，∴tan C＝2.
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（2）若△ABC的面积为3，求b的值.
解：由tan C＝2，C∈（0，π），得 sin C＝ ， cos C＝ .
∵ sin B＝ sin （A＋C）＝ sin ，∴ sin B＝ .
由正弦定理，得c＝ .
又A＝ ， bc sin A＝3，∴bc＝6 ，∴b＝3.
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