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第二课时　正弦定理的应用（习题课）
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝30°，c＝2，b＝2，则A＝（　　）
A.30° B.60°
C.60°或90° D.30°或90°
2.已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为4，且sin B＋sin C＝sin A，则a＝（　　）
A. B.2
C.4 D.2
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2A＝sin A，bc＝2，则△ABC的面积为（　　）
A. B.
C.1 D.2
4.在△ABC中，若A＜B＜C，且A＋C＝2B，最大边为最小边的2倍，则A∶B∶C＝（　　）
A.1∶2∶3 B.2∶3∶4
C.3∶4∶5 D.4∶5∶6
5.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝60°，a＝，b＝4，那么满足条件的△ABC（　　）
A.有一个 B.有两个
C.不存在 D.不能确定
6.（多选）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＜cos A，则△ABC不可能为（　　）
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
7.已知c＝50，b＝72，C＝135°，则三角形解的个数为　　　　.
8.在△ABC中，若＝＝，则△ABC的形状为　　　　.
9.在△ABC中，若b＝5，B＝，tan A＝2，则sin A＝　　　　，a＝　　　　.
10.在△ABC中，已知＝，试判断△ABC的形状.
11.（多选）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.根据下列条件解三角形，其中有两解的是（　　）
A.b＝10，A＝45°，C＝70°
B.b＝45，c＝48，B＝60°
C.a＝14，b＝16，A＝45°
D.a＝7，b＝5，A＝80°
12.在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，且sin A＝2sin B·cos C.则A＝　　　　，△ABC是　　　　三角形.
13.在△ABC中，已知＝，且sin2A＋sin2B＝sin2C.
求证：△ABC为等腰直角三角形.
14.有一解三角形的题目因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC中，已知a＝，2cos2＝（－1）cos B，c＝　　　，求角A.若该题的答案是A＝60°，请将条件补充完整.
15.在△ABC中，已知＝，且cos（A－B）＋cos C＝1－cos 2C.
（1）求证：△ABC为直角三角形；
（2）求的取值范围.
第二课时　正弦定理的应用（习题课）
1.D　∵B＝30°，c＝2，b＝2，∴由正弦定理可得sin C＝＝.由C∈（0°，180°），可得C＝60°或C＝120°.又∵A＝180°－B－C，∴A＝90°或A＝30°.
2.C　根据正弦定理，sin B＋sin C＝sin A可化为b＋c＝a，∵△ABC的周长为4，
∴解得a＝4.
3.A　由cos 2A＝sin A，得1－2sin2A＝sin A，解得sin A＝或sin A＝－1（舍去），所以S△ABC＝bcsin A＝×2×＝.
4.A　由A＜B＜C，且A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，可得B＝，因为最大边为最小边的2倍，所以c＝2a，所以sin C＝2sin A，即sin＝2sin A tan A＝，由于0＜A＜π，所以A＝，从而C＝，则A∶B∶C＝1∶2∶3.
5.C　由正弦定理得＝，即＝，所以sin B＝＞1，所以满足条件的角B不存在，因此满足条件的△ABC不存在.
6.BD　由正弦定理可得，＝＜cos A，整理可得，sin C＜sin Bcos A，所以sin（A＋B）＝sin Acos B＋sin Bcos A＜sin Bcos A，故sin Acos B＜0，因为sin A＞0，所以cos B＜0，即B为钝角，则△ABC为钝角三角形.∴△ABC不可能为直角三角形或等边三角形.故选B、D.
7.0　解析：∵c＜b，∴C＜B，
∴B＋C＞180°.
故三角形无解.
8.等腰直角三角形　解析：根据正弦定理＝＝，
可得
由B，C的范围可得B＝C＝45°，
故A＝90°，则△ABC是等腰直角三角形.
9.　2　解析：由tan A＝2，得sin A＝2cos A，由sin2A＋cos2A＝1及0＜A＜π，得sin A＝.∵b＝5，B＝，＝，∴a＝＝＝2.
10.解：∵＝，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B（R为△ABC外接圆的半径），
∴＝.
又∵sin Asin B≠0，
∴sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，
∴2A＝2B或2A＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝.
故△ABC是等腰三角形或直角三角形.
11.BC　选项A：因为A＝45°，C＝70°，所以B＝65°，所以三角形的三个角和一边是确定的值，故只有一解；选项B：因为sin C＝＝＜1，且c＞b，所以角C有两解；选项C：因为sin B＝＝＜1，且b＞a，所以角B有两解；选项D：因为sin B＝＜1，且b＜a，所以角B仅有一解.故选B、C.
12.90°　等腰直角　解析：设sin A＝，sin B＝，sin C＝，R为△ABC外接圆的半径.∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴＝＋，即a2＝b2＋c2，故A＝90°.∴C＝90°－B，cos C＝sin B.∴2sin B·cos C＝2sin2B＝sin A＝1.∴sin B＝.∴B＝45°或B＝135°（A＋B＝225°＞180°，故舍去）.∴△ABC是等腰直角三角形.
13.证明：∵＝，
∴＝，
又∵＝，
∴＝，
∴a2＝b2即a＝b，
设＝＝＝k（k≠0），
则sin A＝，sin B＝，sin C＝，
又∵sin2A＋sin2B＝sin2C，
∴＋＝，
即a2＋b2＝c2，
∴△ABC为等腰直角三角形.
14.　解析：由题知1＋cos（A＋C）＝（－1）cos B，
所以1－cos B＝（－1）cos B，解得cos B＝.
因为0°＜B＜180°，所以B＝45°.
又A＝60°，所以C＝75°.
根据正弦定理，得＝，
解得c＝.
15.解：（1）证明：根据正弦定理，得
＝＝，
∴b2－a2＝ab. ①
∵cos（A－B）＋cos C＝1－cos 2C，
∴cos（A－B）－cos（A＋B）＝2sin2C，
∴sin Asin B＝sin2C，
由正弦定理，得ab＝c2. ②
把②代入①，得b2－a2＝c2，即a2＋c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形.
（2）由（1）知B＝，∴C＝－A，
∴sin C＝sin＝cos A.
根据正弦定理，得＝＝sin A＋cos A＝sin.
∵0＜A＜，∴＜A＋＜，
∴ ＜sin≤1，∴1＜sin≤.
即的取值范围是（1，].
2 / 2第二课时　正弦定理的应用（习题课）
题型一 三角形解的个数的判断
【例1】　根据下列条件，判断三角形是否有解，若有解，有几个解：
（1）a＝，b＝，A＝120°；
（2）a＝60，b＝48，B＝60°.
尝试解答
通性通法
　　已知任意两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法
（1）应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；
（2）在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 ①a＝bsin A ②a≥b　　 bsin A＜a ＜b a＜bsin A a＞b a≤b
解的个数 一解 两解 无解 一解 无解
【跟踪训练】
（多选）已知两边和其中一边的对角，则△ABC无解的是（　　）
A.a＝7，b＝8，A＝105°
B.b＝40，c＝20，C＝60°
C.b＝10，c＝5，C＝60°
D.a＝2，b＝6，A＝30°
题型二 判断三角形的形状
【例2】　在△ABC中，acos＝bcos（ －B），判断△ABC的形状.
尝试解答
【母题探究】
（变条件）本例条件变为“在△ABC中，c－acos B＝（2a－b）cos A”问题不变.
通性通法
利用正弦定理判断三角形形状的两条途径
（1）化角为边.将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识（分解因式、配方等）得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状.化角为边常利用的公式为：sin A＝，sin B＝，sin C＝（R为△ABC外接圆的半径）；
（2）化边为角.将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状.化边为角常利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C（R为△ABC外接圆的半径）.
【跟踪训练】
在△ABC中，已知b＝asin C，c＝asin B，试判断△ABC的形状.
题型三 利用正弦定理求最值或取值范围
【例3】　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin C＝ccos A.
（1）求A的大小；
（2）若b＝2，且≤B≤，求c的取值范围.
尝试解答
通性通法
　　利用正弦定理解决三角形中取值范围或最值问题的策略
（1）先利用正弦定理理清三角形中元素间的关系或求出某些元素；
（2）将所求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数（三角函数），从而转化为求函数的值域或最值问题.
【跟踪训练】
在锐角三角形ABC中，BC＝1，B＝2A，求AC的取值范围.
第二课时　正弦定理的应用（习题课）
【典型例题·精研析】
【例1】　解：法一　（1）∵A＞90°且a＞b，
∴有一解，即这样的三角形是唯一的.
（2）∵asin B＝60×＝30，b＝48，
∴b＜asin B，无解，即不存在这样的三角形.
法二　（1）∵A＝120°，由＝，
得sin B＝＝＝，
∵A＞B，∴B＝45°.∴有一解，即这样的三角形是唯一的.
（2）由＝，得
sin A＝＝＝＞1，
与0＜sin A≤1矛盾，∴无解，即不存在这样的三角形.
跟踪训练
AB　A中，由a＜b，A＝105°，可得B＞105°，与三角形的内角和为180°矛盾，故三角形无解；B中，由正弦定理＝，得sin B＝＝＝＞1，所以B不存在，故三角形无解；C中，由正弦定理＝，得sin B＝＝＝，又b＜c，所以B＝45°，所以A＝180°－（B＋C）＝75°，故三角形有唯一解；D中，由正弦定理＝，得sin B＝＝＝，所以B＝60°或B＝120°，故三角形有两解.故选A、B.
【例2】　解：法一（化角为边）　∵acos＝bcos（ －B），∴asin A＝bsin B.
由正弦定理可得a·＝b·（R为△ABC外接圆的半径），
∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形.
法二（化边为角）　∵acos＝bcos，
∴asin A＝bsin B.
由正弦定理可得2Rsin2A＝2Rsin2B（R为△ABC外接圆的半径），即sin A＝sin B，∴A＝B（A＋B＝π不合题意舍去）.
故△ABC为等腰三角形.
母题探究
解：由c－acos B＝（2a－b）cos A，得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，所以sin（A＋B）－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，即2cos A（sin B－sin A）＝0，所以cos A＝0或sin B＝sin A，又0＜A＜π，0＜B＜π，所以A＝或A＝B或A＋B＝π（舍去）.所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.
跟踪训练
解：法一　由b＝asin C，c＝asin B，得＝，
由正弦定理，得＝，所以b2＝c2，
又因为b，c＞0，所以b＝c，所以B＝C.
由b＝asin C，得sin B＝sin Asin C＝sin Asin B，
所以sin A＝1，又因为0＜A＜π，所以A＝，
所以△ABC是等腰直角三角形.
法二　由b＝asin C，c＝asin B，得＝，
由正弦定理，得＝，所以sin2B＝sin2C.
又因为0＜B＜π，0＜C＜π，所以sin B＞0，sin C＞0，
所以sin B＝sin C，所以B＝C.
由b＝asin C，得sin B＝sin Asin C＝sin Asin B，
所以sin A＝1，又因为0＜A＜π，所以A＝，
所以△ABC为等腰直角三角形.
【例3】　解：（1）由题意得＝.
由正弦定理，得＝＝1.
∴tan A＝.∵A∈（0，π），
∴A＝.
（2）∵b＝2，A＝，
∴在△ABC中，由正弦定理＝，
得c＝＝＝＝＋1
＝＋1.
∵≤B≤，
∴1≤tan B≤，∴2≤c≤＋1，
即c的取值范围为.
跟踪训练
解：在锐角三角形ABC中，BC＝1，B＝2A，
∴＜3A＜π，且0＜2A＜，
故＜A＜，故＜cos A＜.
由正弦定理可得＝，又∵BC＝1，B＝2A，
∴＝，∴AC＝2cos A，∴＜AC＜，
∴AC的取值范围为.
2 / 2(共22张PPT)
第二课时　正弦定理的应用（习题课）
典型例题·精研析
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题型一 三角形解的个数的判断
【例1】　根据下列条件，判断三角形是否有解，若有解，有几个
解：
（1）a＝ ，b＝ ，A＝120°；
（2）a＝60，b＝48，B＝60°.
解：法一　（1）∵A＞90°且a＞b，
∴有一解，即这样的三角形是唯一的.
法二　（1）∵A＝120°，由 ＝ ，
得 sin B＝ ＝ ＝ ，
∵A＞B，∴B＝45°.
∴有一解，即这样的三角形是唯一的.
法一　（2）∵a sin B＝60× ＝30 ，b＝48，
∴b＜a sin B，无解，即不存在这样的三角形.
（2）由 ＝ ，
得 sin A＝ ＝ ＝ ＞1，
与0＜ sin A≤1矛盾，
∴无解，即不存在这样的三角形.
通性通法
已知任意两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法
（1）应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的
个数；
（2）在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径
画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形
解的个数，解的个数见下表：
A为锐角 A为钝角或直角 图形
关系
式 ①a＝b sinA ②a≥b　　 b sin A＜a ＜b a＜ b sin A a＞b a≤b
解的
个数 一解 两解 无解 一解 无解
【跟踪训练】
（多选）已知两边和其中一边的对角，则△ABC无解的是（　　）
A. a＝7，b＝8，A＝105°
B. b＝40，c＝20，C＝60°
解析：　A中，由a＜b，A＝105°，可得B＞105°，与三角形
的内角和为180°矛盾，故三角形无解；B中，由正弦定理 ＝
，得 sin B＝ ＝ ＝ ＞1，所以B不存在，故三角形无
解；C中，由正弦定理 ＝ ，得 sin B＝ ＝ ＝ ，又b
＜c，所以B＝45°，所以A＝180°－（B＋C）＝75°，故三角形
有唯一解；D中，由正弦定理 ＝ ，得 sin B＝ ＝ ＝ ，所以B＝60°或B＝120°，故三角形有两解.故选A、B.
题型二 判断三角形的形状
【例2】　在△ABC中，a cos ＝b cos ，判断△ABC的
形状.
解：法一（化角为边）　∵a cos ＝b cos （ －B），∴a sin
A＝b sin B.
由正弦定理可得a· ＝b· （R为△ABC外接圆的半径），
∴a2＝b2，∴a＝b，
∴△ABC为等腰三角形.
法二（化边为角）　∵a cos ＝b cos ，
∴a sin A＝b sin B.
由正弦定理可得2R sin 2A＝2R sin 2B（R为△ABC外接圆的半径），
即 sin A＝ sin B，
∴A＝B（A＋B＝π不合题意舍去）.
故△ABC为等腰三角形.
【母题探究】
（变条件）本例条件变为“在△ABC中，c－a cos B＝（2a－b） cos
A”问题不变.
解：由c－a cos B＝（2a－b） cos A，得 sin C－ sin A cos B＝2 sin A
cos A－ sin B cos A，所以 sin （A＋B）－ sin A cos B＝2 sin A cos A－
sin B cos A，即2 cos A（ sin B－ sin A）＝0，所以 cos A＝0或 sin B＝
sin A，又0＜A＜π，0＜B＜π，所以A＝ 或A＝B或A＋B＝π（舍
去）.所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.
通性通法
利用正弦定理判断三角形形状的两条途径
（1）化角为边.将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根
据多项式的有关知识（分解因式、配方等）得到边的关系，如a
＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状.化角为边常利用
的公式为： sin A＝ ， sin B＝ ， sin C＝ （R为△ABC外
接圆的半径）；
（2）化边为角.将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根
据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形
的形状.化边为角常利用的公式为：a＝2R sin A，b＝2R sin
B，c＝2R sin C（R为△ABC外接圆的半径）.
【跟踪训练】
在△ABC中，已知b＝a sin C，c＝a sin B，试判断△ABC的形状.
解：法一　由b＝a sin C，c＝a sin B，得 ＝ ，
由正弦定理，得 ＝ ，所以b2＝c2，
又因为b，c＞0，所以b＝c，
所以B＝C.
由b＝a sin C，得 sin B＝ sin A sin C＝ sin A sin B，
所以 sin A＝1，又因为0＜A＜π，
所以A＝ ，
所以△ABC是等腰直角三角形.
法二　由b＝a sin C，c＝a sin B，得 ＝ ，
由正弦定理，得 ＝ ，
所以 sin 2B＝ sin 2C.
又因为0＜B＜π，0＜C＜π，
所以 sin B＞0， sin C＞0，
所以 sin B＝ sin C，
所以B＝C.
又因为0＜A＜π，
所以A＝ ，
所以△ABC为等腰直角三角形.
由b＝a sin C，得 sin B＝ sin A sin C＝ sin A sin B，
所以 sin A＝1，
题型三 利用正弦定理求最值或取值范围
【例3】　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
且a sin C＝ c cos A.
（1）求A的大小；
解：由题意得 ＝ .
由正弦定理，得 ＝ ＝1.
∴tan A＝ .∵A∈（0，π），
∴A＝ .
（2）若b＝2，且 ≤B≤ ，求c的取值范围.
解：∵b＝2，A＝ ，∴在△ABC中，由正弦定理 ＝ ，
得c＝ ＝ ＝ ＝ ＋1＝ ＋1.
∵ ≤B≤ ，∴1≤tan B≤ ，∴2≤c≤ ＋1，即c的取值
范围为 .
通性通法
　　利用正弦定理解决三角形中取值范围或最值问题的策略
（1）先利用正弦定理理清三角形中元素间的关系或求出某些元素；
（2）将所求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数（三角函
数），从而转化为求函数的值域或最值问题.
【跟踪训练】
在锐角三角形ABC中，BC＝1，B＝2A，求AC的取值范围.
解：在锐角三角形ABC中，BC＝1，B＝2A，
∴ ＜3A＜π，且0＜2A＜ ，
故 ＜A＜ ，故 ＜ cos A＜ .
由正弦定理可得 ＝ ，
又∵BC＝1，B＝2A，
∴ ＝ ，
∴AC＝2 cos A，
∴ ＜AC＜ ，
∴AC的取值范围为 .
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